2.4用向量法讨论平行和垂直-北师大版高中数学选修2-1课件
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(2) l / / ① a u a u 0 ；
u
a
α
② a∥AC ③ a x AB y AD
2.4用向量法讨论平行和垂直-北师大 版高中 数学选 修2-1课 件
设直线 l,m 的方向向量分别为 a, b ，
平面, 的法向量分别为 u, v ，则
(3) / / ① u / /v u v.
α
v
2.4用向量法讨论平行和垂直-北师大 版高中 数学选 修2-1课 件
β
u
u
2.4用向量法讨论平行和垂直-北师大 版高中 数学选 修2-1课 件
设直线 l,m 的方向向量分别为 a, b ，
平面, 的法向量分别为 u, v ，则
（一）. 平行关系： (1) l / /m a / /b a b ；
(1)a (2,1,2),b (6,3,6) 平行或重合
(2)a (1,2,2),b (2,3,2)
垂直
(3)a (0,0,1),b (0,0,3)
平行或重合
2.4用向量法讨论平行和垂直-北师大 版高中 数学选 修2-1课 件
2.4用向量法讨论平行和垂直-Байду номын сангаас师大 版高中 数学选 修2-1课 件
2.4.用向量法求平行和垂直
平面的法向量：如果表示向量 n的有向线段所在
直线垂直于平面 ，则称这个向量垂直于平
面 ,记作 n⊥ ，如果 n⊥ ，那 么 向 量n
叫做平面 的法向量.
l
给定一点A和一个向量 n,那么 过点A,以向量 n 为法向量的平面是
完全确定的.
n
几点注意：
1.法向量一定是非零向量;
2.4用向量法讨论平行和垂直-北师大 版高中 数学选 修2-1课 件
设直线 l,m 的方向向量分别为 a, b ，
平面, 的法向量分别为 u, v ，则
(2) l a // u a u
l
u
a
C
A
B
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l // e n 0 a1a2 b1b2 c1c2 0;
2.4用向量法讨论平行和垂直-北师大 版高中 数学选 修2-1课 件
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2、垂直关系：
设直线 l1 , l2 的方向向量分别为 e1 , e2 ，平面
1 ,2 的法向量分别为 n1, n2 ，则
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a
l
b
m
2.4用向量法讨论平行和垂直-北师大 版高中 数学选 修2-1课 件
设直线 l,m 的方向向量分别为 a, b ，
平面, 的法向量分别为 u, v ，则
(2) l / / ① a u a u 0 ；
u
a
α
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设直线 l,m 的方向向量分别为 a, b ，
平面, 的法向量分别为 u, v ，则 （3） u v u v 0
β
uv
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α
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1、平行关系：
设直线 l1 , l2 的方向向量分别为 e1 , e2 ，平面 1 ,2 的法向量分别为 n1, n2 ，则
当a2 , b2 , c2
0时,e // n
a1 a2
b1 b2
c1 c2
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巩固性训练1
1.设 a,b 分别是直线l1,l2的方向向量,根据下
列条件,判断l1,l2的位置关系.
β
u
u
2.4用向量法讨论平行和垂直-北师大 版高中 数学选 修2-1课 件
设直线 l,m 的方向向量分别为 a, b ，
平面, 的法向量分别为 u, v ，则
（二）、垂直关系：
(1) l m a b a b 0
l
a
b
m
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A
2.一个平面的所有法向量都
互相平行;
3.向量n 是平面的法向量，向
量m是与平面平行或在平面
内，则有 n m 0
问题：如何求平面的法向量？
(1)设出平面的法向量为n (x, y, z)
(2)找出（求出）平面内的两个不共线的 向量的坐标a (a1,b1, c1),b (a2,b2, c2 ) (3)根据法向量的定义建立关于x, y, z的 方程组n • a 0
线线垂直 l1 l2 e1 e2 e1 e2 0 ； 线面垂直 l1 1 e1 // n1 e1 n1 ；
面面垂直1 2 n1 n2 n1 n2 0.
若e (a1, b1, c1), n (a2 , b2 , c2 ),则
l e // n e n a1 a2 ,b1 b2 , c1 c2.
② a∥AC ③ a x AB y AD
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设直线 l,m 的方向向量分别为 a, b ，
平面, 的法向量分别为 u, v ，则
(3) / / ① u / /v u v.
α
v
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线线平行 l1 // l2 e1 // e2 e1 e2 ；
线面平行 l1 // 1 e1 n1 e1 n1 0 ；
面面平行 1 // 2 n1 // n2 n1 n2 .
注设意直：线这l里的的方线向线向平量行为包e括线(a线1,重b1合, c1，),线平面面平行的
包法括向线量在为面n内，(面a2面, b2平, c行2 )包,则括面面重合.
n •b 0
(4)解方程组，取其中的一个解，即得法向量。
设直线 l,m 的方向向量分别为 a, b ，
平面, 的法向量分别为 u, v ，则
（一）. 平行关系：
(1) l / /m a / /b a b ；
a
l
b
m
设直线 l,m 的方向向量分别为 a, b ，
平面, 的法向量分别为 u, v ，则
u
a
α
② a∥AC ③ a x AB y AD
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设直线 l,m 的方向向量分别为 a, b ，
平面, 的法向量分别为 u, v ，则
(3) / / ① u / /v u v.
