长春市三模理科数学答案

平面 PAD ∩ 平面 ABCD = AD ，故 BF ⊥ 平面 PAD ，又 BF ⊂ 平面 BEF ，
所以平面 BEF ⊥ 平面 PAD . （6 分） （Ⅱ）(法一) 连 PF ∵ PA = PD ， F 为 AD 中点，∴ PF ⊥ AD 又 PF ⊂ 平面 PAD ，
平面 PAD ⊥ 平面 ABCD ，平面 PAD ∩ 平面 ABCD = AD ，
【题号】21
【参考答案与评分细则】（Ⅰ） F(x) = f (x) − g(x) = m ln x − x −1 ， x
F′(x) = m − 1 = mx −1 ，
x x2
x2
当 m ≤ 0 时， F′(x) < 0 ，所以，函数 F(x) 在 (0, +∞) 上单调递减；
当 m > 0 时，由 F′(x) < 0 得： 0<x < 1 ；由 F′(x) > 0 得： x > 1
m
m
所以，函数 F(x) 在 (0, 1 ) 上单调递减，函数 F(x) 在 ( 1 , +∞) 上单调递增. （4 分）
m
m
（Ⅱ）函数 f (x) = mln x 在点 (a, m ln a) 处的切线方程为 y − m ln a = m (x − a) ， a
即 y = m x + m ln a − m ， a
函数 g(x) = x −1 在点 (b,1− 1) 处的切线方程为 y − (1− 1) = 1 (x − b) ，
x
b
b b2
即
y
=
1 b2
x−
2 b
+1.
y = f (x) 与 y = g(x) 的图象有唯一一条公切线.
所以
⎧ ⎪⎪ ⎨ ⎪⎪⎩m
ln
m= 1 a b2 a−m=
1
① −2
b
②
由①得：
当且仅当 (x − 2)(x + 3) ≤ 0 ，即 x ∈[−3, 2] 时等号成立，
所以 m ≤ 5 ，即 m ∈ (−∞,5] . （5 分）
（Ⅱ）令 f (x) ≥ 0 ，即 x − 2 ≤ m ， ① 若 m ≤ 0 时，解集为 ∅ ，不合题意；
② 若 m＞0 时， −m ≤ x − 2 ≤ m ， x ∈[2 − m, 2 + m]，又 x ∈[1,3] ，则 m = 1.
【题号】18 【参考答案与评分细则】
（Ⅰ）在 ΔABC 中，由 a = 4c cos B ，可得 sin A = 4sin C cos B ， 则 sin(B + C) = 4sin C cos B ，则 sin B cosC + cos B sin C = 4sin C cos B ，
因此 sin B cos C = 3sin C cos B .
长春市 2020 届高三质量监测（三） 数学（理科）试题参考答案及评分参考
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）
1. D
2. A
3. B
4. A
5. B
6. C
7. C
8. C
9. C
10. D
11. D
12. C
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，15 题第一空 2 分，第二空 3 分，共 20 分）
【题号】23
【参考答案与评分细则】（Ⅰ）由题意得： f (x) ≤ g(x) 在 x ∈ R 上恒成立，
即 m− | x − 2 |≤| x + 3 | m ≤ (| x + 3 | + | x − 2 |)min ，又 | x + 3 | + | x − 2 |≥| (x − 2) − (x + 3) |= 5 ，
这种机器生产的宣纸质量指标 x 的频率如下表所示：
x
(48, 52]
(44, 56]
频率
0.6826
0.9544
则一刀（100 张）宣纸中正牌的张数约为100 × 0.6826 = 68.26 张，
副牌的张数约为100× (0.9544 − 0.6826) = 27.18 张，
废品的张数约为100× (1− 0.9544) = 4.56 张，
b
b
而 m > 0 ，所以 ln a −1 < 0 ，
则 g(0) = −a ln a + a = −a(ln a −1) > 0 ，
所以二次函数 g(b) = (b −1)2 − a ln a + a −1在 b ∈ (0,1) 上也有一个零点，不合题意.
