第5讲 二次函数的应用：抛物线形态物体
二次函数的像特征与应用
二次函数的像特征与应用二次函数是高中数学中重要的一类函数，它的图像形状是一个抛物线。
本文将探讨二次函数的像特征以及其在实际问题中的应用。
一、二次函数的基本形式二次函数的基本形式为：y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，a ≠ 0。
二次函数的图像是一个抛物线，其开口方向、顶点位置以及是否与坐标轴相交等特点取决于a、b的值。
二、二次函数的像特征1. 开口方向a的正负值决定了抛物线开口的方向。
当a > 0时，抛物线开口向上；当a < 0时，抛物线开口向下。
2. 顶点位置二次函数的顶点位置可以通过一些变换得到。
对于标准形式的二次函数y = ax^2 + bx + c，顶点的横坐标x_v = -b/2a，纵坐标y_v = f(x_v)，其中f(x)代表二次函数。
顶点是抛物线的最低点（当a > 0）或最高点（当a < 0）。
3. 对称轴对称轴是抛物线的一条镜像轴，平分了抛物线。
对于标准形式的二次函数y = ax^2 + bx + c，对称轴的方程为x = -b/2a。
4. 相对极值抛物线在顶点处取得了相对极值。
当a > 0时，为最小值；当a < 0时，为最大值。
5. 零点抛物线与x轴相交的点称为零点，也叫根。
可以通过求解二次方程ax^2 + bx + c = 0得到。
二次函数有可能有两个不同的实根、两个相等的实根、或者没有实根。
三、二次函数的应用1. 物体的抛射运动二次函数在物体的抛射运动中有重要应用。
考虑一个物体在空中自由运动，设其运动方程为y = ax^2 + bx + c，其中y为物体的高度，x 为时间。
由于重力的作用，物体的运动轨迹为抛物线。
2. 经济学中的成本函数在经济学中，二次函数可以用来描述成本函数。
成本函数有时会表现出U型或倒U型的趋势，这可以通过二次函数的图像特征来描述。
3. 建筑设计中的拱形结构在建筑设计中，拱形结构常常由二次函数描述。
二次函数的应用课件ppt课件ppt课件ppt
导数在二次函数中的应用
利用导数研究二次函数的单调性、极值和拐点，解决实际 问题。
要点二
定积分在二次函数中的应用
利用定积分计算二次函数的面积，解决与面积相关的实际 问题。
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详细描述
二次函数是数学中一类重要的函数，其形式由参数$a$、$b$ 和$c$决定。当$a > 0$时，函数图像开口向上；当$a < 0$ 时，函数图像开口向下。
二次函数的图像
总结词
二次函数的图像是一个抛物线， 其形状由参数$a$、$b$和$c$决 定。
详细描述
二次函数的图像是一个抛物线， 其顶点的位置由参数$b$和$c$决 定，而开口的大小和方向则由参 数$a$决定。
在生产和生活中，经常需要解决诸如利润最大化、成本最小化等最优化问题。利 用二次函数开口方向和顶点坐标的性质，可以快速找到最优解，为决策提供依据 。
利用二次函数解决周期性问题
总结词
利用二次函数的对称性和周期性，解 决具有周期性规律的问题。
详细描述
在物理学、工程学和生物学等领域， 许多现象具有周期性规律。通过将实 际问题转化为二次函数模型，可以更 好地理解和预测这些周期性现象。
利用二次函数解决面积问题
总结词
利用二次函数与坐标轴的交点，解决 与面积相关的实际问题。
详细描述
在几何学和实际生活中，经常需要计 算图形的面积。通过将问题转化为求 二次函数与坐标轴围成的面积，可以 简化计算过程，提高解决问题的效率 。
04
如何提高二次函数的应用能力
掌握基本概念和性质
理解二次函数的一般 形式： $y=ax^2+bx+c$， 其中$a neq 0$。
二次函数的应用
二次函数的应用二次函数是高中数学中的一个重要概念，也是数学中经常应用的一种函数类型。
二次函数的应用广泛，涵盖了很多领域，包括物理学、经济学、工程学等。
本文将探讨几个二次函数的应用场景，并分析其原理和实际意义。
一、地面抛射运动地面抛射运动是我们生活中常见的一种物理现象，比如投掷物体、打击物体等。
在不考虑空气阻力的情况下，地面抛射运动的轨迹可以用二次函数描述。
其函数模型为：h(t) = -gt^2 + v0t + h0其中h(t)表示时间t时刻的高度，g为重力加速度，v0为初速度，h0为初始高度。
二次函数可以帮助我们计算抛体的高度、最高点高度、到达地面的时间等重要参数。
对于投掷物体来说，了解这些参数可以帮助我们更好地控制力度和角度，以达到我们想要的结果。
二、经济学中的收益函数在经济学中，我们常常使用收益函数来研究生产经营的效益。
很多实际问题可以用二次函数近似表示，从而分析最大化收益的策略。
假设某个公司的销售收益可以用二次函数模型表示：R(x) = -ax^2 + bx + c其中R(x)表示销售收益，x表示销售量，a、b、c为常数。
我们可以通过对二次函数进行求导，找到其最大值对应的销售量，从而确定最佳的经营策略。
通过研究收益函数，我们可以优化资源配置，提高经济效益。
三、工程中的抛物线设计在工程领域，二次函数常常用于抛物线设计。
比如，在桥梁、建筑物等结构的设计过程中，我们需要考虑各种因素，如力学原理、结构稳定性等。
二次函数能够很好地描述抛物线形状，帮助我们确定结构的合理设计。
例如，在桥梁设计中，通过二次函数的应用，可以确定拱桥的合适形状和尺寸，以满足结构强度和美观性的要求。
另外，在草坪的设计中，也可以利用二次函数描述草地的曲率，使得草坪在自然光线的照射下呈现出优美的效果。
四、物体运动的轨迹分析二次函数也可以用于分析物体在空间中的运动轨迹。
比如，一个碰撞物体的轨迹可以由以下二次函数表示：x(t) = v0t + 1/2at^2y(t) = h0 + v0t + 1/2gt^2其中x(t)、y(t)分别表示物体在水平和竖直方向上的位移，v0为初速度，a为加速度，h0为初始高度，g为重力加速度。
二次函数在几何问题中的应用解析
二次函数在几何问题中的应用解析二次函数是一种常见的数学函数形式，它在几何问题中扮演了重要的角色。
本文将探讨二次函数在几何问题中的应用，并对其解析进行分析。
1. 抛物线的性质抛物线是二次函数的图像，其标准形式为y = ax² + bx + c。
在几何中，抛物线具有以下性质：- 对称轴：抛物线的对称轴是一个垂直于x轴的直线，过抛物线的顶点。
对称轴的方程可以通过求抛物线的顶点坐标得到。
- 顶点：抛物线的顶点是曲线的最高点或最低点，可以通过求导数等方法求得。
- 开口方向：抛物线的开口方向由二次项的系数决定。
若a>0，则抛物线开口向上；若a<0，则抛物线开口向下。
- 零点：抛物线与x轴的交点称为零点，可以通过解方程求得。
2. 抛物线在几何中的应用抛物线在几何问题中的应用广泛，以下是其中几个典型的应用示例。
2.1 求解最值问题抛物线的顶点即为其最值点，可通过二次函数的最值性质求解几何问题。
例如，在确定水平距离为d的情况下，求抛物线y = ax² + bx + c的最大值或最小值。
我们可以通过求导数找到使得导数为0的x坐标，再代入函数得到对应的y坐标。
2.2 确定几何形状抛物线的开口方向可以用来确定几何形状。
若抛物线开口向上，则形状类似一个U；若开口向下，则形状类似一个倒置的U。
这在建模物体的运动轨迹、桥梁设计等问题中有广泛的应用。
2.3 优化问题二次函数可以被用于解决优化问题。
例如，当我们需要绘制一个围起来面积最大的矩形时，可以通过分析矩形的边长与面积的关系，建立二次函数模型，并通过求解最值问题得到最大面积。
3. 示例分析假设有一块长为L的铁板，要制作一个没有顶盖的长方体盒子，使得盒子的体积最大。
设长方体的底边宽度为x，高度为h，由此可以得到体积函数V(x) = x( L - 2x )h。
我们可以通过建立函数模型并求解最值问题来解决这个几何问题。
对于函数V(x)，我们首先计算其导数V'(x)，然后令导数为0，解得x = L/4。
高中数学学习中二次函数的应用
高中数学学习中二次函数的应用二次函数是高中数学中的重要内容，其应用十分广泛。
接下来我们将从几个方面介绍二次函数的应用。
