集合映射与函数.
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概念更复杂 理论性更强
表达形式更抽象 推理更严谨
3.如何学好本课程？
一、 调整学习心态，尽快适应大学学习环境是 前提. 做好以下几点：
1.学习要扎扎实实； 2.勤学好问； 3.摆脱对老师和课堂的依赖心理.
3.如何学好本课程？
二、 不断改进学习方法，提高学习效果. 1. 学会听课 -----听思路、重点、难点， 获得整体认识而不是拘泥于细节 2. 做好预习和复习 3. 解题 重视基本概念和原理的理解和掌 握；适当参考一些书籍；
L 1 : 上界，l 1: 下界。
例1.2 B {1, 1 , 1 , , 1 , } 也是有界数集. 23 n
上界: L 1，下界: l 0 .
【注】
（1）A有界 M R, M 0, 使得x A ,都有| x | M; (2) 有上界（下界）数集上界（下界）不是唯一的。
定义1.2（确界）设 A R且A ,若存在 s R， 满足：（1）x A，有x s,
对本课程学习的建议和要求
1. 课前预习-----定义、定理、公式、疑点； 2. 不迟到（提前5分钟）， 不早退； 3. 认真听课，适量做笔记； 4. 疑问及时记到本子上，合适时间提问； 5. 课后及时复习，复习后做作业； 6. 认真按时完成作业.
关于数学分析课程的作业、考试和成绩
• 作业
写在16开散页纸上，抄题。 作业记平时成绩，每次批1/3；
• 考试
教考分离式
• 期末成绩
平时成绩 15% 期末卷面 85%
• 答疑 每周一下午2：00-4：00 南1-217
第一章 函数,极限,连续
第一节 集合、映射与函数
一、集合及其运算 二、实数的完备性
与确界存在原理 三、映射与函数
一、集合
1. 定义和表示法
1) 定义
集合 具有某种特定性质的对象全体, 记为 A,B,C,… 。
（2） 0，x0 A, 使x0 s 则称 s为A的上确界，记为sup A s 类似地可以定义A的下确界，记为inf A 。
例1.1中，sup A 1, inf A 1; 例1.2中，sup B 1 , inf B 0 .
注：i) 如果一个数集的上确界（下确界）存在，那
么它必定唯一。
A中所有元素x的像y的全体所构成的集合称为f的值域，
记作
R( f )或f (A).
即： R( f ) f (A) { y | y f (x) , x A}
若f , g 都是从A 到B 的映射,并且x A, f ( x) g( x), 则称映射f与 g相等,记作: f g.
例1 设A Z ,B {2,4, ,2N, }. f : n 2n 确定了一个从A 到B 的映射 f : A B .
若 B 是实数集,则称映射 f : A B为泛函；
若 A, B R,则映射 f : A B 就是一元函数; 若 A B ,则 称映射f : A A为 A 上的一个变换。
2. 函数
定义1.4 设 A, B是两个非空实数集, 称映射 f ：A B 为一
元函数,记作 f : x y f (x) , x A
例3. 设g : x x , f : x sin x,求f g.
解： R(g) D( f ).
f g( x) sin x , x [0,).
注 1）不是任意两个函数都能够复合成一个复合函数；
如例3中，y g f ( x) sin x 没有意义.
2）复合函数的中间变量可以多于两个。
如 y sin u,u v , v x2 1 ,复合而成 y sin x2 1
例： 有限集
A a1
, a2
,
, an
ai
n i 1
(2) 描述法： A x x 具有的性质
有理数集
Q
p q
p Z,q Z , p 与 q 互质
常 实数集 R x x 为有理数或无理数
用
集 自然数集 N 0,1, 2,...,n,...
