最新直线和圆的方程典型例题详细解析

直线与圆

一、选择题:

1.若直线x y a 3++=0过圆x y x y 22

++2-4=0的圆心,则a 的值为 （A ）-1 (B) 1 (C) 3 (D) -3

.

2.设两圆1C 、2C 都和两坐标轴相切，且都过点（4，1），则两圆心的距离12C C =

(A)4 (B)4282【答案】C

【解析】设和两坐标轴相切圆的方程为：222()()x m y m m -+-=，将(4,1)带入方程整理得：210170m m -+=，12=

C C 22(10)4178.-⨯= 二、填空题：

3.若直线与直线250x y -+=与直线260x my +-=互相垂直，则实数m =_______

【答案】1

【解析】：121212,,12k k k k m =

=-∴⋅=-直线互相垂直,，即12()1,12m m ⋅-=-∴= 4．已知圆22:12,C x y +=直线:4325.l x y +=

（1）圆C 的圆心到直线l 的距离为 ．

(2) 圆C 上任意一点A 到直线l 的距离小于2的概率为 ．

答案：5，16

6.已知圆C 经过A(5，1)，B(1，3)两点，圆心在x 轴上．则C 的方程为___________.

答案： ()2

2210x y -+= 解析：直线AB 的斜率是k AB =311152

-=--，中点坐标是(3,2).故直线AB 的中垂线方程()223y x -=-，由()223,0,

y x y -=-⎧⎪⎨=⎪⎩得圆心坐标C （2,0），223110+=故圆的方程为()2

2210x y -+=。 10．过原点的直线与圆22

2440x y x y +--+=相交所得弦的长为2，则该直线的方程为

【答案】20x y -=

12.（本小题满分13分） 设直线11221212:x+1:y=k x 1k k k k +20l y k l =-⋅=，，其中实数满足，

（I ）证明1l 与2l 相交；

（II ）证明1l 与2l 的交点在椭圆22

2x +y =1上.

【命题意图】：本题考察直线与直线的位置关系，线线相交的判断与证明，点在线上的判断与证明，椭圆方程等基本知识，考察反证法的证明思路、推理论证能力和运算求解能力。

【解析】：（1）（反证法）假设1l 与2l 不相交，则1l 与2l 必平行，12k =k ∴ 代入12k k 20+=得

21k 20+=，与1k 是实数相矛盾。从而12k k ≠，即1l 与2l 相交。

（2）（方法一）由12k 1k 1

y x y x =+⎧⎨=-⎩得交点p 的坐标（x,y ）为

2121

212x k k k k y k k ⎧=⎪-⎪⎨+⎪=⎪-⎩

, 而

2222222

222121121212222222121211212128()82422x +y =2()()1()24k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k +++++++++====---+-++ 所以1l 与2l 的交点p 的（x,y ）在椭圆22

2x +y =1上 （方法二）1l 与2l 的交点p 的（x,y ）满足：12

k 1k 1y x y x =+⎧⎨=-⎩，0x ≠，从而 121k 1

k y x y x -⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩

，代入12k k 20+=得1120y y x x -+⋅+=，整理得 222x +y =1

所以1l 与2l 的交点p 的（x,y ）在椭圆22

2x +y =1上

【解题指导】：两直线111222:x+:y=k x l y k b l b =+，的位置关系判定方法：

（1）121212//=k ,l l k b b ⇔≠且

（2）1212k l l k ⇔≠与相交

（3）121212k ,l l k b b ⇔==与重合且

证明两数不等可采用反证法的思路。

点在线上的判断与证明只要将点的坐标代入曲线方程判断其是否成立即可，或求出交点的轨迹方程并判断与所给的曲线方程是否一致即可。本题属于中档题。

13.（本小题满分12分）

如图，直线l ：y=x+b 与抛物线C ：x 2=4y 相切于点A 。

（1） 求实数b 的值；

（11） 求以点A 为圆心，且与抛物线C 的准线相切的圆的方程.

【解析】（I ）由24y x b x y

=+⎧⎨=⎩得2440x x b --= (*) 因为直线l 与抛物线C 相切,所以2

(4)4(4)0b ∆=--⨯-=,解得1b =-.

（II ）由（I ）可知1b =-,故方程(*)即为2440x x -+=,解得2x =,将其代入2

4x y =,得y=1,故点A(2,1).

因为圆A 与抛物线C 的准线相切,所以圆心A 到抛物线C 的准线y=-1的距离等于圆A 的半径r,

即r=|1-(-1)|=2,所以圆A 的方程为22(2)(1)4x y -+-=.

【命题立意】本题主要考查直线、圆、抛物线等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想.

14.（本小题满分12分）

在平面直角坐标系中，曲线与162

+-=x x y 坐标轴的交点都在圆C 上，

（1）求圆C 的方程；

（2）如果圆C 与直线0=+-a y x 交于A,B 两点，且OB OA ⊥，求a 的值。

分析：用待定系数求圆的方程；由根与系数的关系和向量垂直求字母的值。 解：（Ⅰ）曲线)0,223(),0,223(),1,0(,162-++-=轴交点为与轴交点为与x y x x y 因而圆心坐标为),,3(t C 则有1)22()1(32222=∴+=-+t t t 半径为3)1(322=-+t ，所以圆方程是9)1()3(2

2=-+-y x （Ⅱ）设点),(),,(2211y x B y x A 满足⎩⎨⎧=-+-=+-9

)1()3(0

22y x a y x