一、二次函数在几何中的应用1. 抛物线：二次函数的图像是一条平滑的曲线，通常被称为抛物线。
抛物线在几何中有很多应用，比如建筑物的拱形结构、桥梁的设计、电视塔的抗风能力等等。
2. 平面图形：二次函数可以用来描述平面图形的特征。
比如圆的方程、椭圆的方程、双曲线的方程等等都可以用二次函数来表示。
3. 最值问题：二次函数常常用于求解最值问题。
比如一个碗的形状是一个抛物线，可以通过二次函数求解碗的最大容量。
二、二次函数在物理中的应用1. 抛体运动：抛体运动是物理学中常见的运动形式，二次函数可以用来描述抛体运动的轨迹。
比如抛体的高度、速度和时间之间的关系可以用二次函数表达。
2. 弹簧振动：弹簧的振动可以近似地描述为二次函数。
弹簧振动在真空吸尘器、汽车悬挂系统、建筑物的防震设备等方面都有应用。
3. 电子学：二次函数在电子学中有很多应用，比如放大器的电流与电压之间的关系、电路的频率响应等等都可以用二次函数来描述。
三、二次函数在经济学中的应用1. 成本函数和利润函数：在经济学中，成本函数和利润函数常常被建模为二次函数。
通过优化二次函数，可以求解最佳的生产方案和利润最大化。
2. 供需函数：供需关系是经济学中的重要概念，供需函数可以用二次函数来表示。
通过分析供需函数的交点，可以确定市场的平衡价格和数量。
3. 投资回报率：投资回报率也可以用二次函数来表示。
通过求解二次函数的顶点，可以确定最佳投资回报率的时机。
以上只是二次函数在数学学习中的一些应用，实际上二次函数的应用非常广泛。
无论是在自然科学还是社会科学领域，都可以找到二次函数的影子。
掌握二次函数的基本概念和性质，并能灵活运用其在各个领域中，都是我们数学学习的重要目标。
初中数学二次函数应用题型分类——抛物线形物体问题5(附答案)
初中数学二次函数应用题型分类——抛物线形物体问题5（附答案）1．一同学推铅球，铅球高度y(m)关于时间x(s)的函数表达式为y=ax 2+bx(a≠0)．若铅球在第7秒与第14秒时的高度相等，则在第m 秒时铅球最高，则m 的值为（ ） A ．7B ．8C ．10．5D ．212．一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离4m 处起跳投篮，球沿一条抛物线运动，当球运动的水平距离为2.5m 时，达到最大高度3.5m ，然后准确落入篮筐内．已知篮圈中心距离地面高度为3.05m ，在如图所示的平面直角坐标系中，下列说法正确的是（ ）A ．篮圈中心的坐标是()4,3.05B ．此抛物线的解析式是21 3.55y x =-+ C ．此抛物线的顶点坐标是()3.5,0 D ．篮球出手时离地面的高度是2m3．如图，以40m/s 的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h （单位：m ）与飞行时间t （单位：s ）之间具有函数关系h ＝20t ﹣5t 2．下列叙述正确的是（ ）A ．小球的飞行高度不能达到15mB ．小球的飞行高度可以达到25mC ．小球从飞出到落地要用时4sD ．小球飞出1s 时的飞行高度为10m4．一学生推铅球，铅球行进的高度()y m 与水平距离()x m 之间的关系为21251233y x x =-++，则学生推铅球的距离为（ ） A ．35m B ．3mC ．10mD ．12m飞行的高度()h m 与发球后球飞行的时间()t s 满足关系式22 1.5h t t =-++，则该运动员发球后1s 时，羽毛球飞行的高度为（ ） A ．1.5mB ．2mC ．2.5mD ．3m6．铅球运动员掷铅球的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系式为y ＝－112x 2＋23x ＋53.则该运动员此次掷铅球的成绩是( ) A ．6 mB ．12 mC ．8 mD ．10 m7．从地面竖直向上先后抛出两个小球，小球的高度h (单位：)m 与小球运动时间t (单位：)s 之间的函数关系式为240(3)409h t =--+，若后抛出的小球经过2.5s 比先抛出的小球高103m ，则抛出两个小球的间隔时间是（ ）s A ．1 B ．1.5 C ．2 D ．2.58．一个运动员打高尔夫球，若球的飞行高度y (m )与水平距离x (m )之间的函数表达式为：y 150=-(x ﹣25)2+12，则高尔夫球在飞行过程中的最大高度为( )m ． A ．12B ．25C ．13D ．149．如图，排球运动员站在点O 处练习发球，将球从O 点正上方2m 的A 处发出，把球看成点，其运行的高度y （m ）与运行的水平距离x （m ）满足关系式y ＝a （x ﹣k ）2+h ．已知球与D 点的水平距离为6m 时，达到最高2.6m ，球网与D 点的水平距离为9m ．高度为2.43m ，球场的边界距O 点的水平距离为18m ，则下列判断正确的是（ ）A ．球不会过网B ．球会过球网但不会出界C ．球会过球网并会出界D ．无法确定10．如图，一位运动员推铅球，铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系是y ＝﹣22531312x x ++，则此运动员把铅球推出多远( )11．教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度y （m ）与水平距离x （m ）之间的关系为21(4)312y x =--+，由此可知铅球推出的距离是______m ．12．如图，是一学生掷铅球时，铅球行进高度()y cm 的函数图象，点B 为抛物线的最高点，则该同学的投掷成绩为________米．13．如图，一名男生推铅球，铅球行进高度y （单位：m ）与水平距离x （单位：m ）之间的关系是21251233y x x =-++，则他将铅球推出的距离是__________m ．14．校运会上，小明参加铅球比赛，若某次试掷，铅球飞行的高度()y m 与水平距离(m)x 之间的函数关系式为21251233y x x =-++，小明这次试掷的成绩是__________．15．从地面竖直向上抛出一小球，小球离地面的高度h （米）与小球运动时间t （秒）之间关系是h=30t ﹣5t 2（0≤t≤6），则小球从抛出后运动4秒共运动的路径长是______米． 16．如图，池中心竖直水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m 处达到最高，高度为3m ，水柱落地处离池中心3m ，水管的长为_____．17．广场上喷水池中的喷头微露水面，喷出的水线呈一条抛物线，水线上水珠的高度y （米）关于水珠与喷头的水平距离x （米）的函数解析式是()2510042y x x x =-+≤≤．水珠可以达到的最大高度是________（米）．18．某运动员对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y (米)与水平距离x (米)之间的关系为21251233y x x =-++，由此可知该运动员此次实心球训练的成绩为____米．19．如图，一小球沿与地面成一定角度的方向飞出，小球的飞行路线是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度y (单位：m )与飞行时间x (单位：s )之间具有函数关系y ＝﹣5x 2+20x ，在飞行过程中，当小球的行高度为15m 时，则飞行时间是_____．20．如图，铅球运动员掷铅球的高度y （m ）与水平距离x （m ）之间的函数关系式是y=﹣112x 2+23x+53，则该运动员此次掷铅球的成绩是_____ m ．21．一个斜抛物体的水平运动距离为x （m ），对应的高度记为h （m ），且满足h ＝ax 2+bx ﹣2a （其中a≠0）．已知当x ＝0时，h ＝2；当x ＝10时，h ＝2． （1）求h 关于x 的函数表达式；（2）求斜抛物体的最大高度和达到最大高度时的水平距离．22．如图是甲、乙两人进行羽毛球练习赛时的一个瞬间，羽毛球飞行的高度y （m ）与水平距离x （m ）的路线为抛物线的一部分，如图，甲在O 点正上方1m 的P 处发出一球，已知点O 与球网的水平距离为5m ，球网的高度为1.55m ．