正方形基础知识训练
三年级数学上册7 长方形和正方形练习课(1-2课时)
作品编号：15635478925896743学校：山黄市鹤仙镇那年小学* 教师：戒悟空*班级：蝶舞伍班*练习课学习目标1.进一步认识四边形。
2.巩固对长方形和正方形的特征的掌握。
学习重点掌握长方形和正方形的特征。
学习准备教具准备：PPT课件教学环节导案学案达标检测知识点1：四边形的认识。
课件出示教材第81页“练习十七”第1题。
下面的说法正确吗？正确的画“√”，错误的画“”。
（1）四边形有4条直的边。
（）（2）四边形有4个直分析：四边形是由4条直的边组成的图形，它有4个角不一定是直角，对边也不一定相等。
答案：（1）√（2）×（3）×1.填空。
上面图形中，四边形有（）个。
答案：2角。
（ ）（3）四边形的对边相等。
（ ）知识点2：长方形和正方形的特征。
课件出示教材第81页练习十七第4题。
填一填。
分析：长方形的对边相等，正方形的4条边都相等。
答案：6厘米 4厘米 5厘米 5厘米 5厘米 2.填一填：（1）一个长方形相邻的两条边长分别为6厘米和10厘米，那么它的另外两边长分别为（ ）和（ ）。
（2）一个正方形的一边长为7厘米，另外三边长分别为（ ）、（ ）和（ ）。
答案：（1）6厘米10厘米（2）7厘米 7厘米 7厘米布置作业完成教材第81~82页“练习十七”第2、6、7题。
教学过程中老师的疑问：课堂小结 1.通过今天的习题课，你对前两节课学习的内容掌握得怎么样了？2.还有哪些疑惑呢？1.自主交流，举手发言。
2.说说自己的疑惑。
正方体的展开图专项
正方体的展开图专项
一、基础知识
1、正方体的特征
2、正方体中2面共线、3面共点、3线共点
二、基本方法
1、滚动法：用正方体模型操作，滚到一个面确定一个面。
2、定面法：先确定一个面，再看其它面与该面的关系（相对1个、相邻4个）
3、右手法则
例如：如图是正方体的两个方位图，试判断A 、B 、C 的对面依次是哪几个字母？
由图可知，A 与B 、C 、E 、F 相邻，故A 的对面是D ；E 、F 的位置可按右手关系得出，伸出右手，伸直大拇指，按图b 所示，让四指方向从A 转动而指向F ，此时大拇指正好指向E ，如果判断F 在C 对面，由图a 所示，让四指的方向从A 向F ，此时大拇指指向B ，与图b 矛盾，故F 在B 的对面，E 在C 的对面。
F
E
A C A
B
图a 图b
三、对正方体展开图的判断
1、否定式
<1> 正方形的个数不能多于5个。
<2> 不能出现5个或5个以上的正方形呈“一”字形排开的情况。
<3> 四个正方形不能共点。
2、肯定式
<1> 展开图中，有四个正方形呈“一”字形排开时，其他两个正方形只能在“一”字形两侧，此时有六种情况。
<2> 最多三个正方形呈“一”字形排开时
① 其他三个正方形在“一”字形同侧时，只有一种情况。
② 其他三个正方形在“一”字形同侧时，必有五个正方形的排放如图所示，此时共有三种情况。
<3> 相连的正方形最多只有两个时，只有一种情况。
四、下列各图形中，哪些是正方体的展开图？写出这些图形的编号。
正方形判定练习题附答案
正方形的判定之阿布丰王创作一．选择题（共8小题）1．已知四边形ABCD是平行四边形,再从①AB=BC,②∠ABC=90°,③AC=BD,④AC⊥BD四个条件中,选两个作为弥补条件后,使得四边形ABCD是正方形,现有下列四种选法,其中毛病的是（）A．选①② B．选②③ C．选①③ D．选②④2．下列说法中,正确的是（）A．相等的角一定是对顶角B．四个角都相等的四边形一定是正方形C．平行四边形的对角线互相平分D．矩形的对角线一定垂直3．下列命题中是假命题的是（）A．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形B．一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形C．一组邻边相等的平行四边形是菱形D．一组邻边相等的矩形是正方形4．已知四边形ABCD是平行四边形,下列结论中不正确的有（）①当AB=BC时,它是菱形；②当AC⊥BD时,它是菱形；③当∠ABC=90°时,它是矩形；④当AC=BD时,它是正方形．A．1组B．2组C．3组D．4组5．四边形ABCD的对角线AC=BD,AC⊥BD,分别过A、B、C、D作对角线的平行线,所成的四边形EFMN是（）A．正方形 B．菱形C．矩形D．任意四边形6．如果要证明平行四边形ABCD为正方形,那么我们需要在四边形ABCD是平行四边形的基础上,进一步证明（）A．AB=AD且AC⊥BD B．AB=AD且AC=BDC．∠A=∠B且AC=BD D．AC和BD互相垂直平分7．下列命题中,真命题是（）A．对角线相等的四边形是矩形B．对角线互相垂直的四边形是菱形C．对角线互相平分的四边形是平行四边形D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形8．如图,在△ABC中,∠ACB=90°,BC的垂直平分线EF交BC于点D,交AB于点E,且BE=BF,添加一个条件,仍不能证明四边形BECF 为正方形的是（）A．BC=AC B．CF⊥BF C．BD=DF D．AC=BF二．填空题（共6小题）9．能使平行四边形ABCD为正方形的条件是_________ （填上一个符合题目要求的条件即可）．10．如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,DE垂直平分AC,DF⊥BC,当△ABC满足条件_________ 时,四边形DECF是正方形．（要求：①不再添加任何辅助线,②只需填一个符合要求的条件）11．如图,菱形ABCD的对角线相交于点O,请你添加一个条件：_________ ,使得该菱形为正方形．12．如图,在四边形ABCD中,AB=BC=CD=DA,对角线AC与BD相交于点O,若不增加任何字母与辅助线,要使四边形ABCD是正方形,则还需增加一个条件是_________ ．13．已知四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=90°,若添加一个条件即可判定该四边形是正方形,那么这个条件可以是_________ ．14．要使一个菱形成为正方形,需添加一个条件为_________ ．三．解答题（共8小题）15．已知：如图,△ABC中,∠ABC=90°,BD是∠ABC的平分线,DE⊥AB于点E,DF⊥BC于点F．求证：四边形DEBF是正方形．16．如图,在四边形ABCD中,AB=BC,对角线BD平分∠ABC,P是BD 上一点,过点P作PM⊥AD,PN⊥CD,垂足分别为M,N．（1）求证：∠ADB=∠CDB；（2）若∠ADC=90°,求证：四边形MPND是正方形．17．如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,过点C的直线MN∥AB,D为AB边上一点,过点D作DE⊥BC,交直线MN于E,垂足为F,连接CD、BE．（1）求证：CE=AD；（2）当D在AB中点时,四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；（3）若D为AB中点,则当∠A的年夜小满足什么条件时,四边形BECD是正方形？请说明你的理由．18．如图,在△ABC中,点D、E分别是边AB、AC的中点,将△ADE 绕点E旋转180°获得△CFE．（1）求证：四边形ADCF是平行四边形．（2）当△ABC满足什么条件时,四边形ADCF是正方形？请说明理由．19．如图,分别以线段AB的两个端点为圆心,年夜于AB的长为半径作弧,两弧交于M、N两点,连接MN,交AB于点D、C是直线MN 上任意一点,连接CA、CB,过点D作DE⊥AC于点E,DF⊥BC于点F．（1）求证：△AED≌△BFD；（2）若AB=2,当CD的值为_________ 时,四边形DECF是正方形．20．如图,AB是CD的垂直平分线,交CD于点M,过点M作ME⊥A C,MF⊥AD,垂足分别为E、F．（1）求证：∠CAB=∠DAB；（2）若∠CAD=90°,求证：四边形AEMF是正方形．21．如图,△ABC中,点O是边AC上一个动点,过O作直线MN∥BC,设MN交∠ACB的平分线于点E,交∠ACB的外角平分线于点F．（1）探究：线段OE与OF的数量关系并加以证明；（2）当点O运动到何处时,且△ABC满足什么条件时,四边形AECF 是正方形？（3）当点O在边AC上运动时,四边形BCFE _________ 是菱形吗？（填“可能”或“不成能”）22．已知：如图,△ABC中,点O是AC上的一动点,过点O作直线MN∥AC,设MN交∠BCA的平分线于点E,交∠BCA的外角∠ACG的平分线于点F,连接AE、AF．（1）求证：∠ECF=90°；（2）当点O运动到何处时,四边形AECF是矩形？请说明理由；（3）在（2）的条件下,△ABC应该满足条件：_________ ,就能使矩形AECF酿成正方形．（直接添加条件,无需证明）正方形的判定参考谜底与试题解析一．选择题（共8小题）1．已知四边形ABCD是平行四边形,再从①AB=BC,②∠ABC=90°,③AC=BD,④AC⊥BD四个条件中,选两个作为弥补条件后,使得四边形ABCD是正方形,现有下列四种选法,其中毛病的是（）A．选①②B．选②③C．选①③D．选②④考点：正方形的判定；平行四边形的性质．分析：要判定是正方形,则需能判定它既是菱形又是矩形．解答：解：A、由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形,由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形,所以平行四边形ABCD是正方形,正确,故本选项不符合题意；B、由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形,由③得对角线相等的平行四边形是矩形,所以不能得出平行四边形ABCD是正方形,毛病,故本选项符合题意；C、由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形,由③得对角线相等的平行四边形是矩形,所以平行四边形ABCD是正方形,正确,故本选项不符合题意；D、由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形,由④得对角线互相垂直的平行四边形是菱形,所以平行四边形ABCD是正方形,正确,故本选项不符合题意．故选：B．点评：本题考查了正方形的判定方法：①先判定四边形是矩形,再判定这个矩形有一组邻边相等；②先判定四边形是菱形,再判定这个矩形有一个角为直角．③还可以先判定四边形是平行四边形,再用1或2进行判定．2．下列说法中,正确的是（）A．相等的角一定是对顶角B．四个角都相等的四边形一定是正方形C．平行四边形的对角线互相平分D．矩形的对角线一定垂直考点：正方形的判定；对顶角、邻补角；平行四边形的性质；矩形的性质．分析：根据对顶角的界说,正方形的判定,平行四边形的性质,矩形的性质对各选项分析判断利用排除法求解．解答：解：A、相等的角一定是对顶角毛病,例如,角平分线分成的两个角相等,但不是对顶角,故本选项毛病；B、四个角都相等的四边形一定是矩形,纷歧定是正方形,故本选项毛病；C、平行四边形的对角线互相平分正确,故本选项正确；D、矩形的对角线一定相等,但纷歧定垂直,故本选项毛病．故选：C．点评：本题考查了正方形的判定,平行四边形的性质,矩形的性质,对顶角的界说,熟记各性质与判定方法是解题的关键．3．下列命题中是假命题的是（）A．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形B．一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形C．一组邻边相等的平行四边形是菱形D．一组邻边相等的矩形是正方形考点：正方形的判定；平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定．专题：证明题．分析：做题时首先熟悉各种四边形的判定方法,然后作答．解答：解：A、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形,（平行四边形判定定理）；正确．B、一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形,纷歧定是矩形,还可能是不规则四边形,毛病．C、一组邻边相等的平行四边形是菱形,正确；D、一组邻边相等的矩形是正方形,正确．故选B．点评：本题主要考查各种四边形的判定,基础题要细心．4．已知四边形ABCD是平行四边形,下列结论中不正确的有（）①当AB=BC时,它是菱形；②当AC⊥BD时,它是菱形；③当∠ABC=90°时,它是矩形；④当AC=BD时,它是正方形．A． 1组B．2组C．3组D．4组考点：正方形的判定；平行四边形的性质；菱形的判定；矩形的判定．分析：根据邻边相等的平行四边形是菱形可判断①正确；根据所给条件可以证出邻边相等,可判断②正确；根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可判断③正确；根据对角线相等的平行四边形是矩形可以判断出④毛病．解答：解：①根据邻边相等的平行四边形是菱形可知：四边形ABCD是平行四边形,当AB=BC时,它是菱形正确；②∵四边形ABCD是平行四边形,∴BO=OD,∵AC⊥BD,∴AB2=BO2+AO2,AD2=DO2+AO2,∴AB=AD,∴四边形ABCD是菱形,故②正确；③根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可知③正确；④根据对角线相等的平行四边形是矩形可知当AC=BD时,它是矩形,不是正方形,故④毛病；故不正确的有1个．故选：A．点评：此题主要考查了菱形的判定、矩形的判定、正方形的判定,关键是熟练掌握三种特殊平行四边形的判定定理．5．四边形ABCD的对角线AC=BD,AC⊥BD,分别过A、B、C、D作对角线的平行线,所成的四边形EFMN是（）A．正方形B．菱形C．矩形D．任意四边形考点：正方形的判定．分析：根据平行线的性质和判定得出∠NAO=∠AOD=∠N=90°,EN=NM=FM=EF,进而判断即可．解答：证明：如图所示：∵分别过A、B、C、D作对角线的平行线,∴AC∥MN∥EF,EN∥BD∥MF,∵对角线AC=BD,AC⊥BD,∴∠NAO=∠AOD=∠N=90°,EN=NM=FM=EF,∴四边形EFMN是正方形．故选：A．点评：此题主要考查了正方形的判定以及平行线的性质和判定等知识,熟练掌握正方形的判定定理是解题关键．6．如果要证明平行四边形ABCD为正方形,那么我们需要在四边形ABCD是平行四边形的基础上,进一步证明（）A． AB=AD且AC⊥BD B．AB=AD且AC=BDC．∠A=∠B且AC=BD D．AC和BD互相垂直平分考点：正方形的判定．分析：根据正方形的判定对各个选项进行分析从而获得最后的谜底．解答：解：A、根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形,或者对角线互相垂直的平行四边形是菱形,所以不能判断平行四边形ABCD是正方形；B、根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形,对角线相等的平行四边形为矩形,所以能判断四边形ABCD是正方形；C、一组邻角相等的平行四边形是矩形,对角线相等的平行四边形也是矩形,即只能证明四边形ABCD是矩形,不能判断四边形ABCD 是正方形；D、对角线互相垂直的平行四边形是菱形,对角线互相平分的四边形是平行四边形,所以不能判断四边形ABCD是正方形．点评：本题是考查正方形的判别方法,判别一个四边形为正方形主要根据正方形的概念,途经有两种：①先说明它是矩形,再说明有一组邻边相等；②先说明它是菱形,再说明它有一个角为直角．7．下列命题中,真命题是（）A．对角线相等的四边形是矩形B．对角线互相垂直的四边形是菱形C．对角线互相平分的四边形是平行四边形D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形考点：正方形的判定；平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；命题与定理．分析：A、根据矩形的界说作出判断；B、根据菱形的性质作出判断；C、根据平行四边形的判定定理作出判断；D、根据正方形的判定定理作出判断．解答：解：A、两条对角线相等且相互平分的四边形为矩形；故本选项毛病；B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形；故本选项毛病；C、对角线互相平分的四边形是平行四边形；故本选项正确；D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；故本选项毛病；点评：本题综合考查了正方形、矩形、菱形及平行四边形的判定．解答此题时,必需理清矩形、正方形、菱形与平行四边形间的关系．8．如图,在△ABC中,∠ACB=90°,BC的垂直平分线EF交BC于点D,交AB于点E,且BE=BF,添加一个条件,仍不能证明四边形BECF 为正方形的是（）A． BC=AC B．CF⊥BF C．BD=DF D．AC=BF考点：正方形的判定；线段垂直平分线的性质．分析：根据中垂线的性质：中垂线上的点到线段两个端点的距离相等,有BE=EC,BF=FC进而得出四边形BECF是菱形；由菱形的性质知,以及菱形与正方形的关系,进而分别分析得出即可．解答：解：∵EF垂直平分BC,∴BE=EC,BF=CF,∵BF=BE,∴BE=EC=CF=BF,∴四边形BECF是菱形；当BC=AC时,∵∠ACB=90°,则∠A=45°时,菱形BECF是正方形．