合 整数集 Z ...,n,...,0,1, 2,...,n,...
y max{f (x), g(x)}
y
f (x)
y min{ f (x), g(x)}
y
f (x)
g( x)
o
x
2x 1, x 0
(5)
f
(
x)
x
2
1,
x0
g( x)
o
x
y x2 1
y 2x 1
定义域 R 值域 [1,)
3. 复合映射与复合函数
映射 f g : A B C x g( x) z f [g(x)]
工科数学分析
1. 什么是“工科数学分析” ？ 它有哪些内容？
工科数学分析是区别于初等数学的高等数学
函数 — 研究对象 微积分，级数，常微分方程 — 研究内容 极限理论——微积分的基础
2. 本课程的特点如何？
由于高等数学的研究对象和研究方法与初等数 学有很大的不同，因此高等数学呈现出以下显著特 点：
二、实数的完备性 与确界存在原理
1. 实数的完备性 实数的完备性是极限理论的基础。 有理数与无理数统称为实数
实数集的特性： • 对有理运算（＋,－,×,÷）的封闭性 •有序性 实数可比较大小
•稠密性 任意两个实数之间必存在另一个实数。 •完备性 （前三条性质有理数集也具备，但有理数集没
有完备性）
实数完备性的直观描述：
B AB A
集合的运算有下列运算法则：
A B B A, A B B A (A B) C A(B C)
(A B) C A (B C)
(A B) C (A C) (B C) (A B) C (AC) (B C)
A A A, A A A A A, A A ( A B) A, A ( A B) A
ii) 一个数集的上(下)确界与它的最大(小)值是有区别的。
若A有最大值max A（最小值min A）, 则最大值（最小值）必是 A的上确界（下确界）。
反之不一定成立。
例1.1中，supA maxA 1, infA minA -1; 在 例1.2中，infB 0 B , B 没有最小值。
为映射 f 的图像. 例如：
1y
f : x x2 ,( x [1,1])的 图 像 Grf { ( x, x2 ) | x [1,1] }
0.8
Grf
0.6
0.4
0.2
就 是 区 间[1,1] 上 的 一 条 抛 物 线 （ 如 图）. --11 -0.5 o
0.5
1x 1
映射又分为满射、单射、一一映射（双射）
2.确界与确界存在定理
定义1.1 （集合的有界性）
设 A R,且 A ,若存在L R,使x A,有 x ()L,则称L 为A的一个上（下）界。
若 A 既有上界又有下界,则称A 有界;否则, 称 A 无界。
例1.1 A {x | x sin t, t } 是一个有界数集.
2
2
L 1 : 上界，l 1: 下界,
显然，上面的推理可 以反向进行，因此相反 的 包含关系也 成立， 即: (A B)c Ac Bc. 从而 (A B)c Ac Bc. (2) 由（1）知，
(Ac Bc )c (Ac )c (Bc )c A B. 等式两边取余即得所要 证的等式。
* 的对偶原理可 以推广到任意有限或穷多个集合的情形。
( A B)c Ac Bc
( A B)c Ac Bc
交换律 结合律 分配率 幂等律 吸收率
对偶率
下面给出对偶律的证明,以此说明集合等式的证明方法。
证：(1) 事实上 ，x (A B)c x (A B) x A且 x B x Ac 且 x Bc x Ac Bc , 所以 (A B)c Ac Bc.
因变量
自变量
当 x0 A时, 称 f ( x0 ) 为函数在点x0 处的函数值。A 称为 f 的
定义域,记作 D( f ) ;
函数值全体组成的数集
f ( A) { y | y f ( x), x A} 称为 f 的值域 ,记作 R( f )。
函数的符号表示： f , g,h,..., F,G,...,, ,....
定义1.3 设 A , B 是两个非空集合.若对每一个x A , 按照某种 确定的法则f ,有唯一确定的y B 与它相对应,则称 f 为从
A 到 B的一个映射算子.记作:
f : A B, 或 f : x y f ( x) , x A.