羽毛球沿水平方向运动4m 时，达到羽毛球距离地面最大高度是53m ． （1）求羽毛球经过的路线对应的函数关系式； （2）通过计算判断此球能否过网；（3）若甲发球过网后，羽毛球飞行到离地面的高度为3124m 的Q 处时，乙扣球成功求此时乙与球网的水平距离．23．杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A 处弹跳到人梯顶端椅子B 处，其身体(看成一点)的路线是抛物线23315y x x =-++的一部分，如图所示． ()1求演员弹跳离地面的最大高度；()2已知人梯高 3.4BC =米，在一次表演中，人梯到起跳点A 的水平距离是4米，问这次表演是否成功？请说明理由．24．小明跳起投篮，球出手时离地面m ，球出手后在空中沿抛物线路径运动，并在距出手点水平距离4m 处达到最高度4m .已知篮筐中心距地面3m ，与球出手时的水平距离为8m ，建立如图所示的平面直角坐标系. （1）求此抛物线对应的函数关系式；（2）此次投篮，球能否直接命中篮筐中心？若能，请说明理由；若不能，在出手的角度和力度都不变的情况下，球出手时距离地面多少米可使球直接命中篮筐中心？25．在一次篮球比赛中，如图队员甲正在投篮.已知球出手时离地面209m ，与篮圈中心的水平距离为7 m ，球出手后水平距离为4 m 时达到最大高度4 m ，设篮球运行轨迹为抛物线，篮圈距地面3 m.(1)建立如图所示的平面直角坐标系，问此球能否准确投中？(2)此时，对方队员乙在甲面前1 m 处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为3.1 m ，那么他能否获得成功？26．某乒乓球馆使用发球机进行辅助训练，出球口在桌面中线端点A处的正上方，如果每次发出的乒乓球的运动路线固定不变，且落在中线上，在乒乓球从发射出到第一次落在桌面的运行过程中，设乒乓球与端点A的水平距离为x（米），距桌面的高度为y （米），运行时间为t（秒），经多次测试后，得到如下部分数据：t（秒）0 0.16 0.2 0.4 0.6 0.64 0.8 …x（米）0 0.4 0.5 1 1.5 1.6 2 …y（米）0.25 0.378 0.4 0.45 0.4 0.378 0.25 …（1）如果y是t的函数，①如图，在平面直角坐标系tOy中，描出了上表中y与t各对对应值为坐标的点．请你根据描出的点，画出该函数的图象；②当t为何值时，乒乓球达到最大高度？（2）如果y是关于x的二次函数，那么乒乓球第一次落在桌面时，与端点A的水平距离是多少？27．在一场篮球比赛中，一名球员在关键时刻投出一球，已知球出手时离地面高2米，与篮圈中心的水平距离为7米，当球出手后水平距离为4米时到达最大高度4米，已知篮球运行的轨迹为抛物线，篮圈中心距离地面3.19米．（1）以地面为x轴，篮球出手时垂直地面所在直线为y轴建立平面直角坐标系，求篮球运行的抛物线轨迹的解析式；（2）通过计算，判断这个球员能否投中？28．如图，在某场足球比赛中，球员甲从球门底部中心点O的正前方10m处起脚射门，足球沿抛物线飞向球门中心线；当足球飞离地面高度为3m时达到最高点，此时足球飞行的水平距离为6m．已知球门的横梁高OA为2.44m．()1在如图所示的平面直角坐标系中，问此飞行足球能否进球门？（不计其它情况）()2守门员乙站在距离球门2m处，他跳起时手的最大摸高为2.52m，他能阻止球员甲的此次射门吗？如果不能，他至少后退多远才能阻止球员甲的射门？29．初三年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高209m，与篮圈中心的水平距离为7m，当球出手后水平距离为4m时到达最大高度4m，设篮球运行的轨迹为抛物线，篮圈距地面3m．（1）建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的解析式并判断此球能否准确投中？（2）此时，若对方队员乙在甲前面1m处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为3.1m，那么他能否获得成功？30．如图，某足球运动员站在点O处练习射门．将足球从离地面0.5m的A处正对球门踢出（点A在y轴上），足球的飞行高度y（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间满足函数关系y＝at2+5t+c，己知足球飞行0.8s时，离地面的高度为3.5m．（1）a＝，c＝；（2）当足球飞行的时间为多少时，足球离地面最高？最大高度是多少？（3）若足球飞行的水平距离x（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系x＝10t，已知球门的高度为2.44m，如果该运动员正对球门射门时，离球门的水平距离为28m，他能否将球直接射入球门？参考答案1．C 【解析】 【分析】由由第7秒和第14秒的高度相同，知道这两个点是关于抛物线的对称轴对称的，从而求出抛物线的对称轴，知道顶点的横坐标，得到答案． 【详解】解：由第7秒和第14秒的高度相同，知道抛物线的对称轴为7142122x +==， 所以顶点的横坐标为212，即函数取得最大值，铅球最高时的时间，所以10.5m =． 故选C ． 【点睛】本题考查的是抛物线的性质，掌握抛物线上纵坐标相等的两个点是关于抛物线对称轴对称的是关键． 2．A 【解析】 【分析】设抛物线的表达式为y=ax 2+3.5，依题意可知图象经过的坐标，由此可得a 的值，可判断A ；根据函数图象可判断B 、C ；设这次跳投时，球出手处离地面hm ，因为求得21 3.55y x =-+，当x=-2，5时，即可判断D ． 【详解】解：A 、∵抛物线的顶点坐标为（0，3.5）， ∴可设抛物线的函数关系式为y=ax 2+3.5．∵篮圈中心（1.5，3.05）在抛物线上，将它的坐标代入上式，得 3.05=a×1.52+3.5， ∴a=15-， ∴21 3.55y x =-+，故本选项正确； B 、由图示知，篮圈中心的坐标是（1.5，3.05），故本选项错误； C 、由图示知，此抛物线的顶点坐标是（0，3.5），故本选项错误； D 、设这次跳投时，球出手处离地面hm ，因为（1）中求得y=-0.2x2+3.5，∴当x=-2.5时，h=-0.2×（-2.5）2+3.5=2.25m．∴这次跳投时，球出手处离地面2.25m，故本选项错误．故选：A．【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出二次函数模型，体现了数学建模的数学思想，难度不大，能够结合题意利用二次函数不同的表达形式求得解析式是解答本题的关键．3．C【解析】【分析】直接利用h＝15以及结合配方法求出二次函数最值分别分析得出答案．【详解】A、当h＝15时，15＝20t﹣5t2，解得：t1＝1，t2＝3，故小球的飞行高度能达到15m，故此选项错误；B、h＝20t﹣5t2＝﹣5（t﹣2）2+20，故t＝2时，小球的飞行高度最大为：20m，故此选项错误；C、∵h＝0时，0＝20t﹣5t2，解得：t1＝0，t2＝4，∴小球从飞出到落地要用时4s，故此选项正确；D、当t＝1时，h＝15，故小球飞出1s时的飞行高度为15m，故此选项错误；故选C．此题主要考查了二次函数的应用，灵活运用所学知识是解题关键．4．C【解析】【分析】铅球落地时，高度y=0，把实际问题可理解为当y=0时，求x 的值．【详解】 令函数式21251233y x x =-++中，y =0， 即21251233x x -++=0， 解得1210,2x x ==- (舍去)，即铅球推出的距离是10m.故选C.【点睛】考查二次函数的应用以及函数式中自变量与函数表达式的实际意义，需要结合题意. 5．C【解析】【分析】根据函数关系式，求出t=1时的h 的值即可．【详解】22 1.5h t t =-++∴t=1s 时，h=-1+2+1.5=2.5故选C.【点睛】本题考查了二次函数的应用，知道t=1时满足函数关系式是解题的关键.6．D【解析】【分析】依题意，该二次函数与x 轴的交点的x 值为所求．即在抛物线解析式中．