∵∠A=45°,∠ACB=90°,∴∠EBC=45°∴∠EBF=2∠EBC=2×45°=90°∴菱形BECF是正方形．故选项A正确,但不符合题意；当CF⊥BF时,利用正方形的判定得出,菱形BECF是正方形,故选项B正确,但不符合题意；当BD=DF时,利用正方形的判定得出,菱形BECF是正方形,故选项C正确,但不符合题意；当AC=BF时,无法得出菱形BECF是正方形,故选项D毛病,符合题意．故选：D．点评：本题考查了菱形的判定和性质及中垂线的性质、直角三角形的性质、正方形的判定等知识,熟练掌握正方形的相关的定理是解题关键．二．填空题（共6小题）9．能使平行四边形ABCD为正方形的条件是AC=BD且AC⊥BD （填上一个符合题目要求的条件即可）．考点：正方形的判定；平行四边形的性质．专题：开放型．分析：对角线互相垂直的平行四边形是菱形,对角线相等的平行四边形是矩形,矩形和菱形的结合体是正方形．解答：解：可添加对角线相等且对角线垂直或对角线相等,且一组邻边相等；或对角线垂直,有一个内角是90°．谜底不惟一,此处填：AC=BD且AC⊥BD．点评：本题考查正方形的判定,需注意它是菱形和矩形的结合．10．如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,DE垂直平分AC,DF⊥BC,当△ABC满足条件AC=BC 时,四边形DECF是正方形．（要求：①不再添加任何辅助线,②只需填一个符合要求的条件）考点：正方形的判定．专题：计算题；开放型．分析：由已知可得四边形的四个角都为直角,因此再有四边相等即是正方形添加条件．此题可从四边形DECF是正方形推出．解答：解：设AC=BC,即△ABC为等腰直角三角形,∵∠C=90°,DE垂直平分AC,DF⊥BC,∴∠C=∠CED=∠EDF=∠DFC=90°,DF=AC=CE,DE=BC=CF,∴DF=CE=DE=CF,∴四边形DECF是正方形,故谜底为：AC=BC．点评：此题考查的知识点是正方形的判定,解题的关键是可从四边形DECF是正方形推出△ABC满足的条件．11．如图,菱形ABCD的对角线相交于点O,请你添加一个条件：AC=BD或AB⊥BC,使得该菱形为正方形．考点：正方形的判定；菱形的性质．专题：压轴题．分析：根据正方形判定定理进行分析．解答：解：根据对角线相等的菱形是正方形,可添加：AC=BD；根据有一个角是直角的菱形是正方形,可添加的：AB⊥BC；故添加的条件为：AC=BD或AB⊥BC．点评：本题谜底不惟一,根据菱形与正方形的关系求解．12．如图,在四边形ABCD中,AB=BC=CD=DA,对角线AC与BD相交于点O,若不增加任何字母与辅助线,要使四边形ABCD是正方形,则还需增加一个条件是AC=BD或AB⊥BC．考点：正方形的判定；菱形的判定．专题：开放型．分析：根据菱形的判定定理及正方形的判定定理即可解答．解答：解：∵在四边形ABCD中,AB=BC=CD=DA∴四边形ABCD是菱形∴要使四边形ABCD是正方形,则还需增加一个条件是：AC=BD或AB⊥BC．点评：解答此题的关键是熟练掌握正方形的判定定理,即有一个角是直角的菱形是正方形．13．已知四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=90°,若添加一个条件即可判定该四边形是正方形,那么这个条件可以是AB=AD或AC⊥BD 等．考点：正方形的判定；矩形的判定与性质．专题：开放型．分析：由已知可得四边形ABCD是矩形,则可根据有一组邻边相等或对角线互相垂直的矩形是正方形添加条件．解答：解：由∠A=∠B=∠C=90°可知四边形ABCD是矩形,根据根据有一组邻边相等或对角线互相垂直的矩形是正方形,获得应该添加的条件为：AB=AD或AC⊥BD等．故谜底为：AB=AD或AC⊥BD等．点评：本题是考查正方形的判别方法,判别一个四边形为正方形主要根据正方形的概念,途经有两种：①先说明它是矩形,再说明有一组邻边相等；②先说明它是菱形,再说明它有一个角为直角．14．要使一个菱形成为正方形,需添加一个条件为有一个角是直角或对角线相等．考点：正方形的判定；菱形的性质．专题：开放型．分析：根据菱形的性质及正方形的判定进行分析,从而获得最后谜底．解答：解：要使一个菱形成为正方形,需添加一个条件为：有一个角是直角或对角线相等．点评：解答此题的关键是熟练掌握正方形的判定定理：（1）有一个角是直角的菱形是正方形；（2）对角线相等的菱形是正方形．三．解答题（共8小题）15．已知：如图,△ABC中,∠ABC=90°,BD是∠ABC的平分线,DE⊥AB于点E,DF⊥BC于点F．求证：四边形DEBF是正方形．考点：正方形的判定．专题：证明题．分析：由DE⊥AB,DF⊥BC,∠ABC=90°,先证明四边形DEBF是矩形,再由BD是∠ABC的平分线,DE⊥AB于点E,DF⊥BC于点F得出DE=DF判定四边形DEBF是正方形．解答：解：∵DE⊥AB,DF⊥BC,∴∠DEB=∠DFB=90°,又∵∠ABC=90°,∴四边形BEDF为矩形,∵BD是∠ABC的平分线,且DE⊥AB,DF⊥BC,∴DE=DF,∴矩形BEDF为正方形．点评：本题考查正方形的判定、角平分线的性质和矩形的判定．要注意判定一个四边形是正方形,必需先证明这个四边形为矩形或菱形．16．如图,在四边形ABCD中,AB=BC,对角线BD平分∠ABC,P是BD 上一点,过点P作PM⊥AD,PN⊥CD,垂足分别为M,N．（1）求证：∠ADB=∠CDB；（2）若∠ADC=90°,求证：四边形MPND是正方形．考点：正方形的判定；全等三角形的判定与性质．专题：证明题．分析：（1）根据角平分线的性质和全等三角形的判定方法证明△ABD≌△CBD,由全等三角形的性质即可获得：∠ADB=∠CDB；（2）若∠ADC=90°,由（1）中的条件可得四边形MPND是矩形,再根据两边相等的四边形是正方形即可证明四边形MPND是正方形．解答：证明：（1）∵对角线BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠CBD,在△ABD和△CBD中,,∴△ABD≌△CBD（SAS）,∴∠ADB=∠CDB；（2）∵PM⊥AD,PN⊥CD,∴∠PMD=∠PND=90°,∵∠ADC=90°,∴四边形MPND是矩形,∵∠ADB=∠CDB,∴∠ADB=45°∴PM=MD,∴四边形MPND是正方形．点评：本题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的性质、矩形的判定和性质以及正方形的判定,解题的关键是熟记各种几何图形的性质和判定．17．如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,过点C的直线MN∥AB,D为AB边上一点,过点D作DE⊥BC,交直线MN于E,垂足为F,连接CD、BE．（1）求证：CE=AD；（2）当D在AB中点时,四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；（3）若D为AB中点,则当∠A的年夜小满足什么条件时,四边形BECD是正方形？请说明你的理由．考点：正方形的判定；平行四边形的判定与性质；菱形的判定．专题：几何综合题．分析：（1）先求出四边形ADEC是平行四边形,根据平行四边形的性质推出即可；（2）求出四边形BECD是平行四边形,求出CD=BD,根据菱形的判定推出即可；（3）求出∠CDB=90°,再根据正方形的判定推出即可．解答：（1）证明：∵DE⊥BC,∴∠DFB=90°,∵∠ACB=90°,∴∠ACB=∠DFB,∴AC∥DE,∵MN∥AB,即CE∥AD,∴四边形ADEC是平行四边形,∴CE=AD；（2）解：四边形BECD是菱形,理由是：∵D为AB中点,∴AD=BD,∵CE=AD,∴BD=CE,∵BD∥CE,∴四边形BECD是平行四边形,∵∠ACB=90°,D为AB中点,∴CD=BD,∴四边形BECD是菱形；（3）当∠A=45°时,四边形BECD是正方形,理由是：解：∵∠ACB=90°,∠A=45°,∴∠ABC=∠A=45°,∴AC=BC,∵D为BA中点,∴CD⊥AB,∴∠CDB=90°,∵四边形BECD是菱形,∴四边形BECD是正方形,即当∠A=45°时,四边形BECD是正方形．点评：本题考查了正方形的判定、平行四边形的性质和判定,菱形的判定,直角三角形的性质的应用,主要考查学生运用定理进行推理的能力．18．如图,在△ABC中,点D、E分别是边AB、AC的中点,将△ADE 绕点E旋转180°获得△CFE．（1）求证：四边形ADCF是平行四边形．（2）当△ABC满足什么条件时,四边形ADCF是正方形？请说明理由．考点：正方形的判定；平行四边形的判定．分析：（1）利用旋转的性质得出点A、E、C三点共线,点D、E、F三点共线,且AE=CD,DE=FE,即可得出谜底；（2）首先得出CD⊥AB,即∠ADC=90°,由（1）知,四边形ADCF是平行四边形,故四边形ADCF是矩形．进而求出CD=AD即可得出谜底．解答：（1）证明：∵△CFE是由△ADE绕点E旋转180°获得,∴点A、E、C三点共线,点D、E、F三点共线,且AE=CE,DE=FE,故四边形ADCF是平行四边形．（2）解：当∠ACB=90°,AC=BC时,四边形ADCF是正方形．理由如下：在△ABC中,∵AC=BC,AD=BD,∴CD⊥AB,即∠ADC=90°．而由（1）知,四边形ADCF是平行四边形,∴四边形ADCF是矩形．又∵∠ACB=90°,∴,故四边形ADCF是正方形．点评：此题主要考查了平行四边形的判定以及正方形的判定等知识,得出四边形ADCF是矩形是解题关键．19．如图,分别以线段AB的两个端点为圆心,年夜于AB的长为半径作弧,两弧交于M、N两点,连接MN,交AB于点D、C是直线MN上任意一点,连接CA、CB,过点D作DE⊥AC于点E,DF⊥BC于点F．（1）求证：△AED≌△BFD；（2）若AB=2,当CD的值为 1 时,四边形DECF是正方形．考点：正方形的判定；全等三角形的判定．分析：（1）先由作图知MN是线段AB的垂直平分线,根据垂直平分线的性质得出CA=CB,AD=BD,由等边对等角获得∠A=∠B,然后利用AAS即可证明△AED≌△BFD；（2）若AB=2,当CD的值为1时,四边形DECF是正方形．先由CD=AD=BD=1,MN⊥AB,得出△ACD与△BCD都是等腰直角三角形,则∠ACD=∠BCD=45°,∠ECF=90°,根据有三个角是直角的四边形是矩形证明四边形DECF是矩形,再由等角对等边得出ED=CE,从而得出矩形DECF是正方形．解答：（1）证明：由作图知,MN是线段AB的垂直平分线,∵C是直线MN上任意一点,MN交AB于点D,∴CA=CB,AD=BD,∴∠A=∠B．在△AED与△BFD中,,∴△AED≌△BFD（AAS）；（2）解：若AB=2,当CD的值为1时,四边形DECF是正方形．理由如下：∵AB=2,∴AD=BD=AB=1．∵CD=AD=BD=1,MN⊥AB,∴△ACD与△BCD都是等腰直角三角形,∴∠ACD=∠BCD=45°,∴∠ECF=∠ACD+∠BCD=90°,∵∠DEC=∠DFC=90°,∴四边形DECF是矩形,∠CDE=90°﹣45°=45°,∴∠ECD=∠CDE=45°,∴ED=CE,∴矩形DECF是正方形．故谜底为1．点评：本题考查了线段垂直平分线的性质,全等三角形的判定,正方形的判定,等腰直角三角形的判定与性质,难度适中．20．如图,AB是CD的垂直平分线,交CD于点M,过点M作ME⊥A C,MF⊥AD,垂足分别为E、F．（1）求证：∠CAB=∠DAB；（2）若∠CAD=90°,求证：四边形AEMF是正方形．考点：正方形的判定；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质．专题：证明题．分析：（1）根据AB是CD的垂直平分线,获得AC=AD,然后利用三线合一的性质获得∠CAB=∠DAB即可；（2）首先判定四边形AEMF是矩形,然后证得ME=MF,利用邻边相等的矩形AEMF是正方形进行判定即可．解答：（1）证明：∵AB是CD的垂直平分线,∴AC=AD,又∵AB⊥CD∴∠CAB=∠DAB（等腰三角形的三线合一）；（2）证明：∵ME⊥A C,MF⊥AD,∠CAD=90°,即∠CAD=∠AEM=∠AFM=90°,∴四边形AEMF是矩形,又∵∠CAB=∠DAB,ME⊥A C,MF⊥AD,∴ME=MF,∴矩形AEMF是正方形．点评：本题考查正方形的判定,线段的垂直平分线的性质及等腰三角形的判定与性质的知识,综合性较强,难度不年夜．21．如图,△ABC中,点O是边AC上一个动点,过O作直线MN∥BC,设MN交∠ACB的平分线于点E,交∠ACB的外角平分线于点F．（1）探究：线段OE与OF的数量关系并加以证明；（2）当点O运动到何处时,且△ABC满足什么条件时,四边形AECF 是正方形？（3）当点O在边AC上运动时,四边形BCFE 不成能是菱形吗？（填“可能”或“不成能”）考点：正方形的判定；菱形的判定．分析：（1）由直线MN∥BC,MN交∠BCA的平分线于点E,交∠BCA的外角平分线于点F,易证得△OEC与△OFC是等腰三角形,则可证得OE=OF=OC；（2）正方形的判定问题,AECF若是正方形,则必有对角线OA=OC,所以O为AC的中点,同样在△ABC中,当∠ACB=90°时,可满足其为正方形；（3）菱形的判定问题,若使菱形,则必有四条边相等,对角线互相垂直．解答：解：（1）OE=OF．理由如下：∵CE是∠ACB的角平分线,∴∠ACE=∠BCE,又∵MN∥BC,∴∠NEC=∠ECB,∴∠NEC=∠ACE,∴OE=OC,∵OF是∠BCA的外角平分线,∴∠OCF=∠FCD,又∵MN∥BC,∴∠OFC=∠ECD,∴∠OFC=∠COF,∴OF=OC,∴OE=OF；（2）当点O运动到AC的中点,且△ABC满足∠ACB为直角的直角三角形时,四边形AECF是正方形．理由如下：∵当点O运动到AC的中点时,AO=CO,又∵EO=FO,∴四边形AECF是平行四边形,∵FO=CO,∴AO=CO=EO=FO,∴AO+CO=EO+FO,即AC=EF,∴四边形AECF是矩形．已知MN∥BC,当∠ACB=90°,则∠AOF=∠COE=∠COF=∠AOE=90°,∴AC⊥EF,∴四边形AECF是正方形；（3）不成能．理由如下：如图,∵CE平分∠ACB,CF平分∠ACD,∴∠ECF=∠ACB+∠ACD=（∠ACB+∠ACD）=90°,若四边形BCFE是菱形,则BF⊥EC,但在△GFC中,不成能存在两个角为90°,所以不存在其为菱形．故谜底为不成能．点评：本题考查了平行线的性质,角平分线的界说,等腰三角形的判定,正方形、菱形的判定,难度适中,注意掌握数形结合思想的应用．22．已知：如图,△ABC中,点O是AC上的一动点,过点O作直线MN∥AC,设MN交∠BCA的平分线于点E,交∠BCA的外角∠ACG的平分线于点F,连接AE、AF．（1）求证：∠ECF=90°；（2）当点O运动到何处时,四边形AECF是矩形？请说明理由；（3）在（2）的条件下,△ABC应该满足条件：∠ACB为直角的直角三角形,就能使矩形AECF酿成正方形．（直接添加条件,无需证明）考点：正方形的判定；等腰三角形的判定与性质；矩形的判定．分析：（1）由已知MN∥BC,CE、CF分别平分∠BCO和∠GCO,可推出∠OEC=∠OCE,∠OFC=∠OCF,所以得EO=CO=FO．（2）由（1）得出的EO=CO=FO,点O运动到AC的中点时,则由EO=CO=FO=AO,所以这时四边形AECF是矩形．（3）由已知和（2）获得的结论,点O运动到AC的中点时,且△ABC满足∠AC B为直角的直角三角形时,则推出四边形AECF是矩形且对角线垂直,所以四边形AECF是正方形．解答：（1）证明：∵CE平分∠BCO,CF平分∠DCO,∴∠OCE=∠BCE,∠OCF=∠DCF,。
九年级数学正方形的判定(基础)(含答案)
