计算机运算方法
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11
任意进制转换为十进制
• 按权展开相加法：将任意进制的数各位数 码与它们的权值相乘，再把乘积相加，就 得到了一个十进制数。 例如： (11011.1)2=1×24+1×23+0×22+1×21+1×20+ 1 ×2-1 =27.5
12
十进制转换为任意进制
• 一个十进制数转换为任意进制数，常采用基 数乘除法。对于整数部分用除基取余法；对 于小数部分用乘基取整法，最后将整数部分 与小数部分的转换结果拼接起来。
4的整数倍，然后分别用对应的八进制或十
六进制取代。
9
八进制或十六进制转换成二进制
• 将每一位改为3 或4位二进制数即可（必要 时去掉整数最高位或者小数最低位的0）。
10
八进制与十六进制的转换
• 十六进制转换为八进制（或八进制转换为 十六进制）时，先将十六进制（八进制） 转换为二进制，然后由二进制转换为八进 制（十六进制）。
×
2
1.0000 1 最低位
故小数部分0.6875=(0.1011)2
所以，123.6875=(1111011.1011)2
18
2.1.2 BCD码
• 8421码 • 2421码 • 余3码
19
8421码
• 概念：8421 码是一种最为常用的有权码，设 其各位的数值为b3、b2、b1、b0，则权值从高 到低依次为 8、4、2、1，则它表示的十进制 数为D=8b3+4b2+2b1+1b0
• 二进制 • 八进制 • 十进制 • 十六进制 • 数制转换
3
二进制
• 概念：二进制是计算机技术中使用最广泛 的一种数制，使用0 和1两个数码来表示。
• 进位规则：“逢二进一”。 • 借位规则：“借一当二”。 • 表示方式：如(255) 10 =(11111111)2
4
八进制
• 概念：八进制由0～7 表示数码 • 进位规则：“逢八进一”。 • 借位规则：“借一当八”。 • 表示方式：如(12345670) 8、12345670Q。
5
十进制
• 概念：日常生活中的进位计数制都是十进制。 • 表示方法：如(1234567890)10、1234567890。
6
十六进制
• 概念:由0～9、A～F (a～f)表示数码, A～F (a～f)分别对应十进制的10～15。
• 进位规则：“逢十六进一”。 • 借位规则：“借一当十六”。 • 表示方式：如(1234567890ABCDEF)16 1234567890ABCDEFH、0x1234567890ABCDEF
大纲
• 2.1 数制与编码 • 2.2 数据的表示方法 • 2.3 定点数加减法运算 • 2.4 定点数乘法运算 • 2.5 定点数除法运算 • 2.6 浮点数算数运算 • 2.7 算数逻辑单元
1
2.1 数制与编码
• 2.1.1 数制及其转换 • 2.1.2 BCD码 • 2.1.3 校验码
2
2.1.1 数制及其转换
20
8421码相加
• 若其和小于或等于(1001)2，即(9)10，则不 需要修正
• 若其和大于或等于(1010)2，也即(10)10，则 需要加6修正（从 1010到1111这6个为Baidu Nhomakorabea效 编码，当运算结果落于这个区间时，需要 将运算结果加上6），并向高位进位，进位 可以在首次相加或修正时产生。
21
• 特点：大于等于5的4位二进制数中最高位为1， 小于5的最高位为0。 如：十进制数5的2421码是1011 而不是0101。
23
余3码
• 概念：余3码是一种无权码，是在8421码的 基础上加上(0011)2形成的。 如：十进制数8的余3码为1011。
24
2.1.3 校验码
• 概念：校验码是指能够发现或能够自动纠正错 误的数据编码，也称为检错纠错编码。
7
数制转换
• 二进制转换为八进制和十六进制 • 八进制或十六进制转换成二进制 • 八进制与十六进制的转换 • 任意进制转换为十进制 • 十进制转换为任意进制
8
二进制转换为八进制和十六进制
• 对于一个二进制混合数，在转换时应以小 数点为界。其整数部分，从小数点开始往
