理论力学之静力学习题答案北航
北航理论力学习答案
n 因为 a a
va2 v2 ，所以根据上式可求出: r r cos 2
aat aan tan
v 2 sin 。 r cos 3
根据矢量形式的质点运动微分方程有：
t n m(aa aa ) F FO mg
将该式分别在水平轴上投影： 由此求出：
n m(aat sin aa cos ) FO cos
ve1
ve2
v r1
v r2
x 相对运动：直线运动 牵连运动：定轴转动 根据速度合成定理有
va1 ve1 vr1 ，
va2 ve2 vr2
由于动点 M 的绝对速度与动系的选取无关，即 v a2 v a1 ，由上两式可得：
ve1 vr1 ve2 vr2
(a)
将（a）式在向在 x 轴投影, 可得：
mar F mg Fe
将上式在切向量方向投影有
t mar ml mg sin Fe cos
因为 Fe mae ma,
d d d d ，所以上式可写成 dt d dt d d ml mg sin ma cos d
根据加速度合成定理：
ae M
O
ar B
aC
A
aa
x'
aa ae ar aC
将上式在 x ' 轴上投影，可得： aa cos ae cos aC , 由此求得： aa 14r 2 1－21 解：求汽车 B 相对汽车 A 的速度是指以汽车 A 为参考系观察汽车 B 的速度。 取：动点：汽车 B； 动系：汽车 A（Ox’y’） ； 定系：路面。 运动分析 绝对运动：圆周运动； 相对运动：圆周运动； O 牵连运动：定轴转动（汽车 A 绕 O 做定轴转动） 求相对速度，根据速度合成定理 y’
北航理论力学静力学习题课
1
不计自重
2019/11/19
15
BUAA
题19：确定图示结构中的零力杆。杆1与杆2平行
F平行于杆1和杆2 2019/11/19
F平行于杆3 16
BUAA
题20: 正方体的边长为a，作用有力系如图所示，其中三个力的 大小为F，两个力偶矩的大小为M=Fa,方向如图。若使该立方体 平衡，只需在其上施加一个力即可。则在Oxyz坐标系中:
2019/11/19
27
BUAA
补充题2:
B
2019/11/19
28
BUAA
题26: 下图中的系统是否是静定结构?
O
B
D
B
D
C
A
E
A
2019/11/19
瞬态机构 G
C
G
E
静定结构
29
BUAA 题27: 下图中的系统是否是静定结构?
F
A
B
题28: 确定上图结构中铰链B约束力的方向
2019/11/19
22
BUAA
a A
a
WA
b
FN
解：1、研究圆盘
F
FOy
MO 0
O
FOx WB R FR 0
O
FAy WB
F WB
A FAx
WA
2、研究板
WB
F FN FN a Fb WAa 0
M A 0
FN
F
b a
WA
不滑动条件：F fFN
2019/11/19
WB (1
f
z
M F
F F
O
(1) 所加的力F = (2) 在图中画出该力
《理论力学》静力学典型习题+答案
1-3 试画出图示各构造中构件AB的受力争1-4 试画出两构造中构件ABCD的受力争1-5 试画出图 a 和 b 所示刚系统整体各个构件的受力争1-5a1-5b1- 8 在四连杆机构的ABCD的铰链 B 和 C上分别作用有力F1和 F2，机构在图示位置均衡。
试求二力F1和 F2之间的关系。
解：杆 AB，BC， CD为二力杆，受力方向分别沿着各杆端点连线的方向。
解法 1( 分析法 )假定各杆受压，分别选用销钉 B 和 C 为研究对象，受力以下图：yyFBCC xB Fo45BCx30o o F60F2CDF AB F1由共点力系均衡方程，对 B 点有：F x0F2F BC cos4500对 C点有：F x0FBC F1 cos3000解以上二个方程可得：F12 6F2 1.63F23解法 2( 几何法 )分别选用销钉 B 和 C 为研究对象，依据汇交力系均衡条件，作用在 B 和C 点上的力构成关闭的力多边形，以下图。
F F2BCF AB o30o45CD60oFF BC F1对 B 点由几何关系可知：F2F BC cos450对 C 点由几何关系可知：F BC F1 cos300解以上两式可得：F1 1.63F22-3 在图示构造中，二曲杆重不计，曲杆AB 上作用有主动力偶 M。
试求 A 和 C 点处的拘束力。
解： BC为二力杆 ( 受力以下图 ) ，故曲杆 AB 在 B 点处遇到拘束力的方向沿BC 两点连线的方向。
曲杆AB遇到主动力偶M的作用， A 点和 B 点处的拘束力一定构成一个力偶才能使曲杆AB保持均衡。
AB受力以下图，由力偶系作用下刚体的均衡方程有（设力偶逆时针为正）：M0 F A10a sin(450 )M 0F A0.354Ma此中：tan 1。
对 BC杆有：F C FB F A0.354M 3aA，C两点拘束力的方向以下图。
2-4解：机构中 AB杆为二力杆，点A,B 出的拘束力方向即可确立。
静力学习题课答案
【1】 梁AB 一端为固定端支座，另一端无约束，这样的梁称为悬臂梁。
它承受均布荷载q 和一集中力P 的作用，如图4－9（a ）所示。
已知P =10kN ， q =2kN/m ，l =4m ，︒=45α，梁的自重不计，求支座A 的反力。
【解】：取梁AB 为研究对象，其受力图如图4－9（b ）所示。
