高一数学 基本初等函数(对、指、幂函数)高考考纲及典型例题高考真题解析

1 1 , y x 2 的图像,了解它们的变化情况. x
二、重点知识总结
1.指数与指数幂运算 （1）①
a
n n n
n
a. a , 当n是奇数时 . a , 当n是偶数时
② a
（2）分数指数幂 ①a ②a
m n
n a m （ a 0 , m, n N * ,且 n 1 ）
在定义域上单调增
在定义域上单调减
两个图象关于 y 轴对称，即 y a x 与 y a x 图象关于 y 轴对称
a 越大, x 0 时图象越接近于 y 轴 x 0 时 y 1； x 0 时 0 y 1
a 越小, x 0 时图象越接近于 y 轴 x 0 时 0 y 1； x 0 时 y 1
x x 2 2x 2 x 4 1 4 a a 2 1
.
2
a 3 3a
【法二】 8 x 8 x 2 x
2
3 2
x 3
2 2 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 来自百度文库
渐近线为： y 0
3.对数定义及性质 （1）定义： a b N
b log a N （ a 0 且 a 1 , N 0 ）
（2）基本性质： log a 1 0 ； log a a 1 ； a log a N N ； log a a x x （3）运算性质 如果 a 0 且 a 1 , M 、 N 0 ，则 ① log a M N log a M log a N ② log a
数学必修一 基本初等函数（Ⅰ） 高考考纲、重点知识点总结、典型例题及高考真题详解
一、高考考纲
1.指数函数 (1)了解指数函数模型的实际背景. (2)理解有理指数幂的含义,了解实数指数幂的意义,掌握幂的运算. (3)理解指数函数的概念,理解指数函数的单调性,掌握指数函数图像通过的特殊点. (4)知道指数函数是一类重要的函数模型. 2.对数函数 (1)理解对数的概念及其运算性质,知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对 数在简化运算中的作用. (2)理解对数函数的概念,理解对数函数的单调性,掌握对数函数图像通过的特殊点. (3)知道对数函数是一类重要的函数模型. (4)了解指数函数 y a x 与对数函数 y log a x 互为反函数( a 0且a 1 ). 3.幂函数 (1)了解幂函数的概念. (2)结合函数 y x, y x 2 , y x 3 , y
3
a 3 3a
2.已知下列说法： ① 3 27 3 ；②16 的 4 次方根是 2 ；③ 4 81 3 ；④ 其中说法正确的有： 【答案】②④. .
x y
2
x y .
【解析】负数的奇数次方根仍为负数,∴ 3 27 3 ,故①错；正数的偶次方根有两个,②对； 4 81 求 的是 81 的算术 4 次次方根,故 4 81 3 ,故③错，同理 3.计算： （1） 7 4 3 7 4 3 ； （2） 3 2 5 3 2 5 ；
1
0 a2 a1 1 a4 a3 . 1 又由题知： 0 10 1 3 10 ,∴ A 项正确. 3
1 x
a1 a2
O
x 1 x
b 7.已知二次函数 y ax 2 bx 与指数函数 y 的图象只能是下列图形中的 a y
1 1
1 2
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设 y x （
q ， p, q Z 且 p, q 互质） p
①若 p, q 同时为奇数，则 y x 是奇函数 ②若 p 为奇数, q 为偶数,则 y x 是偶函数 ③若 p 为偶数,因为 p, q 互质，则 q 必为奇数,此时 y x 既不是奇函数也不是偶函数.
1

2 3
3
37 48
5 9 37 100 3 100 . 3 16 48
4
（4）原式 0.4 1 1 2 2 3 0.1

5 1 1 1 143 . 1 2 16 8 10 80
4.函数 f x a 2 7a 7 a x 是指数函数,求实数 a 的值. 【解析】∵函数 f x a 2 7a 7 a x 是指数函数,
∴ f 1 f 2
1 6.已知 y1 , y2 3 x , y3 10 x , y4 10 x ,则在同一平面直角坐标系内，它们的图象可能为 3
y1 y3
x
y
y4
y2
y3 y1
y
y2
y4
y1 y3
y
y2
y4
y3 y1
y
y4
y2
O A
【答案】 A .
1 log b a
n log a b m
y log a x （ a 0 且 a 1 ） y x 1 y x 1
图象
O
1
x
O
1
x
a 1
定义域： 0, 值域： R 过定点： 1,0 在定义域上单调增 性质
0 a 1
在定义域上单调减
两图象关于 x 轴对称，即 y log a x 与 y log 1 x log a x 的图象关于 x 轴对称
y
1
y
1 1
y
1 1
O A
1
x
1
O B
x
1
O C
x
1
O D
1
x
【答案】 A .
b b b b 【解析】由 y 可知 0 且 1 ,从四个选项中可以看出 0 1 ,此时抛物线的对称轴 a a a a x b 1 b 1 ,不合题意,故选 A . ,0 ,排除 B 项、D 项.又 C 项中抛物线的对称轴 1 2a 2 2a 2
三、典型例题
1.已知 2 x 2 x a （ a 为常数, x Z ）,求 8 x 8 x 的值. 【法一】由 2 x 2 x a 得 2 x 2 x
3 3