左将一串二进制数分为3 位（八进制）一组 或4位（十六进制） 一组，在数的最左边可 根据需要加“0”补齐；对于小数部分，从小 数点开始往右也将一串二进制数分为3位一 组或4位一组，在数的最右边也可根据需要 加“0”补齐。最终使总的位数成为3或
• 特点：可以检测出奇数位错误，但是不能确定出 错的位置，不能检测出偶数位错误。
• 实现方法：由若干位有效信息（如一个字节）， 再加上一个二进制位（校验位）组成校验码。
27
奇校验码
• 整个校验码（包含有效信息位和校验位） 中“1”的个数为奇数。
28
13
除基取余法
• 除基取余法（整数部分的转换）：整数部分除基 取余，先余为低，后余为高，商为0时结束。
14
乘基取整法
• 乘基取整法（小数部分的转换）：小数部分乘 基取整，先整为高，后整为低乘积为 0（或满 足精度要求）时结束。
15
例2-1
• 将十进制数123.6875转换成二进制数。
16
解答
• 整数部分：
除基
21 2 3 2 61 2 30 2 15 27 23 21 0
取余
1 1 0 1 1 1 1
最低位 最高位
故整数部分123=(1111011)2
17
解答
• 小数部分：乘基取整
0.6875
×
2
1.3750 1 最高位
0.3750
×
2
0.7500 0
×
2
1.5000 1
0.5000
• 原理：通过增加一些冗余码来检验或纠错编码 。
• 校验码的码距：任意两个合法码字之间各位值 不同的二进制位数的最小值，称为数据校验码 的码距。
25
三种常见校验码
• 奇偶校验码 • 海明校验码 • 循环冗余校验（CRC）码
26
奇偶校验码
• 概念：该编码是在原编码的基础上再加一个校验 位（一般位于原编码的最左边或最右边），它的 码距等于 2。
例子
• 1+8=9
0001 + 1000
1001 不需要修正
4+9=13 0100
+ 1001 1101
+ 0110 修正 10011 进位
9+7=16 1001 + 0111 10000 进位 + 0110 修正 10110
22
2421码
• 概念：2421码也是一种有权码，权值由高到低 分别为2、4、2、1。
任意进制转换为十进制
• 按权展开相加法：将任意进制的数各位数 码与它们的权值相乘，再把乘积相加，就 得到了一个十进制数。 例如： (11011.1)2=1×24+1×23+0×22+1×21+1×20+ 1 ×2-1 =27.5
12
十进制转换为任意进制
• 一个十进制数转换为任意进制数，常采用基 数乘除法。对于整数部分用除基取余法；对 于小数部分用乘基取整法，最后将整数部分 与小数部分的转换结果拼接起来。
4的整数倍，然后分别用对应的八进制或十
六进制取代。
9
八进制或十六进制转换成二进制
• 将每一位改为3 或4位二进制数即可（必要 时去掉整数最高位或者小数最低位的0）。
10
八进制与十六进制的转换
• 十六进制转换为八进制（或八进制转换为 十六进制）时，先将十六进制（八进制） 转换为二进制，然后由二进制转换为八进 制（十六进制）。
×
2
1.0000 1 最低位
故小数部分0.6875=(0.1011)2
所以，123.6875=(1111011.1011)2
18
2.1.2 BCD码
• 8421码 • 2421码 • 余3码
19
8421码
• 概念：8421 码是一种最为常用的有权码，设 其各位的数值为b3、b2、b1、b0，则权值从高 到低依次为 8、4、2、1，则它表示的十进制 数为D=8b3+4b2+2b1+1b0
• 二进制 • 八进制 • 十进制 • 十六进制 • 数制转换
3
二进制
• 概念：二进制是计算机技术中使用最广泛 的一种数制，使用0 和1两个数码来表示。
• 进位规则：“逢二进一”。 • 借位规则：“借一当二”。 • 表示方式：如(255) 10 =(11111111)2
4
八进制
• 概念：八进制由0～7 表示数码 • 进位规则：“逢八进一”。 • 借位规则：“借一当八”。 • 表示方式：如(12345670) 8、12345670Q。
5
十进制
• 概念：日常生活中的进位计数制都是十进制。 • 表示方法：如(1234567890)10、1234567890。
6
十六进制