其中,y称为x在映射f下的像，x称为y在f下的原像；
A 称为映射f的定义域，记作 D( f ) A
iii) 若数集 A 没有上（下）界,自然也没有上（下）确
界,此时规定sup A (inf A -) .
定理1.1（确界存在定理）
有上(下)界的非空实数集必有上(下)确界.
(确界存在定理对有理数集不成立,例 2的不足近似值 构成的有理数集有上界，但没有有理数的上确界)
三、映射与函数
1. 映射
例2 设 A R2 ,{( x,0) | x R} R {0} R2 ,则由对应法则
p : ( x, y) R2 ( x,0) R {0}
确定了一个从R2 到 R {0}的映射 p。在几何上就是平面上 点到x 轴上的投影。
def
设 f : A B 是映射, 称集合Grf {( x, f ( x)) | x A} A B
元素 组成这个集合的个别对象, 记为 a,b,c,…
a∈A 如果a是集合A的元素
a A 或 a A
空集 不含任何元素的集合，记为 。
有限集 只有有限个元素的集合
无限集
注: A 为数集
A* 表示 A 中排除 0 的集 ; A 表示 A 中排除 0 与负数的集 .
2）集合的表示法
(1) 列举法： 按某种方式列出集合的全体元素
定理1.2. 设有映射f：A B，则下面三个论断是等价的： （1）f : A B是单射； （2）若x1, x2 A,且 x1 x2 , 则 f ( x1) f ( x2 ); (3) 若x1, x2 A,且 f ( x1) f ( x2 )，则x1 x2 .
恒等映射(单位映射) 记作 I A 或I ,即 x A, Ix x . 显然，恒等映射是一一映射.
1
o
wenku.baidu.com
x
-1
x sgn x x
y
4321
(2) 取整函数 y=[x]
[x]表示不超过 x 的最大整数
阶梯曲线
(3) 狄利克雷函数
-4 -3 -2 -1 o -11 2 3 4 5 x -2 -3 -4
1 当 x 是有理数时
y D( x) 0
当 x是无理数时
y
1
• 无理数点
o
有理数点
x
(4) 最值函数
集合的运算：设A,B为两个集合，定义下列运算：
并集 A B x 交集 A B x
或 且
AB
B
A
差集 A \ B x
且 xB
余集 AC I \ A (其中A I )
A\B A B
AC I
A
积集 A B (x , y) x A, y B
特例: R R 记 R 2
为平面上的全体点集
称为映射 g 和 f构成的复合映射. 其中 u g( x) B 称为中间元. “”称为复合运算.
g( A)
注意: 必须有 g( A) D( f )中,否则,不能定义复合映射. 可以推广到多个映射的情形.
复合函数
若复合映射中，A,B,C都是实数集，即f,g是两个 函数，则称映射 f g : A C 为复合函数.
坐标轴(数轴): 一条规定了原点和单位长度的有向直线。
有理点: 有理数在坐标轴上的对应点。
有理点在坐标轴上是处处稠密的。
无理点: 坐标轴上非有理点的点。
图中A点不是有理点，
1
o
1A
x
实数集与坐标轴上的所有点一一对应
---------实数的连续性或完备性。
有理数不能与坐标轴上的所有点一一对应， 因此，有理数集是不完备的。
正整数集 Z 1 , 2 , , n, N * N
2. 集合之间的关系及运算
设有集合 A, B ,若 x A 必有 x B , 则称 A是B 的
子集 ,或称 A 包含于B , 记作 A B.
例如 ,
,
,
若
且
则称 A 与 B 相等, 记作 A B .
则称 A是B 的真子集.
记作 A B 显然有:
函数的表示法有：公式法、图形法、列表法。
y f (x), g(x),...,F(x),G(x),...,(x), (x),...,
构成函数的要素： 定义域， 对应法则
• 定义域
使表达式及实际问题都有意义的自变量 集合.