正方形的判定（基础）一、单选题(共10道，每道10分)1.下列说法，错误的是( )A.所有的平行四边形都是中心对称图形B.矩形是轴对称图形C.菱形不是轴对称图形D.正方形既是轴对称图形也是中心对称图形答案：C解题思路：所有平行四边形均为中心对称图形，对称中心为对角线的交点；矩形是轴对称图形，对称轴为过中心且与边垂直的直线；菱形是轴对称图形，对称轴为对角线所在直线；综上，A，B，D正确，C错误．试题难度：三颗星知识点：略2.平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的是( )A.对角线互相平分B.对角线互相垂直C.对角线相等D.每一条对角线平分一组对角答案：A解题思路：所有平行四边形均满足对角线互相平分；矩形对角线相等但不垂直，不平分一组对角；菱形对角线相互垂直但不相等，平分一组对角；正方形对角线相等，互相垂直，且平分一组对角．综上，A正确．试题难度：三颗星知识点：略3.正方形的一条对角线长为4，则这个正方形的面积是( )A.8B.C. D.16答案：A解题思路：正方形的一条对角线长为4，则边长为，面积为8试题难度：三颗星知识点：略4.如图，四边形ABCD是正方形，延长AB到点E，使AE=AC，连接CE，则∠BCE的度数是( )A.22.5°B.25°C.30°D.无法确定答案：A解题思路：如图，∵四边形ABCD是正方形，AE=AC∴∠CAB=∠ACB=45°，∠ACE=(180°-45°)=67.5°∴∠BCE=∠ACE-∠ACB=22.5°试题难度：三颗星知识点：略5.如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ABE，则∠BED的的度数为( )A.15°B.35°C.45°D.55°答案：C解题思路：∵四边形ABCD为正方形，△ABE为等边三角形∴AD=AB，∠DAB=90°，AE=AB，∠EAB=∠AEB=60°∴△ADE为等腰三角形，且∠EAD=150°∴∠AED=15°∴∠BED=∠AEB-∠AED=60°-15°=45°试题难度：三颗星知识点：略6.如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，把△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置，若四边形AECF的面积为25，DE=2，则AE的长为( )A.5B.C.7D.答案：D解题思路：由旋转性质，则△ADE≌△ABF∴S四AECF=S△ABF+S四ABCE=S△ADE+S四ABCE=S正ABCD=25∴AD=5∴Rt△ADE中，∠D=90°，AD=5，DE=2，由勾股定理得AE=试题难度：三颗星知识点：略7.如图，E，F是正方形ABCD的对角线AC上的两点，AC=8，AE=CF=2，则四边形BEDF的周长是( )A. B.5C. D.20答案：C解题思路：如图，连接BD交AC于点O．∵四边形ABCD为正方形，AE=CF∴AO=OC，BO=OD，BD⊥AC∴AO-AE=CO-OF，即EO=OF∴四边形BEDF为菱形∵AC=8，CF=2∴OC=OD=4，OF=OC-FC=2Rt△DOF中，∠DOF=90°，OF=2，OD=4，由勾股定理得DF=故菱形BEDF的周长为4DF=试题难度：三颗星知识点：略8.如图，在正方形ABCD中，点E是BC上的一点，点F是CD延长线上的一点，且BE=DF，连接AE，AF，EF．若AE=5，则EF的长为( )A. B.C.10D.无法确定答案：A解题思路：∵四边形ABCD为正方形，BE=DF∴AB=AD，∠B=∠ADC=∠ADF=90°∴△ABE≌△ADF∴AE=AF，∠BAE=∠DAF∴∠EAF=∠DAF+∠DAE=∠BAE+∠DAE=∠BAD=90°∴△EAF为等腰直角三角形且AE=5∴EF=AE=试题难度：三颗星知识点：略9.如图，正方形ABCD中，AB=6，G是BC的中点，将△ABG沿AG对折至△AFG，延长GF 交DC于点E，则DE的长是( )A.1B.C.2D.答案：C解题思路：如图，连接AE．∵四边形ABCD为正方形，△ABG沿AG对折至△AFG∴AF=AB=AD，∠AFG=∠B=∠D=90°∴∠AFE=∠D=90°∵AE=AE∴Rt△AFE≌Rt△ADE（HL）∵G是BC的中点，BC=6，若设DE=x则CG=3，FG=BG=3，EF=DE=x，CE=6-xRt△CGE中，由勾股定理CG2+CE2=EG2即32+(6-x)2=(3+x)2，解得x=2∴DE的长是2试题难度：三颗星知识点：略10.如图，正方形ABCD中，E是BC上的一点，连接AE，过B点作BH⊥AE，垂足为点H，延长BH交CD于点F，连接AF．若正方形边长是5，BE=2，则AF的长为( )A.4B.C. D.答案：B解题思路：∵四边形ABCD为正方形∴AB=BC，∠ABC=∠C=90°∵BH⊥AE∴∠BAE+∠BEA=90°，∠EBH+∠BEA=90°∴∠BAE=∠EBH∴△ABE≌△BCF（ASA）∴CF=BE∵BC=5，BE=2∴AD=5，DF=3则Rt△ADF中，利用勾股定理可得AF=试题难度：三颗星知识点：略。
正方形中考拓展专题
1.如图，正方形ABCD和正方形CEFG边长分别为a和b,正方形CEFG绕点C旋转，给出下列结论:①BE=DG；②BE_LDG；®DE2+BG2=2a2+2b2,其中正确结论有（）A.0个B.1个C.2个D.3个2.如图，正方形ABCD的边长为4,E为BC上的一点，BE=1,F为AB的中点，P为AC上一个动点,3.如图，四边形ABCD是边长为6的正方形，点E在边上，BE=4,过点E作EF//BC,分别交CD 于G,F两点.若N分别是OG,CE的中点，则"的长为（）4.如图，正方形ABCD的边长为3,点E、F分别在边BC、CD上，将AB、AD分别沿AE、AF折叠，点B、D恰好都落在点G处，己知BE=1,则EF的长为（）359A.2B.2C.4D.35.如图，正方形ABCD中，AB=6,点E在边CD上，且CE=2DE,将△ADE沿AE对折至△AFE,延长EF交边BC于点G,连接AG、CF,下列结论：©AABG^AAFG；②BG=GC；③ZEAG=45°；④AG〃CF；⑤S aecg：S a aeg=2：5,其中正确结论的个数A.2B.3C.4D.56.如图，正方形ABCD中，AB=1,M,N分别是AD,BC边的中点，沿BQ将△BCQ折叠，若点C恰好落在MN上的点P处，则PQ的长为（）1^1A.2B.3C.3D.B7.如图，在正方形ABCD对角线BD上截取BE=BC,连接CE并延长交AD于点F,连接AE,过B作BG±AE 于点G,交AD于点H,则下列结论错误的是（）A.AH=DFB.S四边形EFHG=S a DC f+S a aghC.ZAEF=45°D.△ABH^ADCF8.如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点。
在CG上，BC=L,CE=3,H是AF的中点，那么CH的长是（）.9.如图，在A AB C中，ZC=90°,AC=BC=4,Q是AB的中点，点E、F分别在AC、BC边上运动（点、E 不与点A、。
正方形的基本认识与绘制
正方形的基本认识与绘制正方形，是一种具有四个相等边长和四个直角的特殊四边形。
它是几何学中最简单、最基本的形状之一。
在我们的日常生活和各个领域都有广泛应用，了解正方形的基本认识以及如何绘制正方形对我们理解和应用它都具有重要意义。
一、正方形的基本认识1. 边长和周长：正方形的四条边都相等，记作a。
正方形的周长（P）等于四条边的长度之和，即P=4a。
2. 面积：正方形的面积（A）等于一条边的长度的平方，即A=a^2。
3. 对角线：正方形的对角线是两条相邻顶点之间的直线段。
对角线的长度等于边长乘以√2，即d=a√2。
4. 内角和外角：正方形的每个内角都等于90度（直角），它们的和为360度。
每个外角都等于270度。
二、绘制正方形绘制正方形通常有两种方法：传统绘图工具和计算机绘图软件。
下面将介绍这两种方法的基本步骤。
1. 方法一：传统绘图工具传统绘图工具包括纸张、铅笔、直尺和量角器等。
（1）将一张纸张放在平坦的桌面上，确定一个起始点作为正方形的一个顶点。
（2）使用直尺和量角器，根据给定的边长，测量并标记出正方形的其他三个顶点。
（3）连接相邻顶点，画出正方形的四条边。
2. 方法二：计算机绘图软件计算机绘图软件可以快速、方便地绘制正方形，并进行编辑和调整。
（1）打开计算机绘图软件，并创建一个新的图形文件。
（2）选择绘制图形的工具，例如矩形工具或多边形工具。
（3）按住Shift键，拖动鼠标以绘制一个等边矩形。
（4）根据需要，可以编辑矩形的边长和其他属性，如颜色和填充效果。
三、正方形的应用正方形在我们的日常生活和各个领域都有广泛的应用。
1. 日常生活中，许多物体的形状或结构基于正方形，如电视、电脑屏幕、手机屏幕等。
2. 建筑和设计领域，正方形被广泛应用于平面布局、建筑设计和装饰等方面。
3. 数学领域，正方形是许多几何概念和定理的基础，如勾股定理、平行四边形等。
4. 艺术领域，正方形常常用作画布或照片的尺寸，提供一种平衡和对称感。
初中数学正方形压轴题题型大全
初中数学里，正方形相关的题型是非常重要的，它涉及到了面积、周长、对角线、图形的性质等等。
掌握好正方形的相关知识，对学生的数学学习有着重要的影响。
在这篇文章中，我们将会介绍初中数学中与正方形相关的压轴题题型，希望能够帮助学生更好地理解和掌握这部分知识。
一、正方形的性质1.定义正方形是一种特殊的四边形，它有四条边，四个角均为直角，且四条边均相等。
2.面积公式正方形的面积公式为：面积 = 边长× 边长，即S=a^2。
3.周长公式正方形的周长公式为：周长= 4 × 边长，即C=4a。
4.对角线性质正方形的对角线相等且垂直平分。
二、正方形的应用题1.求面积已知一个正方形的边长为5cm，求其面积。
解：根据正方形的面积公式可知，面积= 5cm × 5cm = 25cm²。
该正方形的面积为25平方厘米。
2.求周长已知一个正方形的周长为24dm，求其边长。
解：根据正方形的周长公式可知，周长= 4 × 边长，即24dm = 4 × 边长，解得边长为6dm。
该正方形的边长为6分米。
3.求对角线长已知一个正方形的对角线长为10m，求其面积。
解：根据对角线分割正方形为两个全等的直角三角形，可以利用勾股定理求得正方形的边长，再利用面积公式求得面积。
三、正方形的相关性质1.正方形的对角线长度为边长的√2倍。
2.正方形的边长、对角线和面积的关系。
3.正方形与菱形的关系。
四、解题方法1.结合图形进行解题。
2.利用正方形的性质和公式进行计算。
3.将问题转化为方程，从而求解。
五、典型例题分析1.已知一个正方形的对角线长为6cm，求其面积和周长。
2.一个正方形的面积是16平方米，求其边长和周长。
3.一个正方形和一个等边三角形的周长相等，且它们的面积分别为36平方米和24平方米，求正方形的边长。
六、学习方法1.掌握正方形的定义和性质。
2.熟练掌握正方形的面积和周长公式。
3.多做相关的练习题，加深对知识的理解和掌握。
408469正方形(基础)知识讲解
正方形（基础）责编：康红梅【学习目标】1．理解正方形的概念，了解平行四边形、矩形及菱形与正方形的概念之间的从属关系；2．掌握正方形的性质及判定方法．【要点梳理】【高清课堂特殊的平行四边形（正方形）知识要点】要点一、正方形的定义四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形.要点诠释：既是矩形又是菱形的四边形是正方形，它是特殊的菱形，又是特殊的矩形，更为特殊的平行四边形，正方形是有一组邻边相等的矩形，还是有一个角是直角的菱形.要点二、正方形的性质正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质.1.边——四边相等、邻边垂直、对边平行；2.角——四个角都是直角；3.对角线——①相等，②互相垂直平分，③每条对角线平分一组对角；4.是轴对称图形，有4条对称轴；又是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心.要点诠释：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，其对角线将正方形分为四个等腰直角三角形.要点三、正方形的判定正方形的判定除定义外，判定思路有两条：或先证四边形是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相等（即矩形）；或先证四边形是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直（即菱形）.要点四、特殊平行四边形之间的关系或者可表示为：要点五、顺次连接特殊的平行四边形各边中点得到的四边形的形状（1）顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形.（2）顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形.（3）顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形.（4）顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形.要点诠释：新四边形由原四边形各边中点顺次连接而成.（1）若原四边形的对角线互相垂直，则新四边形是矩形.（2）若原四边形的对角线相等，则新四边形是菱形.（3）若原四边形的对角线垂直且相等，则新四边形是正方形.【典型例题】类型一、正方形的性质1、（2016•台湾）如图，有一平行四边形ABCD与一正方形CEFG，其中E点在AD 上．若∠ECD=35°，∠AEF=15°，则∠B的度数为何？（）A．50 B．55 C．70 D．75【思路点拨】由平角的定义求出∠CED的度数，由三角形内角和定理求出∠D的度数，再由平行四边形的对角相等即可得出结果．【答案】C．【解析】解：∵四边形CEFG是正方形，∴∠CEF=90°，∵∠CED=180°﹣∠AEF﹣∠CEF=180°﹣15°﹣90°=75°，∴∠D=180°﹣∠CED﹣∠ECD=180°﹣75°﹣35°=70°，∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠B=∠D=70°（平行四边形对角相等）．故选C．【总结升华】本题考查了正方形的性质、平行四边形的性质、三角形内角和定理等知识；熟练掌握平行四边形和正方形的性质，由三角形内角和定理求出∠D的度数是解决问题的关键．举一反三：【变式1】已知：如图，E为正方形ABCD的边BC延长线上的点，F是CD边上一点，且CE＝CF，连接DE，BF．求证：DE＝BF．【答案】证明：∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝DC，∠BCD＝90°∵E为BC延长线上的点，∴∠DCE＝90°，∴∠BCD＝∠DCE．在△BCF 和△DCE 中，BC DC BCF DCE CF CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BCF≌△DCE（SAS ），∴BF＝DE ．【高清课堂 特殊的平行四边形（正方形） 例1】【变式2】（2015•咸宁模拟）如图，在正方形ABCD 外侧，作等边三角形ADE ，AC ，BE 相交于点F ，则∠BFC 为（ ）A ．75°B ．60°C ．55°D ．45°【答案】B ；提示：∵四边形ABCD 是正方形，∴∠BAD=90°，AB=AD ，∠BAF=45°，∵△ADE 是等边三角形，∴∠DAE=60°，AD=AE ，∴∠BAE=90°+60°=150°，AB=AE ， ∴∠ABE=∠AEB=（180°﹣150°）=15°，∴∠BFC=∠BAF+∠ABE=45°+15°=60°；故选：B ．2、如图，四边形ABCD 是边长为2的正方形，点G 是BC 延长线上一点，连接AG ，点E 、F 分别在AG 上，连接BE 、DF ，∠1＝∠2，∠3＝∠4．（1）证明：△ABE≌△DAF；（2）若∠AGB＝30°，求EF 的长．【思路点拨】要证明△ABE ≌△DAF ，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，只要证一条边对应相等即可．要求EF 的长，需要求出AF 和AE 的长．【答案与解析】（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴AD＝AB ，∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴△DAF≌△ABE．（2）解：∵四边形ABCD是正方形，∠AGB＝30°，∴AD∥BC，∴∠1＝∠AGB＝30°，∵∠1＋∠4＝∠DAB＝90°，∵∠3＝∠4，∴∠1＋∠3＝90°，∴∠AFD＝180°－（∠1＋∠3）＝90°，∴DF⊥AG，∴DF＝11 2AD=∴A F∵△ABE≌△DAF，∴AE＝DF＝1，1【总结升华】通过证三角形全等得到边和角相等，是有关四边形中证边角相等的最常用的方法．而正方形的四条边相等，四个角都是直角为证明三角形全等提供了条件．举一反三：【变式】如图，A、B、C三点在同一条直线上，AB＝2BC，分别以AB，BC为边做正方形ABEF 和正方形BCMN连接FN，EC．求证：FN＝EC．【答案】证明：在正方形ABEF中和正方形BCMN中，AB＝BE＝EF，BC＝BN，∠FEN＝∠EBC＝90°，∵AB＝2BC，即BC＝BN＝12 AB∴BN＝12BE，即N为BE的中点，∴EN＝NB＝BC，∴△FNE≌△ECB，∴FN＝EC．类型二、正方形的判定3、如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC、∠ABC的平分线相交于点D，且DE ⊥BC于点E，DF⊥AC于点F，那么四边形CEDF是正方形吗?请说明理由．【答案与解析】解：是正方形，理由如下：作DG⊥AB于点G．∵ AD平分∠BAC，DF⊥AC，DG⊥AB，∴ DF＝DG．同理可得：DG＝DE．∴ DF＝DE．∵ DF⊥AC，DE⊥BC，∠C＝90°，∴四边形CEDF是矩形．∵ DF＝DE．∴四边形CEDF是正方形．【总结升华】(1)本题运用了“有一组邻边相等的矩形是正方形”来判定正方形．(2)证明正方形的方法还可以直接通过证四条边相等加一个直角或四个角都是直角来证明正方形．举一反三：【变式】如图，点O是线段AB上的一点，OA＝OC，OD平分∠AOC交AC于点D，OF平分∠CO B，CF⊥OF于点F．（1）求证：四边形CDOF是矩形；（2）当∠AOC多少度时，四边形CDOF是正方形？并说明理由．【答案】（1）证明：∵OD平分∠AOC，OF平分∠COB（已知），∴∠AOC＝2∠COD，∠CO B＝2∠COF，∵∠AOC＋∠BOC＝180°，∴2∠COD＋2∠COF＝180°，∴∠COD＋∠COF＝90°，∴∠DOF＝90°；∵OA＝OC，OD平分∠AOC（已知），∴OD⊥AC，AD＝DC（等腰三角形的“三线合一”的性质），∴∠CDO＝90°，∵CF⊥OF，∴∠CFO＝90°∴四边形CDOF是矩形；（2）当∠AOC＝90°时，四边形CDOF 是正方形；理由如下：∵∠AOC＝90°，AD ＝DC ，∴OD＝DC ；又由（1）知四边形CDOF 是矩形，则四边形CDOF 是正方形；因此，当∠AOC＝90°时，四边形CDOF 是正方形．类型三、正方形综合应用4、如图，在平面直角坐标系xoy 中，边长为a (a 为大于0的常数)的正方形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点P ，顶点A 在x 轴正半轴上运动，顶点B 在y 轴正半轴上运动(x 轴的正半轴、y 轴的正半轴都不包含原点O)，顶点C 、D 都在第一象限．(1)当∠BAO ＝45°时，求点P 的坐标；(2)求证：无论点A 在x 轴正半轴上、点B 在y 轴正半轴上怎样运动，点P 都在∠AOB 的平分线上；【答案与解析】解：(1)当∠BAO ＝45°时，∠PAO ＝90°，在Rt △AOB 中，OA ，在Rt △APB 中，PA ．∴ 点P 的坐标为,a ⎫⎪⎪⎝⎭． (2)如图过点P 分别作x 轴、y 轴的垂线垂足分别为M 、N ，则有∠PMA ＝∠PNB ＝∠NPM ＝∠BPA ＝90°，∵∠BPN ＋∠BPM ＝∠APM ＋∠BPM ＝90°∴∠APM ＝∠BPN ，又PA ＝PB ，∴ △PAM ≌△PBN ，∴ PM ＝PN ，又∵ PN ⊥ON ，PM ⊥OM于是，点P 在∠AOB 的平分线上.【总结升华】根据题意作出辅助线，构造全等的直角三角形是解题关键.。