α
v
2.4用向量法讨论平行和垂直-北师大 版高中 数学选 修2-1课 件
β
u
u
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设直线 l,m 的方向向量分别为 a, b ，
平面, 的法向量分别为 u, v ，则
（一）. 平行关系： (1) l / /m a / /b a b ；
(1)a (2,1,2),b (6,3,6) 平行或重合
(2)a (1,2,2),b (2,3,2)
垂直
(3)a (0,0,1),b (0,0,3)
平行或重合
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2.4.用向量法求平行和垂直
平面的法向量：如果表示向量 n的有向线段所在
直线垂直于平面 ，则称这个向量垂直于平
面 ,记作 n⊥ ，如果 n⊥ ，那 么 向 量n
叫做平面 的法向量.
l
给定一点A和一个向量 n,那么 过点A,以向量 n 为法向量的平面是
完全确定的.
n
几点注意：
1.法向量一定是非零向量;
2.4用向量法讨论平行和垂直-北师大 版高中 数学选 修2-1课 件
设直线 l,m 的方向向量分别为 a, b ，
平面, 的法向量分别为 u, v ，则
(2) l a // u a u
l
u
a
C
A
B
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l // e n 0 a1a2 b1b2 c1c2 0;
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2、垂直关系：
设直线 l1 , l2 的方向向量分别为 e1 , e2 ，平面
1 ,2 的法向量分别为 n1, n2 ，则
2.4用向量法讨论平行和垂直-北师大 版高中 数学选 修2-1课 件
a
l
b
m
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设直线 l,m 的方向向量分别为 a, b ，
平面, 的法向量分别为 u, v ，则
(2) l / / ① a u a u 0 ；
u
a
α
2.4用向量法讨论平行和垂直-北师大 版高中 数学选 修2-1课 件
设直线 l,m 的方向向量分别为 a, b ，
平面, 的法向量分别为 u, v ，则 （3） u v u v 0
β
uv
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α
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1、平行关系：
设直线 l1 , l2 的方向向量分别为 e1 , e2 ，平面 1 ,2 的法向量分别为 n1, n2 ，则
当a2 , b2 , c2
0时,e // n
a1 a2
b1 b2
c1 c2
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巩固性训练1
1.设 a,b 分别是直线l1,l2的方向向量,根据下
列条件,判断l1,l2的位置关系.
β
u
u
2.4用向量法讨论平行和垂直-北师大 版高中 数学选 修2-1课 件
设直线 l,m 的方向向量分别为 a, b ，
平面, 的法向量分别为 u, v ，则
（二）、垂直关系：
(1) l m a b a b 0
l
a
b
m
2.4用向量法讨论平行和垂直-北师大 版高中 数学选 修2-1课 件
A
2.一个平面的所有法向量都
互相平行;
3.向量n 是平面的法向量，向
量m是与平面平行或在平面
内，则有 n m 0
问题：如何求平面的法向量？
(1)设出平面的法向量为n (x, y, z)
(2)找出（求出）平面内的两个不共线的 向量的坐标a (a1,b1, c1),b (a2,b2, c2 ) (3)根据法向量的定义建立关于x, y, z的 方程组n • a 0
线线垂直 l1 l2 e1 e2 e1 e2 0 ； 线面垂直 l1 1 e1 // n1 e1 n1 ；
面面垂直1 2 n1 n2 n1 n2 0.
若e (a1, b1, c1), n (a2 , b2 , c2 ),则
l e // n e n a1 a2 ,b1 b2 , c1 c2.
② a∥AC ③ a x AB y AD
2.4用向量法讨论平行和垂直-北师大 版高中 数学选 修2-1课 件
设直线 l,m 的方向向量分别为 a, b ，
平面, 的法向量分别为 u, v ，则
(3) / / ① u / /v u v.
α
v
2.4用向量法讨论平行和垂直-北师大 版高中 数学选 修2-1课 件
线线平行 l1 // l2 e1 // e2 e1 e2 ；
线面平行 l1 // 1 e1 n1 e1 n1 0 ；
面面平行 1 // 2 n1 // n2 n1 n2 .
注设意直：线这l里的的方线向线向平量行为包e括线(a线1,重b1合, c1，),线平面面平行的
包法括向线量在为面n内，(面a2面, b2平, c行2 )包,则括面面重合.
n •b 0
(4)解方程组，取其中的一个解，即得法向量。
设直线 l,m 的方向向量分别为 a, b ，
平面, 的法向量分别为 u, v ，则
（一）. 平行关系：
(1) l / /m a / /b a b ；
a
l
b
m
设直线 l,m 的方向向量分别为 a, b ，
平面, 的法向量分别为 u, v ，则