支座反力的指向是假定的，梁上所受的荷载和支座反力组成平面一般力系。
在计算中可将线荷载q 用作用其中心的集中力2qlQ =来代替。
选取坐标系，列平衡方程。
)(kN 07.7707.010cos 0cos - 0A A →=⨯====∑ααP X P X X)(kN 07.11707.010242sin 2 0sin 2 0A A ↑=⨯+⨯=+==--=∑ααP ql Y P qlY Y )( m kN 28.404707.0108423sin 83 0sin 422ql 022A A ⋅=⨯⨯+⨯⨯=⋅+==⋅-⎪⎭⎫⎝⎛+-=∑l P ql m l P l l m M A αα力系既然平衡，则力系中各力在任一轴上的投影代数和必然等于零，力系中各力对任一点之矩的代数和也必然为零。
因此，我们可以列出其它的平衡方程，用来校核计算有无错误。
校核028.40407.114424242A A B =+⨯-⨯⨯=+⋅-⨯=∑m l Y l ql M 可见，Y A 和m A 计算无误。
【2】 钢筋混凝土刚架，所受荷载及支承情况如图4－12（a ）所示。
已知kN 20 m,kN 2 kN,10 kN/m,4=⋅===Q m P q ，试求支座处的反力。
【解】：取刚架为研究对象，画其受力图如图4－12（b ）所示，图中各支座反力指向都是假设的。
本题有一个力偶荷载，由于力偶在任一轴上投影为零，故写投影方程时不必考虑力偶，由于力偶对平面内任一点的矩都等于力偶矩，故写力矩方程时，可直接将力偶矩m 列入。
设坐标系如图4－12（b ）所示，列三个平衡方程)(kN 3446106 06 0A A ←-=⨯--=--==++=∑q P X q P X X)(kN 296418220310461834 036346 0B B A ↑=⨯++⨯+⨯=+++==⨯--⨯-⨯-⨯=∑q m Q P Y q m Q P Y M)(kN 92920 00B A B A ↓-=-=-==-+=∑Y Q Y Q Y Y Y校核3462203102)9(6)34(6363266 C=⨯⨯+-⨯+⨯+-⨯--⨯=⨯+-++-=∑qmQPYXMAA说明计算无误。
静力学习题及答案
04
平面任意力系
平面任意力系简化及结果分析
主矢和主矩的概念及计算 简化结果的判断方法
简化中心的选取原则
举例分析平面任意力系的 简化过程
平面任意力系平衡条件及方程
平面任意力系平衡的必要与 充分条件
平衡方程的应用举例
平衡方程的建立及求解方法
特殊情况下平衡方程的应用
平面任意力系平衡问题解法举例
01
力偶性质
力偶没有合力，所以力偶不能用一个力来代替，也不能与一个力来平衡；力偶对其作用面内任一点之矩恒等于力 偶矩，且与矩心位置无关；在同一平面内的两个力偶，如果它们的力偶矩大小相等，转向相同，则这两个力偶等 效。
平面力偶系合成与平衡条件
平面力偶系合成
若干个在同一平面内的力偶组成平面力偶系，可依次用矢量合成的方法求出各力偶的合力偶矩，再求 出这些合力偶矩的矢量和。
80%
解法一
几何法。通过作力多边形或力三 角形，利用几何关系求解未知力 。
100%
解法二
解析法。根据平衡方程列出方程 组，通过求解方程组得到未知量 。
80%
解法三
图解法。在图上按比例作出各力 的图示，利用平行四边形法则或 三角形法则求解未知力。
03
平面力偶系
力偶及其性质
力偶定义
由两个大小相等、方向相反且不共线的平行力组成的力系。
力的单位
在国际单位制中，力的单位是牛顿（N）。
静力学公理及其推论
01
02
静力学公理：作用于刚体 的两个力，使刚体保持平 衡的必要和充分条件是： 这两个力大小相等、方向 相反，且作用在同一直线 上。
静力学公理的推论
03
04
05
二力平衡条件：作用在刚 体上的两个力平衡的必要 和充分条件是：这两个力 的大小相等、方向相反， 且作用在同一直线上。
北航理论力学静力学s-ch4C
习题：4-7、4-12、4-15
•变形体的虚位移原理
•质点系平衡的稳定性
2019/11/19
1
BUAA
§4-6 虚位移原理
三、变形体的虚位移原理
m1
F1
m2
F2
F1
m1
m2 F2
FN 1
FN 2
FN 1
FN 2
•外力(external force)：质点系外部的物体作用于质点系上的力
•内力(internal force)：质点系内部的作用力
17
BUAA
问题讨论
关于系统静定性的讨论
当所研究的系统是结构（非机构和瞬态机构）
•静 定 问 题 ( statically determinate problem): 未知量的数目= 独立平衡方程的数目
•静不定问题( statically indeterminate problem): 未知量的数目> 独立平衡方程的数目
(Fl Fsb) 0; or cos 0
Fs
k(
0 )
b l
k ( xC
a)
当：xC a, 0
xC1
a
F k
l b
2 ;
xC2 2l
2019/11/19
4
BUAA
§4-7 平衡的稳定性
• 平衡的稳定性(stability of equilibrium)：质点系处于某
1、给出系统的势能函数 2、确定系统的平衡位置 3、讨论平衡位置的稳定性
2019/11/19
9
BUAA
§4-7 平衡的稳定性
理论力学习题及答案(全)