专题19.1 矩形、菱形与正方形(基础篇)专项练习-2020-2021学年八年级数学下(华东师大版)
专题19.1 矩形、菱形与正方形（基础篇）专项练习一、单选题1．菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是( )A ．对边相等B ．对角相等C ．对角线互相平分D ．对角线互相垂直 2．下列判断错误的是（ ）A ．两组对边分别相等的四边形是平行四边形B ．四个内角都相等的四边形是矩形C ．四条边都相等的四边形是菱形D ．两条对角线垂直且平分的四边形是正方形3．菱形的周长为8cm ，高为1cm ，则菱形两邻角度数比为（ ）A ．4：1B ．5：1C ．6：1D ．7：1 4．如图，EF 过矩形ABCD 对角线的交点O ，且分别交AB 、CD 于E 、F ，那么阴影部分的面积是矩形ABCD 的面积的( )A ．15B ．14C ．13D ．3105．如图，已知菱形的两条对角线分别为6cm 和8cm ，则这个菱形的高DE 为( )A ．2.4cmB ．4.8cmC ．5cmD ．9.6cm 6．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 为菱形，()0,0O ，()4,0A ，60AOC ∠=，则对角线交点E 的坐标为( )A．(B．)2C．)D．(7．如图，矩形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O,CE∥BD, DE∥AC , AD＝, DE ＝2,则四边形OCED 的面积为（）A．B．4C．D．88．如图，在正方形ABCD中，E为DC边上的点，连接BE，将∥BCE绕点C顺时针方向旋转90°得到∥DCF，连接EF，若∥BEC=60°，则∥EFD的度数为（）A．10°B．15°C．20°D．25°9．如图，在∥ABC 中，点D 是边BC 上的点（与B、C 两点不重合），过点D作DE∥AC，DF∥AB，分别交AB、AC 于E、F 两点，下列说法正确的是（）A．若AD 平分∥BAC，则四边形AEDF 是菱形B．若BD＝CD，则四边形AEDF 是菱形C．若AD 垂直平分BC，则四边形AEDF 是矩形D ．若 AD ∥BC ，则四边形 AEDF 是矩形10．如图，在菱形ABCD 中，P 是对角线AC 上一动点，过点P 作PE BC ⊥于点E ．PF AB ⊥于点F ．若菱形ABCD 的周长为20，面积为24，则PE PF +的值为（ ）A ．4B ．245C ．6D ．485二、填空题 11．已知菱形ABCD 的面积是12cm 2，对角线AC ＝4cm ，则菱形的边长是______cm ． 12．如图，在∥ABC 中，AD 是高，E 是AB 的中点，EF∥AD ，交AC 于点F ，若AC=6，则DF 的长为______.13．如图，在长方形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝3，对角线AC 的垂直平分线分别交AD ，BC 于点E ，F ，连接CE ，则CE 的长为________．14．如图，菱形ABCD 的边长为2，∥DAB=60°，E 为BC 的中点，在对角线AC 上存在一点P ，使∥PBE 的周长最小，则∥PBE 的周长的最小值为________．15．如图：已知：AM MN ⊥，BN MN ⊥，垂足分别为M 、N ，点C 是MN 上使AC BC +的值最小的点．若3AM =，5BN =，15MN =，则AC BC +=________．16．如图，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，∥EAF ＝45°，∥ECF 的周长为4，则正方形ABCD 的边长为_____．17．如图，在Rt∥ABC 中，∥ABC=90°，AC=10cm ，点D 为AC 的中点，则BD=_____cm ．18．如图，在菱形ABCD 中，P 是对角线AC 上的一点，PE AB ⊥于点E ，若5PE =，则点P 到AD 的距离为________．19．如图，边长分别为4和8的两个正方形ABCD 和CEFG 并排放在一起，连结BD 并延长交EG 于点T ，交FG 于点P ，则GT 的长为_____．20．如图，在Rt∥BAC 和Rt∥BDC 中，∥BAC ＝∥BDC ＝90°，O 是BC 的中点，连接AO 、DO．若AO＝3，则DO的长为_____．21．如图，在正方形ABCD，E是对角线BD上一点，AE的延长线交CD于点F，连接∠=︒，则CEFCE．若56BAE∠=______︒．22．如图，边长为1的菱形ABCD中，∥DAB=60°．连结对角线AC，以AC为边作第二个菱形ACEF，使∥FAC=60°．连结AE，再以AE为边作第三个菱形AEGH使∥HAE=60°…按此规律所作的第n个菱形的边长是___．三、解答题23．如图，∥ABC中，AB=AC，AD是∥ABC的角平分线，点O为AB的中点，连接DO 并延长到点E，使OE=OD，连接AE，BE，（1）求证：四边形AEBD是矩形；（2）当∥ABC满足什么条件时，矩形AEBD是正方形，并说明理由．24．如图，在∥ABC 和∥DCB 中，AB=DC ，AC=DB ，AC 与DB 交于点M ．（1）求证：∥ABC∥∥DCB（2）过点C 作CN∥BD ，过点B 作BN∥AC ，CN 与BN 交于点N ，试判断线段BN 与CN 的数量关系，并证明你的结论．25．如图，点E 、F 、G 、H 分别在矩形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA (不包括端点)上运动，且满足AE CG =，AH CF =．(1)求证：AEH CGF ∆≅∆；(2)试判断四边形EFGH 的形状，并说明理由．(3)请探究四边形EFGH 的周长一半与矩形ABCD 一条对角线长的大小关系，并说明理由．26．在∥ABC 中，M 是AC 边上的一点，连接BM．将∥ABC 沿AC 翻折，使点B 落在点D 处，当DM∥AB 时。
正方形(基础)基础的知识点讲解+练习
正方形（基础）【学习目标】1．理解正方形的概念，了解平行四边形、矩形及菱形与正方形的概念之间的从属关系；2．掌握正方形的性质及判定方法．【要点梳理】【高清课堂特殊的平行四边形（正方形）知识要点】要点一、正方形的定义四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形.要点诠释：既是矩形又是菱形的四边形是正方形，它是特殊的菱形，又是特殊的矩形，更为特殊的平行四边形，正方形是有一组邻边相等的矩形，还是有一个角是直角的菱形.要点二、正方形的性质正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质.1.边——四边相等、邻边垂直、对边平行；2.角——四个角都是直角；3.对角线——①相等，②互相垂直平分，③每条对角线平分一组对角；4.是轴对称图形，有4条对称轴；又是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心.要点诠释：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，其对角线将正方形分为四个等腰直角三角形.【典型例题】类型一、正方形的性质1、（2015•扬州校级一模）如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上．下列结论：①CE=CF；②∠AEB=75°；③BE+DF=EF；④S正方形=2+．其中正确的个数为（）ABCDA.1B.2C.3D.4【思路点拨】根据三角形的全等的知识可以判断①的正误；根据角角之间的数量关系，以及三角形内角和为180°判断②的正误；根据线段垂直平分线的知识可以判断③的正误，利用解三角形求正方形的面积等知识可以判断④的正误．【答案与解析】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∵△AEF是等边三角形，∴AE=AF，在Rt△ABE和Rt△ADF中，，∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），∴BE=DF，∵BC=DC，∴BC﹣BE=CD﹣DF，∴CE=CF，∴①说法正确；∵CE=CF，∴△ECF是等腰直角三角形，∴∠CEF=45°，∵∠AEF=60°，∴∠AEB=75°，∴②说法正确；如图，连接AC，交EF于G点，∴AC⊥EF，且AC平分EF，∵∠CAF≠∠DAF，∴DF≠FG，∴BE+DF≠EF，∴③说法错误；∵EF=2，∴CE=CF=，设正方形的边长为a，在Rt△ADF中，a2+（a﹣）2=4，解得a=，则a2=2+，∴S正方形ABCD=2+，④说法正确，∴正确的有①②④．故选C．【总结升华】本题主要考查正方形的性质的知识点，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的证明以及辅助线的正确作法，此题难度不大，但是有一点麻烦．举一反三：【变式1】已知：如图，E为正方形ABCD的边BC延长线上的点，F是CD边上一点，且CE＝CF，连接DE，BF．求证：DE＝BF．【答案】证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴BC＝DC ，∠BCD＝90° ∵E 为BC 延长线上的点， ∴∠DCE＝90°， ∴∠BCD＝∠DCE ． 在△BCF 和△DCE 中，B C D C B C F D C E C F C E =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△BCF≌△DCE（SAS ）， ∴BF＝DE ．【高清课堂 特殊的平行四边形（正方形） 例1】 【变式2】（2015•咸宁模拟）如图，在正方形ABCD 外侧，作等边三角形ADE ，AC ，BE 相交于点F ，则∠BFC 为（ ）A ．75°B ．60°C ．55°D ．45° 【答案】B ；提示：∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠BAD=90°，AB=AD ，∠BAF=45°， ∵△ADE 是等边三角形， ∴∠DAE=60°，AD=AE ，∴∠BAE=90°+60°=150°，AB=AE ， ∴∠ABE=∠AEB=（180°﹣150°）=15°， ∴∠BFC=∠BAF+∠ABE=45°+15°=60°； 故选：B ．2、如图，四边形ABCD 是边长为2的正方形，点G 是BC 延长线上一点，连接AG ，点E 、F 分别在AG 上，连接BE 、DF ，∠1＝∠2，∠3＝∠4．（1）证明：△ABE≌△DAF；（2）若∠AGB＝30°，求EF的长．【思路点拨】要证明△ABE≌△DAF，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，只要证一条边对应相等即可．要求EF的长，需要求出AF和AE的长．【答案与解析】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴△DAF≌△ABE．（2）解：∵四边形ABCD是正方形，∠AGB＝30°，∴AD∥BC，∴∠1＝∠AGB＝30°，∵∠1＋∠4＝∠DAB＝90°，∵∠3＝∠4，∴∠1＋∠3＝90°，∴∠AFD＝180°－（∠1＋∠3）＝90°，∴DF⊥AG，∴DF＝11 2A D=∴A F∵△ABE≌△DAF，∴AE＝DF＝1，1【总结升华】通过证三角形全等得到边和角相等，是有关四边形中证边角相等的最常用的方法．而正方形的四条边相等，四个角都是直角为证明三角形全等提供了条件．举一反三：【变式】如图，A、B、C三点在同一条直线上，AB＝2BC，分别以AB，BC为边做正方形ABEF 和正方形BCMN连接FN，EC．求证：FN＝EC．【答案】证明：在正方形ABEF中和正方形BCMN中，AB＝BE＝EF，BC＝BN，∠FEN＝∠EBC＝90°，1∵AB＝2BC，即BC＝BN＝A B21∴BN＝B E，即N为BE的中点，2∴EN＝NB＝BC，∴△FNE≌△ECB，∴FN＝EC．要点三、正方形的判定正方形的判定除定义外，判定思路有两条：或先证四边形是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相等（即矩形）；或先证四边形是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直（即菱形）.类型二、正方形的判定3、如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC、∠ABC的平分线相交于点D，且DE ⊥BC于点E，DF⊥AC于点F，那么四边形CEDF是正方形吗?请说明理由．【答案与解析】解：是正方形，理由如下：作DG⊥AB于点G．∵ AD平分∠BAC，DF⊥AC，DG⊥AB，∴ DF＝DG．同理可得：DG＝DE．∴ DF＝DE．∵ DF⊥AC，DE⊥BC，∠C＝90°，∴四边形CEDF是矩形．∵ DF＝DE．∴四边形CEDF是正方形．【总结升华】(1)本题运用了“有一组邻边相等的矩形是正方形”来判定正方形．(2)证明正方形的方法还可以直接通过证四条边相等加一个直角或四个角都是直角来证明正方形．举一反三：【变式】如图，点O是线段AB上的一点，OA＝OC，OD平分∠AOC交AC于点D，OF平分∠COB，CF⊥OF于点F．（1）求证：四边形CDOF是矩形；（2）当∠AOC多少度时，四边形CDOF是正方形？并说明理由．【答案】（1）证明：∵OD平分∠AOC，OF平分∠COB（已知），∴∠AOC＝2∠COD，∠CO B＝2∠COF，∵∠AOC＋∠BOC＝180°，∴2∠COD＋2∠COF＝180°，∴∠COD＋∠COF＝90°，∴∠DOF＝90°；∵OA＝OC，OD平分∠AOC（已知），∴OD⊥AC，AD＝DC（等腰三角形的“三线合一”的性质），∴∠CDO＝90°，∵CF⊥OF，∴∠CFO＝90°∴四边形CDOF是矩形；（2）当∠AOC＝90°时，四边形CDOF是正方形；理由如下：∵∠AOC＝90°，AD＝DC，∴OD＝DC；又由（1）知四边形CDOF是矩形，则四边形CDOF是正方形；因此，当∠AOC＝90°时，四边形CDOF是正方形．要点四、特殊平行四边形之间的关系或者可表示为：要点五、顺次连接特殊的平行四边形各边中点得到的四边形的形状 （1）顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形. （2）顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形. （3）顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形. （4）顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形. 要点诠释：新四边形由原四边形各边中点顺次连接而成. （1）若原四边形的对角线互相垂直，则新四边形是矩形. （2）若原四边形的对角线相等，则新四边形是菱形.（3）若原四边形的对角线垂直且相等，则新四边形是正方形.类型三、正方形综合应用4、如图，在平面直角坐标系xoy 中，边长为a (a 为大于0的常数)的正方形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点P ，顶点A 在x 轴正半轴上运动，顶点B 在y 轴正半轴上运动(x 轴的正半轴、y 轴的正半轴都不包含原点O)，顶点C 、D 都在第一象限．(1)当∠BAO ＝45°时，求点P 的坐标；(2)求证：无论点A 在x 轴正半轴上、点B 在y 轴正半轴上怎样运动，点P 都在∠AOB 的平分线上；【答案与解析】解：(1)当∠BAO ＝45°时，∠PAO ＝90°，在Rt △AOB 中，OA ＝2AB ＝2a ，在Rt △APB 中，PA ＝2AB ＝2a ．∴ 点P 的坐标为,22⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭． (2)如图过点P 分别作x 轴、y 轴的垂线垂足分别为M 、N ，则有∠PMA ＝∠PNB ＝∠NPM ＝∠BPA ＝90°，∵∠BPN ＋∠BPM ＝∠APM ＋∠BPM ＝90° ∴∠APM ＝∠BPN ，又PA ＝PB ， ∴ △PAM ≌△PBN ， ∴ PM ＝PN ，又∵ PN ⊥ON ，PM ⊥OM于是，点P 在∠AOB 的平分线上.【总结升华】根据题意作出辅助线，构造全等的直角三角形是解题关键.【巩固练习】一.选择题1. 