概率统计作业参考答案

令
P{|U | u /2} 1
[ u u ] 解得 的置信区间
X n
,
2
X n
2
0.05, n
9, x
1 9
9 i1
xi
6, s
1 9 1
9 i1
(xi
x)2
0.574,
u0.025 1.96, 得的置信度为0.95的置信区间为：
[6 0.6 1.96, 6 0.6 1.96] [5.608, 6.392]
解：由于方差已知，选取枢轴变量U X ~ N(0,1) / n
令
P{|U | u /2} 1
则总体均值的置信度为 1-α 的置信区间为：
[X
n
u
2
,
X
n
u
2
]
区间长度为： 2
n
u
2
L
n
(2u
2
)2 L
4 2 L2
(u
2
)2
10. 设某地区男、女身高Ｘ、Ｙ相互独立，均服从正态分布且方差相等，随机抽取成人男、
3
3
2) 需估计， 2 未知，故选枢轴变量：T X ~ t(n 1) Sn
令
P{| T | t /2(n 1)} 1
[ t t ] 解得 的置信区间
X S (n 1), X S (n 1)
n 2
n 2
0.05, n
9,
x
1 9
9 i1
xi
6, s
1 9 1
9 i1
(xi
x)2
0.574,
ln L ln 4 6 ln 2 ln(1 ) 4 ln(1 2 )
令 d ln L 6 2 8 0 12 2 14 3 0 ， d 1 1 2
注意 0 1/ 2 ，得 的极大似然估计值ˆ 7 13 0.2829 12
n 1
4. 设总体 X ~ N(, 2) ，X1, X2,, Xn 为其样本，试求常数Ｃ使 C ( Xi1 Xi )2 为 2 的 i 1
11. 设有 A, B 两位化验员对某种聚合物的含氯量用同样的方法各做 10 次测定，由测量值分
别算得
s12
0.5419,
s22
0.6065
，设总体均为正态分布，求方差比12
/
2 2
的置信度
95%
的置信区间。
解：设 A 化验员所检验聚合物的含氯量 X ~ N(1,12) ，B 化验员所检验聚合物的含氯量
p p2 n 2
0
7. 设某种清漆的干燥时间（小时）服从正态分布 N(, 2) ，现有一组样本观测值：
6.0, 5.7, 5.8, 6.5, 7.0, 6.3, 5.6, 6.1, 5.0
求 的置信度为 0.95 的置信区间。（１）已知 0.6 ；（２） 未知。
解： 1)需估计， 2已知，故选枢轴变量：U X ~ N(0,1) n
[ ] 得
2 1
的置信区间
2 2
S12 S22
Fα
(
n1
1 1, n2
1
)
,
S12 S22
F 1-
α
(
n1
1 1, n2
1)
2
2
代入
n1
n2
10, s12
0.5419,
s22
0.6065
0.05, F0.025(9,9)
4.03, F0.975(9,9)
1 F0.025(9,9)
0.248 ，
解：设 X 为产品的月销售量，服从正态分布 N(, 2 ) ，其样本为 X1,, X7 ，
要估计总体方差，均值未知，选取枢轴变量
2
(n 1)S2 2
~
2(n 1)
令
P{
2 1
/
2 (n
1)
2
2
/ 2(n
1)}
1
解得 2 的置信区间
(n 1)S 2
[
2
/
2
(n
1)
,
(n 1)S 2
2 1
/
2
(n
( X12
X 22
Xn2)
是参数
p
的相合估计量
注：也可用切比雪夫不等式直接证明
E(T)
1 n
n i 1
E(Xi2)
1 n
n i 1
E(X
2)
p
，
D(T)
1 n2
n
D(Xi2 )
i1
1 n2
n i1
D( X
2)
1 n2
n
(p p2)
i1
p p2 n
P{| T
p | }
D(T ) 2
(
X
- Y) - (μ1 -
Sw
1+ 1 n1 n2
μ2
)
α(n1 + n2 - 2)} = 1 - α
2
t t 得
1
2
的置信区间
X
-Y
-
α(n1 + n2 - 2)Sw
2
