《函数单调性》的教学案例

《函数单调性》教学案例

1.【案例背景】

“函数的单调性”是新课标人教版《数学·1》第一章第三节的教学内容。“课标”

规定两个课时，所选案例为第一课时。

函数的单调性是函数的一条基本性质，从知识结构上看，函数的单调性既是函数概念的延续和拓展，又是后续研究基本初等函数、三角函数等内容的基础。在这之前，学生已经学过函数的定义，函数的表示，学习过一次函数，二次函数，反比例函数等，函数单调性是学生研究函数整体性质的开始，之后还有奇偶性周期性等，所以本节内容承前启后，不仅要用到以前学过的函数知识，还要由这些知识出发获得函数自身的更深人的认识，并由这些认识解决有关的函数问题，这一节学好了，学生获得的知识就会对后面几节的知识产生正迁移作用。

2.【教学内容分析】

首先，从单调性知识本身来讲.学生对于函数单调性的学习共分为三个阶段，第

一阶段是在初中学习了一次函数、二次函数、反比例函数图象的基础上对增减性有

一个初步的感性认识；第二阶段是在高一进一步学习函数单调性的严格定义，从数

和形两个方面理解单调性的概念；第三阶段则是在高三利用导数为工具研究函数的

单调性.高一单调性的学习，既是初中学习的延续和深化，又为高三的学习奠定基础．

其次，从函数角度来讲. 函数的单调性是学生学习函数概念后学习的第一个函

数性质，也是第一个用数学符号语言来刻画的概念.函数的单调性与函数的奇偶性、

周期性一样，都是研究自变量变化时，函数值的变化规律；学生对于这些概念的认

识，都经历了直观感受、文字描述和严格定义三个阶段，即都从图象观察，以函数

解析式为依据，经历用符号语言刻画图形语言，用定量分析解释定性结果的过程.

因此，函数单调性的学习为进一步学习函数的其它性质提供了方法依据.

最后，从学科角度来讲.函数的单调性是学习不等式、极限、导数等其它数学知

识的重要基础，是解决数学问题的常用工具，也是培养学生逻辑推理能力和渗透数

形结合思想的重要素材.

3.【学情分析】

高一的学生正处于经验逻辑思维发展阶段，具备了一定的逻辑思维但要想

使学生“以一系列的行动队一系列的条件作出反应”却需要很大的努力的。函数单调性的本质是利用定量的方法来研究函数图象的性质，如何将图形特征用严谨的数学语言来刻画是本节课的难点之一．另一难点是学生在高中阶段第一次接触代数证明，如何进行严格的推理论证并完成规范的书面表达．

因此首先要重视学生的亲身体验：将新知识与学生的已有知识建立了联系．如：学生对一次函数、二次函数和反比例函数的认识。运用新知识尝试解决新

问题．其次重视学生发现的过程．充分展现学生将函数图象（形）的特征转化为函数值（数）的特征的思维过程。充分展现在正、反两个方面探讨活动中，学生认知结构升华、发现的过程． 最后重视学生的动手实践过程．通过对定义的解读、巩固，让学生动手去实践运用定义．

4. 【教学过程】

一、创设情境，引入课题 课前布置任务：

(1) 由于某种原因，2008年北京奥运会开幕式时间由原定的7月25日推迟到8月8日，请查阅资料说明做出这个决定的主要原因.

(2) 通过查阅历史资料研究北京奥运会开幕式当天气温变化情况.

课上通过交流，可以了解到开幕式推迟主要是天气的原因，北京的天气到8月中旬，平均气温、平均降雨量和平均降雨天数等均开始下降，比较适宜大型国际体育赛事.

下图是北京市今年8月8日一天24小时内气温随时间变化的曲线图.

引导学生识图，捕捉信息，启发学生思考．

问题1：请同学们观察图，指出该天的气温在如何变化？（学生独立思考） 【设计意图】通过生活实例，让学生对图象的上升和下降有一个初步的感性认识，让学生感受到函数的单调性和我们的生活密切相关，进而激发学生的兴趣，引发学生进一步学习的好奇心。

生1（主动回答）：0～4时，温度下降，4～14时温度上升，14～24时温度下降。

问题2：还能举出生活中其他的数据变化情况吗？ 预案：水位高低、燃油价格、股票价格等．

归纳：用函数观点看，其实就是随着自变量的变化，函数值是变大还是变小． 〖设计意图〗由生活情境引入新课，激发兴趣． 二．借助图象，直观感知

问题3：观画出y=x 和2y x 的函数图象，回答下面两个问题：

⑴分别指出上面两个函数的图象在哪个区间是上升的，在哪个区间是下降的？ 【设计意图】顺应学生的认知规律。 （小组合作探求）

生1：一次函数y=x 其定义域上是上升的，二次函数2y x =是先下降后上

升。

师：这样回答准确吗？ 生2：一次函数y=x 在区间（-∞，+∞）

上是“上升”的；二次函数y=x2在区间（-∞，0）上是“下降”的，（0，-∞）上是“上升”的。

⑵同学们能用数学语言把这两个函数图象“上升”或“下降”的特征描述出来吗？ 【设计意图】有感性上升到理性。（给学生适当的思考时间）

这时学生们思维较为混乱，无从下手。教师及时通过"几何画板"展示y=x 图象上A 点的运动情况，让学生观察x ，y 值的变化。

师（及时提问）：同学们能用数学语言把y=x 图象"上升"的特征描述出来吗？ 生3：该函数随着x 的值增大，y 的值相应的增大。 师（面向全体学生）：大家同意生4的回答吗？

生4：老师，我有补充，应该说：该函数在区间（-∞，+∞）上随着x 的值增大，y 的值相应的增大。

师：生5补充的很好，明确提出了函数变量在对应区间上的变化情况，那么函数2y x =呢？

生5：函数2y x =在区间（-∞，0）上随着x 的值增大，y 的值相应的减小；在区间（0，+∞）上是随着x 的值增大，y 的值相应的增大。

师：在数学上，我们把y 随着x 的增大而增大，称为增函数；把y 随着x 的增大而减小，称为减函数。

三．探究规律，理性认识

问题4：如何从解析式的角度说明2)(x x f =在),0[+∞为增函数？ 生6：因为1<2, (1)(2)f f <,所以2)(x x f =在),0[+∞为增函数．

生7：因为12345<<<<，(1)(2)(3)(4)(5)f f f f f <<<<所以2)(x x f =在

),0[+∞为增函数．

生8：不对，以上只在两个或有限个特殊值之间进行比较，不能代替所有值。 师：很好，所有的都拿出来比较，能做到吗？一一列举行吗？（意图：通过这

一问题，让学生联想到用字母符号来表示任意的数值） 生：拿两个就行了。

师：原来不都是每次拿两个来进行比较的吗？为什么不行？ 生（终于明白）：任意两个。

师：找任意两个？怎样能做到这一点。 生：用字母表示数字。 师：更清晰一点说呢？