几种常用的二次曲面与空间曲线

圆柱面. 其上所有点的坐标都满足此方程,
故在空间
x2 y 2 R2 表示圆柱面
21
定义2. 平行定直线并沿定曲线 C 移动的直线 l 形成
的轨迹叫做柱面.
C 叫做准线, l 叫做母线.
•
表示抛物柱面,
z
母线平行于 z 轴;
准线为xoy 面上的抛物线.
•
x2 a2
y2 b2
1表示母线平行于
z 轴的椭圆柱面.
例如,圆柱螺旋线
的参数方程为
令 t , b v
M o
x y
上升高度 h 2 b, 称为螺距 .
40
例1. 将下列曲线化为参数方程表示:
解: (1) 根据第一方程引入参数 ,
得所求为
(2) 将第二方程变形为
故所求为
41
2、空间曲线在坐标面上的投影
设空间曲线 C 的一般方程为
求其在 平xo面y上的投影.
o
x
y
z
• x y 0 表示母线平行于
z 轴的平面.
(且 z 轴在平面上)
o
y
x
x
C
z o
y
36
一般地,在三维空间曲面图形的方程中缺少一个变量,
此方程表示柱面方程.其图形平行于所缺变量对应的数轴.
方程 F (x, y) 0 表示柱面,
z
母线 平行于 z 轴;
准线 xoy 面上的曲线 l1.
方程 G( y, z) 0 表示柱面,
表示为： F (x, y) 0 z 0
而 F (x, y) 0 在空间坐标系中表示柱面。
例如：抛物柱面
z 1 x2
z
在xoz平面上的准线L3
(0,0,1)
L3
L3 :
z 1 x2
y
0
x
y
38
三、几种常用的空间曲线
三元二次方程
Ax2 By2 Cz 2 Dxy Eyx Fzx Gx Hy Iz J 0
交线情况如何?
交线情况如何?
3y
50
z
z
ay x
ay x
xz20y2 ax
x2 z2 a2 (x 0, z 0) y0
51
内容小结
1. 空间曲面
三元方程 F (x , y , z) 0
• 球面 (x x0 )2 ( y y0 )2 (z z0 )2 R2
• 旋转曲面
如, 曲线
给定 yoz 面上曲线 C:
f (y, z) 0
z
若点 M1(0, y1, z1) C, 则有
f ( y1, z1) 0
当绕 z 轴旋转时,
该点转到
M (x, y, z)
C
M1(0, y1, z1)
M (x, y, z) , 则有
z z1,
故旋转曲面方程为
x2 y2 y1
o
y
x
f ( x2 y2 , z) 0
母线 平行于 x 轴;
准线 yoz 面上的曲线 l2.
方程 H (z, x) 0 表示柱面,
母线 平行于 y 轴; 准线 xoz 面上的曲线 l3.
x l1
y z l2 y
x z l3
x
y
37
注:柱面方程与坐标面上的曲线方程容易混淆,
在不同的坐标系中应该注意。
一般在xoy面上的曲线，在空间直角坐标系中应该
1
x
y
这两种曲面都叫做旋转双曲面.
分别绕 x
z
20
二、柱面
z
引例. 分析方程
表示怎样的曲面 .
解:在 xoy 面上， 在圆C上任取一点
平行 z 轴的直线 l ,
M
表示圆C,
M1(x, y,0) , 过此点作
Co
M1
y
x
z 对任意 , 点M (x, y, z)
l
的坐标也满足方程
x2 y2 R2
沿曲线C平行于 z 轴的一切直线所形成的曲面称为
x
对称轴. 例如:yoz面上的椭圆:
y2 a2
z2 b2
1
绕z轴旋转得旋转曲面方程:
x2 y2 a2
z2 b2
1
绕y轴旋转得旋转曲面方程:
y2 a2
x2 z2 b2
1
注:旋转曲面的重要特征是其两个变量的平方项系数相等.
18
例4. 试建立顶点在原点, 旋转轴为z 轴, 半顶角为
的圆锥面方程. 解: 在yoz面上直线L 的方程为
x2 y2 9
圆心在(0,0) 半径为 3 的圆
y x 1
斜率为1的直线
空间解析几何中 平行于 yoz 面的平面 以 z 轴为中心轴的 圆柱面
平行于 z 轴的平面
55
例4：求抛物柱面 x 2 y2 和平面
的交线 三个坐标面的投影。
x z 1
解：1. x 2 y2 的母线 L//z轴，则它就是交线在
x2 2 y2 2 y 0 为投影柱面， C 在xoy 面上的投影曲线方程为
C
o
1y
x
x2 2y2 2y 0
z0
44
例3 上半球面
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
和锥面
所围的立体在xoy 面上的投影
区域为:
二者交线在
xoy 面上的投影曲线所围之域 .
z
二者交线
在 xoy 面上的投影曲线
所围圆域:
x2 y2 1, z 0.