第一章静力学基础一、是非题1．力有两种作用效果，即力可以使物体的运动状态发生变化，也可以使物体发生变形。
（）2．在理论力学中只研究力的外效应。
（）3．两端用光滑铰链连接的构件是二力构件。
（）4．作用在一个刚体上的任意两个力成平衡的必要与充分条件是：两个力的作用线相同，大小相等，方向相反。
（）5．作用于刚体的力可沿其作用线移动而不改变其对刚体的运动效应。
（）6．三力平衡定理指出：三力汇交于一点，则这三个力必然互相平衡。
（）7．平面汇交力系平衡时，力多边形各力应首尾相接，但在作图时力的顺序可以不同。
（）8．约束力的方向总是与约束所能阻止的被约束物体的运动方向一致的。
（）二、选择题1．若作用在A点的两个大小不等的力F1和F2，沿同一直线但方向相反。
则其合力可以表示为。
①F1－F2；②F2－F1；③F1＋F2；2．作用在一个刚体上的两个力F A、F B，满足F A=－F B的条件，则该二力可能是。
①作用力和反作用力或一对平衡的力；②一对平衡的力或一个力偶。
③一对平衡的力或一个力和一个力偶；④作用力和反作用力或一个力偶。
3．三力平衡定理是。
①共面不平行的三个力互相平衡必汇交于一点；②共面三力若平衡，必汇交于一点；③三力汇交于一点，则这三个力必互相平衡。
4．已知F1、F2、F3、F4为作用于刚体上的平面共点力系，其力矢关系如图所示为平行四边形，由此。
①力系可合成为一个力偶；②力系可合成为一个力；③力系简化为一个力和一个力偶；④力系的合力为零，力系平衡。
5．在下述原理、法则、定理中，只适用于刚体的有。
①二力平衡原理；②力的平行四边形法则；③加减平衡力系原理；④力的可传性原理；⑤作用与反作用定理。
三、填空题1．二力平衡和作用反作用定律中的两个力，都是等值、反向、共线的，所不同的是。
2．已知力F沿直线AB作用，其中一个分力的作用与AB成30°角，若欲使另一个分力的大小在所有分力中为最小，则此二分力间的夹角为度。
北航《理论力学(第二学期)》考题整理
A
（a）
B
A
(b)
B
A:情况（a）时 AB 杆的角加速度大； B:情况（b）时 AB 杆的角加速度大； C：条件不足，不能确定。 二、 填空题（第 8 小题 5 分，其余每空 4 分，共 65 分, 将计算的最简结果填写在 空格上） 1、定轴转动刚体绕 O 轴在铅垂面内运动，若其质量为 2m，对转轴的转动惯量为 J, 质心到转轴的距离 OC=b,根据系统的广义坐标 （如图 3 所示） ， 建立其运动微分方 程。答:运动微分方程为： 2、匀 质 三 角 板 用 圆 柱 铰 链 与 铅 垂 的 AB 杆 和 CD 杆 连 接 ， 如 图 4 所 示 。 已 知
=
O
。
已知图示瞬时刚体的角速度为 （方向由 O 点指向 A B 点） ，角加速度为 （方向由 O 点指向 B 点） 。求正
4
A
图7
北京航空航天大学交通科学与工程学院《理论力学（第二学期） 》复习资料
方体上顶点 B 速度 vB 和加速度 aB 。 答：
B 点速度的大小 vB = B 点加速度的大小 aB =
4、两个相同的均质杆 AC、BC（各质量均为 m 长为 L）由铰链 C 连接在图示平面内 运动，已知图示瞬时铰链 C 的速度大小为ｕ，杆的角速度的大小为ω，方向如图 3A-D 所示，则该瞬时图 3_______所示情况，系统得动能最大。
AB=2L,CD=AC=L,各刚体的质量分别为 m1 ， m2 ， m3 ，若图示瞬时 AB 杆
3
北京航空航天大学交通科学与工程学院《理论力学（第二学期） 》复习资料
的角速度为 (方向如图)。该瞬时系统动量的大小 P=
。
B
O
m2
D
北航理论力学-静力学1B
FBB
sin sin
300 400
P
21
例：结构如图所示，杆重不计，已知
力P，求两杆的内力和绳BD的拉力。
z
z
D
解：研究铰链B
D
F3
A
B
x
P
空 间 力 系
Fx 0
Fy 0 Fz 0
Cy
A
Cy
F2
x
F1
B
P
Fz 0
F3 sin 0
F3
P
sin
Fx 0
F3 cos sin F2 0
F2 F3 cos sin
22
问题研究
用所学过的知识与方法研究缆车的力学问题
1. 能研究缆车的哪些 力学问题？
2. 若研究这些问题， 假设条件是什么？
3. 建立力学模型。 4. 给出理论分析与计
算。 5. 目前不能解决的问
题是什么？
B
C
200
FCC C
F 450 D
A
P 600
x'
C
F 650 CC
FCC FCD 650 F
450
Fx' 0
F 45F0 CD
FCC sin 650 F sin 450 0
Fmin F ( ) | 900
F
sin sin
650 450
FCC
B FBB
FBB
B
400
x
FAB
P 300
Fx 0
1
上节课的主要内容
• 基本概念
– 平衡、质点（系）、刚体、力系、等效力系、 合力、平衡力系、共点力系
理论力学习题答案
静力学第一章习题答案1-3 试画出图示各结构中构件AB 的受力图 1-4 试画出两结构中构件ABCD 的受力图1-5 试画出图a 和b 所示刚体系整体合格构件的受力图1-5a 1-5b1- 8在四连杆机构的ABCD 的铰链B 和C 上分别作用有力F 1和F 2，机构在图示位置平衡。
试求二力F 1和F 2之间的关系。
解：杆AB ，BC ，CD 为二力杆，受力方向分别沿着各杆端点连线的方向。
