河南省郑州市2016届高三第一次高质量检测数学(文)试卷

2016年高中毕业年级第一次质量预测

文科数学 参考答案

一、选择题

ACCCC BCBAC DD

二、填空题

13.{}|0;≥x x 14. ;24π

15. 1; 16. 13.2

三、解答题（共70分） 17.解：⑴由已知条件: 21415,43428,2

=+=⎧⎪⎨⨯=+⨯=⎪⎩a a d S a d ………………………2分 11,4.=⎧∴⎨=⎩a d

………………………4分

()114 3.n a a n d n ∴=+-⨯=-

………………………6分

⑵由⑴可得()(1)(1)43n n n n b a n =-=--………………………8分

()21591317......8344.n T n n n =-+-+-++-=⨯=………………………12分

18.解：⑴设“当罚金定为10元时，闯红灯的市民改正行为”为事件A ，……2分

则()401.2005

p A ==………………………4分 ∴当罚金定为10元时，比不制定处罚，行人闯红灯的概率会降低15

.……………6分 ⑵由题可知A 类市民和B 类市民各有40人，故分别从A 类市民和B 类市民各抽出两人，

设从A 类市民抽出的两人分别为1A 、2A ，设从B 类市民抽出的两人分别为1B 、2B .

设从“A 类与B 类市民按分层抽样的方法抽取4人依次进行深度问卷”为事件M ，

………………………8分

则事件M 中首先抽出1A 的事件有：()1212,,,A A B B ，()1221,,,A A B B ，()1122,,,,A B A B

()1122,,,A B B A ，()1221,,,A B A B ，()1212,,,A B B A 共6种.

同理首先抽出2A 、1B 、2B 的事件也各有6种.

故事件M 共有4624⨯=种.………………………10分

设从“抽取4人中前两位均为B 类市民”为事件N ，则事件N 有()1212,,,B B A A ，

()1221,,,B B A A ，()2112,,,B B A A ，()2121,,,B B A A .()41.246P N ∴=

= ∴抽取4人中前两位均为B 类市民的概率是

16.………………………12分

19. ⑴证明：设EC 与DF 交于点N ，连结MN ，

在矩形CDEF 中，点N 为EC 中点，

因为M 为EA 中点，所以MN ∥AC ，

又因为AC ⊄平面MDF ，MN ⊂平面MDF ，

所以AC ∥平面MDF . ……………………4分

⑵解：取CD 中点为G ，连结,BG EG ，

平面CDEF ⊥平面ABCD ，平面CDEF 平面ABCD CD =，

AD ⊂平面ABCD ，AD CD ⊥，

所以AD ⊥平面CDEF ，同理ED ⊥平面ABCD ，……………………7分

所以，ED 的长即为四棱锥E ABCD -的高，……………………8分

在梯形ABCD 中1,//2

AB CD DG AB DG =

=， 所以四边形ABGD 是平行四边形，//BG AD ，所以BG ⊥平面CDEF ，

又因为DF ⊂平面CDEF ，所以BG DF ⊥，又BE DF ⊥，BE BG B =，

所以DF ⊥平面BEG ，DF EG ⊥.……………………10分 注意到Rt DEG

Rt EFD ∆∆，所以28DE DG EF =⋅=，22DE =， 所以1423

E ABCD ABCD V S ED -=⋅= . ……………………12分 20. ⑴解：设曲线E 上任意一点坐标为(,)x y ，由题意，

2222(1)3(1)x y x y ++=-+， ……………………2分

整理得22410x y x +-+=，即22

(2)3x y -+=为所求.……………………4分

⑵解：由题知12l l ⊥ ，且两条直线均恒过点(1,0)N ，……………………6分

设曲线E 的圆心为E ，则(2,0)E ，线段CD 的中点为P ，

则直线EP ：2y x =-,设直线CD ：y x t =-+， 由2,y x y x t =-⎧⎨=-+⎩

，解得点22(,)22t t P +-， ……………………8分 由圆的几何性质，221||||||||2NP CD ED EP =

=-， ……………………9分 而22222||(1)()22t t NP +-=-+，2||3ED =，22|2|||()2

t EP -=，

解之得0t =，或3t =， ……………………10分

所以直线CD 的方程为y x =-，或3y x =-+. ……………………12分

21. ⑴解：函数()f x 的定义域为(0,)+∞，()f x '=

2分

当0x <<

()0f x '<，函数()f x 的单调递减，

当x >()0f x '>，函数()f x 的单调递增.

综上：函数()f x 的单调增区间是)+∞，减区间是.……………………5分 ⑵解：令21()()()(1)ln ,02

F x f x g x x m x m x x =-=-++->， 问题等价于求函数()F x 的零点个数，……………………6分 (1)()()x x m F x x --'=-

，当1m =时，()0F x '≤，函数()F x 为减函数， 注意到3(1)02F =

>，(4)ln 40F =-<，所以()F x 有唯一零点；………………8分 当1m >时，01x <<或x m >时()0F x '<，1x m <<时()0F x '>，

所以函数()F x 在(0,1)和(,)m +∞单调递减，在(1,)m 单调递增，

注意到1(1)02

F m =+>，(22)ln(22)0F m m m +=-+<， 所以()F x 有唯一零点； ……………………11分

综上，函数()F x 有唯一零点，即两函数图象总有一个交点. ……………12分

22. ⑴证明：因为ECF CAE CEA CAE CBA ∠=∠+∠=∠+∠，

EFC CDA BAE CBA ∠=∠=∠+∠， AE 平分BAC ∠，

所以ECF EFC ∠=∠，所以EC EF =. ……………………4分

⑵解：因为ECD BAE EAC ∠=∠=∠，CEA DEC ∠=∠，

所以CEA DEC ∆∆， ……………………6分 即2,CE DE EC EA EA CE DE ==， 由⑴知，3EC EF ==，所以92

EA =， …………8分 所以45()4AC AF AD AE AE DE AE ⋅=⋅=-⋅=

. ……………………10分

23.解：2分