5-2 中心极限定理汇总
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
x 1 x e dt ( x ). 2π t2 2
近似~N(0,1)
0, 若在第k次试验中A不发生, 证明 设 X k 1, 若在第k次试验中A发生, k 1,2,.
X1 , X 2 ,..., X n 独立同（0， 1 ）分布 n X k ,
k 1 n
E ( X k ) p, D( X k ) p(1 p) ( k 1,2,, n), 由TH1得证
应用：
设n ~ B(n, p)，
a np n np b np P{a n b} P{ } npq npq npq b np a np ( ) ( ) npq npq
i=1
n
例1 一加法器同时收到20 个噪声电压V k
三、题型1总结 P126 2,5,6,7, 12,14
1、题目背景中都有：“总和”、“总 额”、…“平均” 2、设独立同分布的X1,X2,X3,…,Xn,求E(Xi)，D(Xi)
i=1 3、由定理：
X
n
i
E ( X i )
i=1 n
n
近似服从N (0,1)
D( X i )
i=1
4、求P{X= Xi L}
Biblioteka Baidu
x
1 e dt ( x ). 2π
t2 2
李雅普诺夫资料
Aleksandr Mikhailovich Lyapunov
Born: 6 June 1857 in Yaroslavl, Russia Died: 3 Nov 1918 in Odessa, Russia
定理2(李雅普诺夫定理
1 lim F （ lim P{Z n x} n x） n n 2
e
x
t2 2
dt 。
则称{X n} 服从中心极限定理。
二、基本定理
定理1（独立同分布的中心极限定理 Lindeberg-Levy）
设随机变量 X 1 , X 2 ,, X n ,相互独立, 服从 同一分布, 且具有数学期望 和方差：E ( X k ) , D( X k ) 2 0 ( k 1,2,), 则随机变量之和的
Lyapunov)
设随机变量 X 1 , X 2 ,, X n ,相互独立, 它 们具有数学期望 和方差： E ( X k ) k , D( X k ) k 0 ( k 1,2,),
2 n
记
2 2 Bn k , k 1
若存在正数 , 使得当 n 时, 1
3、“随机变量之和的标准化变量”
“服从中心极限定理”
定义： 设 X1,, X n , 是独立的随机变量序列，
n n k 1 k 1
近似~N(0,1)
EXk，DXk 存在，令： Z n ( X k E ( X k )) / D( X k ) ，
k 1
n
若 对 任 意 x R ， Zn 的 分 布 函 数 的 极 限 ：
k 1 n
当 n 很大时, 近似地服从正态分布 .
(如实例中射击偏差服从正态分布)
德莫佛资料
Abraham de Moivre
Born: 26 May 1667 in Vitry (near Paris), France Died: 27 Nov 1754 in London, England
拉普拉斯资料
第二节
中心极限定理
一、问题的引入
二、基本定理
三、典型例题
一、问题的引入
1：背景：大量、独立、随机因素的综合影响…P121 例如：考察射击命中点与靶心距离的偏差. 偏差是大量微小的偶然因素造成的微小误差的 总和, 这些因素包括: 瞄准误差、测量误差、子 弹制造过程方面 的误差、以及射击时武器的振 动、气象因素的作用, 所有这些不同因素所引起 的微小误差是相互独立的, 并且它们中每一个对 总和产生的影响不大. 2: 随即变量的标准化变量。教材P101例1。 X E( X ) Z , E(Z) 0, D(Z) 1 D( X )
Pierre-Simon Laplace
Born: 23 March 1749 in Beaumont-en-Auge, Normandy, France Died: 5 March 1827 in Paris, France
TH1 推论(De Moivre－Laplace 定理3)
设随机变量 n ( n 1,2,) 服从参数为 n, p (0 p 1)的二项分布, 则 对于任意 x , 恒有 n np lim P n np(1 p)
n
的分布函数 Fn ( x ) 对于任意 x 满足
lim Fn ( x ) lim P{
n n
x
X k k k 1 k 1
t2 2
n
n
Bn
x}
1 e dt ( x ). 2π
定理2 表明:
无论各个随机变量 X 1 , X 2 ,, X n ,服从什么 分布, 只要满足定理的条件 , 那么它们的和 X k
n
近似~N(0,1)
n n X k E X k X k n k 1 k 1 标准化变量 Yn k 1 n n D X k k 1
定理1表明:
X 如n充分大: 近似 ~ N(0,1) / n
Yn的分布函数 Fn ( x) 对于任意 x 满足 n X k n k 1 lim Fn ( x) lim P x n n n
2 Bn 2 E {| X | } 0, k k k 1 n
则随机变量之和的标准化变量
n n n X k E X k X k k k 1 k 1 k 1 Z n k 1 Bn n D X k 近似~N(0,1) k 1
近似~N(0,1)
0, 若在第k次试验中A不发生, 证明 设 X k 1, 若在第k次试验中A发生, k 1,2,.