正方形是轴对称图形，它的对称轴共有（）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条2. （2015•漳州一模）正方形具有而菱形不一定具有的性质是（）A.四条边相等B.对角线互相垂直平分C.对角线平分一组对角D.对角线相等3. 如图，正方形ABCD的边长为4c m，则图中阴影部分的面积为( )2c m．A.6B.8C.16D.不能确定4. 顺次连结对角线互相垂直的四边形各边的中点，所得的四边形是 ( )A. 矩形B. 菱形C. 正方形D. 梯形5.如图，在边长为2的正方形ABCD中，M为边AD的中点，延长MD至点E，使ME＝MC，以DE为边作正方形DEFG，点G在边CD上，则DG的长为（）A1- B.3-116.如图，正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，则图中的等腰三角形有（）A．4个 B．6个 C．8个 D．10个二.填空题7．若正方形的边长为a，则其对角线长为______，若正方形ACEF的边是正方形ABCD的对角线，则正方形ACEF与正方形ABCD的面积之比等于______．8. 如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA，对角线AC与BD相交于点O，若不增加任何字母与辅助线，要使四边形ABCD是正方形，则还需增加一个条件是_________.9. 如图，将边长为2c m的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向平移，得到△A B C'''，若两个三角形重叠部分的面积是12c m，则它移动的距离A A'等于____c m.10. 如图，边长为2的正方形ABCD的对角线相交于点O，过点O的直线分别交AD、BC于E、F，则阴影部分的面积是_______.11. 如图．边长为1的两个正方形互相重合，按住其中一个不动，将另一个绕顶点A顺时针旋转45°，则这两个正方形重叠部分的面积是______．12.（2015•长春）如图，点E在正方形ABCD的边CD上．若△ABE的面积为8，CE=3，则线段BE的长为．三.解答题13．已知：如图，正方形ABCD中，点E、M、N分别在AB、BC、AD边上，CE＝MN，∠MCE＝35°，求∠ANM的度数．14．（2015•铁力市二模）如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于点E；PF⊥CD于点F，连接EF，给出下列五个结论：①AP=EF；②AP⊥EF；③∠PFE=∠BAP；④PD=EC；⑤PB2+PD2=2PA2，正确的有几个？．15．如图，边长为3的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转30°后，得到正方形EFCG，EF 交AD于H，求DH的长．【答案与解析】一.选择题1.【答案】D；【解析】正方形的对称轴是两对角线所在的直线，两对边中点所在的直线，对称轴共4条．2.【答案】D；【解析】正方形的性质：正方形的四条边相等，四个角都是直角，对角线互相垂直平分且相等，并且每一条对角线平分一组对角；菱形的性质：菱形的四条边相等，对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角；因此正方形具有而菱形不一定具有的性质是：对角线相等；故选：D．3．【答案】B；【解析】阴影部分面积为正方形面积的一半.4.【答案】A；5.【答案】D；【解析】利用勾股定理求出CM即ME的长，有DM＝DE，所以可以求出DE1，进而得到DG的长．6.【答案】C ；二.填空题7.，2∶1 ；【解析】正方形ACEF 与正方形ABCD 1.8.【答案】AC ＝BD 或AB⊥BC；【解析】∵在四边形ABCD 中，AB ＝BC ＝CD ＝DA∴四边形ABCD 是菱形∴要使四边形ABCD是正方形，则还需增加一个条件是AC ＝BD 或AB⊥BC .9.【答案】1；【解析】移动距离为B C x '=，重叠部分面积为CE ×1B C '=，所以()21x x -=，得()210x -=，所以1x =.10.【答案】1；【解析】由题可知△DEO≌△BFO，阴影面积就等于三角形BOC 面积．11.1-；【解析】1D E D C ''==，重叠部分面积为)121112⨯⨯⨯=.12.【答案】5；【解析】解：过E 作EM ⊥AB 于M ，∵四边形ABCD 是正方形，∴AD=BC=CD=AB ，∴EM=AD ，BM=CE ，∵△ABE 的面积为8， ∴×AB ×EM=8，解得：EM=4，即AD=DC=BC=AB=4，∵CE=3，由勾股定理得：BE===5，故答案为：5．三.解答题13.【解析】解：作NF⊥BC 于F ．∵ABCD 是正方形，∴CD ＝BC ＝FN则在Rt △BEC 和Rt △F MN 中，∠B＝∠NFM＝90°，C E M N B C F N=⎧⎨=⎩ ∴Rt △BEC≌Rt △FMN∴∠MNF＝∠MCE＝35°∴∠ANM＝90°－∠MNF＝55°14.【解析】解：①正确，连接PC ，可得PC=EF ，PC=PA ，∴AP=EF ；②正确；延长AP ，交EF 于点N ，则∠EPN=∠BAP=∠PCE=∠PFE ，可得AP ⊥EF ； ③正确；∠PFE=∠PCE=∠BAP ；④错误，PD=PF=CE ；⑤正确，PB 2+PD 2=2PA 2．所以正确的有3个：①②③.15.【解析】解：如图，连接CH ，∵正方形ABCD 绕点C 按顺时针方向旋转30°，∴∠BCF＝30°，则∠DCF＝60°，在Rt△CDH 和Rt△CFH 中，C H C H CD C F=⎧⎨=⎩ ∴Rt△C DH ≌Rt△CF H ， ∴∠DCH＝∠FCH＝12∠DCF＝30°，在Rt △CDH 中，DH ＝x ，CH ＝2x ，CD 3=，∴DH知识赠送以下资料英语万能作文(模板型）Along with the advance of the society more and more problems are brought to our attention, one of which is that....随着社会的不断发展，出现了越来越多的问题，其中之一便是____________。
长方形和正方形周长基础知识练习题
、我会填1.封闭图形一周的长度, 是它的（）。
2.长方形的对边（），四个角都是（）角。
计算长方形的周长，必须量出它的（3.正方形的四条边（），四个角都是（计算正方形的周长，必须量出它的（）。
4.平行四边形的对边（），对角（）。
5 .用一根长14米的铁丝围成一个长方形, 这个长方形的长和宽分别可以是：（)和(）。
6.—张长方形纸正好可以裁成两张边长为3厘米的正方形纸,原来这张纸的周长是（）厘米。
二、选一选1.求长方形的周长用（A.长+宽X 2B.(长+宽) X 2C.长X宽2 .长方形的一组长边同时缩短到和短边同样长，就变成了( )。
A.正方形B.平行四边形C.四边形A. A > B3.如右图，A,1.4. 如图，将边长为24厘米的正方形纸板剪成四块同样大小的长( )。
A . 24厘米B . 30厘米C. 12厘米 D . 60厘三、判断(1)四个角都是直角的四边形一定是正方形。
分米。
(3)周长相等的两个长方形，它们的形状都一样。
(4)长方形、正方形和平行四边形都是由四条线段围成的图形。
四、求下面图形的周长■b2S米郴13米21米6米方形纸板，每块长方形纸板的周长是多少厘米 (2)两个周长是16分米的正方形拼成一个长方形,它的周长是32长方形和正方形一、用心思考，准确填写。
1、四边形有（）条边，（）个角。
2、在正方形、长方形、平行四边形中，（）四条边都相等,( ）和（）的对边相等，（）和（的四个角相等。
3、一个正方形的边长是5厘米，它的周长是（）厘米，合（）分米。
4、两个边长是3厘米的正方形，拼成一个长方形后，它的长是（）厘米，宽是（）厘米，周长是（）厘米。
5、一块三角形麦地，三边的长分别是30米、40米、50米，它的周长是（）米。
6、长方形的一条长加上一条宽的长度，正好是这个长方形周长的（7、一个正方形的周长是28厘米，它的边长是（）厘米。
8、一个正方形的边长增加2厘米，它的周长增加（）厘米。
【分层作业】7.2 认识长方形和正方形(同步练习) 三年级上册数学同步课时练 (人教版,含答案)
第七单元长方形和正方形7.2 认识长方形和正方形【基础巩固】一、选择题1．下图中有（）个带“*”的长方形。
A．11 B．5 C．8 D．32．长方形和（）都有4个直角。
A．正方形B．平行四边形C．三角形3．用同样长的小棒至少（）根能拼成一个长方形。
A．4 B．6 C．104．弟弟把一根铁丝绳折弯，下面的“●”表示连接拐点，第（）根铁丝能围成长方形。
A．B．C．D．5．下面是长方形和正方形的共同特征的是（）。
①是四边形②四个角都是直角③对边相等④四条边都相等A．①②③B．①③C．①②D．①②③④二、填空题6．下图中有( )个正方形和( )个长方形。
7．长方形的( )边相等，正方形的( )相等。
8．下图是一个长方形。
（1）如果在图中画一个最大的正方形，这个正方形的边长是( )厘米。
（2）剩下的图形是一个长方形，长是( )厘米，宽是( )厘米。
9．在括号内填上适当的数（单位：毫米）。
10．一张长30厘米，宽21厘米的长方形彩纸，最多可以剪( )个边长是5厘米的正方形纸片。
【能力提升】三、作图题11．在下面的点子图上画出一个长方形、一个正方形和一个四边形（图中每两个点之间的宽度是相等的）。
四、解答题12．数一数，下面图形中包含苹果的长方形共有几个？13．一张长6分米，宽3分米的长方形纸，剪成边长是1分米的正方形，可以剪多少块？【拓展实践】14．用18个大小相同的正方形拼成一个长方形，有多少种不同的拼法？15．按要求画图并填空。
（1）在下面的长方形中画出一个最大的正方形，这个正方形的边长是（）厘米。
（2）在剩下的图形里再画出一个最大的正方形，这个正方形的边长是（）厘米。
参考答案1．C【分析】长方形的对边相等，并且有4个直角；依此计算出带“*”的长方形的个数即可。
【详解】1＋3＋1＋2＋1＝8（个）故答案为：C【点睛】熟练掌握长方形的特点是解答此题的关键。
2．A【分析】根据对正方形、平行四边形和三角形的初步认识进行选择即可。
正方形的性质及判定练习题
正方形的性质及判定练习题一、知识梳理：1、定义：一组邻边相等的矩形是正方形．2、正方形性质：（1）边的性质：对边平行，四条边都相等．（2）角的性质：四个角都是直角．（3）对角线的性质：两条对角线互相垂直平分且相等，•每条对角线平分一组对角．（4）对称性：既是轴对称图形，又是中心对称图形．3、判定：（1）一组邻边相等的矩形是正方形（2）对角线互相垂直的矩形是正方形（3）有一个是直角的菱形是正方形（4）对角线相等的菱形是正方形总结：矩形+（或）=正方形菱形+（或）=正方形二、基础训练：性质：1、如图，四边形ABCD是正方形，两条对角线相交于点O．（1）一条对角线把它分成_______个全等的________ 三角形；（2）两条对角线把它分成_______个全等的________三角形；图中一共有________个等腰直角三角形；（3）∠AOB＝_____度，∠OAB＝_____度．（4）AB: AO: AC=________．2、正方形具有而矩形不一定具有的性质是( )A、四个角相等B、对角线互相垂直平分C、对角互补D、对角线相等.3、正方形具有而菱形不一定具有的性质（）A、四条边相等.B、对角线互相垂直平分C、对角线平分一组对角D、对角线相等.4、正方形对角线长6，则它的面积为_________ ,周长为________．5、如图是2002年8月在北京召开的第24届国际数学家大会会标中的图案,其中四边形ABCD和EFGH都是正方形．求证：△ABF≌△DAE．判定：F A B C D 1. 下列说法错误的是（ ）Ａ．两条对角线相等的菱形是正方形 Ｂ．两条对角线相等且垂直平分的四边形是正方形Ｃ．两条对角线垂直且相等的四边形是正方形 Ｄ． 两条对角线垂直的矩形是正方形2．四个内角都相等的四边形一定是（ ）A ．正方形B ．菱形C ．矩形D ．平行四边形3.已知在□ABCD 中，∠A=90°，如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是（ ）A ．∠D=90° B.AB=CD C. AD=BC D. BC=CD4.四边形ABCD 中，AC 、BD 相交于点O ，能判别这个四边形是正方形的条件是（ ）A. OA=OB=OC=OD ，AC ⊥BDB. AB ∥CD ，AC=BDC. AD ∥BC ，∠A=∠CD. OA=OC ，OB=OD ，AB=BC5.能使平行四边形ABCD 为正方形的两个条件是 ________ _________ ___________________________________________________________ ．（最少填三组）三、【聚焦“中考”】例：如图，在△ABC 中，AB=AC ，D 是BC 的中点，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为E 、F ． （1）求证：DE=DF ．（2）只添加一个条件，使四边形EDFA 是正方形，•请你至少写出两种不同的添加方法．（不另外添加辅助线，无需证明）自我检测：1.如图，在ABC 中∠ACB=90°，CD 平分∠ACB，DE ⊥BC ，DF⊥AC,垂足分别为E 、F ， 求证：四边形CFDE 为正方形2. 如图所示，在Rt ΔABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 的平分线交于点D ，DE ⊥BC 于E ，DF ⊥AC 于F ，试说明四边形CEDF 为正方形。
人教版八年级数学下册《正方形》基础练习
《正方形》基础练习一、选择题（本大题共5小题，共25.0分）1．（5分）如图，在△ABC中，点E、D、F分别在边AB、BC、CA上，且DE ∥CA，DF∥BA，下列四个判断中，不正确的是（）A．四边形AEDF是平行四边形B．如果AD＝EF，那么四边形AEDF是矩形C．如果AD平分∠EAF，那么四边形AEDF是菱形D．如果AD⊥BC且AB＝AC，那么四边形AEDF是正方形2．（5分）如图，正方形ABCD的四个顶点A、B、C、D正好分别在四条平行线l1、l2、l3、l4上．若从上到下每两条平行线间的距离都是2cm，则正方形ABCD 的面积为（）A．4cm2B．5cm2C．20cm2D．30cm23．（5分）如图，在正方形ABCD中，E为AB中点，连结DE，过点D作DF⊥DE交BC的延长线于点F，连结EF．若AE＝1，则EF的值为（）A．3B．C．2D．44．（5分）下列说法中，正确的是（）A．对角线互相平分的四边形一定是平行四边形B．对角线相等的四边形一定是矩形C．对角线互相垂直的四边形一定是菱形D．对角线相等的四边形一定是正方形5．（5分）正方形具有而菱形不具有的性质是（）A．四个角都是直角B．两组对边分别相等C．对角线平分对角D．内角和为360°二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）6．（5分）如图，将三个同样的正方形的一个顶点重合放置，如果∠1＝50°，∠3＝25°时，那么∠2的度数是．7．（5分）如图，是由直角三角形和正方形拼成的图形，正方形A的边长为5，另外四个正方形中的数字4，x，6，y分别表示该正方形面积，则x与y的数量关系是．8．（5分）直线L过正方形ABDC的顶点A，点B，C到直线L的距离分别为1和2，则正方形的边长为．9．（5分）正方形的对角线长为4，则它的边长为．10．（5分）在正方形ABCD中，对角线AC＝2cm，那么正方形ABCD的面积为．三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）11．（10分）如图，AC为正方形ABCD的对角线，E为AC上一点，且AB＝AE，EF⊥AC，交BC于F，试说明EC＝EF＝BF．12．（10分）如图，已知正方形ABCD，P是对角线AC上任意一点，P不与A、C重合，求证：∠ABP＝∠ADP．13．（10分）如图，已知正方形ABOD的周长为4，点P在第一象限且到x 轴、y轴的距离与点A到x轴、y轴的距离分别相等．（1）请你写出正方形ABOD各顶点的坐标；（2）求点P的坐标及三角形PDO的面积．14．（10分）如图，在正方形ABCD中，点M是对角线BD上的一点，过点M 作ME∥CD交BC于点E，作MF∥BC交CD于点F．求证：AM＝EF．15．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，四边形ABDE、AGFC都是正方形．求证：BG＝EC．《正方形》基础练习参考答案与试题解析一、选择题（本大题共5小题，共25.0分）1．（5分）如图，在△ABC中，点E、D、F分别在边AB、BC、CA上，且DE ∥CA，DF∥BA，下列四个判断中，不正确的是（）A．四边形AEDF是平行四边形B．如果AD＝EF，那么四边形AEDF是矩形C．如果AD平分∠EAF，那么四边形AEDF是菱形D．如果AD⊥BC且AB＝AC，那么四边形AEDF是正方形【分析】两组对边分别平行的四边形是平行四边形，有一个角是90°的平行四边形是矩形，有一组邻边相等的平行四边形是菱形，四个角都是直角，且四个边都相等的是正方形．【解答】解：A、因为DE∥CA，DF∥BA，所以四边形AEDF是平行四边形．故A选项正确．B、如果AD＝EF，四边形AEDF是平行四边形，所以四边形AEDF是矩形．故B选项正确．C、因为AD平分∠EAF，所以∠EAD＝∠F AD，∵∠F AD＝∠EDA，∠EAD＝∠FDA，∴EAD＝∠EDA，∴AE＝DE，又因为四边形AEDF是平行四边形，所以是菱形．