解法1(解析法)假设各杆受压，分别选取销钉B 和C 为研究对象，受力如图所示：点有：362F 解法分别选取销钉B 和C 为研究对象，根据汇交力系平衡条件，作用在B 和C 点上的力构成封闭的力多边形，如图所示。
对B 2BC F F = 对C 1F F BC =解以上两式可得：2163.1F F =静力学第二章习题答案2-3 在图示结构中，二曲杆重不计，曲杆AB 上作用有主动力偶M 。
试求A 和C 点处的约束力。
解：BC 为二力杆(受力如图所示)，故曲杆AB 在B 点处受到约束力的方向沿BC 两点连线的方向。
曲杆AB 受到主动力偶M 的作用，A 点和B 点处的约束力必须构成一个力偶才能使曲杆AB 保持平衡。
AB 受力如图所示，由力偶系作用下刚体的平衡方程有（设力偶逆时针为正）： 其中：31tan =θ。
对BC 杆有：aM F F F A B C 354.0=== x F CD F ABA ，C 两点约束力的方向如图所示。
2-4解：机构中AB 杆为二力杆，点A,B 出的约束力方向即可确定。
由力偶系作用下刚体的平衡条件，点O,C 处的约束力方向也可确定，各杆的受力如图所示。
对BC 杆有： 0=∑M030sin 20=-⋅⋅M C B F B对AB 杆有： A B F F = 对OA 杆有： 0=∑M01=⋅-A O F M A求解以上三式可得：m N M ⋅=31， N F F F C O AB 5===，方向如图所示。
理论力学 静力学 习题答案
FB 2 y M / a qa
x
' 0 ， FB 2 x FCx 0
F
解得
FB 2 x qa / 2
五、研究对象：销钉B，受力如图(d) 六、列方程，求FB1x、FB1y
F
解得
x
0 ， FB' 1x FB' 2 x 0
FB' 1x FB' 2 x qa / 2
FT P 1800N
8
2-20 在图a，b 两连续梁中，已知q，M，a 及θ ，不计梁的自重，求各连续梁在A，B，C 三 处的约束力。 解：（a） 一、研究对象：梁BC，受力如图a1所示。 二、列方程，求 FC 该力系为一力偶系，则： FB FC
M
B
0 ， FC cos a M 0
2
3
习题：2-3，2-5，2-6，2-8，2-12，2-14，2-18，2-10，2-40 2-3 如图示刚架的点B 作用一水平力F，刚架重量略去不计。求支座A，D 的约束力FA和FD。
解： 一、取刚架为研究对象，画受力图，如图（b）。 二、列平衡方程，求支座 A，D 的约束力 FA 和 FD。 由三力平衡汇交定理，支座A 的约束力FA 必通过点C，方向如图（b） 所示。取坐标系Cxy ， 由平衡理论得
注意：本题要求的是求解CD杆上销孔D所受的力， 而不是整体上D点的约束反力。 若不认真审题，极易将本题看成是求解整体上D点 的约束反力，这样也就偏离了本题的题意，解起来很简 单，但不对。
11
2-51 图示结构由AC与CB组成。已知线性分布载荷 q1 3kN/m ，均布载荷 q2 0.5kN/m ，
最后求出Mz，即
M z xFy yFx 150 507 150 169 101.4(Nmm)
理论力学之静力学习题答案北航
理论力学之静力学习题答案北航(总27页)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除静力学（MADE BY 水水）1-3 试画出图示各结构中构件AB 的受力图F AxF A yF B(a)(a)F AF BF BF DF DF BxF ByF BxF CF BF CF By1-4 试画出两结构中构件ABCD 的受力图1-5 试画出图a 和b 所示刚体系整体合格构件的受力图1-5aF AxF A yF DF ByF AF BxF BF AF AxF A y F DyT EF CxF C yN’F BF DF A N F AF BF D1-5b1-8在四连杆机构的ABCD 的铰链B 和C 上分别作用有力F 1和F 2，机构在图示位置平衡。
试求二力F 1和F 2之间的关系。
解：杆AB ，BC ，CD 为二力杆，受力方向分别沿着各杆端点连线的方向。
解法1(解析法)假设各杆受压，分别选取销钉B 和C 为研究对象，受力如图所示： 由共点力系平衡方程，对B 点有：∑=0x F 045cos 02=-BC F F 对C 点有：∑=0x F 030cos 01=-F F BC解以上二个方程可得：22163.1362F F F ==F 2F BC F ABB45oy xF CD C60o F 130oF BCxy45030解法2(几何法)分别选取销钉B 和C 为研究对象，根据汇交力系平衡条件，作用在B 和C 点上的力构成封闭的力多边形，如图所示。
对B 点由几何关系可知：0245cos BC F F =对C 点由几何关系可知：130cos F F BC =解以上两式可得：2163.1F F =2-3 在图示结构中，二曲杆重不计，曲杆AB 上作用有主动力偶M 。
试求A 和C 点处的约束力。
解：BC 为二力杆(受力如图所示)，故曲杆AB 在B 点处受到约束力的方向沿BC 两点连线的方向。
北航2021年 第二学期 理论力学复习题