令y=0，求x 的正【详解】把y=0代入y=-112x 2+23x+53得： -112x 2+23x+=0， 解之得：x 1=10，x 2=-2．又x ＞0，解得x=10．故选D ．7．B【解析】【分析】把t=2.5代入240(3)409h t =--+，求得3509h =，当35010320939h =-=时，解方程即可得出结论.【详解】解：把t=2.5代入240(3)409h t =--+，得3509h =， 当35010320939h =-=时，即240320(3)4099t --+=， 解得 t=4或t=-2（不合题意，舍去）∴抛出两个小球间隔的时间是4-2.5=1.5.故选B.【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，正确理解题意是解题的关键.8．A【解析】【分析】直接根据二次函数的图象及性质即可得出答案．【详解】解：∵y 150=-(x ﹣25)2+12， 顶点坐标为(25，12)， ∵150-＜0， ∴当x ＝25时，y 有最大值，最大值为12．故选：A ．【点睛】本题主要考查二次函数的最大值，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．9．C【解析】分析：（1）将点A (0,2)代入2(6) 2.6y a x =-+求出a 的值；分别求出x =9和x =18时的函数值，再分别与2.43、0比较大小可得．详解：根据题意,将点A (0,2)代入2(6) 2.6y a x =-+，得：36a +2.6=2， 解得：160a ，=- ∴y 与x 的关系式为21(6) 2.660y x =--+； 当x =9时,()2196 2.6 2.45 2.4360y =--+=>， ∴球能过球网， 当x =18时,()21186 2.60.2060y =--+=>， ∴球会出界.故选C.点睛：考查二次函数的应用题，求范围的问题，可以利用临界点法求出自变量的值，根据题意确定范围.10．B【解析】【分析】令y ＝﹣22531312x x ++＝0，解得符合题意的x 值，则该值为此运动员把铅球推出的距离，据此可解.【详解】解：令y ＝﹣22531312x x ++＝0 则：x 2﹣8x ﹣20＝0∴(x+2)(x ﹣10)＝0∴x 1＝﹣2(舍)，x 2＝10由题意可知当x ＝10时，符合题意故选：B.【点睛】本题考查二次函数的实际应用，利用数形结合思想解题是本题的关键.11．10【解析】【分析】要求铅球推出的距离，实际上是求铅球的落脚点与坐标原点的距离，故可直接令0y =，求出x 的值，x 的正值即为所求．【详解】 在函数式21(4)312y x =--+中，令0y =，得 21(4)3012x --+=，解得110x =，22x =-（舍去）， ∴铅球推出的距离是10m.【点睛】 本题是二次函数的实际应用题，需要注意的是21(4)312y x =--+中3代表的含义是铅球在起始位置距离地面的高度；当0y =时，x 的正值代表的是铅球最终离原点的距离．12．(4+【解析】【分析】根据函数的顶点B 的坐标设解析式为y =a (x −4)2+3，把（0，2）代入得出2=a (0−4)2+3，求出a ，得出函数的解析式是21(4)316y x =--+，把y =0代入解析式，求出方程的解即可． 【详解】∵函数的图象的最高点是B ,B 的坐标是(4,3)，∴设函数的解析式是y =a (x −4)2+3，∵图象过(0,2)点，∴代入得：2=a (0−4)2+3， 解得：116a =-， ∴函数的解析式是21(4)316y x =--+， 把y =0代入解析式得：210(4)316x =--+，解得：1244x x =+=-∴(4A +，故答案为(4+【点睛】考查二次函数在实际问题中的应用，掌握待定系数法求二次函数解析式是解题的关键.. 13．10【解析】【分析】令y=0时求出x 的值，保留正值，即为该男生将铅球推出的距离．【详解】解：当y=0时，2125=01233x x -++， 解方程得，x 1=10，x 2=-2（负值舍去），∴该男生把铅球推出的水平距离是10 m ．故答案为：10.【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，可以用配方法写成顶点式求得；同时本题还考查了二次函数与一元二次方程的关系及解一元二次方程，本题属于中档题．14．10米【解析】【分析】根据题意，将y=0代入解析式中，求出x 的值即可．【详解】解：将y=0代入21251233y x x =-++中，得 212501233x x -++= 解得：1210,2x x ==-（不符合实际，舍去）∴小明这次试掷的成绩是10米故答案为：10米．【点睛】此题考查的是二次函数的应用，掌握x 和y 的实际意义和一元二次方程的解法是解决此题的关键．15．50【解析】【分析】根据题目中的函数解析式可以求得h 的最大值，从而可以求得小球从抛出后运动4秒共运动的路径长．【详解】解：∵h ＝30t−5t 2＝−5（t−3）2＋45（0≤t≤6），∴当t ＝3时，h 取得最大值，此时h ＝45，∴小球从抛出后运动4秒共运动的路径长是：45＋[45−（30×4−5×42）]＝50（米）， 故答案为：50．【点睛】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的路径的长．16．2.25m ．【解析】【分析】设抛物线的解析式为：y ＝a （x ﹣1）2+3（0≤x ≤3），将（3，0）代入求得a 值，则x=0时得y 值即为水管的长.【详解】解：由于在距池中心的水平距离为1m 时达到最高，高度为3m ，则设抛物线的解析式为：y ＝a （x ﹣1）2+3（0≤x ≤3），代入（3，0）求得：a ＝34-， 将a 值代入得到抛物线的解析式为：y ＝34-（x ﹣1）2+3（0≤x ≤3）， 令x ＝0，则y ＝94＝2.25． 则水管长为2.25m ．故答案为：2.25m ．【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，掌握二次函数的应用是解题的关键.17．10【解析】【分析】将一般式转化为顶点式，依据自变量的变化范围求解即可.【详解】 解：()()222555104210222y x x x x x =-+=--=--+，当x=2时，y 有最大值10， 故答案为：10.【点睛】利用配方法将一般式转化为顶点式，再利用顶点式去求解函数的最大值.18．10【解析】【分析】根据铅球落地时，高度y=0，把实际问题可理解为当y=0时，求x 的值即可．【详解】当y=0时，212501233x x -++= 解得，x=-2（舍去），x=10．故答案为：10．【点睛】本题考查了二次函数的应用中函数式中自变量与函数表达的实际意义，需要结合题意，取函数或自变量的特殊值列方程求解是解题关键．19．1s 或3s【解析】【分析】根据题意可以得到15=﹣5x 2+20x ，然后求出x 的值，即可解答本题．【详解】∵y=﹣5x 2+20x ，∴当y=15时，15=﹣5x 2+20x ，得x 1=1，x 2=3，故答案为1s 或3s ．【点睛】本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和一元二次方程的知识解答．20．10【解析】【分析】根据铅球落地时，高度y=0，把实际问题可理解为当y=0时，求x 的值即可．【详解】 解：在21251233y x x =-++中，当y=0时， 212501233x x -++= 整理得：x 2-8x-20=0，（x-10）（x+2）=0，解得x 1=10，x 2=-2（舍去），即该运动员此次掷铅球的成绩是10m ．故答案为：10．【点睛】本题考查了二次函数的应用中函数式中自变量与函数表达的实际意义，需要结合题意，取函数或自变量的特殊值列方程求解是解题关键．21．（1）h ＝﹣x 2+10x+2；（2）斜抛物体的最大高度为27，达到最大高度时的水平距离为5．【解析】【分析】（1）将当x ＝0时，h ＝2；当x ＝10时，h ＝2，代入解析式，可求解；（2）由h ＝−x 2＋10x ＋2＝−（x−5）2＋27，即可求解．