随机变量的概率分布
随机变量的函数的概率分布
随机变量的函数的概率分布： 1．离散型的求法 设离散型随机变量 X 的分布律为： Y P g(x1) p1 X P x1 x2 p1 p2 … xk … … pk … , 则 X 的 函 数 Y=g(X) 的 分 布 律 为 ：
g(x2) …g(xk) … , 当 g(xj)有相同情况时，概率为相应之和。 p2 … pk …
例 2 设随机变量 X 的分布函数为 FX(x)，求随机变量 Y=3X+2 的分布函数 FY(y). y-2 y-2 [解]：FY(y)=P{Yy}= P{3X+2y}= P{X }= FX( ) 3 3 3 2 x 例 3 设随机变量 X 的密度函数为 fX(x)= 2 0 -1<x<1 其它 ,求随机变量 Y=3X+2 的密度函数 fY(y). y-2 3 y-2 , -1< <1 -1<y<5, 3 1 3
[解]：用公式法：设 y=g(x)=3x+2, y=g(x)的反函数为 x=h(y)= 则 Y=g(X)的密度函数为
|h(y)|=
2 1 3 y-2 1 (y-2) ( ) -1<y<5 fX(h(y))|h(y)| <y< 3 fY(y)= = 2 3 = 18 0 其它 0 0 其它
2
3
3
1 dx，fY(y)= F Y(y)= 0 2
y
1 1 2 3 1
2 (y) 3 =
2 3 1 3 ,当 y8 时, FY(y)=P{Yy}= P{X y}= P{X y}= dx =1，fY(y)= FY(y)= 0. fY(y)= 3 2 02 6 y 1 0<y<8 其它
随机变量与概率分布的定义和性质
随机变量与概率分布的定义和性质随机变量是由随机试验的结果所确定的变量，它是数学中的一个重要概念。
我们可以通过一系列概率统计的方法来研究随机变量的定义和性质，以及相应的概率分布。
一. 随机变量的定义随机变量指在一定概率条件下随机出现的一种变量，以离散和连续两种形式出现。
离散型随机变量可以通过一组确定的取值来刻画变量的取值范围。
例如，在一次抛硬币的实验中，正面和反面这两个可能的结果就是抛硬币所构成的一个离散型随机变量。
而连续型随机变量则需要用一个函数来描述其取值范围。
例如，一个人的身高就是一个连续型随机变量，取值可以在一个连续的区间范围内，比如说 160cm 到 190cm。
二. 概率分布的定义概率分布是指各种不同取值对应的概率，在数学与统计学中，概率分布被广泛应用于随机变量的模型和分析中。
我们可以通过将随机变量的取值范围划分为有限或无限个数的区间，来定义概率分布。
离散型随机变量的概率分布由概率质量函数 (PMF) 描述，而连续型随机变量的概率分布则由概率密度函数 (PDF) 描述。
在实际中，我们通常更关心随机变量的期望值、方差以及分位数等方面的特征。
三. 概率分布的性质概率分布有一些重要的性质以及相关的推论，在实践中可以帮助我们更好地理解随机变量的数学模型。
以下是一些重要的性质：1. 概率分布的和等于1概率分布描述了随机变量每个取值出现的概率，因此，所有可能取值的概率和必须等于1。
即：$$ \sum_{i=1}^{n}P(X = x_i) = 1 $$2. 期望值的定义随机变量的期望值是它所有可能取值的平均值，用E(X) 表示。
期望值可以通过以下公式来计算：$$ E[X] = \sum_{i=1}^{n}x_iP(X=x_i) $$3. 期望值的线性性质期望值具有线性性质，即对任意两个随机变量 X 和 Y，有：$$ E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y) $$其中，a 和 b 是常数。
统计学中的随机变量与概率分布
统计学中的随机变量与概率分布统计学是一门研究如何收集、处理、分析、解释、推断数据的学科，其中随机变量和概率分布是其中非常重要的概念。
一、随机变量随机变量是指一个试验所涉及的结果是随机的，但是这些结果可以用数值来表示。
比如，掷一枚硬币的结果可能是正面或者反面。
这个试验中，随机变量可能表示为X，如果正面朝上，就表示为X=1；如果反面朝上，就表示为X=0。
有两种类型的随机变量：离散随机犹豫和连续随机变量。
离散随机变量是指可能的结果是一个有限或者无限的集合，比如抛硬币的结果只能是正反两面。
概率分布列可以用来描述离散随机变量的概率分布。
连续随机变量是指可能的结果是一个无限但是连续的集合，比如一个人的体重或者收入。
概率密度函数可以用来描述连续随机变量的概率分布。
二、概率分布概率分布是随机变量的所有可能结果的概率分布，它们的总和为1。
概率分布的形式取决于随机变量的类型。
1. 离散随机变量的概率分布离散随机变量的概率分布可以用概率分布列来描述，即用一个数组来表示不同结果的概率。