R(
y, z) x0
0
消去y 得C 在zox 面上的投影曲线方程
T
(x, y
z) 0
0
43
例2
x2 y2 z2 1
(1)
C : x2 ( y 1)2 (z 1)2 1 (2)
求曲线C在xoy 面上的投影曲线方程。
（1）－（2）
2y 2z 2
z
z 1 y (3)
（3）代入（1）整理得
16
同理：当曲线 C : f ( y, z) 0
绕 y 轴旋转时得旋转曲面方程:
例1. 旋转抛物面
f (y,
x2 z2 ) 0
特点:母线C为抛物线,轴L为抛物线的对称轴。
z
例如:将yoz平面上的抛物线C:
绕 y 轴旋转一周所产生的抛物面为:
S : x2 z2 2 py
例如:将yoz平面上的抛物线C: 绕z轴旋转一周所产生的抛物面为:
xoy平面的投影柱面，
因此交线在xoy面的投影曲线：
C : 2.
x 2 y 2 它是xoy面上的一条抛物线。 z 0 平面 x z 1 的母线 L//y轴，则它就是交线
在xoz平面的投影柱面，
因此交线在xoz面的投影曲线：
C :
3.由
x z 1
y
0
x 2y2
x z 1
( x 0) 它是xoz面上的一条射线。
消去 z 得投影柱面
满足（1）的数
x, y, z 中的
这说明曲线C上所有点都在（2）
x, y 必满足（2）式。
z
式所表示的曲面上。 则C 在xoy 面上的投影曲线 C´为
H
(
x, y) z0
0
C
y
x
C
42
2、空间曲线在坐标面上的投影 设空间曲线 C 的一般方程为
消去 x 得C 在yoz 面上的投影曲线方程
z L
z绕 轴旋转时,圆锥面的方程为
M (0, y, z)
y
两边平方
x z2 a2( x2 y2 )
19
例5. 求坐标面 xoz 上的双曲线
轴和 z 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程.
解:绕 x 轴旋转
所成曲面方程为
x2 a2
y2 z2 c2
1
绕 z 轴旋转
所成曲面方程为
x2 y2 a2
z2 c2
f (y, z) x0
0
绕
z
轴的旋转曲面:
f ( x2 y2 , z) 0
• 柱面
如,曲面 F (x , y) 0表示母线平行 z 轴的柱面.
又如,椭圆柱面, 双曲柱面, 抛物柱面等 .
52
2. 二次曲面
• 椭球面
三元二次方程
• 抛物面:
椭圆抛物面
( p, q 同号)
x2 y2 z 2 p 2q
• 双曲面:
单叶双曲面
双曲抛物面 双叶双曲面
• 椭圆锥面:
x2 a2
y2 b2
1
x2 a2
y2 b2
z2
x2 a2
y2 b2
1
53
3、几种常用的空间曲线
• 空间曲线 • 求投影曲线
三元方程组 或参数方程
(如, 圆柱螺线)
54
思考与练习
1. 指出下列方程的图形:
方程
平面解析几何中
x5
平行于 y 轴的直线
zx
y 0
x2
y2
1
46
展示空间图形
(1) x 1 y2
z
oo
1
x
z 4 x2 y2
(2)
yx0
z
2y
o
2y
x
47
(3) x2 z 2 a2 x2 y2 a2
z
a
oa
y
x
48
y 5x 1 y x3
z
y 5x 1
y x3 o
y
49
z
x2 y2 1 49 y3
2 x 思考: 对平面 y b
几种常用的二次曲面与空间曲线
一、旋转曲面 二、柱面 三、几种常用的空间曲线
1
一、旋转曲面
定义1. 一条平面曲线
绕其平面上一条定直线旋转
一周 所形成的曲面叫做旋转曲面.
该定直线称为旋转
轴.
例如 :
2
下面我们重点讨论母线在坐标面,轴是坐标轴的
旋转曲面.
建立yoz面上曲线C 绕 z 轴旋转所成曲面的方程:
x 消去 得 2 y2 z 1 为交线关于yoz
面的投影柱面,则
C :
2 y2 z 1
它是yoz面上的一条抛物线.
x 0
56
(二次项系数不全为 0 )
的图形通常为二次曲面.
其基本类型有:
椭球面、抛物面、双曲面、锥面
适当选取直角坐标系可得它们的标准方程,
下面仅
就几种常见标准型的特点进行介绍 .
研究二次曲面特性的基本方法: 截痕法
39
1、空间曲线的参数方程
将曲线C上的动点坐标x, y, z表示成参数t 的函数:
z
称它为空间曲线的 参数方程.
z
Co 1 y
x
oy x
45
例4 求曲线
绕 z 轴旋转的曲面与平面
x y z 1的交线在 xoy 平面的投影曲线方程.
解：
旋转曲面方程为
z x2 y 2 ,它与所给平面的
交线为
z x2 y2 x y z 1
此曲线向 xoy 面的投影柱面方程为
此曲线在 xoy 面上的投影曲线方程为
S : x2 y2 2 pz z a(x2 y2)
问:此曲线若绕x轴旋转所得的是何图形?
z2 2 py
o y
y2 2 pz
x
z
0
y
17
例2: S : z 1 x2 y2
其图形顶点在z轴上(0,0,1)处,
z
(0,0,1)
开口向下的旋转抛物面. 例3. 旋转椭球面
0
y
特点:母线C为椭圆,轴为椭圆的