【详解】（1）∵当x ＝0时，h ＝2；当x ＝10时，h ＝2．∴222100102a a b a =-⎧⎨=+-⎩解得：110a b =-⎧⎨=⎩ ∴h 关于x 的函数表达式为：h ＝﹣x 2+10x+2；（2）∵h ＝﹣x 2+10x+2＝﹣（x ﹣5）2+27，∴斜抛物体的最大高度为27，达到最大高度时的水平距离为5．【点睛】本题考查了二次函数的应用，求出二次函数的解析式是本题的关键．22．（1）215(4)243y x =--+；（2）此球能过网，见解析；（3）2m 【解析】【分析】（1）依题意，函数图象的顶点坐标为（4，53），则可设函数的解析式为：25(4)3y a x =-+，再由点（0，1）在抛物线上，代入求得a 即可（2）将x ＝5代入所求的函数解析式，求得y 即可判断；（3）将y ＝3124代入函数解析式求得x ，即可求出乙与球网的水平距离． 【详解】解（1）依题意，函数图象的顶点坐标为54,3⎛⎫ ⎪⎝⎭， 故设函数的解析式为：25(4)3y a x =-+，∵点(0,1)在抛物线上，∴代入得251(04)3a =-+， 解得124a =-， 则羽毛球经过的路线对应的函数关系式为：215(4)243y x =--+； （2）由（1）知羽毛球经过的路线对应的函数关系式为215(4)243y x =--+， 则当5x =时，21513(54) 1.6252438y =-⨯-+==， ∵1.625 1.55>，∴此球能过网；（3）由（1）知羽毛球经过的路线对应的函数关系式为215(4)243y x =--+， 当3124y =时，有23115(4)24243x =--+， 解得11x =（舍去），27x =，∴此时乙与球网的水平距离为：752m -=.【点睛】本题考查了二次函数在实际生活中的应用，利用待定系数法求出羽毛球经过的路线对应的函数关系式是解题的关键．23．(1) 194；（2）能成功；理由见解析. 【解析】【分析】（1）将抛物线解析式整理成顶点式，可得最大值，即为最大高度；（2）将x=4代入抛物线解析式，计算函数值是否等于3.4进行判断.【详解】 (1)y=-35x 2+3x+1=-35252x ⎛⎫- ⎪⎝⎭+194 ∵-35＜0，∴函数的最大值是194．答：演员弹跳的最大高度是194米．(2)当x=4时，y=-35×42+3×4+1=3.4=BC，所以这次表演成功．【点睛】此题将用待定系数法求二次函数解析式、动点问题和最小值问题相结合，有较大的维跳跃，考查了同学们的应变能力和综合思维能力，是一道好题．24．（1）y=；(2）不能正中篮筐中心；3米.【解析】试题分析：（1）根据顶点坐标（4，4），设抛物线的解析式为：y=，由球出手时离地面m，可知抛物线与y轴交点为（0，），代入可求出a的值，写出解析式；（2）先计算当x=8时，y的值是否等于3，把x=8代入得：y=，所以要想球经过（8，3），则抛物线得向上平移3﹣=个单位，即球出手时距离地面3米可使球直接命中篮筐中心．试题解析：（1）设抛物线为y=，将（0，）代入，得=，解得a=，∴所求的解析式为y=；（2）令x=8，得y==≠3，∴抛物线不过点（8，3），故不能正中篮筐中心；∵抛物线过点（8，），∴要使抛物线过点（8，3），可将其向上平移个单位长度，故小明需向上多跳m再投篮（即球出手时距离地面3米）方可使球正中篮筐中心．考点：二次函数的应用．25．（1）能准确投中（2）能获得成功【解析】【分析】（1）根据条件先确定抛物线的解析式，然后令x=7，求出y的值，与3m比较即可作出判断；（2）将x=1代入抛物线的解析式，求出y的值与3．1比较大小即可．【详解】解：（1）由题意可得抛物线的顶点为（4,4），出手点为（0，209），设2()y a x h k=-+，则h=4，k=4，然后把点（0，209）代入解析式得19a=-，所以()21449y x=--+，当x＝7时，y＝3，所以此球能准确投中．（2）当x＝1时，y＝3＜3．1，他能获得成功．考点：二次函数的应用26．（1）①见解析；②t=0.4（秒），乒乓球达到最大高度；（2）52 m．【解析】【分析】（1）①根据描出了上表中y与t各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象即可；②利用网格中数据直接得出乒乓球达到最大高度时的时间；（2）首先求出函数解析式，进而求出乒乓球落在桌面时，与端点A的水平距离．【详解】解：（1）①如图所示，②由表格中数据可得，t=0.4（秒），乒乓球达到最大高度；（2）由表格中数据，可设y=a（x﹣1）2+0.45，将（0，0.25）代入，可得：a=﹣15，则y=﹣15（x﹣1）2+0.45，当y=0时，0=﹣15（x﹣1）2+0.45，解得：x1=52，x2=﹣12（舍去），即乒乓球与端点A 的水平距离是52m ．【点睛】考点：二次函数的应用．27．（1）21(4)48y x =-+；（2）不能投中 【解析】【分析】（1）根据题意可得抛物线的顶点，设函数的顶点式，再将（0，2）代入，求得二次项系数，从而可得抛物线的解析式；（2）判断当x ＝7时，函数值是否等于3.19即可．【详解】（1）依题意得抛物线顶点为（4，4），则设抛物线的解析式为y ＝a （x ﹣4）2+4依题意得抛物线经过点（0，2）∴a （0﹣4）2+4＝2解得18a =- ∴抛物线的解析式为21(4)48y x =-+ （2）当x ＝7时，21(4)48y x =-+=23 3.198≠ ∴这个球员不能投中．【点睛】本题考查了二次函数解析式的求法以及实际应用，关键是求得函数的解析式，借助二次函数解决实际问题.28．（1）能射中球门；（2）他至少后退0.4m，才能阻止球员甲的射门．【解析】【分析】(1)、根据条件可以得到抛物线的顶点坐标是（4，3），利用待定系数法即可求得函数的解析式；(2)、求出当x=2时，抛物线的函数值，与2.52米进行比较即可判断，再利用y=2.52求出x的值即可得出答案．【详解】(1)、抛物线的顶点坐标是（4，3），设抛物线的解析式是：y=a（x-4）2+3，把（10，0）代入得36a+3=0，解得a=-112，则抛物线是y=-112（x-4）2+3，当x=0时，y=-112×16+3=3-43=53＜2.44米，故能射中球门；（2）当x=2时，y=-112（2-4）2+3=83＞2.52，∴守门员乙不能阻止球员甲的此次射门，当y=2.52时，y=-112（x-4）2+3=2.52，解得：x1=1.6，x2=6.4（舍去），∴2-1.6=0.4（m），答：他至少后退0.4m，才能阻止球员甲的射门．【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式，以及二次函数的应用，属于中等难度的题型．根据题意得出函数的顶点坐标，求得函数解析式是解题的关键．29．（1）y=−19(x−4)2+4；能够投中；（2）能够盖帽拦截成功．【解析】【分析】（1）根据题意可知：抛物线经过（0，209），顶点坐标是（4，4），然后设出抛物线的顶点式，将（0，209）代入，即可求出抛物线的解析式，然后判断篮圈的坐标是否满足解析式即可；（2）当1x 时，求出此时的函数值，再与3.1m比较大小即可判断. 【详解】解：由题意可知，抛物线经过（0，209），顶点坐标是（4，4）．设抛物线的解析式是()244y a x =-+， 将（0，209）代入，得()2200449a =-+ 解得19a =-， 所以抛物线的解析式是()21449y x =--+； 篮圈的坐标是（7，3），代入解析式得()2174439y =--+=， ∴这个点在抛物线上，∴能够投中 答：能够投中．（2）当1x =时，()2114439y =--+=<3.1， 所以能够盖帽拦截成功.答：能够盖帽拦截成功.【点睛】此题考查的是二次函数的应用，掌握二次函数的顶点式和利用二次函数解析式解决实际问题是解决此题的关键.30．（1）2516-，12；（2）当足球飞行的时间85s 时，足球离地面最高，最大高度是4.5m ；（3）能．