故C选项正确．D、如果AD⊥BC且AB＝AC，所以四边形AEDF是菱形，故D选项错误．故选：D．【点评】本题考查了平行四边形的判定定理，矩形的判定定理，菱形的判定定理，和正方形的判定定理等知识点，熟练掌握判定定理是解题的关键．2．（5分）如图，正方形ABCD的四个顶点A、B、C、D正好分别在四条平行线l1、l2、l3、l4上．若从上到下每两条平行线间的距离都是2cm，则正方形ABCD的面积为（）A．4cm2B．5cm2C．20cm2D．30cm2【分析】如图作BF⊥l1于F，DH⊥l1于H，可证△ABF≌△AHD，可得HD＝AF ＝2，且BF＝4，根据勾股定理可得AB的长，则可求正方形ABCD的面积．【解答】解：如图作BF⊥l1于F，DH⊥l1于H∵作BF⊥l1于F，DH⊥l1于H∴∠AFB＝∠AHD＝90°∴∠F AB+∠FBA＝90°∵ABCD是正方形∴AB＝AD，∠BAD＝90°∴∠BAF+∠HAD＝90°∴∠HAD＝∠FBA且AB＝AD，∠AFB＝∠AHD＝90°∴AF＝HD＝2cm，且FB＝4cm∴AB＝2cm＝AB2＝20cm2∴S正方形ABCD故选：C．【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，关键是构造三角形全等．3．（5分）如图，在正方形ABCD中，E为AB中点，连结DE，过点D作DF⊥DE交BC的延长线于点F，连结EF．若AE＝1，则EF的值为（）A．3B．C．2D．4【分析】根据题意可得AB＝2，∠ADE＝∠CDF，可证△ADE≌△DCF，可得CF＝1，根据勾股定理可得EF的长．【解答】解：∵ABCD是正方形∴AB＝BC＝CD，∠A＝∠B＝∠DCB＝∠ADC＝90°∵DF⊥DE∴∠EDC+∠CDF＝90°且∠ADE+∠EDC＝90°∴∠ADE＝∠CDF且AD＝CD，∠A＝∠DCF＝90°∴△ADE≌△CDF∴AE＝CF＝1∵E是AB中点∴AB＝BC＝2∴BF＝3在Rt△BEF中，EF＝＝故选：B．【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定，勾股定理，关键熟练运用这些性质解决问题．4．（5分）下列说法中，正确的是（）A．对角线互相平分的四边形一定是平行四边形B．对角线相等的四边形一定是矩形C．对角线互相垂直的四边形一定是菱形D．对角线相等的四边形一定是正方形【分析】根据平行四边形、矩形、正方形、菱形的判定方法即可判定．【解答】解：A、对角线互相平分的四边形一定是平行四边形，正确，符合题意；B、对角线相等的四边形一定是矩形，错误，比如等腰梯形的对角线相等，表示平行四边形，不符合题意；C、对角线互相垂直的四边形一定是菱形，错误．不符合题意；D、对角线相等的四边形一定是正方形，错误，不符合题意；故选：A．【点评】本题考查平行四边形、矩形、正方形、菱形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考基础题．5．（5分）正方形具有而菱形不具有的性质是（）A．四个角都是直角B．两组对边分别相等C．对角线平分对角D．内角和为360°【分析】依据正方形的性质和菱形的性质进行判断即可．【解答】解：正方形的四个角都是直角，菱形的四个角不一定都是直角．故选：A．【点评】本题主要考查的是正方形的性质、菱形的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键．二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）6．（5分）如图，将三个同样的正方形的一个顶点重合放置，如果∠1＝50°，∠3＝25°时，那么∠2的度数是15°．【分析】根据∠2＝∠BOD+EOC﹣∠BOE，利用正方形的角都是直角，即可求得∠BOD和∠EOC的度数从而求解．【解答】解：∵∠BOD＝90°﹣∠3＝90°﹣25°＝65°，∠EOC＝90°﹣∠1＝90°﹣50°＝40°，又∵∠2＝∠BOD+∠EOC﹣∠BOE，∴∠2＝65°+40°﹣90°＝15°．故答案为：15°．【点评】本题主要考查了正方形的性质，角度的计算，正确理解∠2＝∠BOD+EOC﹣∠BOE这一关系是解决本题的关键．7．（5分）如图，是由直角三角形和正方形拼成的图形，正方形A的边长为5，另外四个正方形中的数字4，x，6，y分别表示该正方形面积，则x与y的数量关系是x+y＝15．【分析】先由正方形A的边长为5，得出S A＝25，再根据勾股定理的几何意义，得到x+4+（6+y）＝S A，由此得出x与y的数量关系．【解答】解：∵正方形A的边长为5，∴S A＝25，根据勾股定理的几何意义，得x+4+（6+y）＝S A＝25，∴x+y＝25﹣10＝15，即x+y＝15．故答案为：x+y＝15．【点评】本题考查了正方形的性质，勾股定理的几何意义，要知道，以斜边边长为边长的正方形的面积是以两直角边边长为边长的正方形的面积之和．8．（5分）直线L过正方形ABDC的顶点A，点B，C到直线L的距离分别为1和2，则正方形的边长为．【分析】作BE⊥直线L，作CF⊥直线L则BE＝1，CF＝2，可证△BEA≌△CAF，可得AF＝BE＝1，根据勾股定理可求正方形的边AC的长．【解答】解：如图：作BE⊥直线L，作CF⊥直线L则BE＝1，CF＝2∵四边形ABCD是正方形∴AB＝AC，∠BAC＝90°∴∠BAE+∠CAF＝90°∵BE⊥AE∴∠BAE+∠EBA＝90°∴∠CAF＝∠EBA，且AB＝AC，∠BEA＝∠AFC＝90°∴△ABE≌△ACF∴BE＝AF＝1在Rt△ACF中，AC＝＝故答案为【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，添加恰当的辅助线构造全等三角形是本题的关键．9．（5分）正方形的对角线长为4，则它的边长为4．【分析】根据正方形的性质可以直接得到．【解答】解：设正方形的边长为a则a2+a2＝（4）2∴a＝4故答案为4【点评】本题考查了正方形的性质，熟练运用正方形的性质是本题的关键．10．（5分）在正方形ABCD中，对角线AC＝2cm，那么正方形ABCD的面积为2．【分析】根据正方形的面积公式可求正方形面积【解答】解：正方形面积＝＝2故答案为2【点评】本题考查了正方形的性质，利用正方形的面积＝对角线积的一半解决问题．三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）11．（10分）如图，AC为正方形ABCD的对角线，E为AC上一点，且AB＝AE，EF⊥AC，交BC于F，试说明EC＝EF＝BF．【分析】通过△AEF≌△ABF，可以求证FE＝FB，然后证得△CEF为等腰直角三角形即可．【解答】解：在Rt△AEF和Rt△ABF中，，∴Rt△AEF≌Rt△ABF（HL），∴FE＝FB．∵正方形ABCD，∴∠ACB＝∠BCD＝45°，在Rt△CEF中，∵∠ACB＝45°，∴∠CFE＝45°，∴∠ACB＝∠CFE，∴EC＝EF，∴FB＝EC＝EF．【点评】本题考查了全等三角形的证明，考查了等腰直角三角形的判定，本题求证Rt△AEF≌Rt△ABF是解本题的关键．12．（10分）如图，已知正方形ABCD，P是对角线AC上任意一点，P不与A、C重合，求证：∠ABP＝∠ADP．【分析】依据四边形ABCD是正方形，即可得出AB＝AD，∠BAP＝∠DAP，进而判定△ABP≌△ADP（SAS），即可得出∠ABP＝∠ADP．【解答】证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAP＝∠DAP，∴在△ABP和△ADP中，，∴△ABP≌△ADP（SAS），∴∠ABP＝∠ADP．【点评】本题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的判定与性质，在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．13．（10分）如图，已知正方形ABOD的周长为4，点P在第一象限且到x 轴、y轴的距离与点A到x轴、y轴的距离分别相等．（1）请你写出正方形ABOD各顶点的坐标；（2）求点P的坐标及三角形PDO的面积．【分析】（1）根据题意可得AB＝AD＝DO＝BO＝，则可求各顶点的坐标．（2）根据题意可得P点坐标（，），则可求△PDO面积．【解答】解：（1）∵正方形ABOD的周长为4∴AB＝BO＝DO＝AD＝∴A（﹣，），B（0，），O（0，0），D（﹣，0）（2）∵点P在第一象限且到x轴、y轴的距离与点A到x轴、y轴的距离分别相等∴P（，）＝×＝1∴S△PDO【点评】本题考查了正方形的性质，坐标与图形性质，关键是灵活运用这些性质解决问题．14．（10分）如图，在正方形ABCD中，点M是对角线BD上的一点，过点M 作ME∥CD交BC于点E，作MF∥BC交CD于点F．求证：AM＝EF．【分析】延长EM交AD于点P，延长FM交AB于点Q，根据正方形的性质可得出：四边形PMFD、BEMQ为正方形，四边形AQMP、MECF为矩形，进而可得出AQ＝FM，QM＝ME，结合∠AQM＝∠FME＝90°即可证出△AQM≌△FME （SAS），再利用全等三角形的性质可证出AM＝EF．【解答】证明：延长EM交AD于点P，延长FM交AB于点Q，如图所示．∵四边形ABCD为正方形，点M为对角线BD上一点，∴四边形PMFD、BEMQ为正方形，四边形AQMP、MECF为矩形，∴AQ＝PM＝FM，QM＝ME．在△AQM和△FME中，，∴△AQM≌△FME（SAS），∴AM＝EF．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质以及矩形的性质，利用全等三角形的判定定值SAS证出△AQM≌△FME是解题的关键．15．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，四边形ABDE、AGFC都是正方形．求证：BG＝EC．【分析】由正方形性质可得，AE＝AB，AG＝AC，∠EAC＝∠BAG，可证△AEC ≌△ABG，结论可得．【解答】证明：∵四边形ABDE，AGFC都是正方形，∴AE＝AB，AC＝AG，∠EAB＝∠CAG＝90°∵∠EAC+∠CAB＝∠EAB＝90°，∠GAB+∠CAB＝90°，∴∠EAC＝∠BAG在△EAC和△BAG中，∴△EAC≌△BAG（SAS）∴BG＝CE【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定，关键是运用正方形的性质解决问题．。
4-1 几何图形(基础训练)(解析版)
4.1 几何图形【基础训练】一、单选题1．在本学期第一章的数学学习中，我们曾经辨认过从正面、左面、上面三个不同的方向观察同一物体时看到的形状图．如图是马老师带领的数学兴趣小组同学搭建的一个几何体，这个几何体由6个大小相同的正方体组成，你认为从左面看到的几何体的形状应该为（）A．B．C．D．【答案】B【分析】从左面看到的平面图形是该组合体的左视图，根据看到的平面图形画出左视图即可得到答案．【详解】解：从左面看该组合体，可以看到两列，左起第一列可以看到两个正方形，第二列看到一个正方形，所以该组合体的左视图是：故选：.B【点睛】本题考查的是三视图的含义，掌握左视图的含义是解题的关键．2．如图是由几个相同的小正方体堆砌成的几何体，从上面．．看到该几何体的形状图是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据从上面看得到的图形可得答案．【详解】解：从上面看第一层三个小正方形，第一层两个小正方形，故D正确；故选：D．【点睛】本题考查了从不同方向观察立体图形的方法，解题的关键是熟练掌握三视图的定义．3．如图所示的4个展开图中，不能做成没有顶盖的小方盒的是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据正方体的展开图特点即可得．【详解】观察4个展开图可知，选项A、B、C的展开图可以做成没有顶盖的小方盒，选项D的展开图中的上方两个小正方形会重叠，因此做成的小方盒没有顶盖和一个侧面，故选：D．【点睛】本题考查了正方体的展开图，熟练掌握正方体的展开图特点是解题关键．4．下列图形中，正方体的展开图有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】A正方体的展开有以下几种类型：141型（分3行，中间4个，上下各1个，共6种情况），132型（分3行，中间3个，上行1个，下行2个连在一起，共3种情况），222型（每行2个，和尾相连，1种情况），33型（每行3个，下一行跟末尾一个相连），依次分析即可．【详解】解：正方体的展开图只有④，故选：A．【点睛】本题考查了正方体的展开图，熟记展开图的11种形式是解题的关键，利用不是正方体展开图的“一线不过四、田凹应弃之”（即不能出现同一行有多于4个正方形的情况，不能出现田字形、凹字形的情况，）判断也可．5．病毒无情人有情，2020年初很多最美逆行者不顾自己安危奔赴疫情前线，我们内心因他们而充满希望．小明同学在一个正方体每个面上分别写一个汉字，组成“全力抗击疫情”．如图是该正方体的一种展开图，那么在原正方体上，与汉字“力”相对的面上所写汉字为（）A．共B．同C．疫D．情【答案】C【分析】根据正方体的展开图的特征进行解答即可．【详解】解：根据正方体展开图的特征“相间、Z端是对面”可知，“力”的对面是“疫”．【点睛】本题考查了正方体相对的两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．6．下列平面图形能围成正方体的是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】直接利用正方体的表面展开图特点判断即可．【详解】解：正方体的表面展开图，共有11种情况，其“1-4-1”型的6种，“2-3-1”型的3种，“2-2-2型的1种，“3-3”型的1种，根据正方体展开图的特点可判断B属于“1、3、2”的格式，能围成正方体．故选B．【点睛】本题主要考查展开图折叠成几何体的知识点．熟记展开图常见的11种形式与不能围成正方体的常见形式“一线不过四，田凹应弃之”是解题的关键．7．下列图形经过折叠不能围成棱柱的是（）A．B．C．D．【分析】由平面图形的折叠及棱柱的展开图解题．【详解】解：A可以围成四棱柱，C可以围成五棱柱，D可以围成三棱柱，B选项侧面上多出一个长方形，故不能围成一个三棱柱．故选：B．【点睛】本题考查立体图形的展开图，熟记常见立体图形的表面展开图的特征是解决此类问题的关键．8．用一个平面去截圆柱，则它的截面图不可能是（）A．长方形B．圆形C．正方形D．三角形【答案】D【分析】根据圆柱的特点，考虑截面从不同角度和方向截取的情况．【详解】解：用平面截圆柱，横切就是圆，竖切就是长方形或正方形，唯独不可能是三角形．故选：D．【点睛】本题考查了截一个几何体，截面的形状既与被截的几何体有关，还与截面的角度和方向有关．对于这类题，最好是动手动脑相结合，亲自动手做一做，从中学会分析和归纳的思想方法．9．如图所示是由七个相同的小正方体堆成的物体，从正面看这个物体的平面图是（）A．B．C．D．【答案】A【分析】根据从正面看这个物体的方法，确定各排的数量可得答案．【详解】从正面看这个物体，共有三行，从上到下依次小正方形的个数依次为1，2，3，故选：A．【点睛】本题考查了三视图，结合图形和空间想象力是解题关键．++等于（）10．下图是一个正方体的展开图，若相对面上的两个数互为相反数，则a b cA．－1B．1C．－7D．7【答案】A【分析】根据正方体展开图的特征，判断相对面求出a、b、c，再计算即可．【详解】解：由展开图可知：a的相对面是−3，则a＝3，b的相对面是0，则b＝0，c的相对面是4，则c＝−4，所以a＋b＋c＝3＋0−4＝−1，故选：A．【点睛】本题主要考查了相反数，正方体相对两个面上的文字，对于此类问题一般在对展开图理解的基础上直接想象．11．把如图所示的纸片折叠起来，可以得到的几何体是（）A．三棱锥B．三棱柱C．四棱锥D．四棱柱【答案】B【分析】根据几何体特征，侧面为矩形，上下底面为三角形，则图中纸片折叠起来可以得到三棱柱．【详解】解：根据几何体特征，图中纸片折叠起来可以得到三棱柱故选：B【点睛】此题主要考查的是几何体的展开图，熟记几何的侧面、底面图形特征即可求解．12．某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种展开图，那么在原正方体中，与“汉”字所在面相对的面上的汉字是（）A．国B．武C．中D．加【答案】C【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答．【详解】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，“中”与“汉”是相对面．故选：C．【点睛】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字．解题的关键是掌握找正方体相对两个面上的文字的方法，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．13．下列几何图形中为圆锥的是（）．A．B．C．D．【答案】B【分析】圆锥的特征：底面是圆，侧面是一个曲面．【详解】解：A、该图形是圆台，故本题选项不符合；B、该图形是圆锥．故本选项符合．C、该图形是圆柱，故本选项不符合；D、该图形是三棱柱，故本选项不符合；故选：B．【点睛】本题考查了认识立体图形．结合实物，认识常见的立体图形，如：长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等．14．用一个平面去截一个几何体，截面是圆，则原几何体可能是（）A．正方体B．五棱柱C．棱台D．