3.3测量系统静态特性的获取方法

理想的情况是测量系统的响应 y 和激励之间有线性关系，这时 YFS 数据处理最简单，并且可和动 态测量原理相衔接，因为线性 系统遵守叠加原理和频率不变 性原理，在动态测量中不会改 变响应信号的频率结构，造成 波形失真。然而，由于原理、 0 材料、制作上的种种客观原因， 测量系统的静态特性不可能是
严格线性的。
即各个输入所引起的输出是互不影响的。这样，在分析常 系数线性系统时，可将一个复杂的激励信号分解成若干个简 单的激励，如利用傅里叶变换，将复杂信号分解成一系列谐 波或分解成若干个小的脉冲激励，然后求出这些分量激励的 响应之和。频率不变性表明，当线性系统的输入为某一频率 时，则系统的稳态响应也为同一频率的信号。
从以上实验说明，进行动态测试时，不但要测量准确 还要及时。
究竟是什么原因造成测试失真和产生动态误差呢？首 先可以肯定，如果被测温度T=T0，不会产生上述现象。 另一方面，就应该考察热电偶（传感器）对动态参数测 试的适应性能，即它的动态特性怎样。热电偶测量热水 温度时，水温的热量需要通过热电偶的壳体传到热接点 上，热接点又具有一定热容量，它与水温的热平衡需要 一个过程，所以热电偶不能在被测量温度变化时立即产 生相应的反映。这种由热容量所决定的性能称为热惯性， 热惯性是热电偶固有的，决定了热电偶测量快速温度变 化时会产生动态误差。
（3-24）
上式等号右边是一个与输入x(t)无关的表达式，它只与系统结 构参数有关，因而等号右边是测量系统特性的一种表达式， 它联系了输入与输出的关系，是一个描述测量系统转换及传 递信号特性的函数。定义其初始值为零时，输出y(t)的拉氏变 换Y(s)和输入的拉氏变换X(s)之比称为传递函数，并记为H(s)
H(s) Y (s) X (s)
（3-25）
由上式可见，引入传递函数概念之后，在Y(s)、X(s)和H(s)三者之中， 知道任意两个，第三个便可求得。这样为了解一个复杂的系统传递信 息特性创造了方便条件，这时不需要了解复杂系统的具体内容，只要
给系统一个激励x(t)，得到系统对x(t)的响应y(t)，系统特性就可确定。
定值而出现的最大偏差，常用相对于最终稳定值的百分比来表
示。
在采用正弦输入研究测量系统频域动态特性时，常用幅频特 性和相频特性来描述其动态特性，其重要指标是频带宽度，简 称带宽。带宽是指增益变化不超过某一规定分贝值的频率范围。
3.4.3 测量系统的数学模型
测量系统实质上是一个信息（能量）转换和传递的通道，在静态测 量情况下，输出量为输入量的函数。在动态测量情况下，如果输入 量随时间变化时，输出量能立即随之无失真地变化的话，那么这样 的系统可看作是理想的。但实际的测量系统，总是存在着诸如弹性、
y
能研究几种特定的输入时间函数如阶跃函数、脉
M
±e
b
冲函数和斜坡函数等的响应特性。
（2）在频域内研究动态特性一般是采用正弦输 入得到频率响应特性。
a
trs
tst
t
图3-7 阶跃响应 特性
动态特性好的测量系统暂态响应时间很短或者频率响应范围很宽。 这两种分析方法内部存在必然的联系，在不同场合，根据实际需要
上可以用常系数线性微分方程表示系统的输出量y与输入量x的关系，
这种方程的通式如下：
an
dn1 y(t) dt n1
a1
dy(t) dt
a0 y(t)
（3-22） bm
dm x(t) dt m
bm1
d m1 x(t ) dt m1
b1
dx(t) dt
b0 x(t)
用式（3-22）理论上讲是可以确定测量系统的输出与输入的 关系，但对于一个复杂的系统和复杂的输入信号，若仍然采 用式（3-22）求解肯定不是一件容易的事情。因此，在工程 应用中，通常采用一些足以反映系统动态特性的函数，将系 统的输出与输入联系起来。这些函数有传递函数、频率响应
函数和脉冲响应函数等。
3.4.4 传递函数
反行程工作曲线
0
X (t)
参考直线选用方案：
①端点连线 将静态特性曲线上的对应于测量范围 上、下限的两点的连线作为工作直线；
Y(t)
端点连线
0
X(t)
• ②端点平移线 平行于端点连线，且与实际静态特性 （常取平均特性为准）的最大正偏差和最大负偏差的 绝对值相等的直线；