北航2021年第二学期理论力学复习题北航2021年第二学期理论力学复习题《理论力学》课程学习练习题及参考解答一、填空题1.在介质中上抛一质量为m的小球，已知小球所受阻力r??kv，若选择坐标轴x铅直向上，则小球的运动微分方程为_____________________。
2.质点在运动过程中，在以下条件下，各并作何种运动？①at?0，an?0（请问）：；②at?0，an?0（请问）：；③at?0，an?0（请问）：；④at?0，an?0（请问）：。
3.质量为10kg的质点，受水平力f的作用，在光滑水平面上运动，设f?3?4t（t以s 计，f以n计），初瞬间（t?0）质点位于坐标原点，且其初速度为零。
则t?3s时，质点的位移等于_______________，速度等于_______________。
4.在平面极坐标系中，质点的径向加速度为__________；纵向加速度为_______。
5.哈密顿正则方程用泊松括号则表示为，。
6.质量m?2kg的重物m，摆在长l?0.5m的细绳下端，重物受水平冲击后赢得了速度v0?5m?s?1，则此时绳子的拉力等同于。
7.平面自然坐标系中的切向加速度为，法向加速度为。
8.如果fv，则力所作的功与毫无关系，只与的边线有关。
9.在南半球地面附近自南向北的气流有朝的偏向；而北半球的河流岸冲刷较为严重。
10.未知力的表达式为fx?axy，则该力作功与路径_（填上fy??az，fz??ax。
“有关”或“毫无关系”），该力_保守力（填上“就是”或“不是”）。
11.一质量组由质量分别为m0、2m0、3m0的三个质点组成，某时刻它们的位矢和速22度分别为r1?i?j、v1?2i、r2?j?k、v2?i、r3?k、v3?i?j?k。
则该时刻质点组相对于坐标原点的动量等于，相对于座标原点的动量矩等同于_。
12.一光滑水平直管中有一质量为m的小球，直管以恒定角速度?绕通过管子一端的竖直轴转动，若某一时刻，小球zoyapvxm1到达距o点的距离为a的p点，取x轴沿管，y轴竖直向上，并垂直于管，z轴水平向前，并于管面垂直，如图所示，此时小球相对于管子的速度为v，则惯性离心力大小为，方向为，科里奥利力大小为，方向为。
理论力学静力学典型习题+答案
1-3试画出图示各结构中构件AB的受力图1-4试画出两结构中构件ABCD勺受力图1-5试画出图a和b所示刚体系整体各个构件的受力图1-5a1-5b1- 8在四连杆机构的ABCD勺铰链B和C上分别作用有力F i和F2,机构在图示位置平衡。
试求二力F1和F2之间的关系。
解：杆AB BC CD为二力杆，受力方向分别沿着各杆端点连线的方向。
解法1（解析法）假设各杆受压，分别选取销钉B和C为研究对象，受力如图所示:由共点力系平衡方程，对B点有：F x 0 F2F BC COS45°0对C点有：F x 0 F BC F1COS300 0解以上二个方程可得：F12 6F 1.63F2解法2（几何法）分别选取销钉B和C为研究对象，根据汇交力系平衡条件，作用在B和C点上的力构成封闭的力多边形，如图所示。
对B点由几何关系可知：F2F BC COS450对C点由几何关系可知：F BC F1 COS300解以上两式可得：F1 1.63F22-3在图示结构中，二曲杆重不计，曲杆AB上作用有主动力偶M试求A和C 点处的约束力。
解：BC为二力杆（受力如图所示），故曲杆AB在B点处受到约束力的方向沿BC 两点连线的方向。
曲杆AB受到主动力偶M的作用，A点和B点处的约束力必须构成一个力偶才能使曲杆AB保持平衡。
AB受力如图所示，由力偶系作用下刚体的平衡方程有（设力偶逆时针为正）：M 0 F A 10a sin（450） M 0 F A 0.354M其中：tan -。
对BC杆有：F C F B F A 0.354M3 aA，C两点约束力的方向如图所示。
2-4解：机构中AB 杆为二力杆，点A,B 出的约束力方向即可确定。
由力偶系作用下 刚体的平衡条件，点 0,C 处的约束力方向也可确定，各杆的受力如图所示。
对1313 -6aFFi FjF 2 FiF 3- F i - —Fj2 222F RFi3Fj M A■-3 Fak F R M A V3 d a F R2Fi24d3 a F X 0 PsinFB X0 F y 0 F By P P cos0 F X 04F A X F B X 0F y 0F AyF By0 M A 0 MA F Byl 0求解以上三式可得:M 1 3N m ， F ABF OF C 5N ，方向如图所示Psi nAF BxF AxBC 杆有：M 0对AB 杆有： F B F AF B BC sin300 M 2对OA 杆有:M 0 M i F AOA 0F By , MFA X,FAy, FBX, M A 0 N D aG -cos F l coscos2F y 0 N D cosG F 0N D ,arccosf 2(F (2FG)a 卡G)l ]F Ay F By P(1 COS ) M A P(1 cos )1M y O p eta n F BC cos c F BC sin eta n 0 F BC60.6N 2M x' 0 P 1 aF B c F BC S in2a 0 F B100N F y 0 F Z0F Ay，F A；z M x 0 M DE 0 F2COS4500 F20 M AO 0 F6COS45° a F COS450 COS450 a 0 F6 2 F M BH 02F4COS450 a F6COS450 a 0 F4 2F M AD 02F1 a F6COS450 a F sin450 a 0 £ 1 2 F M CD 02F1 a F3 a F sin45°a 0 F3 1F M BC 02F x 0F3 a F5 a F4COS450 a 0 F50 M 1500N cm Fy 0M O0以下几题可看一看！