1+ 1 n1 n2
, X -Y +
α(n1 + n2 - 2)Sw
2
1+ 1 n1 n2
代入 n1 n2 100, 0.05,t0.025(18) 2.1009 ，x 1.71m, s1 0.035m ，y 1.67m, s2 0.038m sw 0.0365 ，得具体置信区间[0.0346,0.0454]
大似然估计量。
解：总体分布律写成 P{X x} (1 p)x1 p (0 p 1), x 1,2,3,
似然函数
n
L( p)
n
(1 p)xi 1 p
xi n pn (1 p) i1 ,
xi 1,2,3,...(i 1,...,n)
i 1
ln
L
n ln
p
n
i 1
xi
n ln(1
p)
n
令
d ln L dp
T
=
(
X
-Y) - (μ1 -
Sw
1+ 1 n1 n2
μ2
)
~
t(n1
+
n2
-
2)
其中，Sw =
n1
n2
(Xi - X )2 + (Yj -Y )2
i=1
j=1
=
n1 + n2 - 2
(n1 - 1)S12 + (n2 - 1)S22 n1 + n2 - 2
令
t t P{-
α (n1
2
+
n2
-
2)
n p
xi
i 1
1
n p
0 ，得
p
的极大似然估计值
pˆ
1 n
n
xi
i 1
x
3. 设总体Ｘ的分布律为：
X
0
1
2
3
p
θ2
2θ(1-θ)
θ2
1-2θ
其中 0 1/ 2 为未知参数，利用如下样本值：3, 1, 3, 0, 3, 1, 2, 3 求θ的矩
估计值和最大似然估计值。
解：矩估计： E(X ) 2(1) 2 2 3(1 2) 3 4
得具体置信区间 [0.2216, 3.6008]
12. 从某型号的一批电子管中抽出容量为 10 的样本做寿命试验，算得 s 45 （小时），设整
批电子管的寿命服从正态分布，试求这批电子管寿命标准差的单侧置信上限（置信度为 0.95）。
解：设电子管寿命 X ~ N(, 2) ，要估计 2 ， 未知，
X2)
2 3
E(X
)
1 3
E(X
)
E(ˆ 2 )
E(1 2
X1
1 2
X2)
1 2
E( X1)
1 2
E(
X2)
1 2
E(
X
)
1 2
E(X
)
E (ˆ3 )
E(1 3
X1
1 2
X
2
)
1 3
E(
X1)
1 2
E(
X
2
)
1 3
E(
X
)
1 2
E(
X
)
5 6Leabharlann Baidu
故只有 ˆ1, ˆ2 是 的无偏估计量，下面对它们考察有效性
t0.025(8) 2.306, 得的置信度为0.95的置信区间为：
[6 0.574 2.306, 6 0.574 2.306] [5.558, 6.442]
3
3
8. 某商店一种产品的月销售量服从正态分布 N(, 2 ) ，随机抽取 7 个月的销售量观察：
64, 57, 49, 81, 76, 70, 59, 求 2 的置信度为 0.9 的置信区间。
第7章
1. 设总体 的概率密度为
f
(x)
x 2
ex2
, /(2 2 )
x 0，
0,
x0
求参数 的矩估计量和极大似然估计量。
解：矩估计
E()
xf (x)dx
x
0
x
2
e dx x2 /(2 2)
0
xdex2 /(2 2)
ex2 /(22)dx
e d
1 x 2 2
x
2
1)
]
由样本观测值算得 s2
126.4762，
0.1，
2 0.05
(6)
12.592,
20.95(6)
1.635
，
故置信区间为
[
(n
2
1)S 2 / 2(n 1)
,
(n 1)S 2
2 1
/
2
(n
1)
]
＝[
60.27,
464.13]
9. 对方差 2 为已知的正态总体，问：需取容量ｎ为多大的样本才能使总体均值的置信度 1 的置信区间长度不大于Ｌ？
0
0
2
令 E( ) 2 ，得 的矩估计量ˆ 2
2
极大似然估计：设样本观测值为 x1, x2,, xn
n
似然函数
L(
)
i1
x e i xi2 /(2 2 ) 2
