八年级数学上册第十二章 典型例题讲解

第十二章全等三角形

【典型例题讲解】

拓展天地（1）

如图是国旗上的五角星图案，则图中共有全等三角形()．

A．10对B．15对C．20对D．25对

【解析】由于国旗上的五角星是一个对称的图形，图中五个小三角形都全等，五个大三角形也都全等．五个小三角形中任意两个都全等，共有10对全等三角形，五个大三角形中任意两个也都全等，也有10对全等三角形．因此图中共有20对全等三角形．【答案】C

拓展天地（2）

如图所示，AD＝BC，AC＝BD，求证AB∥CD.

【解析】已知条件中只有两边分别相等，还缺少一个条件，要学会发现图中的隐含条件(公共边AB或CD)，以及两对全等三角形(△ABC≌△BAD和△ACD≌△BDC)，综合应用四边形内角和定理和平行线的判定方法等知识．

【解】如图所示，在△ABC和△BAD中，BC＝AD，AC＝BD，AB＝BA，

∴△ABC≌△BAD(SSS)，∴∠1＝∠2.

同理可得∠3＝∠4，即得∠DAB＝∠CBA.同理，∠ADC＝∠BCD.

∵∠DAB＋∠ABC＋∠BCD＋∠CDA＝360°，

∴2(∠CDA＋∠DAB)＝360°，

∴∠CDA＋∠DAB＝180°，∴AB∥CD.

拓展天地（3）

如图所示，已知C 是BD 的中点，AC ＝CE ，∠1＝∠2，求证∠3＝∠4.

【解析】 本题已知条件中，隐含着两对全等三角形：△ABC 与△EDC ，△EBC 与△ADC. 由此可推出AB ＝ED ，BE ＝DA ，由“SSS ”可推出△ABE ≌△EDA ，进而得出∠3＝∠4.

【证明】 ∵C 是BD 的中点，∴BC ＝DC ，

在△ABC 和△EDC 中，AC ＝CE ，∠1＝∠2，BC ＝DC ，

∴△ABC ≌△EDC(SAS)，∴AB ＝ED .

∵∠1＝∠2，∴∠1＋∠ACE ＝∠2＋∠ACE ，即∠BCE ＝∠DCA ，

在△EBC 和△ADC 中，AC ＝CE ，∠BCE ＝∠DCA ，BC ＝DC ，

∴△EBC ≌△ADC (SAS)，∴BE ＝DA .

在△ABE 和△EDA 中，AB ＝ED ，BE ＝DA ，AE ＝EA ，

∴△ABE ≌△EDA (SSS)．∴∠3＝∠4.

拓展天地（4）

如图，四边形ABCD 中，AC ，BD 相交于点O ，∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证AB ∥CD .

【解析】 要证明AB ∥CD ，结合图形，可考虑利用“同旁内角互补，两直线平行”来证明，由∠1＝∠2，∠3＝∠4，一方面可导出∠DAB ＝∠CBA ，另一方面隐含了△ABD ≌△BAC ，由此可推得AD ＝BC ，AC ＝BD.继而又得出一对全等三角形：△ACD ≌△BDC ，可推出∠ADC ＝∠BCD ，这样就满足了“同旁内角互补”的条件．

【证明】 ∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴∠1＋∠3＝∠2＋∠4，即∠DAB ＝∠CBA.

在△ABD 和△BAC 中，⎩⎨⎧∠4＝∠3，

AB ＝BA ，∠DAB ＝∠CBA ，

∴△ABD ≌△BAC(ASA)，∴AD ＝BC ，AC ＝BD .

在△ACD 和△BDC 中，⎩⎨⎧AD ＝BC ，

∠1＝∠2，AC ＝BD ，

∴△ACD ≌△BDC (SAS)，∴∠ADC ＝∠BCD .

又∵∠DAB ＝∠CBA ，∠ADC ＋∠BCD ＋∠DAB ＋∠CBA ＝360°，

∴∠ADC ＋∠DAB ＝180°，∴AB ∥CD .

拓展天地（5）

如图，点A ，B 分别在∠MON 的边ON ，OM 上，AC ⊥ON 于点A 交OM 于点C ，BD ⊥OM 于点B 交ON 于点D ，AC ，BD 相交于点E ，连接CD ，OE 的延长线交CD 于点F ，若OA ＝OB .求证F 是CD 的中点．

【解析】 欲证F 是CD 的中点，可以从两方面入手，(1)证明△OFC ≌△OFD.(2)证明△CEF ≌△DEF.这两对三角形现有的条件都只是一公共边相等．根据AC ⊥ON ，BD ⊥OM 及OA ＝OB ，可由“HL ”得出△OAE ≌△OBE ，进而推得△BEC ≌△AED ，最后推出△OFC ≌△OFD .

【解】 ∵AC ⊥ON ，BD ⊥OM ，∴∠OBE ＝∠OAE ＝90°，

在Rt △OAE 和Rt △OBE 中，⎩⎨⎧OE ＝OE ，OA ＝OB ，

∴Rt △OAE ≌Rt △OBE (HL )，∴∠1＝∠2，AE ＝BE .

∵AC ⊥ON ，BD ⊥OM ，∴∠EBC ＝∠EAD ＝90°，

在△EBC 和△EAD 中， ⎩⎨⎧∠EBC ＝∠EAD ，

BE ＝AE ，∠3＝∠4，

∴△EBC ≌△EAD (ASA)，∴BC ＝AD .

又∵OA ＝OB ，∴OC ＝OD ，

在△OFC 和△OFD 中， ⎩⎨⎧OC ＝OD ，∠1＝∠2，OF ＝OF ，

∴△OFC ≌△OFD (SAS), ∴CF ＝DF ，∴F 是CD 的中点．

拓展天地（6）

如图， AB ，BC ，CA 是相互交叉的三条笔直的公路，现要建一个货物中转站，使该站到三条公路的距离相等，则符合要求的选址( )．

A．是点A，B，C中的任意一个

B．AB，BC，CA中点中的任一个

C．只有∠ABC和∠ACB的角的平分线相交点一处

D．符合条件的选址点共有四处

【解析】选项A中转站选在点A，则它到公路AC、AB的距离为0，而到公路BC的距离却不为0；选项B中选AB中点，则到公路AB的距离为0，而到其他两条公路的距离不为0；选项C中∠ABC和∠ACB的角平分线相交点虽然符合要求，但∠BAC和∠ABC外角平分线的交点也符合要求，同理∠BAC和∠ACB外角平分线的交点、∠ACB和∠ABC外角平分线的交点也都符合要求．

【答案】D

拓展天地（7）

如图，C，D是射线OA上两点，E，F是射线OB上两点，且OC＝OE，OD＝OF，CF，DE相交于点M，求证OM平分∠AOB.

【解析】图中隐含△OCF≌△OED，可得∠ODE＝∠OFC，加上对顶角∠CMD＝∠EMF，推得△CDM≌△EFM，得CM＝EM，最后由△OCM≌△OEM，得∠OMC＝∠OME，从而得OM平分∠AOB.

【证明】∵OC＝OE，∠COF＝∠EOD，OD＝OF，

∴△OCF≌△OED(SAS)，∴∠ODE＝∠OFC.

由OC＝OE，OD＝OF得CD＝EF，

又∵∠CMD＝∠EMF，∴△CDM≌△EFM(AAS)，

∴CM＝EM.在△OCM和△OEM中，

OC＝OE，CM＝EM，OM＝OM，

∴△OCM≌△OEM(SSS)，∴∠OMC＝∠OME，∴OM平分∠AOB.