用高等数学知识解初等函数问题

摘要：高等数学与初等数学在内容上、思维方式上存在着很大差异。但是，高等数学是受到初等数学的某些基本概念和问题的启示而发展起来的。因此，它们之间必然存在着某种联系。本文就这个问题，从多个方面来看某些中学数学问题。

关键词：高等数学；初等数学

With higher mathematics knowledge solution elementary function problem

Abstract: Higher mathematics and elementary mathematics in the content, the way of thinking that great differences exist between. However, the higher mathematics is the subject of elementary mathematics some basic concepts and the Enlightenment of the problem and development of the. Therefore, they should exist between contact. This paper discusses this issue from multiple perspectives, some middle school mathematical problems.

Key words: higher mathematics; Elementary Mathematics 1 引言

高等数学是高等师范院校的主要基础课之一，由于该学科本身具有高度抽象的特点，往往使学生感到望而生畏，学生总有这样一个看法，高等数学与初等数学所研究的内容相差甚远，学习高等数学对将来教初等数学作用不大，总感到用高等数学直接来解决或处理初等数学的问题太少。我们知道，初等数学与高等数学之间无论在观点还是在方法上都有着很大的区别。高等数学是初等数学的继续和提高，此外，初等数学里里的很多理论遗留问题必须在高等数学中才能得到澄清。

2 研究问题及成果

2.1高等数学知识解析初等数学中关于不等式的问题

证明不等式可以运用高等数学中的导数，运用地灵活性使用导数，把要证明的一元不等式通过构造函数，转化为f 关于x 的函数，再通过求f(x)的最值,实现对不等式证明。导数方法的运用，冲破了过去不等式的证明方法的局限，能够更加广泛解决不等式这一类问题。

一﹑ 换元后作差构造函数证明

例1（2007年，山东卷）证明：对任意的正整数n ，不等式

321

1)11l n (n

n n ->+ 都成立.

分析：若是仅仅依靠初等函数知识解答，很难，若是通过导数，

从所证结构出发，只需令x n

=1

，则问题转化为：当0>x 时，恒有32)1ln(x x x ->+成立，现构造函数)1ln()(23++-=x x x x h ，求导即可达到证明。

证明：令)1ln()(23++-=x x x x h ，

则1

)1(31123)(2

32

+-+=++-='x x x x x x x h ， 在),0(+∞∈x 上恒正，

所以函数)(x h 在),0(+∞上单调递增， ∴),0(+∞∈x 时，恒有，0)0()(=>h x h 即0)1ln(23>++-x x x ， ∴32)1ln(x x x ->+ 对任意正整数n ，

取3

211)11ln(),0(1

n n n

n

x ->

++∞∈=，则有 【重点】我们知道，当()F x 在[,]a b 上单调递增，则x a >时，有

()F x ()F a >．如果()f a ＝()a ϕ，要证明当x a >时，()f x >()x ϕ，那么，

只要令()F x ＝()f x －()x ϕ，就可以利用()F x 的单调增性来推导．也就是说，在()F x 可导的前提下，只要证明'()F x >０即可．

二﹑直接作差构造函数证明

例2已知函数.ln 2

1)(2x x x f += 求证：在区间),1(∞+上，函数)(x f 的图象在函数33

2)(x x g =的图象的下方；

分析：同样的，若是仅仅依靠初等数学知识是无法满足解决此类问题的需求的，运用高等数学知识，通过导数的使用，可以很容易的解决问题，从一方面说明了初等数学知识的局限性，这一题可以通

过两个函数式相减构造另一个新函数，对新函数求导，求最值，以此判断两个函数式的大小，从而解决不等式的问题。 证明：设)()()(x f x g x F -=，即x x x x F ln 2

132

)(23--=，

则x x x x F 12)(2

--='=x

x x x )

12)(1(2++-

当1>x 时，)(x F '=x

x x x )

12)(1(2++-

从而)(x F 在),1(∞+上为增函数，∴06

1)1()(>=>F x F ∴当1>x 时 0)()(>-x f x g ，即)()(x g x f <，

故在区间),1(∞+上，函数)(x f 的图象在函数33

2

)(x x g =的图象的下方。

【总结】最值证明在不等式中的应用,一般转化不等式(转化的思想)构造一个函数,(函数的思想方法)然后求这个函数的极(最)值,应用恒成立关系就可以证明,对于应用导数解决实践问题,关键是建立恰当的数学模型。

2.2利用高等数学知识解决初等数学中某些公式的推导

例1 证明：半径为R 的圆面积为2R π.

证明：解决方法一：已知圆心在坐标原点，半径为R 圆的方程是

222R y x =+显然，它关于坐标原点对称，故圆的面积为圆的第一象限

内的面积的4倍。故所求图形面积为

20

22

22

2

00

)arcsin 22(444R R R x R x R x dx x R ydx S a

a

π=+-=-==⎰

⎰