例如，在抛掷一枚硬币的情况下，概率分布列可以表示如下：X 0 1P(X) 0.5 0.5其中，X是随机变量，0和1是离散随机变量的结果。
概率分布列表示X=0的概率为0.5，X=1的概率为0.5。
2. 连续随机变量的概率分布连续随机变量的概率分布不能用概率分布列来描述，因为连续随机变量的结果无限多，概率为0。
因此，使用概率密度函数。
概率密度函数描述了一个连续随机变量在某一点的概率密度，即该点附近可能出现的概率大小。
因此，概率密度函数只能表达相对概率，不能直接得到概率。
对于一个连续随机变量X，概率密度函数为f(x)，则概率计算可以使用积分来计算，如下所示：P(a <= X <= b) = ∫[a, b]f(x)dx其中，a和b是X的两个不同值，∫[a, b]表示从a到b的积分。
统计学中常用的连续随机变量概率分布包括正态分布、t分布和F分布等。
随机变量的概率分布和期望
随机变量的概率分布和期望随机变量是统计学和概率论中最基本的概念之一。
它是一种可以从某些特定分布中随机取值的变量，具有一定的概率分布和期望值。
在实际问题中，我们经常需要用到这些概念来描述随机事件的发生情况，并做出相应的推理和判断。
概率分布是随机变量的最基本性质之一。
它描述了随机变量取各个值的可能性大小，可以用分布函数或概率密度函数来表达。
对于离散型随机变量，其概率分布可以用概率质量函数来描述。
概率质量函数是一个离散的函数，它表示各个取值对应的概率。
概率质量函数的性质是非负的，且各个取值的概率之和为1。
假设有一个离散型随机变量X，它的取值范围为{x1, x2, …, xn}，概率分别为{p1, p2, …, pn}。
那么它的概率质量函数可以表示为：P(X=xi)=pi, i=1,2,…,n例如，抛硬币的随机变量可以用{正面，反面}来表示，概率分别为{0.5，0.5}。
这个随机变量的概率质量函数就是：P(X=正面)=0.5P(X=反面)=0.5对于连续型随机变量，我们需要用概率密度函数来描述概率分布。
概率密度函数是一个连续的函数，描述了随机变量在某个区间的取值可能性大小。
它的性质是非负的，整个取值域上的积分等于1。
用概率密度函数来计算某个随机变量取值在一个区间内的概率时，需要对概率密度函数在这个区间内的积分进行求解。
例如，正态分布是一种常见的连续型概率分布。
它的概率密度函数是一个钟形曲线，具有一个均值和一个标准差。
正态分布的概率密度函数可以表示为：f(x) = (1/σ√(2π)) * e^(−(x−μ)2 / (2σ2))其中，μ是均值，σ是标准差。
这个函数表示了随机变量在不同取值点的可能性大小。
期望是另一个重要的随机变量概念。
它表示随机变量的平均取值情况。
期望的定义可以用离散型随机变量和连续型随机变量分别表示。
对于离散型随机变量，期望可以表示为：E(X) = ∑i xi * P(X=xi)它表示了各个取值点的贡献乘以其对应的概率之和。
随机变量及其概率分布
随机变量及其概率分布随机变量是概率论和数理统计中的重要概念，描述了随机事件的数值特征。
概率分布则用于描述随机变量取值的概率情况。
本文将介绍随机变量及其概率分布的基本概念和常见的概率分布模型。
一、随机变量的定义与分类随机变量是对随机事件结果的数值化描述。
随机变量可分为离散型随机变量和连续型随机变量两种。
1. 离散型随机变量离散型随机变量只能取有限个或可数个值，常用字母X表示。
例如，抛掷骰子的点数就是一个离散型随机变量，可能取1、2、3、4、5、6之一。
2. 连续型随机变量连续型随机变量可以取某个区间内的任意值，通常用字母Y表示。
例如，测量某个物体长度的随机误差就可看作是一个连续型随机变量。
二、概率分布的概念与性质概率分布描述了随机变量取值的概率情况。
常见的概率分布包括离散型分布和连续型分布。
1. 离散型概率分布离散型概率分布描述了离散型随机变量取值的概率情况。
离散型概率分布函数可以用概率质量函数（probability mass function，PMF）来表示。
PMF表示了随机变量取某个特定值的概率。
离散型概率分布函数具有以下性质：①非负性，即概率大于等于0；②归一性，即所有可能取值的概率之和等于1。
常见的离散型概率分布有：伯努利分布、二项分布、几何分布、泊松分布等。
2. 连续型概率分布连续型概率分布描述了连续型随机变量取值的概率情况。
连续型概率分布函数可以用概率密度函数（probability density function，PDF）来表示。
PDF表示在随机变量取某个特定值附近的概率密度。
连续型概率分布函数具有以下性质：①非负性；②积分为1。
常见的连续型概率分布有：均匀分布、正态分布、指数分布等。
三、常见的1. 伯努利分布伯努利分布描述了一次随机试验中两个互斥结果的概率情况，取值为0或1。