球【答案】D根据正方体、五棱柱、棱台、球的形状特以及几何体截面的定义征进行判断即可得解．【详解】解：④用一个平面去截一个几何体，截面是圆④这个几何体可能是球．故选：D【点睛】本题考查了正方体、五棱柱、棱台、球的形状特以及几何体的截面，截面的形状既与被截的几何体特征有关，还与截面的角度和方向有关，要熟练掌握各相关知识点．15．下列图形绕虚线旋转一周，便能形成圆锥体的是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据几何体的展开图可直接进行排除选项．【详解】A、旋转一周得到的是球体，故不符合题意；B、旋转一周是圆柱，故不符合题意；C、旋转一周是圆锥体，故符合题意；D、旋转一周不是圆锥体，故不符合题意；【点睛】本题主要考查几何图形，熟练掌握几种常见的几何图形是解题的关键．16．用一个平面去截四棱柱，截面的形状不可能为（）A．四边形B．五边形C．六边形D．七边形【答案】D【分析】四棱柱有六个面，用平面去截四棱柱时最多与六个面相交得六边形，最少与三个面相交得三角形．根据此判断即可.【详解】用平面去截四棱柱时最多与六个面相交得六边形，因此截面的形状可能是：三角形、四边形、五边形、六边形，不可能是七边形.故选D.【点睛】本题考查的是几何体的截面,解答本题的关键是认识几何体的截面只是几何体的其中一个方面的体现，同一个几何体可能会有不同的截面，不同的几何体也可能会有相同的截面.17．下列物体是，形状是圆柱的是（）A．B．C．D．【分析】根据圆柱体的特点即可判断．【详解】A是圆柱体，B是圆椎体，C，D是不规则几何体故选A．【点睛】此题主要考查几何体的识别，解题的关键是熟知圆柱体的特点．18．下列图形中，可以是正方体展开图的是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据正方体的展开图的形状特征综合进行判断即可．【详解】解：根据正方体的展开图的特征，“一线不过四”“田凹应弃之”可得选项A、B、C不正确，选项D正确，故选：D．【点睛】考查正方体的展开图的特征，掌握11种正方体的展开图的形状和特征是正确判断的前提．19．如图，已知一个正方体的三个面上分别标有字母a、b、m，则它的展开图可能是下面四个展开图中的（）A．B．C．D．【答案】A【分析】根据正方体表面展开图的特征进行判断即可．【详解】解：由正方体表面展开图的“相间、Z端是对面”可知，选项A中“a面”“b面”“m面”的对面都是“空白”，符合题意；选项B中的“a面”与“m面”是对面，与原题相矛盾，因此选项B不符合题意；选项C、选项D中“m面”与“b面”是对面，与题意矛盾，因此选项C、选项D不符合题意；故选：A．【点睛】本题考查正方体的展开与折叠，掌握正方体表面展开图的特征是正确判断的前提．20．小颖在研究无盖的正方体盒子的展开图时，画出下面4个展开图，其中符合要求的共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【分析】由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题．【详解】解：由正方体四个侧面和上下两个底面的特征可知，第1个、第2个和第3个图形可以拼成一个无盖正方体；而第4个图形不能折成正方体，故不是正方体的展开图．故选：C．【点睛】此题主要考查了几何体的展开图，解题的关键是提高空间想象能力，同时掌握正方体展开图的特点．21．正方体的表面展开图可能是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】由平面图形的折叠和正方体的特点，分别判断进而得出答案．【详解】解：A.只有出现田字形就无法构成正方体，故此选项错误，不合题意；B.根据图象可得出两个正方形会重合，无法构成正方体，故此选项错误，不合题意；C.能够组成正方体，故此选项正确，符合题意；D.根据图象可得出两个正方形会重合，无法构成正方体，故此选项错误，不合题意．故选：C．【点睛】此题主要考查了几何体的展开图，熟练掌握正方体的表面展开图是解题的关键．22．下列各选项中的图形能够绕虚线旋转一周得到如图所示几何体的是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据面动成体判断出各选项中旋转得到立体图形即可得解．【详解】解：A．旋转一周为球体，故本选项错误；B④旋转一周为圆柱体，故本选项正确；C④旋转一周能够得到圆台，故本选项正确；D④旋转一周能够得到圆锥，故本选项错误．故选B．【点睛】本题考查了点、线、面、体，熟悉并判断出旋转后的立体图形是解题的关键．23．一个正方体的平面展开图如图所示，若把这个展开图还原成正方体，则正方体中与“铜”字所在面相对的面的字是（）A．重B．区C．梁D．庆【答案】A【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答．【详解】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，“重”与“铜”是相对面，“庆”与“梁”是相对面，“市”与“区”是相对面．故选：A．【点睛】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．24．如图摆放的四个几何体中，从上面看和从正面看看到的图形一定相同的是（）A．B．C．D．【分析】根据几何体的结构可直接进行求解．【详解】解：A、从上面看是圆，从正面看是长方形，故不符合题意；B、从上面看是有圆心的一个圆，从正面看是三角形，故不符合题；C、从上面看是圆，从正面看是圆，故符合题意；D、从上面看可能是长方形也有可能是正方形，从正面看可能是长方形也有可能是正方形，故不符合题意；故选C．【点睛】本题主要考查从不同方向看几何体，熟练掌握几何体的结构是解题的关键．25．用一个平面去截下列几何体，截面不可能是圆的是（）A．B．C．D．【答案】A利用截一个几何体的截面形状进行判断即可．【详解】用一个平面去截取一个三棱柱，无论如何，其截面都不可能是三角形，故选：A．【点睛】本题考查截一个几何体，掌握截面的形状是解题关键．26．2020年11月兰州市正式获得“全国文明城市称号”，为此小文同学特制了一个正方体玩具，其表面展开图如图所示，在正方体的展开图中，与汉字“明”相对的面上的汉字是（）A．全B．城C．文D．市【答案】A【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答．【详解】解：由正方体的展开图特点可得：与“明”字所在的面上标的字应是“全”．故选：A．【点睛】此题考查了正方体相对两个面上的文字的知识；掌握常见类型展开图相对面上的两个字的特点是解决本题27．下面图形中是正方体的表面展开图的是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题．【详解】解：根据正方体展开图的特征，选项A、B、C不是正方体展开图；选项D是正方体展开图．故选：D．【点睛】此题主要考查了正方体的展开图，正方体展开图有11种特征，分四种类型，即：第一种：“1-4-1”结构，即第一行放1个，第二行放4个，第三行放1个；第二种：“2-2-2”结构，即每一行放2个正方形，此种结构只有一种展开图；第三种：“3-3”结构，即每一行放3个正方形，只有一种展开图；第四种：“1-3-2”结构，即第一行放1个正方形，第二行放3个正方形，第三行放2个正方形．28．如图是每个面上都有一个汉字的正方体的一种展开图，那么在正方体的表面，与“静”相对的面上的汉字是（）A．沉B．着C．应D．考【答案】B由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题．【详解】解：本题考查了正方体的平面展开图，对于正方体的平面展开图中相对的面一定相隔一个小正方形，由图形可知，与“静”字相对的字是“着”．故选：B．【点睛】注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．29．如图是某个几何体的展开图，该几何体是（）．A．三棱柱B．圆锥C．四棱柱D．圆柱【答案】A【分析】通过展开图的面数，展开图的各个面的形状进行判断即可．【详解】从展开图可知，该几何体有五个面，两个三角形的底面，三个长方形的侧面④该几何体是三棱柱；故选：A．本题考查了几何体展开图的知识；解题的关键是熟练掌握几何体展开图的性质，从而完成求解．30．下列图形中不是正方体展开图的是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】由平面图形的折叠及正方体的展开图解题．【详解】解：选项A，B，C都可以围成正方体，只有选项D无法围成正方体．故选：D．【点睛】本题主要考查几何体的平面展开图，熟练掌握几何体的平面展开图是解题的关键．二、填空题31．用一个平面去截一个几何体，截面形状为长方形，则这个几何体可能为：④正方体；④三棱锥；④圆柱；④圆锥__________（写出所有正确结果的序号）．【答案】④④【分析】估计正方体、三棱锥、圆柱、圆锥的几何体形状逐项分析解题．解：④用一个平面去截正方体，截面形状可能是长方形，故④符合题意；④用一个平面去截三棱锥，截面形状不可能是长方形，故④不符合题意；④用一个平面去截圆柱，截面形状可能是长方形，故④符合题意；④用一个平面去截圆锥，截面形状不可能是长方形，故④不符合题意，故正确结果的序号为：④④，故答案为：④④．【点睛】本题考查用一个平面去截一个简单几何体所得到的平面图形，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．32．如图所示的三个图中，不是三棱柱的展开图的是_____．（只填序号）【答案】④【分析】根据三棱柱的两底展开是在矩形两端各有一个三角形，侧面展开是三个矩形，可得答案．【详解】解：三棱柱的两底展开是在矩形两端各有一个三角形，侧面展开是三个矩形，所以不是三棱柱的展开图的是④．故答案为：④．本题考查了几何体的展开图，注意两底面是对面，展开是两个全等的三角形，侧面展开是三个矩形．33．下面几何体截面图形的形状是长方形的是_____________．（只填序号）【答案】（1）（4）【分析】根据立体几何的截面图形特征可直接进行求解．【详解】解：由图及题意可得：（1）是长方形，（2）是圆，（3）是梯形，（4）是长方形，（5）是平行四边形；④几何体截面图形的形状是长方形的是（1）（4）；故答案为（1）（4）．【点睛】本题主要考查立体几何的截面图形，熟练掌握立体几何图形的结构特征是解题的关键．34．若要使图中平面展开图按虚线折叠成正方体后，相对面上两个数之和为8，x=_____，y=_________．【答案】7 5【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点列方程求解即可．【详解】解：由题意得，1+x=8，3+y=8，④x=7，y=5，故答案为：7，5．【点睛】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．正方体中相对的面，在展开图中相对的面之间一定相隔一个正方形，且没有公共顶点．35．一个几何体由一些大小相同的小正方体搭成，从正面和左面看到的这个几何体的形状如图所示，则搭成该几何体的小正方体的个数最少是___________．【答案】4【分析】由主视图和左视图确定俯视图的形状，再判断最少的正方体的个数．【详解】解：由题中所给出的主视图知物体共3列，且都是最高两层；由左视图知共3行，所以小正方体的个数最少的几何体为：第一列第一行1个小正方体，第二列第二行2个小正方体，第三列第三行1个小正方体，其余位置没有小正方体．即组成这个几何体的小正方体的个数最少为：1+2+1=4个．故答案为：4．【点睛】本题考查了学生对三视图的掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，主视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案．三、解答题36．如图，由几个相同的小正方体搭成一个几何体，请画出这个几何体的三种视图．（在所提供的方格内涂上相应的阴影即可）【答案】见解析．【分析】几何体从正面看有4列，每列小正方形数目分别为1，3，1，1；从左面看有2列，每列小正方形数目分别为3，2；从上面看有4列，每行小正方形数目分别为1，2，1，2，据此作图即可．【详解】解：如图所示：【点睛】本题考查从不同方向看几何体．几何体的三种视图就是从三个方向看到的平面图形．37．如图，是一个正方体纸盒的两个表面展开图，请把-4，3，9，6，-1，2分别填入六个面中，使得折成正方体后，相对面上的两数之和与-5互为相反数．【答案】答案见解析【分析】根据相反数的性质，得与-5互为相反数的数为：5，再根据有理数加法运算和正方体展开图的性质分析，即可得到答案．【详解】与-5互为相反数的数为：5根据题意计算，展开图如下：．【点睛】本题考查了有理数和立方体展开图的知识；解题的关键是熟练掌握相反数、有理数加法运算、正方体展开图的性质，从而完成求解．38．如图，是由若干个完全相同的小正方体组成的一个几何体．请画出这个几何体的三视图；【答案】见解析【分析】由已知条件可知，主视图有3列，每列小正方数形数目分别为3，2，1；左视图有2列，每列小正方形数目分别为3，1；俯视图有3列，每列小正方数形数目分别为2，1，1；据此可画出图形．【详解】解：由题可知：主视图有3列，每列小正方数形数目分别为3，2，1；左视图有2列，每列小正方形数目分别为3，1；俯视图有3列，每列小正方数形数目分别为2，1，1；④所画图如下：．【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，掌握三视图的特点是解题的关键．39．如图所示的几何体是由三个大小完全相同的小正方体组成．（1）在指定区域内画出从不同的方向看这个几何体得到的平面图形；（2）已知小正方体的棱长是a ，求这个几何体的体积和表面积．【答案】（1）见解析；（2）体积是33a ，表面积是214a 【分析】（1）根据三视图的定义解决问题即可．（2）根据表面积，体积的定义求解即可． 【详解】解：（1）如图所示：（2）这个几何体的体积是：333a a a a ⨯⨯⨯=，表面积是：14a a ⨯⨯=214a ． 【点睛】 本题考查三视图，几何体的体积，表面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 40．如图所示的是从上面看由几个相同的小立方块堆放而成的几何体得到的形状图，小正方形中的数字表示该位置上小立方块的个数，请画出这个几何体从正面看得到的平面图形．【答案】见解析 【分析】 由小正方形中的数字表示小正方块堆放的个数即可得出正面看到的平面图形． 【详解】 解：如图所示．【点睛】 本题考查了从不同方向看几何体，熟练掌握相关知识是解题的关键．41．由五个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，请在网格中画出从正面看、从上面看、从左面看得到的平面图形．【答案】见解析【分析】根据主视图有3列，每列小正方形数目分别为1，1，2；俯视图有3列，每行小正方形的数目为1，1，2；左视图有2列，每列小正方形的数目分别为1，2．【详解】从正面看、从上面看、从左面看得到的平面图形分别如图所示，【点睛】本题考查图形的三视图．在画图时一定要将物体的边缘、棱、顶点都体现出来，看得见的轮廓线都画成实线，看不见的画成虚线，不能漏掉．42．在平整的地面上，有若干个完全相同棱长为1的小正方体堆成一个几何图所示．（1）请画出这个几何体的三视图．（2）若现在你手头还有一些相同的小正方体，如果保持俯视图和左视图不变，最多可以再添加______个小正方体．（3）如果需要给原来这个几何体表面喷上红漆，则喷漆面积是多少？【答案】（1）见解析；（2）4；（3）32【分析】（1）根据三视图的画法，画出从正面、左面、上面看到的形状即可；（2）俯视图和左视图不变，构成图形即可解决问题；（3）求出这个几何体的表面积即可解决问题．【详解】解：（1）这个几何体有10个立方体构成，三视图如图所示；（2）在第二层第二列第二行和第三行各加一个；第三层第二列第三行加一个，第三列第三行加1个，2+1+1=4（个），故最多可再添加4个小正方体．。
湘教版数学八年级下册_《正方形》基础训练
