梯形的性质和判定

C
D
在同一底上的两个角相等的
梯形是等腰梯形。
8
C
例1、求证：两条对角线相等的梯形是等腰梯形.
已知：在梯形ABCD中，AD∥BC， AC=BD ，
求证： 四边形ABCD是等腰梯形
证明：过点D作DE∥AC交
A
D
BC的延长线于点E
∵ AD∥BC ， DE∥AC ∴四边形ACED为平行四边形.
O
∴ AC＝DE，∠ACB=∠E B
一、判断
1、有一组对边平行的四边形是梯形( × ) 2、等腰梯形的两个底角相等( × ) 3、等腰梯形的两条对角线相等( √ )
二、选择
１、对于等腰梯形，下列结论错误的是( B ) A.只有一组相等的对边 B.只有一对相等的内角
C.只有一条对称轴
D.两条对角线相等
２、有两个角相等的梯形是（ C ）
AD∥BC, AB=CD (2)角：同一底边上的两个内角相等 ∠A= ∠D, ∠B= ∠C
(3)对角线：对角线相等 AC=BD
(4)对称性：轴对称图形
等腰梯形
直角梯形
A
D
B
C
在四边形ABCD中，AB∥CD，但AB≠CD的
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
条件下，老师说下列四个图形都是等腰梯形，
你相信吗?
A
B
A
B
3
3
D
C
D
C
A
B
A
B
2、判定定理：
在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形。
已知：在梯形ABCD中，AD∥BC， ∠B＝∠C ，
求证：四边形ABCD是等腰梯形。
证明：过点D作DE∥AB交BC于点E A
D
∵DE∥AB ∴∠1＝∠B.
又∵∠B＝∠C ∴∠1＝∠C ∴ DC＝DE
又 ∵ AD∥BC ， DE∥AB ∴四边形ABED为平行四边形.
A．等腰梯形
B．直角梯形
C．等腰梯形或直角梯形 D．一般梯形
知识应用
例1.如图,延长等腰梯形ABCD的两腰BA与CD,相 交于点E.试说明△EBC和△EAD都是等腰三角形.
E
解:在等腰梯形ABCD中,
∠B=∠C
A
D
(等腰梯形同一底边上的两个内角相等)
∴EB=EC (等角对等边)
B
C ∴△EBC是等腰三角形.
AE＝DC＝5(平行四边形的对边相等)，
∴ EB＝AB-AE＝8-5＝3．
B
于是△CEB的周长为 CE+EB+BC＝6+3+6＝15．
练一练
1.梯形ABCD中,如果DC∥AB,AD=BC,
∠A=60°,DB⊥AD.
(1)∠DBC= 30°,∠C= 120°;
(2)CD和BC相等吗?为什么?
D
C
A
B
2.如图,在等腰梯形ABCD中,AB∥DC,E是DC延 长线上的一点,BE=BC,试说明∠A和∠E的关系.
D
C
E
A
B
拓展练习
在等腰梯形ABCD中，AD ∥ BC, ∠C=60°,AD=10,AB=14,求BC的长.
A
D
B
E
C
1.梯形的定义及类型：
只有一组对边平行
四边形
梯形
2.等腰梯形的性质 (1)边：两底平行,两腰相等
过点D作DF⊥BC于点F
过顶点作高线是梯形 常用的辅助线。
A
D
B
C
延长两腰BA、CD相交于点E
延长两腰是梯形常用
的辅助线。
在四边形ABCD中，AB∥CD，但AB≠CD的
条件下，老师说下列四个图形都是等腰梯形，
你相信吗?
A
B
A
B
3
3
D
C
D
两腰相等的梯形是等腰梯形。
A
B
不能确定 C
A
B
60°
60°
8
D
19.3 梯形的性质
上面的几幅图中有你熟悉的图形吗?
底角 上底
腰
高
回顾:什么叫
腰
梯形?
下底 底角 只有一组对边平行的四边形,叫做梯形。
AD∥BC
A
D
观察
CD⊥BC
B
CC
有一个角是直角的梯形叫做直角梯形。
AD∥BC
A
D
观察
AB=CD
B
CC
两腰相等的梯形叫做等腰梯形。
二.做一做：步骤：
1.在方格纸上画一个等腰梯形ABCD；
1
B
E
C
过点D作DE∥AB
交BC于点E
∴ AB＝DE ∴ AB＝DC ∴四边形ABCD为等腰梯形.
平移一腰是梯形 常用的辅助线。
等腰梯形的判定：
2、判定定理：
在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形。
已知：在梯形ABCD中，AD∥BC， ∠B＝∠C ，
求证：四边形ABCD是等腰梯形。
E
A
D
BE
FC
过点A作AE⊥BC于点E
议一议
如图，四边形ABCD是等腰梯 A 形，将腰AB平移到DE的位置 =
/
D
==
B
/E
C
（1）DE把四边形ABCD分成了怎样的两个图形？
平行四边形ABED和等腰三角形DEC
（2）图中有哪些相等的线段，相等的角？ AB=DE=CD AD=BE ∠ABE=∠DEC=∠DCE=∠ADE ∠BAD=∠ADC=∠DEB
CE
又∵ AC=BD ∴ BD＝DE
平移一对角线是梯
∴∠E＝∠DBC. ∴∠ACB＝∠DBC.形常用的辅助线。
在△ABC和△DCB中
AC＝DB
∴△ABC≌△DCB (SAS)
∠ACB＝∠DBC. BC＝CB
∴AB＝DC ∴梯形ABCD是等腰梯形
梯形中常用的辅助线
想一想
A2 D
B 1、如图，在 等腰梯形ABCD中，
AD=2, BC=4, 高DF=2，求腰的长. A
2 C
4E F 1 D
BE
C F
2、已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠1=∠2。 求证：四边形ABCD是等腰梯形。
证明：过点D作DE∥AC，与BC的延长线
交于点E
得到平行四边形ACED。
A
D
∴ AC∥DE且AC=DE
60° D
60° C
88
D
C
等腰梯形的判定：
1、定义判定： 两腰相等的梯形是等腰梯形。
四边形ABCD中，AB∥CD， 但AB≠CD的条件下，右图是 等腰梯形吗?
∵AB∥CD，AB≠CD ∴ 四边形ABCD是梯形
A 3
D
B 3
C
又∵AD=BC=3 ∴ 四边形ABCD是等腰梯形
梯形的证明
等腰梯形的判定：
又∵AB=CD
∴EA=ED
∴△EAD是等腰三角形.
例2.如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC， CE∥DA．已知AB＝8， DC＝5， DA＝6，求 △CEB 的周长．
D
A
E
解:在等腰梯形ABCD中，CB＝DA＝6．
C
又∵ AB∥DC， CE∥DA，
∴ 四边形AECD是平行四边形，
∴ CE＝DA＝CB＝6，
2.连结对角线AC、BD；
3.过两底边AD、BC的中点E、F画一条直线；
4.将等腰梯形ABCD沿直线EF对折.
你发现了什么？
A ED
B
F
C
翻折
合作探究:
等腰梯形有什么性质？
等腰梯形的性质：
A
D
O
（1）对称性 轴对称图形.
B
C
对称轴——两底中点所在直线
（2）边 两底边平行，两腰相等.
（3）角 同一底边上的两个内角相等. （4）对角线 等腰梯形的两条对角线相等.