特殊函数举例
(1) 符号函数
y
1 当x 0
y
sgn
x
0
当x 0
1 当x 0
表达形式更抽象 推理更严谨
3.如何学好本课程？
一、 调整学习心态，尽快适应大学学习环境是 前提. 做好以下几点：
1.学习要扎扎实实； 2.勤学好问； 3.摆脱对老师和课堂的依赖心理.
3.如何学好本课程？
二、 不断改进学习方法，提高学习效果. 1. 学会听课 -----听思路、重点、难点， 获得整体认识而不是拘泥于细节 2. 做好预习和复习 3. 解题 重视基本概念和原理的理解和掌 握；适当参考一些书籍；
L 1 : 上界，l 1: 下界。
例1.2 B {1, 1 , 1 , , 1 , } 也是有界数集. 23 n
上界: L 1，下界: l 0 .
【注】
（1）A有界 M R, M 0, 使得x A ,都有| x | M; (2) 有上界（下界）数集上界（下界）不是唯一的。
定义1.2（确界）设 A R且A ,若存在 s R， 满足：（1）x A，有x s,
对本课程学习的建议和要求
1. 课前预习-----定义、定理、公式、疑点； 2. 不迟到（提前5分钟）， 不早退； 3. 认真听课，适量做笔记； 4. 疑问及时记到本子上，合适时间提问； 5. 课后及时复习，复习后做作业； 6. 认真按时完成作业.
关于数学分析课程的作业、考试和成绩
• 作业
写在16开散页纸上，抄题。 作业记平时成绩，每次批1/3；
• 考试
教考分离式
• 期末成绩
平时成绩 15% 期末卷面 85%
• 答疑 每周一下午2：00-4：00 南1-217
第一章 函数,极限,连续
第一节 集合、映射与函数
一、集合及其运算 二、实数的完备性
与确界存在原理 三、映射与函数
一、集合
1. 定义和表示法
1) 定义
集合 具有某种特定性质的对象全体, 记为 A,B,C,… 。
（2） 0，x0 A, 使x0 s 则称 s为A的上确界，记为sup A s 类似地可以定义A的下确界，记为inf A 。
例1.1中，sup A 1, inf A 1; 例1.2中，sup B 1 , inf B 0 .
注：i) 如果一个数集的上确界（下确界）存在，那
么它必定唯一。
A中所有元素x的像y的全体所构成的集合称为f的值域，
记作
R( f )或f (A).
即： R( f ) f (A) { y | y f (x) , x A}
若f , g 都是从A 到B 的映射,并且x A, f ( x) g( x), 则称映射f与 g相等,记作: f g.
例1 设A Z ,B {2,4, ,2N, }. f : n 2n 确定了一个从A 到B 的映射 f : A B .
若 B 是实数集,则称映射 f : A B为泛函；
若 A, B R,则映射 f : A B 就是一元函数; 若 A B ,则 称映射f : A A为 A 上的一个变换。
2. 函数
定义1.4 设 A, B是两个非空实数集, 称映射 f ：A B 为一
元函数,记作 f : x y f (x) , x A
例3. 设g : x x , f : x sin x,求f g.
解： R(g) D( f ).
f g( x) sin x , x [0,).
注 1）不是任意两个函数都能够复合成一个复合函数；
如例3中，y g f ( x) sin x 没有意义.
2）复合函数的中间变量可以多于两个。
如 y sin u,u v , v x2 1 ,复合而成 y sin x2 1
例： 有限集
A a1
, a2
,
, an
ai
n i 1
(2) 描述法： A x x 具有的性质
有理数集
Q
p q
p Z,q Z , p 与 q 互质
常 实数集 R x x 为有理数或无理数
用
集 自然数集 N 0,1, 2,...,n,...