其概率质量函数为：P(X=k) = p^k * (1-p)^(1-k)，k=0或1其中，p为成功的概率，1-p为失败的概率。
随机变量概率分布的基本概念及性质
随机变量概率分布的基本概念及性质随机变量是概率论中一个非常重要的概念，它指的是一个随机事件中的数值结果。
而随机变量概率分布则是描述一个随机变量在各个取值下出现的概率的函数。
下面我们来详细了解一下随机变量概率分布的基本概念及性质。
一、随机变量随机变量可以分为离散型随机变量和连续型随机变量两类。
其中，离散型随机变量是只能取某些特定值或一些值的一个序列，而连续型随机变量则通常是一个在某个区间内取值的变量。
例如，投骰子时的点数就是一个离散型随机变量，而测量人体身高时得到的数值则是一个连续型随机变量。
二、概率分布函数概率分布函数是指一个随机变量在各个可能取值下出现的概率的函数。
离散型随机变量的概率分布函数通常被称为概率质量函数，连续型随机变量的概率分布函数则被称为概率密度函数。
在离散型随机变量中，概率质量函数可以用下面的公式表示：P(x) = P(X=x)其中，P(x)表示随机变量X在取值x的概率。
在连续型随机变量中，概率密度函数可以用下面的公式表示：f(x) = P(X\in \Delta x) / \Delta x其中，\Delta x表示x的微小区间。
概率密度函数的概率则是在某一个区间上积分后得到的结果。
三、期望期望是指一个随机变量的平均值，其描述了随机变量的集中趋势。
在离散型随机变量中，期望可以用下面的公式表示：E(X) = \sum_{i=1}^{\inf} x_i\times P(x_i)在连续型随机变量中，期望可以用下面的公式表示：E(X) = \int_{-\inf}^{\inf} xf(x)dx四、方差方差是对于一个随机变量的离散程度的度量，它告诉我们该变量距离其期望值的平均偏差。
方差的公式可以用下面的公式表示：Var(X) = E[(X-E(X))^2]其中E表示期望。
方差越大，变量的离散程度就越大。
五、矩矩是用来度量随机变量的特征参数的一种方式。
一般来说，矩可以通过期望来计算。
其中，k阶矩的计算公式为：\mu'_k = E(X^k)此外，矩也可以通过中心矩来计算。
分布律的定义
分布律的定义分布律是概率论中经常使用的一个概念，用于描述随机变量的各个取值的概率分布规律。
它是一个离散随机变量或连续随机变量所有可能取值和其相应概率之间的关系。
对于一个离散随机变量，其概率分布律定义如下：设随机变量X的取值为x₁,x₂,...,xₙ，对应的概率为P(X=x₁),P(X=x₂),...,P(X=xₙ)，则概率分布律为：P(X=x₁)=p₁, P(X=x₂)=p₂, ..., P(X=xₙ)=pₙ其中，p₁,p₂,...,pₙ为非负数且满足概率的基本性质：0≤pᵢ≤1，∑pᵢ=1。
对于一个连续随机变量，其概率分布律则由概率密度函数f(x)来定义。
概率分布律满足以下性质：1. 非负性：对于任意的x，概率密度函数f(x)≥0。
2. 归一性：∫f(x)dx=1，其中积分范围为该随机变量所有可能的取值区间。
除了概率分布律，我们还可以通过分布函数来描述随机变量的概率分布。
分布函数是概率分布律的累积分布函数形式，定义如下：F(x) = P(X≤x)其中，F(x)表示随机变量X小于等于x的概率。
对于离散随机变量，分布函数可写为：F(x) = ∑P(X=xi) (xi≤x)对于连续随机变量，分布函数可写为：F(x) = ∫f(t)dt (t≤x)概率密度函数和分布函数是相互关联的，对于连续随机变量，我们可以通过概率密度函数来计算分布函数，即：F(x) = ∫f(t)dt (-∞<t<x)随机变量的概率分布律可以通过观测、实验或模型推导获得。
常见的概率分布律包括伯努利分布、二项分布、泊松分布、正态分布等。
不同的概率分布律具有不同的特性和应用场景，了解和掌握不同概率分布律的性质和使用方法，对于概率论的研究和实际问题的解决都具有重要意义。
总结起来，分布律是用来描述随机变量的取值和相应概率之间的关系的，对于离散随机变量，利用概率分布律可以计算各个取值的概率；对于连续随机变量，利用概率密度函数和分布函数可以计算取值在某个区间内的概率。
随机变量与概率分布的基本概念
随机变量与概率分布的基本概念随机变量（Random Variable）是概率论中的一个重要概念，用于描述随机事件的数值特征。
它可以是离散的或连续的，代表了随机试验结果的任意数值。
概率分布（Probability Distribution）是指随机变量各个可能取值出现的概率情况。
它描述了随机变量在各个取值上的分布情况，是衡量随机变量的不确定性的一种方式。
1. 随机变量（Random Variable）随机变量是一个定义在样本空间上的实值函数，用于将样本空间中的每个样本点映射到实数轴上。