Y(t)
0
X(t)
③最小二乘直线 直线方程的形式为，且对于各个标定 点（xi，yi）偏差的平方和最小的直线；式中a、b为 回归系数，且a、b两系数具有物理意义；
取J为min(最小)
④过零最小二乘直线 直线方程的形式为且对各标定 点（xi，yi）偏差的平方和最小的直线。
3.4 测试系统动态特性
3.4.1 动态参数测试的特殊问题
在测量静态信号时，线性测量系统的输出―输入特 性是一条直线，二者之间有一一对应的关系，而且 因为被测信号不随时间变化，测量和记录过程不受 时间限制。在实际测试工作过程中，大量的被测信 号是动态信号。测量系统的动态特性是指对激励 （输入）的响应（输出）特性。一个动态特性好的 测量系统，其输出随时间变化的规律（变化曲线）， 将能同时再现输入随时间变化的规律（变化曲线），
对式（3-22）取拉氏变换，并认为x(t)和y(t)及它们的各阶时间导数 的初值(t=0)为零，则得
Y (s)(an sn an1sn1 a1s a0 )
X (s)(bm sm bm1sm1 b1s b0 )
或
Y (s) X (s)
bm s m an s n
bm1sm1 b1s b0 an1sn1 a1s a0
发生一个突变，即从T0突然变化到T，立即 T0 看一下热电偶输出的指示值，是否在这一
测试曲线
瞬间从原来的T0立刻上升到T呢？显然不会。 0 t0
tt
它是从T0逐渐上升到T的，没有这样一个过 图3-6 热电偶测温过程曲线
→ 程就不会得到正确的测量结果。而从t0 t
的过程中，测试曲线始终与温度从T0跳变 到T的阶跃波形存在差值，即输出信号将不 会与输入信号具有完全相同的时间函数， 这种输出与输入间的差异就是所谓的动态 误差。
值的5%或10%变到最终稳定值的95%或90%所需的时间。响应时
间tst是指从输入量开始起作用到输出值进入稳定值所规定的范
围内所需要的时间。最终稳定值的允许范围常取所允许的测量
误差值±e。在给出响应时间时应同时注明误差值的范围，例如 tst=5s(±2%)。过调量M是指输出第一次达到稳定之后又超出稳
解决的问题不同而选择不同的方法。
在测量系统进行动态特性的分析和动态标定时，为了便于比 较和评价，常采用正弦信号或阶跃信号作为标准激励源。
在采用阶跃输入研究测量系统时域动态特性时，为表征其动
态特性，常用上升时间trs、响应时间tst、过调量M等参数来综 合描述，如图3-7所示。上升时间trs是指输出指示值从最终稳定
式中，an、an-1、…、a1、a0和bm、bm-1、…、b1、b0均为与系统结
构参数有关的常数。 线性时不变系统有两个十分重要的性质，即叠加性和频率不变
性。根据叠加性质，当一个系统有n个激励同时作用时，那么它的 响应就等于这n个激励单独作用的响应之和。
n
n
xi (t) yi (t)
i 1
i 1
任何测量系统或装置都有影响其动态特性的“固有因 素”，只不过它们的表现形式和作用程度不同而已。研 究测量系统的动态特性主要是从测量误差角度分析产生
动态误差的原因及改善措施。
3.4.2 测量系统动态特性的分析方法及主要指标
可采用瞬态响应法和频率响应法从时域和频域两个方面来分析
测量系统的动态特性。
（1）在时域内研究测量系统的响应特性时，只
惯性和阻尼等元件。此时，输出y不仅与输入x有关，而且还与输入 量的变化速度dx/dt，加速度d2x/dt2等有关。
要精确地建立测量系统的数学模型是很困难的。在工程上总是采取 一些近似的方法，忽略一些影响不大的因素，给数学模型的确立和
求解都带来很多方便。
一般可用线性时不变系统理论来描述测量系统的动态特性。从数学
通过标定，可得到测量系统的响应值yi和激 励值xi之间的一一对应关系，称为测量系统 的静态特性。测量系统的静态特性可以用一 个多项式方程表示
y a0 a1 x a2 x 2 (3-21)
上式称为测量系统的静态数学模型，静态 特性也可用一条曲线来表示，该曲线称为 测量系统的静态特性曲线，有时也称为静 态校准曲线或静态标定曲线，如图3-5所 示。从标定过程可知，测量系统的静态特 性曲线也可相应地分为正行程特性曲线、 反行程特性曲线和平均特性曲线（正行程、 反行程特性曲线之平均），一般都以平均 特性曲线作为测量系统的静态特性。