《正方形》基础训练一、选择题1．矩形、菱形、正方形都具有的性质是（）A．对角线相等B．对角线平分一组对角C．对角线互相平分D．对角线互相垂直2．已知如图，四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的是（）A．当AB=BC时，它是菱形B．当AC⊥BD时，它是菱形C．当∠ABC=90°时，它是矩形D．当AC=BD时，它是正方形3．若正方形的周长为12，则这个正方形的对角线长为（）A．6B．C．D．4．满足下列条件的四边形是正方形的是（）A．对角线互相垂直平分的平行四边形B．对角线互相平分且相等的矩形C．对角线互相垂直平分的菱形D．对角线互相垂直平分且相等的四边形5．如图，在正方形ABCD中，点F为CD上一点，BF与AC交于点E．若∠CBF=20°，则∠DEF的度数是（）A．25°B．40°C．45°D．50°二、填空题6．在正方形ABCD中，对角线AC=2cm，那么正方形ABCD的面积为．7．如图，点G为正方形ABCD内一点，AB=AG，∠AGB=70°，联结DG，那么∠BGD=度．8．直线L过正方形ABDC的顶点A，点B，C到直线L的距离分别为1和2，则正方形的边长为．9．如图，已知▱ABCD和正方形CEFG有一个公共的顶点C，其中E点在AD上，若∠ECD=35°，∠AEF=15°，则∠B的度数是．10．如图，四边形ABCD是一个正方形，E是BC延长线上的一点，且AC=EC，则∠DAE=．《正方形》基础训练参考答案与试题解析一、选择题1．矩形、菱形、正方形都具有的性质是（）A．对角线相等B．对角线平分一组对角C．对角线互相平分D．对角线互相垂直【分析】利用矩形、菱形和正方形的性质对各选项进行判断．【解答】解：矩形、菱形、正方形都具有的性质是对角线互相平分．故选：C．【点评】本题考查了正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．2．已知如图，四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的是（）A．当AB=BC时，它是菱形B．当AC⊥BD时，它是菱形C．当∠ABC=90°时，它是矩形D．当AC=BD时，它是正方形【分析】根据菱形、矩形、正方形的判断方法即可判定；【解答】解：A、当AB=BC时，它是菱形，正确；B、当AC⊥BD时，它是菱形，正确；C、当∠ABC=90°时，它是矩形，正确；D、当AC=BD时，它是正方形，错误，应该是当AC=BD时，它是矩形；故选：D．【点评】本题考查菱形、矩形、正方形的判定，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．3．若正方形的周长为12，则这个正方形的对角线长为（）A．6B．C．D．【分析】利用正方形的性质先得到正方形的边长，然后根据正方形的对角线的长为边长的倍求解．【解答】解：∵正方形的周长为12，∴正方形的边长为3，∴这个正方形的对角线长为3．故选：B．【点评】本题考查了正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．4．满足下列条件的四边形是正方形的是（）A．对角线互相垂直平分的平行四边形B．对角线互相平分且相等的矩形C．对角线互相垂直平分的菱形D．对角线互相垂直平分且相等的四边形【分析】根据正方形的判断方法一一判断即可；【解答】解：A、错误．对角线互相垂直平分的平行四边形是菱形；B、错误．对角线互相平分且相等的四边形是矩形；C、错误．对角线互相垂直平分的四边形是菱形；D、正确．对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；故选：D．【点评】本题考查正方形的判断、平行四边形、菱形、矩形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考基础题．5．如图，在正方形ABCD中，点F为CD上一点，BF与AC交于点E．若∠CBF=20°，则∠DEF的度数是（）A．25°B．40°C．45°D．50°【分析】直接利用正方形的性质结合全等三角形的判定与性质得出∠CBE=∠CDE=20°，进而得出答案．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴BC=DC，∠BCE=∠DCE=45°，在△BCE和△DCE中，，∴△BCE≌△DCE（SAS），∴∠CBE=∠CDE=20°，∴∠BFC=70°，∴∠DEF的度数是：70°﹣20°=50°．故选：D．【点评】此题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的判定与性质，正确得出△BCE≌△DCE（SAS）是解题关键．二、填空题6．在正方形ABCD中，对角线AC=2cm，那么正方形ABCD的面积为2．【分析】根据正方形的面积公式可求正方形面积【解答】解：正方形面积==2故答案为2【点评】本题考查了正方形的性质，利用正方形的面积=对角线积的一半解决问题．7．如图，点G为正方形ABCD内一点，AB=AG，∠AGB=70°，联结DG，那么∠BGD=135度．【分析】根据正方形的性质可得出AB=AD、∠BAD=90°，由AB=AG、∠AGB=70°利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理可求出∠BAG的度数，由∠DAG=90°﹣∠BAG可求出∠DAG的度数，由等腰三角形的性质结合三角形内角和定理可求出∠AGD的度数，再由∠BGD=∠AGB+∠AGD可求出∠BGD的度数．【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，∴AB=AD，∠BAD=90°．∵AB=AG，∠AGB=70°，∴∠BAG=180°﹣70°﹣70°=40°，∴∠DAG=90°﹣∠BAG=50°，∴∠AGD=（180°﹣∠DAG）=65°，∴∠BGD=∠AGB+∠AGD=135°．故答案为：135．【点评】本题考查了正方形的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，根据等腰三角形的性质结合三角形内角和定理求出∠AGD的度数是解题的关键．8．直线L过正方形ABDC的顶点A，点B，C到直线L的距离分别为1和2，则正方形的边长为．【分析】作BE⊥直线L，作CF⊥直线L则BE=1，CF=2，可证△BEA≌△CAF，可得AF=BE=1，根据勾股定理可求正方形的边AC 的长．【解答】解：如图：作BE ⊥直线L ，作CF ⊥直线L 则BE=1，CF=2∵四边形ABCD 是正方形∴AB=AC ，∠BAC=90°∴∠BAE +∠CAF=90°∵BE ⊥AE∴∠BAE +∠EBA=90°∴∠CAF=∠EBA ，且AB=AC ，∠BEA=∠AFC=90°∴△ABE ≌△ACF∴BE=AF=1在Rt △ACF 中，AC=22AF CF =故答案为 【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，添加恰当的辅助线构造全等三角形是本题的关键．9．如图，已知▱ABCD 和正方形CEFG 有一个公共的顶点C ，其中E 点在AD 上，若∠ECD=35°，∠AEF=15°，则∠B 的度数是 70° ．【分析】直接利用正方形的内角是直角，再利用平行四边形的对角相等和三角形内角和定理得出答案．【解答】解：∵四边形CEFG 是正方形，∴∠FEC=90°，∵∠AEF=15°，∴∠DEC=180°﹣90°﹣15°=75°，又∵∠ECD=35°，∴∠D=180°﹣75°﹣35°=70°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B=∠D=70°．故答案为：70°．【点评】此题主要考查了正方形的性质以及平行四边形的性质，正确把握正方形的性质是解题关键．10．如图，四边形ABCD是一个正方形，E是BC延长线上的一点，且AC=EC，则∠DAE=22.5°．【分析】由四边形ABCD是一个正方形，根据正方形的性质，可得∠ACB=45°，又由AC=EC，根据等边对等角，可得∠E=∠CAE，继而利用三角形外角的性质，求得∠E的度数，根据平行线的性质，即可求得∠DAE的度数．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ACB=45°，AD∥BC，∵AC=EC，∴∠E=∠CAE，∵∠ACB=∠E+∠CAE=2∠E，∴∠E=∠ACB=22.5°，∵AD∥BC，∴∠DAE=∠E=22.5°．故答案为：22.5°．【点评】此题考查了正方形的性质以及等腰三角形的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．。
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正方形基础知识训练一、基础知识1.正方形的性质：①具有__________、______、_______的一切性质②正方形的四个角都是______，四条边都_______.③正方形的两条对角线______，并且互相___________，每条对角线平分_________.2.正方形的判定（1）先证___形，再证有一组邻边相等（2）先证___形，再证有一个角为直角1．判断题（1）两条对角线互相垂直的矩形是正方形（）（2）对角线相等的矩形是正方形（）（3）正方形既是矩形也是菱形（）（4）四边都相等的四边形是正方形（）（5）矩形包括长方形和正方形（）（6）正方形四个角的角平分线交于一点（）（7）四角相等且两边相等的四边形是正方形（）（8）顺次连结四边形各边中点，若得到一个正方形，则这个四边形是正方形（）（9）长方形各角平分线围成一个正方形（）（10）正方形任意一点到各边距离之和为一定值（）（12）两条对角线相等且互相垂直的四边形是正方形。
（）（13）两条对角线分别平分一组对角的四边形是正方形。
（）一．选择题（1）正方形具有而菱形不一定具有的性质是（）．A．对角线互相垂直 B．对角线互相平分 C．对角线相等 D．对角线平分一组对角（2）正方形的面积为，则它的两条对角线的长为（）． A．8cm B．4cm C． D．16cm（3）从四边形找一点，使该点到各边距离都相等的图形是（）．A．平行四边形、矩形、菱形 B．菱形、矩形、正方形 C．矩形、正方形 D．菱形、正方形（4）一组对边平行且相等的四边形：①一定是平行四边形；②可能是矩形；③不一定是菱形；④不一定不是正方形，其中（）． A．只有①对 B．只有④对 C．所有说法都对 D．③和④不对（5）如图4-49，点E在正方形ABCD的边AB上．若EB的长为1，EC的长为2，那么正方形的面积是（）．A． B． C．3 D．5（6）E是正方形ABCD一点，且△EAB是等边三角形，则（）． A．70° B．72.5° C．75D．77.5°（7）正方形一点P，到各边的距离为2、3、4、5，则正方形的面积为（）． A．36 B．49 C．64 D．81（8）正方形的长为10cm，则以它对角线为边的等边三角形的面积为（）．A． B． C． D．1．不能判定四边形是正方形的是（）A．对角线互相垂直且相等的四边形 B．对角线互相垂直的矩形C．对角线相等的菱形 D．对角线互相垂直平分且相等的四边形2、四边形ABCD的对角线相交于点O，能判定它是正方形的条件是（）A．AB=BC=CD=DA B．AO=CO，BO=DO，AC⊥BDC．AC=BD，AC⊥BD且AC、BD互相平分 D．AB=BC，CD=DA1.四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，能判别这个四边形是正方形的条件是（）A.OA=OB=OC=OD，AC⊥BDB.AB∥CD，AC=BDC. AD∥BC，∠A=∠CD.OA=OC，OB=OD，AB=BC 2．如图，以正方形ABCD的边AB为一边向外作等边△ABE，则∠BED的度数为（）A．55°B．45°C．40°D．42.5°3.如图所示，在正方形ABCD中，CE=MN,∠BEC=50°，∠ANM等于（）A.40 °B.45 °C.50 °D.60°4．已知正方形ABCD的边长为2，E、F分别BC和CD边上的中点，则S△AEF=（）A．5/2 B．3/2 C．2D．5．下列命题中，正确的是（）A．四边相等的四边形是正方形B．四角相等的四边形是正方形C．对角线垂直的平行四边形是正方形D．对角线相等的菱形是正方形6．如图，正方形ABCD中，AC和BD相交于O，E是OA上一点，G是BO上一点，且OE=OG，则CG与EB的大小及位置关系是（）A．C G=EB B．C G⊥EB C．CG平分EB D．CG=EB，且CG⊥EB接CG，则CG等于 ( )A、4B、6C、3D、4二．填空题1、如图，已知四边形ABCD是菱形，则只须补充条件：（用字母表示）就可以判定四边形ABCD是正方形．2、如图4-50，正方形ABCD中，截去和后，1、2、3、4的和是________；年图4-50 图4-513、如图4-51，以正方形ABCD的对角线AC为一边作菱形AEFC，则________；4、P为正方形对角线AC上一点，且AP＝AB，则ABP＝________；5、正方形ABCD中，AB＝18cm，对角线AC、BD相交于点O，的周长＝________cm；6、四边形ABCD为正方形，P为AC上一点，AP＝AD，于P，交CD于G，则________；7、在正方形ABCD中，两条对角线交于O，的平分线交BD于E，若正方形ABCD的周长是16cm，则________；8、．已知一个正方形的周长数与面积数相等，求正方形的对角线长．9．如图，P是正方形ABCD一点，将△APB绕点B顺时针旋转能与△CP′B重合，若PP′=2，则BP′= ________．10．如图所示，E是正方形ABCD的BC边的延长线上一点，若CE=CA，AE交CD于F，则∠FAC=_________ 度．11．已知：如图所示，E是正方形ABCD边BC延长线一点，若EC=AC，AE交CD于F，则∠AFC= _________ 度．12．已知,如图,方形ABCD的边长是8，M在DC上,DM=2,是AC边上的一动点，则DN+MN的最小值是_________ ．13．如图所示，正方形ABCD对角线交于O，点O是正方形A′B′C′O的一个顶点，两个正方形的边长都是2，那么正方形A′B′C′O绕O无论怎样转动时，图中两个正方形重叠部分的面积为_________ ．三、解答题1．如图4-52，在正方形ABCD外以CD为边作等边△CDE．求的度数．图4-526．如图4-53，正方形ABCD中，．求证：四边形EFGH是正方形．图4-537．已知：如图4-54，△ABC中，，CD平分，，，垂足分别为E、F．求证：四边形CFDE是正方形．图4-548．如图4-55，已知正方形ABCD中，P是CD上一点，于E，于F，若，求正方形ABCD的边长．图4-559．已知：如图4-56，正方形ABCD中，M为BC上任意一点，AN是的平分线，交DC于N 点．求证：．图4-5610．已知：如图4-57，已知四边形ABCD是正方形，．求．12.如图所示，正方形ABCD的边长为4，分别以正方形ABCD的四边为直径作圆，四个圆交点为O，求阴影部分的面积13．如图所示，四边形ABCD是正方形，对角线AC与BD相交于O，MN∥AB，且分别与AO，BO交于M、N，求证：（1）BM=CN；（2）BM⊥CN．三、正方形的判定：15．如图点D是线段AB的中点，点C是线段AB的垂直平分线上的任意一点，DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F．（1）求证：CE=CF；（2）点C运动到什么位置时，四边形CEDF成为正方形？请说明理由．16．如图所示，已知EG，FH相交于正方形ABCD的对角线的交点O，EG⊥FH．求证：四边形EFGH是正方形．17．已知:如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E，（1）求证：四边形ADCE为矩形；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？并给出证明．18．如图所示，有四个动点P，Q，E，F分别从正方形ABCD的四个顶点出发，沿着AB，BC，CD，DA 以同样速度向B，C，D，A各点移动．试判断四边形PQEF是否是正方形，并证明；19.如图，在四边形ABCD中，点E是线段AD上的任意一点（E与A，D不重合），G，F，H分别是BE，BC，CE的中点．（1）证明：四边形EGFH是平行四边形；（2）在（1）的条件下，若EF⊥BC，且EF=1/2 BC，证明：平行四边形EGFH是正方形．20.如图，已知平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是BD延长线上的点，且△ACE是等边三角形．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若∠AED=2∠EAD，求证：四边形ABCD是正方形．14．如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于O．（1）（图1）若E为AC上一点，过A作AG⊥EB于G，AG、BD交于F，求证：OE=OF；（2）（图2）若E为AC延长线上一点，AG⊥EB交EB的延长线于G，AG的延长线交DB的延长线于F，其他条件不变，OE=OF还成立吗？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由．5.已知中，，CD平分,交AB于D，DF//BC,DE//AC，求证：四边形DECF为正方形。
6、E是正方形ABCD对角线AC上一点，垂足分别为F、G，求证：BE=FG。
7：（）已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E，（1）求证：四边形ADCE为矩形；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？并给出证明．8、如图，△ABC中，点O是AC边上一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于E，交∠BCA的外角平分线于点F.(1)求证：EO=FO(2)当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论.(3) 当点O运动到何处时，四边形AECF是有可能是正方形？并证明你的结论.10、（市）如图，已知平行四边形中，对角线交于点，是延长线上的点，且是等边三角形．（1）求证：四边形是菱形；（2）若，求证：四边形是正方形．11、如图，正方形ABCD中，E、F、G分别是AD、AB、BC上的点，且AE=FB=GC。
试判断的形状，并说明理由。
12、如图，在正方形ABCD中，P为BC上一点，Q为CD上一点，(1)若PQ=BP+DQ，求。
（2）若,求证：PQ=BP+DQ.13、如图，菱形ABCD的边长为2，对角线BD=2，E、F分别是AD、CD上的动点，且满足AE+CF=2.（1）求证：.(2)判断的形状。