随机变量可以是离散的，比如抛硬币的结果（正面或反面），也可以是连续的，比如测量温度的结果。
随机变量可以分为两类：离散随机变量和连续随机变量。
1.1 离散随机变量离散随机变量只能取到一些特定值，比如掷一颗六面骰子，可能的结果为1、2、3、4、5和6，不能取到其他的值。
离散随机变量的概率分布通常使用概率质量函数（Probability Mass Function）来描述。
1.2 连续随机变量连续随机变量可以取到无限个值，它在某个区间上的取值是连续的，比如测量温度的结果是一个连续的变量。
连续随机变量的概率分布通常使用概率密度函数（Probability Density Function）来描述。
2. 概率分布（Probability Distribution）概率分布描述了随机变量各个可能取值出现的概率情况。
概率分布可以是离散分布或连续分布。
2.1 离散分布离散分布是指随机变量取值为有限个或可数个的分布。
离散分布通常使用概率质量函数（Probability Mass Function）来描述。
常见的离散分布有：- 伯努利分布（Bernoulli Distribution）：用于描述二项式试验的结果，只有两个可能的取值（成功或失败）。
- 二项分布（Binomial Distribution）：用于描述进行多次独立的伯努利试验，成功次数的分布情况。
均匀分布随机变量在一定区间上的概率分布
均匀分布随机变量在一定区间上的概率分布概率论中的均匀分布是一种简单而重要的概率分布，也称为矩形分布或平均分布。
它描述了当随机变量在一个给定区间内取值时，各个取值的概率是相等的。
本文将详细介绍均匀分布随机变量在一定区间上的概率分布。
一、均匀分布的定义均匀分布是一种在给定区间上取值均匀分布的随机变量。
设X为一随机变量，若X的概率密度函数为：```f(x) = 1 / (b - a)， a <= x <= b```其中a和b为区间[a, b]中的两个实数，且a < b，则X服从[a, b]上的均匀分布，记为X ~ U(a, b)。
二、均匀分布的性质1. 期望值：均匀分布的期望值为区间的中点，即E(X) = (a + b) / 2。
2. 方差：均匀分布的方差为区间长度的平方除以12，即Var(X) = (b - a)^2 / 12。
3. 概率密度函数与累积分布函数：对于均匀分布，概率密度函数为常数，累积分布函数为线性函数。
三、均匀分布的应用举例均匀分布在实际问题中有广泛的应用，例如以下场景：1. 抽奖活动：假设一个抽奖活动中，参与者可以从100个号码中随机抽取一个号码。
则每个号码被抽到的概率都是1/100，符合均匀分布的特点。
2. 随机数生成：计算机中的伪随机数生成器常常使用均匀分布来产生指定区间内的随机数。
3. 等概率事件：当一个实验中每个结果发生的概率相等时，可以使用均匀分布来描述这种事件。
四、均匀分布的数学推导均匀分布可以通过数学推导来得到。
1. 确定概率密度函数：设X ~ U(a, b)，则概率密度函数满足以下条件：```f(x) >= 0，若a <= x <= b∫f(x)dx = 1，积分区间为[a, b]```由条件可得：f(x) = 1 / (b - a)， a <= x <= b。
2. 确定累积分布函数：累积分布函数F(x)定义为X小于等于x的概率，即P(X <= x)。
随机变量函数的概率分布
§2.4 随机变量函数的概率分布1.随机变量函数的概念：设是已知连续函数，为随机变量，则函数也是一个随机变量，称之为随机变量的函数.2.离散型随机变量的概率分布设离散型随机变量的分布律为则在随机变量的取值,，不同的情况下，其分布律为但是，若有相同的情况，则需要合并为一项..故Y的分布律为有时我们只求Y=g（X）在某一点y处取值的概率，有，即把满足的所对应的概率相加即可。
3.连续型随机变量函数的概率密度定理：设为连续型随机变量，其密度函数为 .设是严格单调的可导函数，其值域为，且.记的反函数，则的概率密度为.证明：略解：利用例2-27所得的结论，f x（x）＝（1）,则（2）·即.例2-28说明两个重要结论：当时，,且随机变量称为X的标准化。
另外，正态随机变量的线性变换仍是正态随机变量，即aX+b～，这两个结论十分有用，必须记住。