合 整数集 Z ...,n,...,0,1, 2,...,n,...
y max{f (x), g(x)}
y
f (x)
y min{ f (x), g(x)}
y
f (x)
g( x)
o
x
2x 1, x 0
(5)
f
(
x)
x
2
1,
x0
g( x)
o
x
y x2 1
y 2x 1
定义域 R 值域 [1,)
3. 复合映射与复合函数
映射 f g : A B C x g( x) z f [g(x)]
工科数学分析
1. 什么是“工科数学分析” ？ 它有哪些内容？
工科数学分析是区别于初等数学的高等数学
函数 — 研究对象 微积分，级数，常微分方程 — 研究内容 极限理论——微积分的基础
2. 本课程的特点如何？
由于高等数学的研究对象和研究方法与初等数 学有很大的不同，因此高等数学呈现出以下显著特 点：
二、实数的完备性 与确界存在原理
1. 实数的完备性 实数的完备性是极限理论的基础。 有理数与无理数统称为实数
实数集的特性： • 对有理运算（＋,－,×,÷）的封闭性 •有序性 实数可比较大小
•稠密性 任意两个实数之间必存在另一个实数。 •完备性 （前三条性质有理数集也具备，但有理数集没
有完备性）
实数完备性的直观描述：
B AB A
集合的运算有下列运算法则：
A B B A, A B B A (A B) C A(B C)
(A B) C A (B C)
(A B) C (A C) (B C) (A B) C (AC) (B C)
A A A, A A A A A, A A ( A B) A, A ( A B) A
ii) 一个数集的上(下)确界与它的最大(小)值是有区别的。
若A有最大值max A（最小值min A）, 则最大值（最小值）必是 A的上确界（下确界）。
反之不一定成立。
例1.1中，supA maxA 1, infA minA -1; 在 例1.2中，infB 0 B , B 没有最小值。
为映射 f 的图像. 例如：
1y
f : x x2 ,( x [1,1])的 图 像 Grf { ( x, x2 ) | x [1,1] }
0.8
Grf
0.6
0.4
0.2
就 是 区 间[1,1] 上 的 一 条 抛 物 线 （ 如 图）. --11 -0.5 o
0.5
1x 1
映射又分为满射、单射、一一映射（双射）
2.确界与确界存在定理
定义1.1 （集合的有界性）
设 A R,且 A ,若存在L R,使x A,有 x ()L,则称L 为A的一个上（下）界。
若 A 既有上界又有下界,则称A 有界;否则, 称 A 无界。
例1.1 A {x | x sin t, t } 是一个有界数集.
2
2
L 1 : 上界，l 1: 下界,
显然，上面的推理可 以反向进行，因此相反 的 包含关系也 成立， 即: (A B)c Ac Bc. 从而 (A B)c Ac Bc. (2) 由（1）知，
(Ac Bc )c (Ac )c (Bc )c A B. 等式两边取余即得所要 证的等式。
* 的对偶原理可 以推广到任意有限或穷多个集合的情形。
( A B)c Ac Bc
( A B)c Ac Bc
交换律 结合律 分配率 幂等律 吸收率
对偶率
下面给出对偶律的证明,以此说明集合等式的证明方法。
证：(1) 事实上 ，x (A B)c x (A B) x A且 x B x Ac 且 x Bc x Ac Bc , 所以 (A B)c Ac Bc.
因变量
自变量
当 x0 A时, 称 f ( x0 ) 为函数在点x0 处的函数值。A 称为 f 的
定义域,记作 D( f ) ;
函数值全体组成的数集
f ( A) { y | y f ( x), x A} 称为 f 的值域 ,记作 R( f )。
函数的符号表示： f , g,h,..., F,G,...,, ,....
定义1.3 设 A , B 是两个非空集合.若对每一个x A , 按照某种 确定的法则f ,有唯一确定的y B 与它相对应,则称 f 为从
A 到 B的一个映射算子.记作:
f : A B, 或 f : x y f ( x) , x A.
其中,y称为x在映射f下的像，x称为y在f下的原像；
A 称为映射f的定义域，记作 D( f ) A
iii) 若数集 A 没有上（下）界,自然也没有上（下）确
界,此时规定sup A (inf A -) .