【解析】【分析】（1）由题意得：函数y ＝at 2+5t +c 的图象经过（0，0.5）（0.8，3.5），代入函数的表达式即可求出a ，c 的值；（2）利用配方法即可求出足球飞行的时间以及足球离地面的最大高度；（3）把x ＝28代入x ＝10t 得t ＝2.8，把t ＝2.8代入解析式求出y 的值和2.44m 比较大小即可得到结论．【详解】（1）由题意得：函数y ＝at 2+5t +c 的图象经过（0，0.5）（0.8，3.5），∴20.53.50.850.8c a c =⎧⎨=+⨯+⎩， 解得：251612a c ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴抛物线的解析式为：y ＝﹣2516t 2+5t +12， 故答案为：﹣2516，12； （2）∵y ＝﹣2516t 2+5t +12， ∴y ＝﹣2516（t ﹣85）2+92， ∴当t ＝85时，y 最大＝4.5， ∴当足球飞行的时间85s 时，足球离地面最高，最大高度是4.5m ； （3）把x ＝28代入x ＝10t 得t ＝2.8，∴当t ＝2.8时，y ＝﹣2516×2.82+5×2.8+12＝2.25＜2.44， ∴他能将球直接射入球门．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，以及二次函数的应用，正确求得解析式是解题的关键．。
二次函数在生活中的应用
二次函数在生活中的应用
二次函数是一种常见的数学函数，它在我们的生活和工作中有许多应用。
以下是二次函数在生活中的几个应用：
1. 抛物线运动
当一个物体以一定的初速度开始运动，并且受到重力的影响而向下运动时，它的运动轨迹就是一条抛物线。
这个运动过程可以用二次函数来描述。
例如，当你抛出一颗球时，它的高度会随着时间的推移而不断降低，形成一条抛物线。
2. 建筑设计
在建筑设计中，二次函数可以用来描述建筑物的结构和形状。
例如，在建造一座拱形桥时，设计师需要使用二次函数来确定桥的最高点和曲线的形状。
3. 经济学
在经济学中，二次函数可以用来描述成本和收益之间的关系。
例如，当一家企业决定生产某种产品时，它需要考虑生产成本和销售收益之间的平衡点，这个平衡点可以用二次函数来计算。
4. 电子技术
在电子技术中，二次函数可以用来描述电路中的电压和电流之间的关系。
例如，在设计一条放大电路时，工程师需要使用二次函数来确定电路的增益和频率响应。
总之，二次函数在我们的生活和工作中有许多应用，这些应用涉及到不同的领域，包括物理学、工程学、经济学和电子技术等。
熟练
掌握二次函数的概念和应用可以帮助我们更好地理解和解决实际问题。
二次函数的应用抛物线的实际应用
二次函数的应用抛物线的实际应用二次函数的应用：抛物线的实际应用引言：二次函数是数学中重要的一种函数形式，它的图像为一个抛物线。
抛物线在现实生活中有着广泛的应用，无论是物理学、经济学还是工程学，都离不开对二次函数的应用。
本文将重点介绍抛物线的实际应用，并探讨二次函数在这些应用中的角色。
一、抛物线在物理学中的应用1. 自由落体运动自由落体运动是我们熟知的物理现象，物体在重力作用下自由下落。
这一过程可以用二次函数来描述。
假设物体从高度 h0 自由下落，高度随时间的变化可以用二次函数 h(t) = -gt^2 + h0 来表示，其中 g 是重力加速度，t 是时间。
抛物线的开口向下，表达了物体的下降趋势，通过解析二次函数，我们可以计算物体的下落时间、最大高度等重要物理量。
2. 抛物线弹道在射击或投掷物体时，抛物线弹道也是常见的现象。
例如，运动员射击目标、棒球手投掷棒球等。
这些抛物线弹道可以利用二次函数进行建模。
通过观察抛物线的顶点和开口方向，我们可以分析射击或投掷的角度、速度等因素，帮助运动员准确命中目标。
二、抛物线在经济学中的应用1. 成本与收益在经济学中，成本与收益是决策的重要因素。
当生产或经营某种产品时，成本和收益之间往往存在着二次函数关系。
成本一般随着产量的增加而呈抛物线增长，而收益则随着产量的增加而呈抛物线增长，二者的交点即为盈亏平衡点。
通过分析二次函数的图像，我们可以找到最大化收益、最小化成本的最优产量或定价策略。
2. 市场供需市场供需关系也可以用二次函数进行建模。
供需的交点是市场均衡点，也就是商品的实际价格。
市场需求一般随着价格的下降而增加，而市场供应一般随着价格的上升而增加，二者的交点即为市场均衡。
通过分析二次函数的图像，我们可以预测市场的价格波动和供需的变化趋势。
三、抛物线在工程学中的应用1. 科学研究在科学研究中，抛物线的应用非常广泛。
例如，在天体力学中，通过二次函数可以描述天体的轨迹；在工程力学中，通过二次函数可以建立材料的变形模型，以便研究材料的受力行为。
二次函数的应用 (抛物线型)
抛物线的解析式为y=
-
1
1 6
（x-4）2+3
OC 4 4 3
y
10.928 10.9
2A
C精选Oppt源自7x例2.在体育测试时，初三的一名高个子男生推 铅球，已知铅球所经过的路线是某个二次函数 的图象的一部分（如图），如果这个男生的出 手处A点坐标为（0，2），铅球路线的最高处 B的坐标为（6，5）。
（1）求这个二次函数的解析式。
y
B(6,5)
2A C
O
x
实际问题
数学问题
实际问题------求铅球所精经选ppt过的路线。
8
数学问题:
已知：抛物线的顶点坐标（6，5），并 经过A（0，2）.
求：抛物线的解析式.
y
2A
O
精选ppt
B(6,5)
C x
9
解:（1）∵抛物线的顶点为（6，5）
∴可设抛物线的解析式为 y=a（x-6）2+5.
∵抛物线经过点A（0，2）
∴2=a（0-6） 2 +5
∴a=- 1
12
故抛物线的解析式为y= - 1 12（x-6）2+5
即 y= - 1 12x2+x+2 y
B(6,5)
2A
精O选ppt
C x
10
例2. 在体育测试时，初三的一名高个子男生推 铅球，已知铅球所经过的路线是某个二次函数 的图象的一部分（如图），如果这个男生的出 手处A点坐标为（0，2），铅球路线的最高处B 的坐标为（6，5）.
（2）该男生把铅球推出去多远？（精确到0.01
米) 15 3.87
y
（2）当y=0时，
B(6,5)
简述二次函数的应用
简述二次函数的应用二次函数是高中数学中重要的函数之一、它的一般形式是y=ax^2+bx+c，其中a、b、c是常数，且a≠0。
二次函数在现实生活中有着广泛的应用。
以下是几个二次函数的应用领域的例子。
1.抛物线二次函数的图像是一个抛物线，抛物线在物理学、工程学和计算机图形学中有着广泛的应用。
比如，抛物线的形状可以用来描述物体自由落体的运动轨迹，炮弹的弹道轨迹，天桥的拱形结构等。
此外，在电脑游戏和动画中，抛物线被广泛用于模拟物体的运动轨迹。
2.物体的位置与时间关系二次函数可以描述一个物体在时间t上的位置。
例如，当一个物体以恒定的加速度下落时，它的位置与时间的关系可以表示为y=1/2gt^2，其中g是重力加速度。
这种关系在物理学和工程学中有着广泛的应用，尤其在研究物体自由落体、弹道以及其他与时间相关的运动问题时。
3.利润与产量关系在经济学中，二次函数可以用来描述企业的利润与产量之间的关系。
通常情况下，企业的利润随着产量的增加而先增加后减少。
这种关系可以用二次函数来建模，并通过求解函数的极值来确定最大利润对应的产量。
这个应用可以帮助企业找到最佳产量水平，以最大化其利润。
4.预测和拟合数据通过二次函数可以对一组数据进行预测和拟合。
例如，如果我们有一组时间和距离的数据点，我们可以使用二次函数来预测未来的距离值，并通过函数的图像来分析数据的趋势和变化。
这种方法在统计学、经济学、工程学等领域中经常被使用，以预测和分析数据的变化。
5.优化问题二次函数的图像是一个拋物线，在一些范围内有一个最大或最小值。
因此，二次函数可以用于求解各种优化问题。
例如，在工程设计中，当需要确定一个系统的最佳参数或一些变量的最优值时，可以使用二次函数建立目标函数，并通过求解函数的极值来找到最佳的解。
6.图像处理二次函数在计算机图形学和图像处理中扮演着重要角色。
例如，图像的亮度、对比度和锐化等可以通过应用二次函数来调整和改善。
此外，曲线插值、图像平滑和边缘检测等问题也可以通过二次函数进行建模和解决。
《二次函数的应用》PPT课件(湘教版)
2.45≤x≤2.45.