第二章小结一、内容分布律二、试题选讲1.（1016）抛一枚硬币5次，记正面向上的次数为，则＝____________.【答疑编号：12020308针对该题提问】答案：2.（0404）设随机变量的概率密度为则＝（）.A.B.C.D. 1【答疑编号：12020309针对该题提问】答案：A3.（1004）设随机变量的概率密度为则常数等于（）.A. －1B.C.D. 1【答疑编号：12020310针对该题提问】答案：D4.（1003）设随机变量在区间[2，4]上服从均匀分布，则＝（）.A. B. C. D.【答疑编号：12020311针对该题提问】答案：C5.（1015）设随机变量，已知标准正态分布数值，为使，则常数 ___________.【答疑编号：12020312针对该题提问】答案：36.（0704）设每次试验成功的概率为，则在3次独立重复试验中至少成功一次的概率为（）.A.B.C.D.【答疑编号：12020313针对该题提问】答案：A7.（0715）已知随机变量，且，则___________.【答疑编号：12020314针对该题提问】答案：58.（0716）设随机变量的分布函数为，则常数____________.【答疑编号：12020315针对该题提问】答案：19.（0727）设随机变量服从参数为3的指数分布，试求：（1）的概率密度；【答疑编号：12020316针对该题提问】（2） .【答疑编号：12020317针对该题提问】解：10.（1028）司机通过某高速路收费站等候的时间（单位：分钟）服从参数为的指数分布，（1）求某司机在此收费站等候时间超过10分钟的概率；【答疑编号：12020318针对该题提问】（2）若该司机一个月要经过此收费站两次，用表示等候时间超过10分钟的次数，写出的分布律，并求 .【答疑编号：12020319针对该题提问】解：。
随机变量及其概率分布
随机变量及其概率分布简介随机变量是概率论和统计学中非常重要的概念之一。
它用于描述随机试验中的不确定性量。
在本文档中，我们将介绍随机变量的概念以及常见的概率分布。
随机变量随机变量是随机试验中的某种观察结果，它可以取不同的值，并且每个值都有一定的概率。
随机变量可以分为离散型随机变量和连续型随机变量。
离散型随机变量离散型随机变量的取值是离散的，它通常用来描述一些可以数清的个体情况，比如扔一次硬币正面朝上的次数。
常见的离散型随机变量包括二项分布、泊松分布等。
连续型随机变量连续型随机变量的取值是连续的，它通常用来描述一些可以测量的连续变量，比如某时间范围内的降水量。
常见的连续型随机变量包括正态分布、指数分布等。
概率分布概率分布是描述随机变量取值的概率的函数。
对于离散型随机变量，概率分布可以用概率质量函数（Probability Mass Function，PMF）表示；对于连续型随机变量，概率分布可以用概率密度函数（Probability Density Function，PDF）表示。
二项分布二项分布是一种描述离散型随机变量的概率分布。
它描述了在一系列独立的、相同概率的试验中成功的次数。
二项分布的概率质量函数由试验次数、成功次数和成功概率决定。
正态分布正态分布是一种描述连续型随机变量的概率分布。
它是一种钟形曲线，对称分布在均值周围。
正态分布的概率密度函数由均值和标准差决定。
结论随机变量及其概率分布是概率论和统计学中重要的概念。
通过了解随机变量和不同的概率分布，我们可以更好地理解随机事件发生的概率，并应用于实际问题的分析和决策中。
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随机变量函数的概率分布
随机变量函数的概率分布随机变量函数的概率分布是概率论、数理统计以及概率计算中的一个重要概念，也是概率统计学的基础理论之一。
因此，本文将介绍随机变量函数的概率分布特性、其定义以及几种常见的概率分布，以便更深入地了解这一概念。
首先，我们要了解什么是随机变量函数。
随机变量函数是用来描述一个随机变量可能取得的不同取值的函数。
随机变量函数的取值可以是实数、分布或其他类型的取值，如二进制变量的取值只有0和1。
在实际的数据分析中，可以通过随机变量函数来描述一定范围内的数据变化规律。
随机变量函数的概率分布是指将随机变量函数的取值的概率信息以一定的形式进行表达的统计学概念。
概率分布包括概率分布函数（probability density function，PDF）和分布概率（cumulative probability distribution，CDF），形式如下：PDF：f(x) =p(x)CDF：F(x) = P[X x]其中，f(x)是概率分布函数，表示随机变量X取值x的概率；F(x)是分布函数，表示随机变量X取值小于等于x的概率。
从概率论的角度来看，具有不同概率分布的随机变量可以分为两类：一类是描述概率体积大小分布的概率分布函数；另一类是描述概率大小分布的分布概率函数。
常见的概率分布包括：泊松分布、伽马分布、正态分布、指数分布、均匀分布等。
泊松分布是一种只有定义域（即取值范围）及密度函数定义的连续分布。
它可以表示某一特定时间内发生的次数或事件的概率分布，它的取值只有0和正整数。
