数列专题学案等比数列

第3课时 等比数列

1．等比数列的定义：)

()(

＝q （q 为不等于零的常数）． 2．等比数列的通项公式：

⑴ a n ＝a 1q n －1 ⑵ a n ＝a m q n －m

3．等比数列的前n 项和公式： S n ＝ ⎪⎩⎪⎨⎧=≠)

1()1(q q 4．等比中项：如果a ，b ，c 成等比数列，那么b 叫做a 与c 的等比中项，即b 2＝ （或b ＝ ）．

5．等比数列{a n }的几个重要性质：

⑴ m ，n ，p ，q ∈N *，若m ＋n ＝p ＋q ，则 ．

⑵ S n 是等比数列{a n }的前n 项和且S n ≠0，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成 数列． ⑶ 若等比数列{a n }的前n 项和S n 满足{S n }是等差数列，则{a n }的公比q ＝ ．

例1. 已知等比数列{a n }中，a 1＋a n ＝66，a 2a n －1＝128，S n ＝126，求项数n 和公比q 的值． 解：∵{a n }是等比数列，

∴a 1·a n ＝a 2·a n －1，

∴⎩⎨⎧=⋅=+128

6611n n a a a a ，解得⎩⎨⎧==6421n a a 或⎩⎨⎧==2641n a a 若a 1＝2，a n ＝64，则2·q n －1＝64

∴q n ＝32q

由S n ＝1261)321(21)1(1=--=--q

q q q a n ， 解得q ＝2，于是n ＝6

若a 1＝64，a n ＝2，则64·q n －

1＝2

∴q n ＝q 321 由S n ＝1261)3211(641)1(1=--=--q q q

q a n 解得q ＝21

，n ＝6

变式训练1.已知等比数列{a n }中，a 1·a 9＝64，a 3＋a 7＝20，则a 11＝ ．

解：64或1

由⎩⎨

⎧=+=⋅20647391a a a a ⇒⎩⎨⎧=+=20

647373a a a a 典型例题

基础过关

⇒⎩⎨⎧==41673a a 或⎩⎨⎧==16473a a ∴ q 2＝2

1或q 2＝2，∴ a 11＝a 7 q 2，∴ a 11＝64或a 11＝1 例2. 设等比数列{a n }的公比为q(q>0)，它的前n 项和为40，前2n 项和为3280，且前n 项中数值最大项为27，求数列的第2n 项．

解：若q ＝1，则na 1＝40，2na 1＝3280矛盾，∴ q≠1．∴ ⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧=--=--32801)1(401)1(211q q a q q a n n 两式相除得：q n ＝81，q ＝1＋2a 1

又∵q>0，∴ q>1，a 1>0

∴ {a n }是递增数列．

∴ a n ＝27＝a 1q n －1＝1

12181a a +⨯ 解得 a 1＝1，q ＝3，n ＝4

变式训练2.已知等比数列{a n }前n 项和S n ＝2n －1，{a n 2}前n 项和为T n ，求T n 的表达式． 解：(1) ∵a 1＋2a 22＝0，∴公比q ＝

2112-=a a 又∵S 4－S 2＝81，

将q ＝－21代入上式得a 1＝1，

∴a n ＝a 1q n －1＝(－21) n

－1 (n ∈N *) (2) a n ≥161⇒(－21) n －1≥(2

1)4 ⇒n≤5

∴原不等式的解为n ＝1或n ＝3或n ＝5．

例3. 有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数．

解：设这四个数为a －d ，a ，a ＋d ， a

d a 2)(+ 依题意有：⎪⎩

⎪⎨⎧=++=++-1216)(2

d a a a d a d a 解得：⎩⎨⎧==44d a 或 ⎩⎨⎧-==6

9d a ∴ 这四个数为0，4，8，16或15，9，3，1．

变式训练3.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，6636,324,144(6)n n S S S n -===>，则n 等于（ ）

A. 15

B. 16

C. 17

D. 18

答案： D 。解析：由6324,144n n S S -==得12345180n n n n n n a a a a a a -----+++++=，再由161()326,36,324,182

n n n n a a S a a S n +=∴+=∴==∴=。 例4. 已知函数f(x)＝(x －1)2，数列{a n }是公差为d 的等差数列，数列{b n }是公比为q 的等比数列(q ≠1)，若a 1＝f(d －1)，a 3＝f(d ＋1)， b 1＝f(q －1)，b 3＝f(q ＋1)，

(1) 求数列{a n }，{b n }的通项公式；

(2) 设数列{c n }对任意的自然数n 均有：12211)1(++=+++n n

n a n b c b c b c ，求数列{c n }前n 项和S n ． 解：(1) a 1＝(d －2)2，a 3＝d 2，a 3－a 1＝2d

即d 2－(d －2)2＝2d ，解之得d ＝2

∴a 1＝0，a n ＝2(n －1)

又b 1＝(q －2)2，b 3＝q 2，b 3＝b 1q 2

即q 2＝(q －2)2 q 2，解之得q ＝3

∴b 1＝1，b n ＝3n －

1

(2) 1134,4)1(-+⋅==-+=n n n n n n n c n na a n b C S n ＝C 1＋C 2＋C 3＋…＋C n

＝4(1×3°＋2×31＋3×32＋…＋n×3 n －

1)

设='n S 1×3°＋2×3´＋3×32＋…＋n×3 n －1 3='n S 1×31＋2×32＋3×33＋…＋n×3 n

－2='n S 1＋3＋32＋33＋…＋3 n －1－n×3 n ＝2

)13(1-n －3 n ·n 4

1332'--⋅=n n n n S ∴S n ＝2n·3n －3n ＋1

变式训练4.已知等差数列{a n }的首项a 1＝1，公差d>0，且第二项，第五项，第十四项分别是 等比数列{b n }的第二项，第三项，第四项．

⑴求数列{a n }与{b n }的通项公式；

⑵设数列{c n }对任意正整数n ，均有

1332211+=+⋯⋯+++n n n a b c b c b c b c ，求c 1＋c 2＋c 3＋…＋c 2007的值．

解：⑴由题意得（a 1＋d ）(a 1＋13d)＝(a 1＋4d)2(d>0) 解得d ＝2，∴a n ＝2n －1，b n ＝3n －1． ⑵当n ＝1时，c 1＝3 当n ≥2时，∵,1n n n n a a b c -=+∴⎩⎨⎧≥⋅==-)

2(32)1(31n n c n n 故132-⋅=n n c