X1 , X 2 ,..., X n 独立同（0， 1 ）分布 n X k ,
k 1 n
E ( X k ) p, D( X k ) p(1 p) ( k 1,2,, n), 由TH1得证
应用：
设n ~ B(n, p)，
a np n np b np P{a n b} P{ } npq npq npq b np a np ( ) ( ) npq npq
i=1
n
例1 一加法器同时收到20 个噪声电压V k
三、题型1总结 P126 2,5,6,7, 12,14
1、题目背景中都有：“总和”、“总 额”、…“平均” 2、设独立同分布的X1,X2,X3,…,Xn,求E(Xi)，D(Xi)
i=1 3、由定理：
X
n
i
E ( X i )
i=1 n
n
近似服从N (0,1)
D( X i )
i=1
4、求P{X= Xi L}
Biblioteka Baidu
x
1 e dt ( x ). 2π
t2 2
李雅普诺夫资料
Aleksandr Mikhailovich Lyapunov
Born: 6 June 1857 in Yaroslavl, Russia Died: 3 Nov 1918 in Odessa, Russia
定理2(李雅普诺夫定理
1 lim F （ lim P{Z n x} n x） n n 2
e
x
t2 2
dt 。
则称{X n} 服从中心极限定理。
二、基本定理
定理1（独立同分布的中心极限定理 Lindeberg-Levy）
设随机变量 X 1 , X 2 ,, X n ,相互独立, 服从 同一分布, 且具有数学期望 和方差：E ( X k ) , D( X k ) 2 0 ( k 1,2,), 则随机变量之和的
Lyapunov)
设随机变量 X 1 , X 2 ,, X n ,相互独立, 它 们具有数学期望 和方差： E ( X k ) k , D( X k ) k 0 ( k 1,2,),
2 n
记
2 2 Bn k , k 1
若存在正数 , 使得当 n 时, 1
3、“随机变量之和的标准化变量”
“服从中心极限定理”
定义： 设 X1,, X n , 是独立的随机变量序列，
n n k 1 k 1
近似~N(0,1)
EXk，DXk 存在，令： Z n ( X k E ( X k )) / D( X k ) ，
k 1
n
若 对 任 意 x R ， Zn 的 分 布 函 数 的 极 限 ：
k 1 n
当 n 很大时, 近似地服从正态分布 .
(如实例中射击偏差服从正态分布)
德莫佛资料
Abraham de Moivre
Born: 26 May 1667 in Vitry (near Paris), France Died: 27 Nov 1754 in London, England
拉普拉斯资料
第二节
中心极限定理
一、问题的引入
二、基本定理
三、典型例题
一、问题的引入
1：背景：大量、独立、随机因素的综合影响…P121 例如：考察射击命中点与靶心距离的偏差. 偏差是大量微小的偶然因素造成的微小误差的 总和, 这些因素包括: 瞄准误差、测量误差、子 弹制造过程方面 的误差、以及射击时武器的振 动、气象因素的作用, 所有这些不同因素所引起 的微小误差是相互独立的, 并且它们中每一个对 总和产生的影响不大. 2: 随即变量的标准化变量。教材P101例1。 X E( X ) Z , E(Z) 0, D(Z) 1 D( X )
Pierre-Simon Laplace
Born: 23 March 1749 in Beaumont-en-Auge, Normandy, France Died: 5 March 1827 in Paris, France
TH1 推论(De Moivre－Laplace 定理3)
设随机变量 n ( n 1,2,) 服从参数为 n, p (0 p 1)的二项分布, 则 对于任意 x , 恒有 n np lim P n np(1 p)
n
的分布函数 Fn ( x ) 对于任意 x 满足
lim Fn ( x ) lim P{
n n
x
X k k k 1 k 1
t2 2
n
n
Bn
x}
1 e dt ( x ). 2π
定理2 表明:
无论各个随机变量 X 1 , X 2 ,, X n ,服从什么 分布, 只要满足定理的条件 , 那么它们的和 X k
n
近似~N(0,1)
n n X k E X k X k n k 1 k 1 标准化变量 Yn k 1 n n D X k k 1
定理1表明:
X 如n充分大: 近似 ~ N(0,1) / n
Yn的分布函数 Fn ( x) 对于任意 x 满足 n X k n k 1 lim Fn ( x) lim P x n n n
2 Bn 2 E {| X | } 0, k k k 1 n
则随机变量之和的标准化变量
n n n X k E X k X k k k 1 k 1 k 1 Z n k 1 Bn n D X k 近似~N(0,1) k 1