2017-2018学年内蒙古赤峰市第二中学高二数学上第三次(12月)月考(理)试题(含答案)

赤峰二中2016级高二上学期第三次月考理科数学试题一、选择题（每题5分共60分）1 复数ii 212-+的共轭复数是（ ） A ．i 53- B ．i - C ．i D ．i 53 2若:1p x >，1:1q x<，则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3若双曲线22221x y a b-=）． A. 2y x =±B. y =C. 12y x =±D. 2y x =± 4设函数()f x 在R 上可导，其导函数为()'f x ，如图是函数)(x f x '的图象，则()f x 的极值点是( )A. 极大值点2x =-，极小值点0x =B. 极小值点2x =-，极大值点0x =C. 极值点只有2x =-D. 极值点只有0x =5如图是一个几何体的三视图（尺寸的长度单位为cm ），则它的体积是（ ）3cm .A. B.18C.186若函数()212x f x ke x =-在区间()0,+∞单调递增，则实数k 的取值范围是（ ）A. 1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B. ()0,+∞C. 1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D. [)0,+∞ 7已知点A 是双曲线22221x y a b-=（0a >， 0b >）右支上一点， F 是右焦点，若AOF ∆（O 是坐标原点）是等边三角形，则该双曲线离心率e 为（ ）A. B. C. 1 D. 18如图，过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线交抛物线于点A B 、，交其准线l 于点C ，若点F 是AC 的中点，且4AF =，则线段AB 的长为（ ）A. 5B. 6C. 163D. 2039做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是64π，且用料最省，则圆柱的底面半径为（ ）A. 3B. 4C. 5D. 610已知定义在R 上的可导函数()f x 的导函数为()'f x ，满足()()'f x f x <，且()02f =，则不等式()20x f x e -<的解集为（ ）A. (),0-∞B. ()0,+∞C. ()2,-+∞D. (),2-∞11若函数()()2122ln 2ax f x a x x =+--在区间1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭内有极小值，则a 的取值范围是（ ） A. 1,e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭B. (),1-∞-C. ()2,1--D. (),2-∞- 12已知函数()()ln 2x f x x =，关于x 的不等式()()20f x af x +>只有两个整数解，则实数a 的取值范围是A. 1,ln23⎛⎤ ⎥⎝⎦B. 1ln2,ln63⎛⎫-- ⎪⎝⎭C. 1ln2,ln63⎛⎤-- ⎥⎝⎦D. 1ln6,ln23⎛⎫- ⎪⎝⎭二、填空题（每题5分，共20分）13 函数x x x f ln )(-= 的单调减区间为___________________．14曲线x y 42=与直线42-=x y 所围成图形的面积 .15设曲线x e y =在点(0,1)处的切线与曲线)0(1>=x xy 上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为________．16已知函数()2ln f x x a x =-有两个零点，则a 的取值范围是__________三、简答题17（本题10分）已知等差数列{}n a 满足：26,7753=+=a a a ，{}n a 的前n 项和为n S（1）求n a 及n S（2）令)(112+∈-=N n a b n n ,求{}n b 的前n 项和n T18（本题12分）在ABC ∆中，内角A,B,C 的对边分别为c b a ,,，已知b ac B C A -=-2cos cos 2cos （1）求AC sin sin （2）若2,41cos ==b B ，求ABC ∆的面积S19（本题12分）如图，四边形ABCD 与BDEF 均为菱形，∠DAB=∠DBF=60°，且FA=FC ．（1）求证：AC ⊥平面BDEF ； （2）求二面角A ﹣FC ﹣B 的余弦值．20(本小题满分12分)若函数x x ax x f ln 342)(2-+=在x ＝1处取得极值． (1)求a 的值；(2)求函数)(x f 的单调区间及极值． 21已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上点P 到左右焦点21,F F 的距离之和为22，离心率为22 （1）求椭圆方程（2）过右焦点2F 的直线l 交椭圆于A,B 两点①若y 轴上一点M )31,0(满足MB MA =，求直线l 斜率k 的值 ②O 为坐标原点，是否存在这样的直线l ，使ABO S ∆的面积最大值是22？，若存在求出直线l 的方程，不存在说明原因理由22已知函数()11,a f x nx a R x=+-∈． （Ⅰ）若关于x 的不等式()1f x x >-+在[)1,+∞上恒成立，求a 的取值范围； （Ⅱ）设函数()()f xg x x =，在（Ⅰ）的条件下，试判断()g x 在21,e ⎡⎤⎣⎦上是否存在极值．若存在，判断极值的正负；若不存在，请说明理由．高二三模理数参考答案选择题BABCA CDCBB CC填空题13（0,1） 14 9 15 （1,1） 16 ),2(+∞e简答题 17所以数列{}n b 的前n 项和n T =4(1)nn + 。