• 概念:由0～9、A～F (a～f)表示数码, A～F (a～f)分别对应十进制的10～15。
• 进位规则：“逢十六进一”。 • 借位规则：“借一当十六”。 • 表示方式：如(1234567890ABCDEF)16 1234567890ABCDEFH、0x1234567890ABCDEF
大纲
• 2.1 数制与编码 • 2.2 数据的表示方法 • 2.3 定点数加减法运算 • 2.4 定点数乘法运算 • 2.5 定点数除法运算 • 2.6 浮点数算数运算 • 2.7 算数逻辑单元
1
2.1 数制与编码
• 2.1.1 数制及其转换 • 2.1.2 BCD码 • 2.1.3 校验码
2
2.1.1 数制及其转换
20
8421码相加
• 若其和小于或等于(1001)2，即(9)10，则不 需要修正
• 若其和大于或等于(1010)2，也即(10)10，则 需要加6修正（从 1010到1111这6个为Baidu Nhomakorabea效 编码，当运算结果落于这个区间时，需要 将运算结果加上6），并向高位进位，进位 可以在首次相加或修正时产生。
21
• 特点：大于等于5的4位二进制数中最高位为1， 小于5的最高位为0。 如：十进制数5的2421码是1011 而不是0101。
23
余3码
• 概念：余3码是一种无权码，是在8421码的 基础上加上(0011)2形成的。 如：十进制数8的余3码为1011。
24
2.1.3 校验码
• 概念：校验码是指能够发现或能够自动纠正错 误的数据编码，也称为检错纠错编码。
7
数制转换
• 二进制转换为八进制和十六进制 • 八进制或十六进制转换成二进制 • 八进制与十六进制的转换 • 任意进制转换为十进制 • 十进制转换为任意进制
8
二进制转换为八进制和十六进制
• 对于一个二进制混合数，在转换时应以小 数点为界。其整数部分，从小数点开始往
左将一串二进制数分为3 位（八进制）一组 或4位（十六进制） 一组，在数的最左边可 根据需要加“0”补齐；对于小数部分，从小 数点开始往右也将一串二进制数分为3位一 组或4位一组，在数的最右边也可根据需要 加“0”补齐。最终使总的位数成为3或
• 特点：可以检测出奇数位错误，但是不能确定出 错的位置，不能检测出偶数位错误。
• 实现方法：由若干位有效信息（如一个字节）， 再加上一个二进制位（校验位）组成校验码。
27
奇校验码
• 整个校验码（包含有效信息位和校验位） 中“1”的个数为奇数。
28
13
除基取余法
• 除基取余法（整数部分的转换）：整数部分除基 取余，先余为低，后余为高，商为0时结束。
14
乘基取整法
• 乘基取整法（小数部分的转换）：小数部分乘 基取整，先整为高，后整为低乘积为 0（或满 足精度要求）时结束。
15
例2-1
• 将十进制数123.6875转换成二进制数。
16
解答
• 整数部分：
除基
21 2 3 2 61 2 30 2 15 27 23 21 0
取余
1 1 0 1 1 1 1
最低位 最高位
故整数部分123=(1111011)2
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解答
• 小数部分：乘基取整
0.6875
×
2
1.3750 1 最高位
0.3750
×
2
0.7500 0
×
2
1.5000 1
0.5000
• 原理：通过增加一些冗余码来检验或纠错编码 。
• 校验码的码距：任意两个合法码字之间各位值 不同的二进制位数的最小值，称为数据校验码 的码距。
25
三种常见校验码
• 奇偶校验码 • 海明校验码 • 循环冗余校验（CRC）码
26
奇偶校验码
• 概念：该编码是在原编码的基础上再加一个校验 位（一般位于原编码的最左边或最右边），它的 码距等于 2。
例子
• 1+8=9
0001 + 1000
1001 不需要修正
4+9=13 0100
+ 1001 1101
+ 0110 修正 10011 进位
9+7=16 1001 + 0111 10000 进位 + 0110 修正 10110
22
2421码
• 概念：2421码也是一种有权码，权值由高到低 分别为2、4、2、1。