综上， m = 1. 所以存在正实数 m = 1，使 y = f (x) 与 y = g(x) 的图象有唯一一条公切线. （12 分）
，
6
n2 = ( 6,0,1) .
设二面角 E − BF − A 的平面角为θ ∴| cosθ |=| | n1 ⋅ n2 | |=
7
.
| n1 | ⋅ | n2 | 7
又θ 为钝角，
∴cosθ = −
7 7
，即二面角
E
−
BF
−
A
的余弦值为 −
7 .（12 分） 7
(法二) 简解：连 FC ，取 FC 中点 O ，连 EO, OG ，
t= t2 +2
3 2
，∴ t
=
6，
（也可利用找出线面角求出 PF =
6 ）∴ P(0,0,
6) ， E(− 1 , 1 , 6 ) 22 2
设平面 EBF 的法向量 n2 = (x, y, z) ，
⎧ ∴ ⎪⎨n2
⋅
FE
=
−
1 2
x
+
1 2
y
+
6 2
z
=
0
，
⎪⎩
n2 ⋅ FB = y = 0
令z =1 ∴x =
2
2
又 kMN
=
a 2
， kAM
=
−
2 a
，则
kMN
⋅ kAM
= −1 ，即 NM
⊥
AM
因此 S = 1 | MN | ⋅ | AM |= 1 ( a )2 + ( a2 )2 ⋅ 1+ ( a )2 = a(4 + a2 )
2
22 4
2
16
可知当 a ∈ (2,8) 时， S 为关于 a 的增函数，因此 S 的取值范围是 (1,34) . （12 分）
P 到直线 l 的距离 d = | 2 cosα + 2 3 sinα − 8 | = 4 5 | sin(α + π ) − 2 | ，
5
5
6
由
1 2
≤ sin(α
+
π 6
)
≤1得
45 5
≤
d
≤
65 5
，
故等边三角形 PMN 的边长的取值范围是[8 15 , 12 15 ]. （10 分） 15 15
13. 0.88
14. − 1 3
15. 2 ， 4 ln 2 − 65 4
8 2π
16.
3
三、解答题
【题号】17
【参考答案与评分细则】（Ⅰ）由频率分布直方图可知，
一刀（100 张）宣纸中有正牌宣纸100 × 0.1× 4 = 40 张.
有副牌宣纸100× 0.05× 4× 2 = 40 张，有废品100× 0.025× 4× 2 = 20 张.
tan C
3
因此 tan（B − C）=
1
2
≤ 2 = 3，
+ 3tan C 2 3 3
tan C
即 B − C 的最大值为 π . 6
（12 分）
【题号】19
【参考答案与评分细则】（Ⅰ）连 AC 交 BF 于 G ，连 EG ， PA // 平面 BEF ， PA ⊂ 平面 PAC ，平面 PAC ∩ 平面 BEF = EG ，
估计一刀宣纸（100 张）的利润为：
68.26× (10 − 2) + 27.18× (5 − 2) + 4.56× (−10) = 582.02 元，
因此改进工艺后生产宣纸的利润为 582.02 −100 = 482.02 元， 因为 482.02 > 400 ，所以该公司应该购买这种设备. （12 分）
= 1，此时 m =
a b2
=1；
（ii）当 h(a) < 0 时，
二次函数 g(b) = (b −1)2 − a ln a + a −1在 b ∈ (1, +∞) 上显然有一个零点，
b ∈ (0,1) 时，由方程② m ln a − m = 1− 2 可得 m(ln a −1) = b − 2 < 0 ，
因此
ab
−
2a
−
b
=
2
，则
b
=
2a + 2 a −1
，又
⎧a ⎨⎩b
> >
0 0
，解得
a
>
1
.
a + b = a + 2a + 2 = a −1+ 4 + 3 ， a + b ≥ 2 (a −1) ⋅ ( 4 ) + 3 = 7 ，
a −1
a −1
a −1
当且仅当 a −1 = 4 ，即 a = 3时等号成立，此时 b = 2a + 2 = 4 ，
∠EGO 是二面角 E − BF − A 的平面角的补角 cos ∠EGO =
7 7，