–3 –2
y
–1 O
–1 –2 –3 –4 –5
1 2 3x
A
一座拱桥的纵截面是抛物线的一部分，拱桥的跨度是 4.9 m，水面宽是
4 m 时，拱顶离水面 2 m，若想了解水面宽度变化时，拱顶离水面的高度怎
样变化．你能建立函数模型来解决这个问题吗？
某网络玩具店引进一批进价为 20 元/件的玩具，如果以单价 30 元销售，那么一个月内可售出 180 件. 根据销售经验，提高销售单价会导 致销售量的下降，即销售单价每上涨 1 元，月销售量将相应减少10 件. 当销售单价为多少元时，该店能在一个月内获得最大利润？【教材P31页】
现价 涨价
进价/元 20 20
–3 –2 –1 O
–1 –2 –3 –4 –5
1 2 3x
一座拱桥的纵截面是抛物线的一部分，拱桥的跨度是 4.9 m，水面宽是
4 m 时，拱顶离水面 2 m，若想了解水面宽度变化时，拱顶离水面的高度怎
样变化．你能建立函数模型来解决这个问题吗？
已知水面宽 4 m 时， 拱顶离水面高 2 m， 因此点 A（2，－2）在抛物线
度不计）
83 4
这时高为
3 =2m.
2
则当窗框的宽为 4 m，高为2m时，窗框的透光面积
3 最大，最大透光面积为
8
m2.
3
某网络玩具店引进一批进价为 20 元/件的玩具，如果以单价 30 元销售，那么一个月内可售出 180 件. 根据销售经验，提高销售单价会导 致销售量的下降，即销售单价每上涨 1 元，月销售量将相应减少10 件. 当销售单价为多少元时，该店能在一个月内获得最大利润？【教材P31页】
二次函数的图象与性质(第5课时)PPT课件
A. (5，0)
B. (0，5) C. (0，3) D. (3，0)
4、对于抛物线y=-2x2+4x+1，下列说法正确的是（ C ）
A. y最大值=1 B. y最小值=1 C. y最大值=3 D. y最小值=3
5. 画二次函数y=x2-2x-1的图象.
配方：y=(x-1)2-2 对称轴：x=1， 顶点坐标：(1，-2)
动脑筋 画二次函数y=-2x2+6x-1 的图象？
配方：y
= =
-
2 2
x2 +
x-
6
3 2
x-1 =
2
+2×
- 2( x2 - 3 x)-1=
94-1
=
-2
x- 32
-
2
x2
2
+72
.
-
3
x
+
-
3 2
2
-
-
3 2
2
-1
对称轴是直线 x =
3 2
，顶点坐标是
3 2
,
7
A. y=-(x-1)2-3
B. y=-(x+1)2-3
C. y=-(x-1)2+3
D. y=-(x+1)2+3
2、抛物线y=x2-3x+2与y轴交点的坐标是（ A ）
A. (0，2) B. (1，0) C. (0，-3) D. (0，0)
3、把抛物线y=2x2向上平移5个单位，所得抛物线的顶点
坐标为（ B ）
这个最大值等于顶点的纵坐标
7 2
.
从二次函数
y
=
1( 2
x
初中数学二次函数应用场景详解
初中数学二次函数应用场景详解在初中数学的学习中，二次函数是一个非常重要的知识点。
它不仅在数学领域有着广泛的应用，还与我们的实际生活息息相关。
接下来，让我们一起深入探讨二次函数的各种应用场景。
一、抛物线形状的物体运动轨迹在体育项目中，很多物体的运动轨迹都可以用二次函数来描述。
比如，篮球投篮时，篮球在空中划过的轨迹；铅球被抛出后，其运动路径等。
以投篮为例，篮球出手时的速度、角度和高度等因素决定了其运动轨迹。
通过建立二次函数模型，可以预测篮球是否能够准确进入篮筐，从而帮助运动员调整投篮技巧。
二、桥梁和拱门的设计在建筑领域，二次函数也发挥着重要作用。
许多桥梁和拱门的形状都是抛物线。
这是因为抛物线具有良好的力学性能，能够承受较大的压力和重量。
设计师们通过运用二次函数的知识，可以精确计算出桥梁和拱门的形状和尺寸，确保其结构的稳定性和安全性。
三、利润最大化问题对于商家来说，如何实现利润最大化是一个关键问题。
假设一家商店销售某种商品，其成本为固定值，而销售价格和销售量之间存在一定的关系。
我们可以建立一个二次函数来表示利润与销售价格或销售量之间的关系。
通过求函数的最大值，就能找到最优的销售价格或销售量，从而实现利润的最大化。
例如，某商品的成本为每件 50 元，销售价格为每件 x 元，销售量为 y 件，且销售量与销售价格之间满足关系 y ＝－10x ＋ 500。
那么利润 P 可以表示为：P ＝（x 50) （－10x ＋ 500)通过对这个二次函数进行整理和求最值，可以得出当销售价格为多少时，利润最大。
四、资源分配问题在资源分配方面，二次函数也能提供有效的解决方案。
比如，一个农场有一定面积的土地，要种植两种农作物 A 和 B。
已知种植农作物A 每公顷的收益和成本，以及种植农作物 B 每公顷的收益和成本。
设种植农作物 A 的面积为 x 公顷，种植农作物 B 的面积为 y 公顷，总收益为 z。
在土地面积有限的条件下，可以建立一个二次函数来表示总收益与种植面积之间的关系，然后通过求解函数的最大值来确定最优的种植方案。
二次函数的应用
二次函数的应用二次函数是高中数学中的重要内容之一，在现实生活中也有广泛的应用。
本文将介绍二次函数的基本概念，并结合实际例子，探讨二次函数在各个领域的应用。
1. 二次函数的基本概念二次函数是指形如f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c为常数，且a ≠ 0。
二次函数的图像是一个二次曲线，也称为抛物线。
2. 二次函数与图像二次函数的图像具有以下特点：- 当a > 0时，二次函数的图像开口向上，称为正抛物线；当a < 0时，二次函数的图像开口向下，称为负抛物线。
- 二次函数的图像关于x轴对称，称为对称轴。
对称轴的方程为x = -b/(2a)。
- 二次函数的顶点是图像的最低点或最高点，在对称轴上。
顶点的横坐标为-x = -b/(2a)，纵坐标为f(-b/(2a))。
3. 抛物线的应用抛物线作为一种特殊的曲线形状，在工程、物理、经济等领域有广泛的应用。
3.1 物理学中的应用在物理学中，抛物线经常用来描述物体的运动轨迹。
例如，抛出的物体在重力作用下的运动可以用二次函数来描述。
通过分析抛物线的特性和方程，可以推导出物体的最高点、最远点等重要信息。
3.2 工程学中的应用抛物线在工程学中也有许多应用。
例如，在桥梁设计中，二次函数可以用来描述桥梁弯曲的形状，从而确定桥梁的结构和材料；在发射抛物线的炮弹或火箭的轨迹计算中，二次函数可以用来分析飞行轨迹和最佳发射角度。
3.3 经济学中的应用经济学中的需求曲线和供给曲线通常也是二次函数。
通过分析二次函数的方程和图像，可以研究产品的价格和销量之间的关系，从而进行市场预测和经济决策。
4. 求解二次方程二次函数也可以用来解决一些实际问题。
当我们遇到形如ax^2 + bx + c = 0的二次方程时，可以使用求根公式：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)通过求解二次方程，可以找到方程的根或解，并应用于各个领域的实际问题中。
二次函数抛物线的性质与应用
二次函数抛物线的性质与应用在数学中，二次函数是一种多项式函数，其最高次幂为2。
二次函数的图像通常呈现出抛物线的形状，而抛物线在许多实际问题中都有重要的应用。
本文将探讨二次函数抛物线的性质以及其在实际生活中的应用。
一、二次函数的一般形式二次函数的一般形式可以表示为y = ax^2 + bx + c，其中a、b和c 为实数，且a不等于0。
根据a的正负，可以判断抛物线的开口方向。
当a大于0时，抛物线开口向上；当a小于0时，抛物线开口向下。
二、二次函数的性质1. 零点与轴对称二次函数的零点指的是使得函数值等于零的x值。
通过求解二次方程ax^2 + bx + c = 0，可以得到二次函数的零点。
除非判别式b^2-4ac 小于零，否则二次方程将有实根，也即二次函数将与x轴交于两点。
当判别式小于零时，说明二次函数与x轴没有交点，抛物线位于x轴上方或下方。
除此之外，二次函数的抛物线具有轴对称性，轴对称的直线称为抛物线的对称轴。
2. 高低点抛物线的顶点被称为高低点，它是抛物线的最高点或最低点。
如果抛物线开口向上，高点的纵坐标就是抛物线的最大值；反之，如果抛物线开口向下，低点的纵坐标就是抛物线的最小值。
通过求解二次函数的导数可以找到这个关键点的坐标。
3. 对称轴对称轴是指抛物线的对称线，它是抛物线两边形状相似的主要分界线。
对称轴的方程可以通过直接计算或利用二次函数的性质得到。
对称轴与抛物线的顶点是重合的。
三、二次函数的应用1. 物体运动的模型二次函数可以用于描述物体在空中的轨迹。
例如，当一个物体被抛出时，其运动轨迹符合二次函数的性质。
通过分析二次函数的系数，可以了解物体的运动速度、加速度以及最大或最小高度等信息。
2. 经济学模型二次函数在经济学中有广泛的应用。
例如，成本函数、利润函数和边际收益函数等经济学模型可以被表示为二次函数。
通过研究这些函数的性质，可以分析产品价格、成本、利润最大化等经济问题。
3. 自然界中的抛物线抛物线在自然界中也有很多应用。
《二次函数的应用》数学教学PPT课件(5篇)
A(1.5，3.05)，篮球在最大高度时的位置为点B(0，
3.5)．以点C表示运动员投篮球的出手处．
设以y轴（直线x=0）为对称轴的抛物线为y=a(x-0)2+k，
即y=ax2+k，而点A，B在这条抛物线上，所以有
解得
2.25a k 3.05， k 3.5.