泊松分布的概率分布函数为：f(x) =^x e^(-λ)/x!伽马分布是一种定义域从零到无穷的连续分布，其取值仅可取正数，它可以表示某个随机性行为或事件的概率分布。
伽马分布的概率分布函数为：f(x) =(α +) x^(α-1) (1-x)^(β-1)正态分布是一种定义域为实数的双尾连续分布，可以描述连续变量的概率分布，其函数表达式为：f(x|μ,) = 1/(√2πσ)e^(-1/2(x-μ)/σ)，其中μ为期望值，σ为标准差。
随机变量的独立性和条件概率分布
随机变量的独立性和条件概率分布是概率论中的重要概念，在很多领域都有广泛的应用。
独立性的概念是指两个或多个事件之间的关系，而条件概率分布则是指随机变量在给定一些条件下的概率分布。
首先来看独立性。
在数学上，独立性通常指的是两个随机变量之间的关系。
如果两个随机变量X和Y是独立的，那么它们可以分别考虑，而且它们之间的任何影响都不会相互影响。
具体来说，如果两个随机变量X和Y是独立的，那么它们的联合概率分布可以拆分成它们各自的概率分布的乘积。
即，P(X=x, Y=y) = P(X=x) * P(Y=y)。
举个例子，假设我们有两个骰子，我们把它们连续掷两次。
我们可以定义随机变量X为第一次掷出的点数，随机变量Y为第二次掷出的点数。
如果我们假设这两个骰子是六面的，并且它们是公平的，那么每个点数出现的概率都是1/6。
因此，我们可以计算出X和Y的概率分布，分别为P(X=1)=P(X=2)=P(X=3)=P(X=4)=P(X=5)=P(X=6)=1/6和P(Y=1)=P(Y=2)=P(Y=3)=P(Y=4)=P(Y=5)=P(Y=6)=1/6。
现在，假设我们想知道掷出的两个点数是相等的这个事件的概率。
我们可以用独立性来计算。
因为X和Y是独立的，所以P(X=x, Y=y) =P(X=x) * P(Y=y)，因此，P(X=Y) = ΣP(X=x, Y=x) = ΣP(X=x) *P(Y=x) = 1/6 * 1/6 + 1/6 * 1/6 +...+1/6 * 1/6 = 1/6。
接下来看条件概率分布。
条件概率分布是指，在给定一些条件下，随机变量的概率分布。
具体来说，如果我们知道了一些关于随机变量的信息，那么我们可以通过条件概率分布来计算在这些信息下随机变量的取值的概率。
条件概率分布通常用P(X|Y)表示，表示给定Y的条件下，X的概率分布。
它可以通过原始的概率分布计算得到。
具体来说，如果我们知道了Y的取值，那么我们可以将联合概率分布进行归一化，得到在Y取值的条件下，X取值的概率分布。
随机变量及其概率分布
考试内容
随机变量随机变量的分布函数的概念及其性质离散型随机变量的概率分布
连续型随机变量的概率密度常见随机变量的概率分布随机变量函数的概率分布
考试要求
1．理解随机变量及其概率分市的概念．理解分布函数F（x）=P{X≤x}(－∞<x<+∞）的概念及性质，并会计算与随机变量相联系的事件的概率。
理解各种分布的背景和主要特征；
注意随机变量和随机事件的转化〔等价性〕。
7、函数分布
离散型：已知 的分布列为
，
的分布列（ 互不相等）如下：
，
若有某些 相等，则应将对应的 相加作为 的概率。
例2．23：已知随机变量 的分布列为
，
其中 。求 的分布列。
解：
连续型：先利用X的概率密度 写出Y的分布函数， ，再利用变上下限积分的求导公式求出 。
具有如下性质：
1° 的图形是关于 对称的；
2°当 时， 为最大值；
若 ，则 的分布函数为
参数 、 时的正态分布称为标准正态分布，记为 ，其密度函数记为
， ，
分布函数为
。
是不可求积函数，其函数值，已编制成表可供查用。
Φ(-x)＝1-Φ(x)且Φ(0)＝ 。
标准化公式及其应用：〔正态分布的概率计算一定要化为标准正态分布〕
一、主要内容讲解
1、分布函数
设 为随机变量， 是任意实数，则函数
称为随机变量X的分布函数，本质上是一个累积函数。
可以得到X落入区间 的概率。分布函数 表示随机变量落入区间（–∞，x]内的概率。
分布函数具有如下性质：
1° ；
2° 是单调不减的函数，即 时，有 ；
3° ， ；
高等数学-概率2.2随机变量的分布
1 4 且 P ＝ ，求常数a，b。 2 5
复习与总结
(1) F(x)=P{X≤x} 求概率: P{a<X≤b}=F(b)-F(a)； (2) 离散型r.v.X，常用分布列描述
X
x1 p1
x2 p2
…… ……
xn pn
…… ……
pk
F(x)与分布列的关系（略） 求概率: P{a<X≤b} Pk
第二章 随机变量
第二节 随机变量的分布
一、离散型随机变量的分布
设X是一个离散型随机变量，它可能取的 值是 x1, x2 , …, xn,… 为了描述随机变量 X ，我们不仅需要 知道随机变量X取哪些值，而且还应知道 X取每个值的概率.