2
a 2 ，∴ 4 x 4 x a 2 2
2
8 x 8 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x
∴ A 16 4 （2）提示：利用“ a b a 3 b 3 3ab a b ”.
3


令 x 3 2 5 3 2 5 ,两边立方得
x3 2 5 2 5 3 3 2 5 3 2 5
2
3
5 3 2 5
x y
2
是非负数，故④对.
7 （3） 2 9
0.5
10 0.1 2 27
2 1 3 0

2 3
3 0
4
37 ； 48
（4） 0.064
1 3 7 2 3 16 0.75 0.01 2 . 8
a
a 越大, x 1 右侧的图象越靠近 x 轴 x 1, y 0 ； 0 x 1, y 0
a 越小, x 1 右侧的图象越靠近 x 轴 x 1, y 0 ； 0 x 1, y 0
渐近线： x 0 函数 y a x 与 y log a x 互为反函数（ a 0 且 a 1 ） ，两者图象关于 y x 对称 5.幂函数 （1）幂函数在区间 0, 上都有定义，且图象都过点 1,1 （2）若 0 ,则幂函数的图象过原点,并且在区间 0, 上是增函数； 若 0 ,则幂函数在区间 0, 上是减函数. （3）幂函数的奇偶性
M log a M log a N N
③ log a M n n log a M （ n R ） （4）换底公式 ① log b N
log c N （ b 0 , c 0 , b 1 , c 1, N 0 ） log c b
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② log a b log b a 1 即 log a b ③ log a m b n 4.对数函数 定义

化简得 x 3 4 3x ,∴ x 1 x 2 x 4 0 , ∵ x 2 x 4 0 无解,∴ x 1 , ∴ 3 2 5 3 2 5 1 .


1 25 2 64 （3）原式 2 0.1 27 9
x
O B
x
O C
x
O D
x
【解析】指数函数 y a x ,当 x 1 时, y a , 如右图所示,只要做直线 x 1 ,则 x 1 与各函数 图象交点的纵坐标即为相应的底. 由图示可知,四个函数的底的大小关系为：
y2 a2x y1 a1x
y
a3 a4
y3 a3x y4 a4x
m n

1 a
m n

1
n
a
m
（ a 0 , m, n N ,且 n 1 ）
*
（3）运算律 ① a a a
r s r s r s
； a

r s
m
a rs ； a b a r b r （ a 0, b 0 , r , s R ）
r
②a a a
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【解析】 （1）解法一： 原式 4 2 2 3 3 4 2 2 3 3

2 3
2

2 3
2
2 32 3 4
解法二： 设 A 7 4 3 7 4 3 ,则 A 0 ，且
A2 7 4 3 2 7 4 3 7 4 3 14 2 49 48 16
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a ,则 a 2
.
【解析】∵指数函数 f x a x 为 1, 2 上的单调函数, ∴ f x a x 的最大值和最小值都在区间端点处取得,
a a ,即 a a 2 2 2 a a 1 3 ∴ a a 2 或 a a 2 ,解得 a 或 a . 2 2 2 2
2 x 2 x 2 x 2 2 x 2 x 2 x 3 2 x 2 x
2 2 2 x 2 x 2 x 2 x 3
2x 2 x 3 2x 2 x




a 2 7a 7 1 a 1或a 6 ∴ ∴ a 0, a 1 a 0, a 1
∴ a 6 ,即 a 的值为 6. 5.已知指数函数 f x a x （ a 0, a 1 ）在 1, 2 上的最大值比最小值大
x
8.设 0 x 1 ,求 y 4 x 6 2 x 10 的最大值和最小值. 【答案】令 2 x t ,则 y t 2 6t 10 ,
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∵ 0 x 1 ,∴
r s
bm b , m a a
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2.指数函数定义、图象及性质 定义
y ax （ a 0 且 a 1） y y
y 1
1
图象
1
y 1
O (a 1)
x
(0 a 1)
定义域： R 值域： 0, 过定点： 0,1
O
x
性质