FA , F NA , FB , F NB ,tan3( f sif s2)FNB 0ta n 6002aM cf s2f si2 3F By 2a 0 F ByM H 0 F D y a Fa 0 F Dy FM BF DX a F 2a 0 F DX2FF y 0F AyF DyF By 0F AyF M A0 FD X a FB X 2aFB XFM BF AX 2aFD Xa0 FA XFM c 0 F D bF XF D-F M A0 F B bF XbF i F 2 (F i2Mpcos45° psin45° F 2)DF N 2 N iF i F 2f s N i f s N 2F i ,N i ,F 2,N 2, f s:s 2p D F e f 2M0 f siF By0.223, f s2 4.49 FB x N iP(i _f s2) _2( i —f ；2)f s%.223450F xF yM AT cosAC sinF N T sinF s T cos pT sin AC cosAB . sin 2FN , F s , T, fsf s 0.646a l . a几F NB a Pcos-Psi n 022 3F NA a P cos-Psin a 小 —— 02 2、3 F AF BPsi nM A 0M B 0 F x 0F A F Bf si F NAS 2F NBS24.49 i2MF D )b F ACAyD 2MF (bF 2x)F B F I F AAa b F A F 3 FxAy F i F 3 cos450F 1M2qa F yF 2aF2 Z M r ( 2qa) F x 0 FAXF 3 cos45(F AX(MaaF AyF 2 F 3si n450 P 4qa 0F AyP 4qa M A F 2 a P 2a 4qa 2a F 3S in450 '3aMM A 24qa 2 Pa M M A0 F By 2a F2a 0 F ByF Ay 2a F 2a 0 F A 『FF x 0 F AXFBx FF 32qa) F 0 F EF2 M C 0 F Bx a F By aV 2(MF AX2q x a) a F E sin450 a 0 F BxM eM BF By FF NDF 3 sin450F yM AM B0F BXM AN 13r P 3rcos60020 N i 6.93(N)F xFA XN 1 sin 60°F AX 6(N) F y 0F AyN 1cos600P 0 F Ay 12.5'(N) FN 1cos300 Tcos300 6.93(N)M A F N 2Lsin2P -cos2 M BF N LsinP Lcos F s Lcos2F S P F SFNtan100 F RC ,F RD F RC , F RD F RC , F RD2 2M A 0 F ND aI 0F ND44M A0F NC a F l 0F NC -FF NDaM O 0 F SC R F SD R 0FNCF X 0sinF — ----------- F----- FS D NCN D1 cos 1 cossin 1 costan —, f SD tanFRC,F2 221 cosF RCSDF NDF SD 0tan — 2 I FaFla cos —2PF RCsi n[180°(1800 2,sin ] ftanFl sinISD (Pa Fl )(1 cos )F yF NDP F SC sin F ND PFl ( (cosasin tan —)2f SD tanFl sin(Pa Fl )(1 cos )F B F ACFBF AC tan1 F3(F ND P) R MDF B \M E (P F NE )1RtanF NDM D M E!FRM DF NDBPL FaM AM EF yF x 4 f sP 4f sP } f s ,1 3f s }F SC%F X0 F NC costa nFl sin (Pa Fl )(1 cos )F NCsinF SC cos F SD 0FNDFSDM E 1FFNE F NE F SD tan2FNDF min{ —P,」 P,R R 3 1 F SD F NE F SE F 02P R M DF SE RF SD 3FFSDf s F ND M FM GF SE；FF SE f s F NEF max 0.362.该系统的位置可通过杆OA 与水平方向的夹角B 完全确定，有一个自由度。
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1-3 试画出图示各结构中构件AB 的受力图1-4 试画出两结构中构件ABCD 的受力图F AxF A yF B(a)(a)F DFBxF ByF AxF A yF ByF AF BxF A1-5 试画出图a 和b 所示刚体系整体合格构件的受力图1-5a1-5b1-8在四连杆机构的ABCD 的铰链B 和C 上分别作用有力F 1和F 2，机构在图示位置平衡。