例1
从中任取3 个球
取到的白球数X是一个随机变量
X可能取的值是0,1,2
P X x
k
k :xk x
pk
x x1 0, p , x1 x x2 1 p1 p2 , x2 x x3 F x p1 p2 pk , xk x xk 1
（1）连续型随机变量X的所有可能取值 充满一个区间, 不可列； （2）X取某一个具体的值的概率为零， 意义不大。
例如：某公共汽车站每隔5分钟有一辆汽 车通过，一位乘客对该汽车的通车时间 一无所知，则该乘客的候车时间是一个 连续型随机变量X。
（1）X的取值充满区间[0,5]. （2）P{X=2.859}=0，无太大意义. （3）考虑P{a<X≤b} = P{X≤b}－ P{X≤a}
（5）连续型r.v.X取单点值的概率为0，即
对 a ，P{X=a}=0。 （6）P{a≤X≤b}=P{a≤X<b}=P{a<X<b} b =P{a<X≤b} a f x dx
统计学中的随机变量与概率分布
统计学中的随机变量与概率分布随机变量是统计学中的一个重要概念，用来描述随机实验结果的数值特征。
概率分布则是用来描述随机变量取值的可能性的分布情况。
在统计学的研究中，随机变量和概率分布是相辅相成的，相互之间密不可分。
一、随机变量随机变量是指在随机实验中所观察到的不确定结果所对应的数值。
随机变量可以分为离散型和连续型两种。
1. 离散型随机变量离散型随机变量只能取有限个或可数个数值。
例如掷骰子的点数、抛硬币的正反面等。
离散型随机变量可以通过概率分布函数来描述。
2. 连续型随机变量连续型随机变量可以取任意实数值，其取值区间通常是一个或多个连续的区间。
例如测量体重、长度等连续性的观测。
连续型随机变量可以通过密度函数来描述。
二、概率分布概率分布用来描述随机变量的取值与取值概率之间的关系。
常见的概率分布包括离散型概率分布和连续型概率分布。
1. 离散型概率分布离散型概率分布通常用概率质量函数（Probability Mass Function，简称PMF）来描述。
PMF给出了离散型随机变量取各个数值的概率。
常见的离散型概率分布包括伯努利分布、二项分布和泊松分布等。
2. 连续型概率分布连续型概率分布通常用概率密度函数（Probability Density Function，简称PDF）来描述。
PDF给出了连续型随机变量在某个区间内取值的概率密度。
常见的连续型概率分布包括均匀分布、正态分布和指数分布等。
三、常见的概率分布统计学中有许多常见的概率分布，每种分布都有其独特的特点和应用场景。
1. 伯努利分布伯努利分布是一种简单的离散型概率分布，用来描述只有两个可能结果的随机实验。
例如抛硬币的正反面就是一个伯努利分布。
2. 二项分布二项分布是一种常用的离散型概率分布，用来描述多次独立重复进行的伯努利实验中成功次数的概率分布。
例如抛硬币多次，记录正面出现的次数。
3. 泊松分布泊松分布是一种常用的离散型概率分布，用来描述在一段时间或空间内某事件发生的次数的概率分布。
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P(AB) PA PB
P( A1A2 An ) PA1 PA2 PAn
第五章
例：某一学生从５个试题中任意抽取一题， 进行口试。如果抽到每一题的概率为1／5，则抽 到试题１或试题２的概率是多少？
3、随机变量 ：描述随机试验结果（随机事件）的变
量称随机变量。即：用随机变量的不同取值 表示随机试验的各种不同结果。
试验
试验结果（事件）
随机变量
抛掷一枚硬币 对某一零件进行检验 投掷一颗骰子 进行一场足球比赛
正面，反面 合格，不合格 1，2，3，4，5，6 获胜，失利，平局
Z=1 , Z=-1 X=1 , X=0 Y=1 ,Y=2,… Y=6 Q=3, Q=0, Q=1
第五章
算卦的故事
第五章
第五章 随机变量的概率分布
一、随机变量
1、随机现象：一定条件下出现的结果事先不能确定
的现象。（掷硬币后哪面朝上？）
确定性现象：一定条件下某种结果是否出现事先
能确定的现象。（必然现象与不可能现象）
2、随机试验：对随机现象的一次观察。 随机事件：随机现象中出现的各种可能的结果。
第五章
若事件Ａ发生，则事件Ｂ就一定不发生，这样的 两个事件为互不相容事件。
两互不相容事件和的概率，等于这两个事件概 率之和，即：
P( AB) PA PB
P( A1 A2 பைடு நூலகம்n ) P A1 P A2 P An
第五章
（2）概率的乘法定理
若事件Ａ发生不影响事件Ｂ是否发生，这样的两 个事件为互相独立事件。
P( A)
m n
第五章
例： 试验
试验结果（事件）
投掷一颗骰子 1，2，3，4，5，6
求 点数2朝上的概率
解：“点数2朝上”设为事件A,它只包含1个基本事件； 试验的全部基本事件有6个，即m=1 , n=6
m1 P( A) n 6
第五章
例 某班有50人，其中男生32人，女生18人，随机抽取 一名学生，问抽到女生的概率是多少
第五章
1、二项分布
条件:
1)试验中包含了n次相同的试验;
2)每一次试验只有两个可能的结果,“成功”和“失败”;
3)出现“成功”的概率p在n次试验中不变，“失败”的 概
率q也不变; p+q=1
4)试验是相互独立的。
则
n次试b(X验,n,p中) “C成nX 功 p”X 的qn次X 数为X的系概数率为C：nx
n! x! (n
x)!