a 0.2， k 3.5.
(1) 请用长20米的篱笆设计一个矩形的菜园.
解：设AM的长为x(m),则BM的长为（2-x)m,以AM和MB为边的两块正方形面积之
和为y.依题意得y与x之间的函数解析式为
D
2m
C
y=x2+(2-x)2
=2x2-4x+4
=2(x2-2x)+4
=2(x2-2x+1-1)+4 =2(x-1)2+2
A Xm M
B
∵a=2＞0∴当x=1时，y有最小值，最小值为2.
因为两条直线相交于点（2,3),
｛X=2
所以原方程组的解是
交流思考
如何运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值?
➢ 首先应当求出函数解析式和自变量的取值范围， ➢然后通过配方变形，或利用公式求它的最大值或最 小值。
注意：由此求得的最大值或最小值对应的
。 自变量的值必须在自变量的取值范围内
例2：如图，ABCD是一块边长为2 m的正方形铁板，在边AB上选取 一点M，分别以AM和MB为边截取两块相邻的正方形板料。当 AM的长为何值时，截取的板料面积最小？
何时窗户通过的光线最多
用长为6m的铝合金型材做一个形状如图26.2.5所示的 矩形窗框．窗框的高与宽各为多少时，它的透光面积 最大？最大透光面积是多少？（铝合金型材宽度不计）
二次函数在几何中的应用
二次函数在几何中的应用二次函数是一种常见的函数形式，其数学表达式为y=ax²+bx+c，其中a、b、c代表常数，a≠0。
二次函数在数学中有重要的应用，同样也广泛应用于几何学中。
本文将探讨二次函数在几何中的应用，并通过实例解释其具体用途。
一、二次函数与平面几何中的抛物线二次函数的图像是抛物线，而抛物线是几何学中的重要概念之一。
通过研究二次函数的图像，我们可以了解抛物线的特征，并在几何问题中应用这些特征。
1. 确定抛物线的开口方向：二次函数中的a值决定了抛物线开口的方向。
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
因此，通过给定二次函数的a值，我们可以直观地确定抛物线的开口方向。
2. 确定抛物线的顶点坐标：二次函数的顶点坐标即为抛物线的顶点坐标。
抛物线的顶点是图像的最高点或最低点，也是抛物线的对称轴上的点。
通过求解二次函数的顶点坐标，我们可以确定抛物线的位置，进而解决涉及抛物线的几何问题。
3. 确定抛物线与坐标轴的交点：二次函数与坐标轴的交点即为抛物线与x轴和y轴的交点。
通过求解二次函数与坐标轴的交点，我们可以进一步确定抛物线的形状，从而应用于解决几何问题。
二、二次函数与立体几何中的应用除了在平面几何中的应用外，二次函数也在立体几何中发挥着重要的作用。
以下将介绍二次函数在立体几何中的两个具体应用。
1. 求解抛物面的性质：抛物面是由二次函数生成的曲面。
在立体几何中，我们常常需要求解抛物面的性质，例如确定抛物面的方程、确定抛物面的焦点和准线等。
通过应用二次函数的性质，我们可以轻松地解决这些问题。
2. 确定旋转体的体积：旋转体是指由某条曲线绕某条轴旋转一周而形成的立体。
通过应用二次函数的性质，我们可以确定旋转体的体积。
具体而言，旋转体的体积等于曲线沿轴旋转一周所围成的面积乘以旋转一周的角度。
通过计算二次函数所确定的曲线的面积，并乘以旋转角度，我们可以准确地计算旋转体的体积。
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新九年级暑假复习资料 姓名_____________
109.00225.02++=x x
y 第五讲 二次函数的应用：抛物线形态物体
1．如图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，
当水面在l 时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面
2m ，水面宽4m ．如图（2）建立平面直角坐标
系，则抛物线的关系式是（ ）
A ．22y x =-
B ．22y x =
C ．212y x =-
D ．212y x =
2．如图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给小明做
了一个简易的秋千。
拴绳子的地方距地面高都是2.5米，绳子自然
下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时，头部
刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为 米.
3．如图,两条钢缆具有相同的抛物线形状.按照图中的直角坐标系,左面的一条抛物线可以用
y=0.0225x²+0.9x+10表示,而且左右两条抛物线关手y 轴对称．
⑴钢缆的最低点到桥面的距离是少？
⑵两条钢缆最低点之间的距离是多少？
4．施工队要维修一个横断面为抛物线的公路隧道，其高度为6m ，宽度OM 为12米，现
在O 点为原点，OM 所在直线为x 轴建立直角坐标系（如图所示）．
（1）直接写出点M 及抛物线顶点P 的坐标；
（2）求出这条抛物线的函数解析式；
（3）施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”ABCD ，使A 、D 点在抛物线上，B 、
C 点在地面OM 上．为了筹备材料，需求出“脚手架”三根木杆AB 、A
D 、DC 的长度之和的最大值是多少？请你帮施工队计算一下．
5．如图，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，
两小孔形
图（1） 图（2）
状、大小都相同．正常水位时，大孔水面宽度AB=20米，顶点M距水面6米（即MO=6米），小孔顶点N距水面4.5米（即NC=4.5米）．当水位上涨刚好淹没小孔时，借助图中的直角坐标系，求此时大孔的水面宽度EF．
6．有一座抛物线拱桥，正常水位时桥下水面宽度为20m，拱顶距离水面4m．
（1）在如图所示的直角坐标系中，求出该抛物线的解析式；
（2）在正常水位的基础上，当水位上升h（m）时，桥下水面的宽度为d（m），求出用d表示h的函数解析式；
（3）设正常水位时桥下的水深为2m，为保证过往船只顺利航行，桥下水面宽度不得小于18m，求水深超过多少米时就会影响过往船只在桥下顺利航行？
7．某隧道横断面由抛物线与矩形的三边组成，尺寸如图所示．
（1）以隧道横断面抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴，建立直角坐标系，求该抛物线对应的函数关系式；
（2）某卡车空车时能通过此隧道，现装载一集装箱箱宽3m，车与箱共高4.5m，此车能否通过隧道？并说明理由．
8．某学生推铅球，铅球出手(A点处)的高度是5
3
m，出手后的铅球沿一段抛物线弧运行(如
图)，当运行到最大高度y=3m是，水平距离是x=4m.
(1)试求铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系式;
(2)如果将y轴平移至直线x=4,x轴平移到直线y=3，原抛物线不动，在新的坐标系下，
求抛物线的函数关系式.
9．如图，足球场上守门员在O处开出一高球，球从离底面1米的A处飞出（点A在y轴上）运动员乙在距O点6米的B处发现球在自己头的正上方达到最高点M，距地面约4米高，球落地后又一次弹起．据实验测算，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半。
（1）求足球从开始飞出到第一次落地后，该抛物线的表达式。
（2）足球第一次落地点C距守门员多少米？(取7
≈)
（3）运动员乙要抢到第二个落地点，他应该再向前跑多少米？（取5
≈）。