18（Ⅰ）由正弦定理得2sin ,a R A =2sin ,b R B =2sin ,c R C =所以c o s A -2c o s C 2c -a =c o s B b =2sin sin sin C AB-,即sin cos 2sin cos 2sin cos sin cos B A B C C B A B -=-,即有sin()2sin()A B B C +=+,即sin 2sin C A =,所以sin sin C A=2. （Ⅱ）由（Ⅰ）知: sin sin c C a A==2,即c=2a,又因为2b =,所以由余弦定理得：2222cos b c a ac B =+-，即222124224a a a a =+-⨯⨯,解得1a =,所以c=2,又因为cosB=14，所以ABC ∆的面积为11sin 1222ac B =⨯⨯⨯19Ⅰ）证明：设AC 与BD 相交于点O ，连接FO ．因为四边形ABCD 为菱形，所以AC ⊥BD ，且O 为AC 中点．又 FA=FC ，所以 AC ⊥FO ．因为 FO∩BD=O ，所以 AC ⊥平面BDEF ．（Ⅱ）解：因为四边形BDEF 为菱形，且∠DBF=60°，所以△DBF 为等边三角形．因为O 为BD 中点，所以FO ⊥BD ，故FO ⊥平面ABCD ．由OA ，OB ，OF 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系O ﹣xyz ． …（9分） 设AB=2．因为四边形ABCD 为菱形，∠DAB=60°，则BD=2，所以OB=1，．所以．所以，． 设平面BFC 的法向量为=（x ，y ，z ）， 则有， 取x=1，得．∵平面AFC 的法向量为=（0，1，0）．由二面角A ﹣FC ﹣B 是锐角，得|cos ＜，＞|==．所以二面角A ﹣FC ﹣B 的余弦值为． 20解：(1)f′(x)＝2ax ＋2－43x， 由f′(1)＝2a ＋23＝0，得a ＝－13. (2)f(x)＝－13x 2＋2x －43ln x(x ＞0)． f′(x)＝－23x ＋2－43x ＝－－－3x . 由f′(x)＝0，得x ＝1或x ＝2.①当f′(x)＞0时，1＜x ＜2；②当f′(x)＜0时，0＜x ＜1或x ＞2.当x 变化时f′(x)，f(x)的变化情况如下表：函数的极小值为f(1)＝53，极大值为f(2)＝83－43ln 2. 21解：2,222)1(21=∴==+a a PF PF1,1,22==∴=b c e 所以椭圆方程为1222=+y x （2）①设直线方程)1(-=x k y ，),(),,(2211y x B y x A⎪⎩⎪⎨⎧=+-=12)1(22y x x k y 得0224)12(2222=-+-+k x k x k 1222,12422212221+-=+=+k k x x k k x x122221+-=+k k y y 所以AB 中点G 的坐标)12,122(222+-+k k k k 当kk k k k k 112231120222-=+-+-≠时，解得211或=k 当0=k 时，满足题意综上k 的取值为21,1,0 ②当斜率不存在时，222121,2=⨯⨯==∆ABO S AB 所以 当斜率存在时，2222222221)21(4)1(212224)124(221++=+--+=-=∆k k k k k k k k y y S ABO 22< 综上：当方程为1=x 时，三角形ABO 的面积最大，最大值是22 满足题意的直线存在，方程为1=x22解：（Ⅰ）由()1f x x >-+，得111a nx x x+->-+． 即212a x nx x x >--+在[)1,+∞上恒成立． 设函数()212m x x nx x x =--+， 1x ≥．则()'121m x x nx x =--+．∵[)1,x ∈+∞，∴10,210nx x -≤-+<．∴当[)1,x ∈+∞时， ()'1210m x nx x =--+<． ∴()m x 在[)1,+∞上单调递减．∴当[)1,x ∈+∞时， ()()()max 11m x m x m ≤==．∴1a >，即a 的取值范围是()1,+∞．（Ⅱ）()211nx a g x x x x=-+， 21,x e ⎡⎤∈⎣⎦． ∴()22331112212'nx a x x nx a g x x x x x ---=+-=． 设()212h x x x nx a =--，则()()'21111h x nx nx =-+=-． 由()'0h x =，得x e =．当1x e ≤<时， ()'0h x >；当2e x e <≤时， ()'0h x <．∴()h x 在[)1,e 上单调递增，在(2,e e ⎤⎦上单调递减．且()122h a =-， ()2h e e a =-， ()22h e a =-．据（Ⅰ），可知()()210h e h <<． （ⅰ）当()20h e e a =-≤，即2e a ≥时， ()0h x ≤即()'0g x ≤． ∴()g x 在21,e ⎡⎤⎣⎦上单调递减． ∴当2e a ≥时， ()g x 在21,e ⎡⎤⎣⎦上不存在极值． （ⅱ）当()0h e >，即12e a <<时， 则必定212,1,x x e ⎡⎤∃∈⎣⎦，使得()()120h x h x ==，且2121x e x e <<<<．当x 变化时， ()h x ， ()'g x ， ()g x 的变化情况如下表：∴当12e a <<时， ()g x 在21,e ⎡⎤⎣⎦上的极值为()()12,g x g x ，且()()12g x g x <． ∵()11111221111111nx x nx x a a g x x x x x -+=+-=．设()1x x nx x a ϕ=-+，其中12e a <<， 1x e ≤<． ∵()'10x nx ϕ=>，∴()x ϕ在()1,e 上单调递增， ()()110x a ϕϕ≥=->，当且仅当1x =时取等号．∵11x e <<，∴()10g x >． ∴当12ea <<时， ()g x 在21,e ⎡⎤⎣⎦上的极值()()210g x g x >>． 综上所述：当2ea ≥时， ()g x 在21,e ⎡⎤⎣⎦上不存在极值；当12ea <<时，()g x 在21,e ⎡⎤⎣⎦上存在极值，且极值均为正．。