试求二力F 1和F 2之间的关系。
F AxF A y F DxF DyWT EF CxF C yWF AxF A yF BxF B yF CxF C yF DxF DyF BxF ByT EN’F BF DF A NF AF BF D解：杆AB ，BC ，CD 为二力杆，受力方向分别沿着各杆端点连线的方向。
解法1(解析法)假设各杆受压，分别选取销钉B 和C 为研究对象，受力如图所示： 由共点力系平衡方程，对B 点有：对C 点有：解以上二个方程可得：解法2(几何法)分别选取销钉B 和C 为研究对象，根据汇交力系平衡条件，作用在B 和C 点上的力构成封闭的力多边形，如图所示。
对B 点由几何关系可知：对C 点由几何关系可知：解以上两式可得：2-3 在图示结构中，二曲杆重不计，曲杆AB 上作用有主动力偶M 。
试求A 和C 点处的约束力。
解：BC 为二力杆(受力如图所示)，故曲杆AB 在B 点处受到约束力的方向沿BC 两点连线的方向。
曲杆AB 受到主动力偶M 的作用，A 点和B 点处的约束力必须构成一个力偶才能使曲杆AB 保持平衡。
AB 受力如图所示，由力偶系作用下刚体的平衡方程有（设力偶逆时针为正）：F ABF CDF BF C其中：。
对BC 杆有：。
A ，C 两点约束力的方向如图所示。
2-4四连杆机构在图示位置平衡，已知OA=60cm,BC=40cm,作用在BC 上力偶的力偶矩M 2＝1N ·m 。
试求作用在OA 上力偶的力偶矩大小M 1和AB 所受的力。
各杆重量不计。
解：机构中AB 杆为二力杆，点A,B 出的约束力方向即可确定。
由力偶系作用下刚体的平衡条件，点O,C 处的约束力方向也可确定，各杆的受力如图所示。
对BC 杆有： 对AB 杆有： 对OA 杆有：求解以上三式可得：， ，方向如图所示。
2-6等边三角形板ABC,边长为a ，今沿其边作用大小均为F 的力，方向如图a,b 所示。
试分别求其最简简化结果。
解：2-6a坐标如图所示，各力可表示为: ， ，先将力系向A 点简化得（红色的）：F AF OO F AF B F BF C Cx F R M AF Rd y，方向如左图所示。
由于，可进一步简化为一个不过A 点的力(绿色的)，主矢不变，其作用线距A 点的距离，位置如左图所示。
2-6b同理如右图所示，可将该力系简化为一个不过A 点的力（绿色的），主矢为： 其作用线距A 点的距离，位置如右图所示。
简化中心的选取不同，是否影响最后的简化结果？2-13图示梁AB 一端砌入墙内，在自由端装有滑轮，用以匀速吊起重物D 。
设重物重为P, AB 长为l ，斜绳与铅垂方向成角。
试求固定端的约束力。
法1 解：整个结构处于平衡状态。
选择滑轮为研究对象，受力如图，列平衡方程（坐标一般以水平向右为x 轴正向，竖直向上为y 轴正向，力偶以逆时针为正）：选梁AB 为研究对象，受力如图，列平衡方程：求解以上五个方程，可得五个未知量分别为：（与图示方向相反）（与图示方向相同）（逆时针方向）法2 解： 设滑轮半径为R 。
选择梁和滑轮为研究对象，受力如图，列平衡方程：求解以上三个方程，可得分别为：（与图示方向相反） （与图示方向相同） （逆时针方向）2-18均质杆AB 重G ，长l ，放在宽度为a 的光滑槽内，杆的B 端作用着铅垂向下的力F ，如图所示。
试求杆平衡时对水平面的倾角。
PBF BxF By PM A F BxF ByF Ax F A yM AP F AxF A y P解：选AB 杆为研究对象，受力如图所示，列平衡方程：求解以上两个方程即可求得两个未知量，其中：未知量不一定是力。
2-27如图所示，已知杆AB 长为l ，重为P ，A 端用一球铰固定于地面上，B 端用绳索CB 拉住正好靠在光滑的墙上。
图中平面AOB 与Oyz 夹角为，绳与轴Ox 的平行线夹角为，已知。
试求绳子的拉力及墙的约束力。
解：选杆AB 为研究对象，受力如下图所示。
列平衡方程：由和可求出。
平衡方程可用来校核。
思考题：对该刚体独立的平衡方程数目是几个？2-29图示正方形平板由六根不计重量的杆支撑，连接处皆为铰链。
已知力作用在平面BDEH 内，并与对角线BD 成角，OA=AD 。
试求各支撑杆所受的力。
解：杆1，2，3，4，5，6均为二力杆，受力方向沿两端点连线方向，假设各杆均受压。
选板ABCD 为研究对象，受力如图所示，该力系为空间任意力系。
采用六矩式平衡方程：(受拉)(受压) (受压)(受拉)本题也可以采用空间任意力系标准式平衡方程，但求解代数方程组非常麻烦。
类似本题的情况采用六矩式方程比较方便，适当的选择六根轴保证一个方程求解一个未知量，避免求解联立方程。
2-31如图所示，欲转动一置于V 形槽中的棒料，需作用一力偶，力偶矩。
已知棒料重，直径。
试求棒料与V 形槽之间的静摩擦因数。
解：取棒料为研究对象，受力如图所示。
列平衡方程:AN A N DD补充方程：五个方程，五个未知量，可得方程：解得。
当时有：即棒料左侧脱离V型槽，与题意不符，故摩擦系数。
2-33均质杆AB长40cm，其中A端靠在粗糙的铅直墙上，并用绳子CD保持平衡，如图所示。
设，平衡时角的最小值为。
