高中数学中的内切球和外接球问题

高中数学中立体几何的内切球和外接球问题

一、 有关外接球的问题

如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点. 考查学生的空间想象能力以及化归能力.研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用.

一、直接法(公式法)

1、求正方体的外接球的有关问题

例1若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为______________ .

例2一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该正方体的表面积为24，则该球的体积为______________. 2、求长方体的外接球的有关问题

例3一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为1,2,3，则此球的表面积为 . 例4已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积为（ ）. A. 16π B. 20π C. 24π D. 32π

3.求多面体的外接球的有关问题

例5一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为8

9

，底面周长为3，则这个球的体积为 .

解 设正六棱柱的底面边长为x ，高为h ，则有

⎪⎩⎪⎨⎧⨯==h x x 24368

936 ⎪⎩⎪⎨⎧==213x h

∴正六棱柱的底面圆的半径2

1=

r

，球心到底面的距离23=d .∴外接球的半径2

2d r R +=. 体积：

3

3

4R V π=

. 二、构造法(补形法) 1、构造正方体

例5 若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是

_______________.

练习：在四面体ABCD 中，共顶点的三条棱两两垂直，其长度分别为3,6,1，若该四面体的四个顶点在一个球面上，求这个球的表面积。球的表面积为

ππ1642==R S

例 6一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（ ）

A. π3

B. π4

C. π33

D. π6

例7 已知球O 的面上四点A 、B 、C 、D ，ABC DA 平面⊥，BC AB ⊥，3===BC AB DA ，则球O 的体积等于

.

解析：本题同样用一般方法时，需要找出球心，求出球的半径.而利用长方体模型很快便可找到球的直径，由于

ABC DA 平面⊥，BC AB ⊥，联想长方体中的相应线段关系，构造如图4所示的长方体，又因为

3===BC AB DA ，则此长方体为正方体，所以CD 长即为外接球的直径，利用直角三角形解出3=CD .故球O 的

体积等于

π2

9

.（如图4）

例8已知点A 、B 、C 、D 在同一个球面上，BCD AB 平面⊥，BC DC ⊥，若8,132,6===AD AC AB ，则球的体积是

解析：首先可联想到例7，构造下面的长方体，于是AD 为球的直径，O 为球心，4==OC OB 为半径，要求B 、C 两点间的球面距离，只要求出BOC ∠即可，在ABC Rt ∆中，求出4=BC ，所以

60=∠BOC ，故B 、C 两点间的球面距离是

π3

4

.（如图右） 本文章在给出图形的情况下解决球心位置、半径大小的问题。 三.多面体几何性质法

例.已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是 A.π16 B.π20 C.π24 D.π32.

小结:本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的. 四.寻求轴截面圆半径法

例正四棱锥ABCD S -的底面边长和各侧棱长都为2，点D C B A S ,,,,都在同一球面上，则此球的体积为

解:设正四棱锥的底面中心为1O ，外接球的球心为O ，如图1所示.∴由球的截面的性质，可得ABCD OO 平面⊥1.

又ABCD SO 平面⊥1，∴球心O 必在1SO 所在的直线上.

∴ASC ∆的外接圆就是外接球的一个轴截面圆，外接圆的半径就是外接球的半径. 在ASC ∆中，由222,2,2AC SC SA AC SC SA =+==

=得，

C

D A

B

S

O 1图3

图

图

∴为斜边的直角三角形是以AC ASC ∆. ∴

12=AC 是外接圆的半径，也是外接球的半径.故π3

4

=球V . 小结:根据题意，我们可以选择最佳角度找出含有正棱锥特征元素的外接球的一个轴截面圆，于是该圆的半径就是所求的外接球的半径.本题提供的这种思路是探求正棱锥外接球半径的通解通法，该方法的实质就是通过寻找外接球的一个轴截面圆，从而把立体几何问题转化为平面几何问题来研究.这种等价转化的数学思想方法值得我们学习.

五 .确定球心位置法

例5 在矩形ABCD 中，3,4==BC AB ，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角

D AC B --，则四面体ABCD 的外接球的体积为 A.π12125 B.π9125 C.π6125 D.π3125 解:设矩形对角线的交点为O ，则由矩形对角线互相平分，可知OD OC OB OA ===.

∴点O 到四面体的四个顶点D C B A ,,,的距离相等，即点O 为四面体的外接球的球心，如图2所示.∴外接球的半径25=

=OA R

.故ππ6

125

343==R V 球. 出现两个垂直关系，利用直角三角形结论。

【原理】：直角三角形斜边中线等于斜边一半。球心为直角三角形斜边中点。

【例题】：已知三棱锥的四个顶点都在球O 的球面上，BC AB ⊥且10,51,5,7====AC PC PB PA 求球O 的

体积。

解：BC AB ⊥且10,51,5,7==

==AC PC PB PA

因为 2

2

2

10)51(7=+ 所以知:2

2

2

PC PA AC =+ 所以 PC AP ⊥ 所以可得图形为： 在ABC Rt ∆中斜边为AC 在APC Rt ∆中斜边为AC 取斜边的中点

，

在ABC Rt ∆中OC OB OA == 在APC Rt ∆中OC OB OP ==

所以在几何体中OA OC OB OP ===，即为该四面体的外接球的球心

52==

AC R 所以该外接球的体积为ππ3

500

343==R V 球 【总结】斜边一般为四面体中除了直角顶点以外的两个点连线。

1. 一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（ ）

A ．

4

3

3 B ．33 C ． 43 D ．123

答案 B

2. 直三棱柱111ABC A B C -的各顶点都在同一球面上，若

12AB AC AA ===,120BAC ∠=︒，则此球的表面积等于 。

C A

O D

B

图4