上式即二项分布的数学表达式， 还可把各个X值及其概率 列成表或图。
第五章
全凭猜测答10道是非题，问 分别答对5、6、7、8、9、10 题的概率各为多少？至少答 对5题的概率又是多少？
p
0.30000
0.25000
0.20000
0.15000
0.10000
0.05000
0.00000
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x
x Cnx bx,n, p
0 1 0.00098 1 10 0.00977 2 45 0.04395 3 120 0.11719 4 210 0.20508 5 252 0.24609 6 210 0.20508 7 120 0.11719 8 45 0.04395 9 10 0.00977 10 1 0.00098
如果有4名学生抽题，前一个学生把抽过的 试题还回后，后一个学生再抽，则４名学生都抽 到试题1的概率是多少？
第五章
计算：
抽到第一题或第二题的概率应为抽到第一题的概率和抽 到第二题的概率之和，即：
P AB
P A
P B
1 5
1 5
2 5
4名学生都抽到第一题，其概率应为抽到第一题的概率
6019
0.5016
12012 14994
0.5005 0.4998
第五章
思考题：判断以下哪些试验符合概率的古典定 义的要求？
试验 抛掷一枚硬币 对某一零件进行检验 投掷一颗骰子 进行一场足球比赛
试验结果（事件） 正面，反面 合格，不合格 1，2，3，4，5，6 获胜，失利，平局
第五章
3、概率的加法定理和乘法定理 （1）概率的加法定理
第五章
二、概率
反映随机事件在试验中发生的可能性大小 的数字指标叫作概率。
在频数（率)分布中我们关心的是变量取值的频数 或频率；
对于随机变量我们的重点不在于它取值的频数 或频率，而是它取该值的概率。
第五章
1、概率的古典定义
如果（1）某一随机试验的结果有限； （2）各个结果出现的可能性相等，
则某一事件A发生的概率为该事件所包含的试验结 果（基本事件）数m与试验所包含的全部试验结果（基 本事件）数n的比值。
P A
Lim
n
m n
第五章
抛掷硬币的试验
古典概率P（A）=0.5
历史纪录（统计概率）
试 验 者 抛 掷 次 数n 德.摩 根 2048 蒲 丰 4040 皮尔逊 12000
皮尔逊 24000 维 尼 30000
出现正面的次数m 出现正面的频率m/n
1061
0.518
2048
0.5069
P
第五章
全凭猜测答10道4选1选择题， 问分别答对8、9、10题的概 率各为多少？至少答对1题的 概率又是多少？至少答对9题 的概率是多少？
0.3000000 0.2500000 0.2000000 0.1500000 0.1000000 0.0500000 0.0000000
的乘积，即：
PA1
A2
A3
A4
1 5
1 5
1 5
1 5
1 625
第五章
三、随机变量的概率分布
与用频数（率）分布来描述变量的取值情况类 似，对于随机变量取不同值时的概率，我们可以 用概率分布来描述。
依随机变量的类型，可将概率分布分为离散型 概率分布与连续型概率分布。心理与教育统计学 中最常用的离散型分布是二项分布，最常用的连 续型分布是正态分布。
解：“随机抽取学生”是一次随机试验，共包含50个 结
果（50个基本事件）， “抽到女生”由18个基本事 件
组成。由于每一位学生被抽到的可能性相等，则：
P(抽到女生）= 18 / 50 = 0.36
第五章
2、概率的统计定义
在相同条件下，随机试验ｎ次，某事件A出 现ｍ次（ｍｎ），则比值m/n称为事件A发生的频 率; 随着ｎ的增大,该频率围绕某一常数上下波动, 且波动的幅度逐渐减小,趋向于稳定,这个频率的 稳定值即为该事件的概率,记为：