0,
2ne
1
2 2
n i1
xi 2
n i 1
xi ,
xi 0(i 1,...,n) 其它
当
xi
0(i
1,...,n) 时， ln
无偏估计量。
n1
n1
解： E(C
( Xi1 X i )2 ) C
[
E(
X
i21 )
2E(
X
i1
X
i
)
E(
X
2 i
)]
i1
i1
n1
C [D( Xi1) E2 ( Xi1)] 2E( Xi1)E( Xi ) [D( Xi ) E2 ( Xi )]
i1
C[(n 1) 2 (n 1)2 2(n 1)2 (n 1) 2 (n 1)2]
L
2n ln
1 2 2
n
xi
2
i 1
n
ln
i 1
xi
令
d ln L d
2n
1 3
n
i 1
xi 2
0
得 的极大似然估计值
ˆ
1 2n
n
xi
2
i 1
，极大似然估计量ˆ
1 2n
n
i
i 1
2
2. 设总体Ｘ服从几何分布： P{X k} (1 p)k1 p (0 p 1), k 1,2,3,。求 p 的极
令 E(X ) 3 4 X 得θ的矩估计量ˆ 3 X ，代入样本观测值得矩估计值ˆ 1
4
4
极大似然估计：似然函数为
L( ) P{X1 3, X2 1, X3 3, X4 0, X5 3, X6 1, X7 2, X8 3} P{X1 3}P{X2 1}P{X8 3} 2[2 (1 )]2 2(1 2 )4 4 6(1 )2(1 2 )4
证明： X ~ B(1, p) E(X 2) p
由
X1,
X
2
,X
n
的独立同分布性可知
X12
,
X
2 2
,
X
2 n
仍然独立同分布，满足独立同分布大数
定律的条件，而 E(T )
1 n
n i 1
E(Xi2)
1 n
n
E(X
i 1
2)
p故
T
1 n
(
X12
X 22
X
2 n
)
p
p(n
)
即统计量 T
1 n
C 2(n 1) 2 2
C 1 2(n 1)
5. 设总体 X ~ N (,1) ，X1, X2 为其样本，问：估计量
ˆ1
2 3
X1
1 3
X2,
ˆ2
1 2
X1
1 2
X2,
ˆ3
1 3
X1
1 2
X
2
中，哪一个是
的较有效的估计量？
解：
E(ˆ1)
E(
2 3
X1
1 3
X2)
2 3
E( X1)
1 3
E(
女 各 100 名 ， 测 量 并 计 算 得 男 子 身 高 x 1.71m, s1 0.0 3 5m ， 女 子 身 高
y 1.67m, s2 0.038m 。求男、女平均身高之差的置信度 0.95 的置信区间。
解：设 X ~ N(1, 2) ，Y ~ N(2, 2) ，Ｘ、Ｙ相互独立 要估计 1 2 ，两总体方差未知但相等，选取枢轴变量
D(ˆ1)
D( 2 3
X1
1 3
X2)
4 9
D( X1)
1 9
D(
X2)
5 9
D(ˆ2
)
D( 1 2
X1
1 2
X2)
1 4
D( X1)
1 4
D(
X2)
1 2
ˆ2 比较有效。
6.
设总体
X
~
B(1,
p) ，X1, X2,Xn 为其样本，验证统计量T
1 n
( X12
X
2 2
Xn2)
是
参数 p 的相合估计量。
选取枢轴变量 2
(n 1)S2 2
~
2(n 1)
令
P{
2
2 1
(n
1)}
1
解得 2 的单侧置信上限 (n 1)S 2
2 1
(n
1)
由 n 10, s 45, 0.05 20.95(9) 3.325 ，算得 2 的单侧置信上限值 5481.2， 的单侧
置信上限值 74.04
Y
~
N
(2
,
2 2
)
，Ｘ、Ｙ相互独立
要估计 12
/
2 2
，两总体均值未知，选取枢轴变量
F
=
S12 S22
σ12 σ22
=
σ
2 2
σ12
S12 S22
~ F(n1
- 1,n2
- 1)
令
P{F 1-
α
(n1
2
- 1,n2
- 1)
σ
2 2
σ12
S12 S22
Fα (n1
2
- 1,n2
- 1)} = 1 - α