试求均质杆与墙之间的静摩擦因数。
解：当时，取杆AB为研究对象，受力如图所示。
列平衡方程：附加方程：四个方程，四个未知量，可求得。
2-35在粗糙的斜面上放着一个均质棱柱体，A，B为支点，如图所示。
若，A和B于斜面间的静摩擦因数分别为和，试求物体平衡时斜面与水平面所形成的最大倾角。
解：选棱柱体为研究对象，受力如图所示。
假设棱柱边长为a，重为P，列平衡方程如果棱柱不滑动，则满足补充方程时处于极限平衡状态。
解以上五个方程，可求解五个未知量，其中：(1)当物体不翻倒时，则：(2)即斜面倾角必须同时满足(1)式和(2)式，棱柱才能保持平衡。
3-10 AB ,AC 和DE 三杆连接如图所示。
杆DE 上有一插销H 套在杆AC 的导槽内。
试求在水平杆DE 的一端有一铅垂力作用时，杆AB 所受的力。
设，杆重不计。
解：假设杆AB ，DE 长为2a 。
取整体为研究对象，受力如右图所示，列平衡方程：取杆DE 为研究对象，受力如图所示，列平衡方程：取杆AB 为研究对象，受力如图所示，列平衡方程：(与假设方向相反)(与假设方向相反) (与假设方向相反)3-12和四杆连接如图所示。
在水平杆AB 上作用有铅垂向下的力。
接触面和各铰链均为光滑的，杆重不计，试求证不论力的位置如何，杆AC 总是受到大小等于的压力。
解：取整体为研究对象，受力如图所示，列平衡方程：F CxF CyF BxF ByF DxF Dy F HyF BxF ByF DyF DxF AxF AyF C xF C y取杆AB 为研究对象，受力如图所示，列平衡方程：杆AB 为二力杆，假设其受压。
取杆AB 和AD 构成的组合体为研究对象，受力如图所示， 列平衡方程：解得，命题得证。
注意：销钉A 和C 联接三个物体。
3-14两块相同的长方板由铰链C 彼此相连接，且由铰链A 及B 固定，如图所示，在每一平板内都作用一力偶矩为的力偶。
如，忽略板重，试求铰链支座A 及B 的约束力。
解：取整体为研究对象，由于平衡条件可知该力系对任一点之矩为零， 因此有：即必过A 点，同理可得必过B 点。
也就是和是大小相等， 方向相反且共线的一对力，如图所示。
取板AC 为研究对象，受力如图所示，列平衡方程：解得： (方向如图所示)3-20如图所示结构由横梁和三根支承杆组成，载荷及尺寸如图所示。
试求A 处的约束力及杆1，2，3所受的力。
解：支撑杆1，2，3为二力杆，假设各杆均受压。
选梁BC 为研究对象，受力如图所示。
其中均布载荷可以向梁的中点简化为一个集中力，大小为2qa ，作用在BC 杆中点。
列平衡方程：(受压) 选支撑杆销钉D 为研究对象，受力如右图所示。
列平衡方程：F ABxF AByF BF ACBF Cx F CyF ByF FP F Ax F AyN 1(受压)(受拉)选梁AB 和BC 为研究对象，受力如图所示。
列平衡方程： (与假设方向相反)(逆时针)3-21二层三铰拱由和四部分组成，彼此间用铰链连接，所受载荷如图所示。
试求支座的约束力。
解：选整体为研究对象，受力如右图所示。
列平衡方程：(1)由题可知杆DG 为二力杆，选GE 为研究对象，作用于其上的力汇交于点G ， 受力如图所示，画出力的三角形，由几何关系可得：。
取CEB 为研究对象，受力如图所示。
列平衡方程：代入公式(1)可得：3-24均质杆AB 可绕水平轴A 转动，并搁在半径为的光滑圆柱上，圆柱放在光滑的水平面上，用不可伸长的绳子AC 拉在销钉A 上，杆重16N ，。
试求绳的拉力和杆AB 对销钉A 的作用力。
解： 取杆AB 为研究对象，设杆重为P ，受力如图所示。
列平衡方程：F AxF Ay F 3F 2M A F Ax F Ay F BxF ByF E F GF F Cy F CxF EF ByF Bx取圆柱C 为研究对象，受力如图所示。
列平衡方程：注意：由于绳子也拴在销钉上，因此以整体为研究对象求得的A 处的约束力不是杆AB 对销钉的作用力。
3-27均质杆AB 和BC 完全相同，A 和B 为铰链连接，C 端靠在粗糙的墙上，如图所示。
设静摩擦因数。
试求平衡时角的范围。
解：取整体为研究对象，设杆长为L ，重为P ，受力如图所示。
列平衡方程：(1)取杆BC 为研究对象，受力如图所示。
列平衡方程：(2)补充方程：，将(1)式和(2)式代入有：，即。
3-30如图所示机构中，已知两轮半径量，各重，杆AC 和BC 重量不计。
轮与地面间的静摩擦因数，滚动摩擦系数。
今在BC 杆中点加一垂直力。
试求：平衡时的最大值； 当时，两轮在D 和E 点所受到的滑动摩擦力和滚动摩擦力偶矩。
解：取整体为研究对象，受力如图所示，列平衡方程：由题可知，杆AC 为二力杆。
作用在杆BC 上的力有主动力，以及B 和C 处的约束力和，由三力平衡汇交，可确定约束力和的方向如图所示，其中：，杆AC 受压。
取轮A 为研究对象，受力如图所示，设的作用线与水平面交于F取轮B 为研究对象，受力如图所示，设的作用线与水平面交于G F Ax F Ay F N F s PP F BxF By F N F sPF ND F NE F SD F SEM E M DF ACSD解以上六个方程，可得：， ，， 若结构保持平衡，则必须同时满足：，，，即：， 因此平衡时的最大值，此时： ，3-35试用简捷的方法计算图中所示桁架1，2，3杆的内力。