定理1.1（确界存在定理）
有上(下)界的非空实数集必有上(下)确界.
(确界存在定理对有理数集不成立,例 2的不足近似值 构成的有理数集有上界，但没有有理数的上确界)
三、映射与函数
1. 映射
例2 设 A R2 ,{( x,0) | x R} R {0} R2 ,则由对应法则
p : ( x, y) R2 ( x,0) R {0}
确定了一个从R2 到 R {0}的映射 p。在几何上就是平面上 点到x 轴上的投影。
def
设 f : A B 是映射, 称集合Grf {( x, f ( x)) | x A} A B
元素 组成这个集合的个别对象, 记为 a,b,c,…
a∈A 如果a是集合A的元素
a A 或 a A
空集 不含任何元素的集合，记为 。
有限集 只有有限个元素的集合
无限集
注: A 为数集
A* 表示 A 中排除 0 的集 ; A 表示 A 中排除 0 与负数的集 .
2）集合的表示法
(1) 列举法： 按某种方式列出集合的全体元素
定理1.2. 设有映射f：A B，则下面三个论断是等价的： （1）f : A B是单射； （2）若x1, x2 A,且 x1 x2 , 则 f ( x1) f ( x2 ); (3) 若x1, x2 A,且 f ( x1) f ( x2 )，则x1 x2 .
恒等映射(单位映射) 记作 I A 或I ,即 x A, Ix x . 显然，恒等映射是一一映射.
1
o
wenku.baidu.com
x
-1
x sgn x x
y
4321
(2) 取整函数 y=[x]
[x]表示不超过 x 的最大整数
阶梯曲线
(3) 狄利克雷函数
-4 -3 -2 -1 o -11 2 3 4 5 x -2 -3 -4
1 当 x 是有理数时
y D( x) 0
当 x是无理数时
y
1
• 无理数点
o
有理数点
x
(4) 最值函数
集合的运算：设A,B为两个集合，定义下列运算：
并集 A B x 交集 A B x
或 且
AB
B
A
差集 A \ B x
且 xB
余集 AC I \ A (其中A I )
A\B A B
AC I
A
积集 A B (x , y) x A, y B
特例: R R 记 R 2
为平面上的全体点集
称为映射 g 和 f构成的复合映射. 其中 u g( x) B 称为中间元. “”称为复合运算.
g( A)
注意: 必须有 g( A) D( f )中,否则,不能定义复合映射. 可以推广到多个映射的情形.
复合函数
若复合映射中，A,B,C都是实数集，即f,g是两个 函数，则称映射 f g : A C 为复合函数.
坐标轴(数轴): 一条规定了原点和单位长度的有向直线。
有理点: 有理数在坐标轴上的对应点。
有理点在坐标轴上是处处稠密的。
无理点: 坐标轴上非有理点的点。
图中A点不是有理点，
1
o
1A
x
实数集与坐标轴上的所有点一一对应
---------实数的连续性或完备性。
有理数不能与坐标轴上的所有点一一对应， 因此，有理数集是不完备的。
正整数集 Z 1 , 2 , , n, N * N
2. 集合之间的关系及运算
设有集合 A, B ,若 x A 必有 x B , 则称 A是B 的
子集 ,或称 A 包含于B , 记作 A B.
例如 ,
,
,
若
且
则称 A 与 B 相等, 记作 A B .
则称 A是B 的真子集.
记作 A B 显然有:
函数的表示法有：公式法、图形法、列表法。
y f (x), g(x),...,F(x),G(x),...,(x), (x),...,
构成函数的要素： 定义域， 对应法则
• 定义域
使表达式及实际问题都有意义的自变量 集合.
特殊函数举例
(1) 符号函数
y
1 当x 0
y
sgn
x
0
当x 0
1 当x 0