在工程应用时，为了计算分析方便，通常采用拉普拉斯变换（简称拉 氏变换）来研究线性微分方程。如果y(t)是时间变量t的函数，并且当 t≤0时，y(t)=0，则它的拉氏变换Y(s)的定义为
Y (s) y(t)est dt 0
t 0, y(t) 0 （3-23）
式中s是复变量，s j , 0 , t = 0, y( t ) = 0。
或
（3-28） H ( j)
bm ( j)m an ( j)n
bm1( j)m1 an1( j)n1
b1( j) b0 a1( j) a0
H(jω)称为测量系统的频率响应函数，简称为频率响应或频率特性。 很明显，频率响应是传递函数的一个特例。显然，测量系统的频率 响应H(jω)就是在初始条件为零时，输出的傅里叶变换与输入的傅 里叶变换之比，是在“频域”对系统传递信息特性的描述。 从物理意义上说，通过傅立叶变换可以将满足一定条件的任意信号 分解成为不同频率的信号之和，将信号由时间域变换到频率域来描 述，因此频率响应函数是在频率域中反映一个系统对正弦输入的稳 态响应，故又称为正弦传递函数。
选用参考直线有多种方案，详见以下介绍。
几个工作曲线:
工作曲线:方程称之为工作曲线或静态特性曲线,实 际工作中,一般用标定过程中静态平均特性曲线来描述.
正行程曲线:正行程中激励与响应的平均曲线 反行程曲线:反行程中激励与响应的平均曲线
实际工作曲线:正反行程曲线之平均
Y（t）
正行程工作曲线
实际工作曲线
即具有相同的时间函数。
如图3-6所示，一个恒温水槽的水温保持在
T℃不变，而当地环境温度为T0℃，把一支
热电偶放于此环境中一定时间，那么热电
偶反映出来的温度应为T0℃（不考虑其它
T
因素造成的误差）。设T＞T0，现在将热电
TT
偶迅速插到恒温水槽的热水中（插入时间
动态误差
忽略不计），这时热电偶测量的温度参数
（3）标定的分类： 根据标定时输入到测量系统中的已知量是 静态量还是动态量，标定分静态标定和动态 标定。 静态标定就是将原始基准器，或比被标定 系统准确度高的各级标准器或已知输入源作 用于测量系统，得出测量系统的激励－响应 关系的实验操作。 动态标定一般常采用阶跃信号作为标准激 励源，得出测量系统的激励－响应关系的实 验操作。
3.3测量系统静态特性的获取方法
（1）标定的概念 用已知的标准校正仪器或测量系统的过程称为标定。 （2）标定的主要作用
①确定仪器或测量系统的输入－输出关系，赋予
仪器或测量系统分度值；
②确定仪器或测量系统的静态特性指标； ③消除系统误差，改善仪器或测量系统的正确度。
在科学测量中，标定是一个不容忽视的重要步骤。
正行程工作 曲线
反行程工作 曲线
图 3-5 静 态 标 定 XFS x 过程
如果在测量系统的特性方程中，非线性项的 影响不大，实际静态特性接近直线关系，则常用 一条参考直线来代替实际的静态特性曲线，近似 地表示响应－激励关系，有时也将此参考直线称 为测量系统的工作直线。如果测量系统的实际特 性和直线关系相去甚远，则常采取限制测量的量 程，以确保系统工作在线性范围内，或者在仪器 的结构或电路上采取线性化补偿措施，如设计非 线性放大器或采取软件非线性修正等补偿措施。
（4）标定的过程 静态标定的过程：对测量系统进行标定时， 一般应在全量程范围内均匀地取定5个或5 个以上的标定点（包括零点），从零点开 始，由低至高，逐次输入预定的标定值— —此称标定的正行程，然后再倒序由高至 低依次输入预定的标定值，直至返回零 点——此称反行程，并按要求将以上操作 重复若干次，记录下相应的响应－激励关 系。
3.4.5 频率响应函数
对于稳定的常系数线性系统，可用傅里叶变换代替拉氏变换，也即 s=ß+jω用s=jω代替，此时式（3-23）变为
Y ( j) y(t)ejtdt 0
（3-26）
这实际上是单边傅里叶变换。相应地有
X ( j) x(t)ejtdt 0
（3-27）
H ( j) Y ( j) X ( j)