数学人教版七年级上册角的认识、表示方法及角度制
人教版七年级数学上册第四章4.3《角》例题与讲解
4.3 角1．角的定义及其表示方法(1)角的定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．角也可以看作是由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形．当终边和始边成一条直线时，形成等角；当终边和始边重合时，形成周角．(2)角的表示方法：有四种表示角的方法：①用一个阿拉伯数字表示单独的一个角，在角内用一段弧标注； ②用一个大写英文字母表示单独的一个角，当角的顶点处有两个或两个以上的角时，不能用这种方法表示角；③用一个小写希腊字母表示单独的一个角；④用三个大写英文字母表示任意一个角，这时表示顶点的字母一定要写在中间． 破疑点 角的理解 (1)角的大小与边的长短无关，只与构成角的两条射线张开的幅度大小有关，角可以度量，可以比较大小，可以进行运算；(2)如果没有特别说明，所说的角都是指小于平角的角．【例1－1】 下列说法正确的是( )．A ．平角是一条直线B ．一条射线是一个周角C ．两边成一条直线时组成的角是平角D ．一个角不是锐角就是钝角解析：要做对这类题目，一定要理解概念，严格按照概念进行判断，才能得出正确的结论．平角、周角都是特殊角，虽然它们与一般角形象不符，但是它们仍然是角，它们都具有一个顶点和两条边，只不过平角的两边成一条直线，周角的两边重合成一条射线罢了． 答案：C【例1－2】 如图，以点B 为顶点的角有几个？请分别把它们表示出来．分析：.射线BA 与BD ，BA 与BC ，BD 与BC 各组成一个角．表示顶点的字母必须写在中间．当一个顶点处有多个角时，不能用一个表示顶点的大写字母表示，所以不能把∠ABC 错写成“∠B ”．书写力求规范，如用数字或希腊字母表示角时要在靠近顶点处加弧线注上阿拉伯数字或小写的希腊字母．注意：角的符号一定要用“∠”，而不能用“＜”． 解：以B 为顶点的角有3个，分别是∠ABC ，∠ABD ，∠DBC .2.角的度量与换算(1)角度制：以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制．(2)角度的换算：角的度量单位是度、分、秒，把一个周角360等分，每一份就是1度的角，记作1°；把1度的角60等分，每一份就是1分的角，记作1′；把1分的角60等分，每一份就是1秒的角，记作1″.谈重点 角度的换算 (1)度、分、秒的换算是60进制，与时间中的时、分、秒的换算相同；(2)角的度数的换算有两种方法：①由度化成度、分、秒的形式(即从高位向低位化)，用乘法，1°＝60′，1′＝60″；②由度、分、秒化成度的形式(即从低位向高位化),1″＝⎝⎛⎭⎫160′，1′＝⎝⎛⎭⎫160°，用除法．度及度、分、秒之间的转化必须逐级进行转化，“越级”转化容易出错．【例2】 (1)将70.23°用度、分、秒表示；(2)将26°48′36″用度表示．分析：(1)70.23°实际是70°＋0.23°，这里70°不要变，只要将0.23°化为分，然后再把所得的分中的小数部分化为秒．将0.23°化为分，只要用0.23乘以60′即可．(2)将26°48′36″用度表示，应先将36″化成分，然后再将分化成度就可以了．将36″化成分，可以用⎝⎛⎭⎫160′乘以36.解：(1)将0.23°化为分，可得0.23×60′＝13.8′，再把0.8′化为秒，得0.8×60″＝48″.所以70.23°＝70°13′48″.(2)把36″化成分，36″＝⎝⎛⎭⎫160′×36＝0.6′，48′＋0.6′＝48.6′，把48.6′化成度，48.6′＝⎝⎛⎭⎫160°×48.6＝0.81°. 所以26°48′36″＝26.81°.3．角的比较与运算(1)角的比较： ①度量法：用量角器量出角的度数，然后按照度数比较角的大小，度数大的角大，度数小的角小；反之，角大度数大，角小度数小． ②叠合法：把两个角的顶点和一边分别重合，另一边放在重合边的同旁，通过另一边的位置关系比较大小．解技巧 角的比较 ①在度量法中，注意三点：对中、重合、度数；②在叠合法中，要注意顶点重合，一边重合，另一边落在重合这边的同侧．(2)角的和差：角的和、差有两种意义，几何意义和代数意义．几何意义对于今后读图形语言有很大帮助，代数意义是今后角的运算的基础．①几何意义：如图所示，∠AOB 与∠BOC 的和是∠AOC ，表示为∠AOB ＋∠BOC ＝∠AOC ；∠AOC 与∠BOC 的差为∠AOB ，表示为∠AOC －∠BOC ＝∠AOB .②代数意义：如已知∠A ＝23°17′，∠B ＝40°50′，∠A ＋∠B 就可以像代数加减法一样计算，即∠A ＋∠B ＝23°17′＋40°50′＝64°7′，∠B －∠A ＝40°50′－23°17′＝17°33′.(3)角的平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．如图所示，射线OC 是∠AOB 的平分线，则有∠1＝∠2＝12∠AOB 或∠AOB ＝2∠1＝2∠2.警误区 角的平分线的理解 角的平分线是一条射线，不是线段，也不是直线，它必须满足下面的条件：①是从角的顶点引出的射线，且在角的内部；②把已知角分成了两个角，且这两个角相等．【例3】 如图所示，OE 平分∠BOC ，OD 平分∠AOC ，∠BOE ＝20°，∠AOD ＝40°，求∠DOE 的度数．解：∵OE平分∠BOC，∴∠BOE＝∠COE.∵OD平分∠AOC，∴∠AOD＝∠COD.又∵∠BOE＝20°，∠AOD＝40°，∴∠COE＝20°，∠COD＝40°.∴∠DOE＝∠COE＋∠COD＝20°＋40°＝60°.4．余角和补角(1)余角和补角的概念：①余角：如果两个角的和等于90°(直角)，就说这两个角互为余角，即其中一个角是另一个角的余角；②补角：如果两个角的和等于180°(平角)，就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角．(2)性质：余角的性质：同角(等角)的余角相等．用数学式子表示为：∠1＋∠2＝90°，∠3＋∠4＝90°，又因为∠2＝∠4，所以∠1＝∠3.补角的性质：同角(等角)的补角相等．用数学式子表示为：∠1＋∠2＝180°，∠3＋∠4＝180°，又因为∠2＝∠4，所以∠1＝∠3.(3)方位角：在航海、航空、测绘中，经常会用到一种角，它是表示方向的角，叫做方位角．通常以正北、正南方向为基准，描述物体运动的方向．通常要先写北或南，再写偏东还是偏西．警误区余角和补角的理解余角和补角是成对出现的，它们之间互相依存，只能说∠1的余角是∠2，∠2的余角是∠1，或者说∠1与∠2互余，而不能说∠1是余角．【例4】如图所示，直线AB，CD，EF相交于点O，且∠AOD＝90°，∠1＝40°，求∠2的度数．解：因为∠AOD＋∠AOC＝∠AOD＋∠BOD＝180°，所以∠AOD＝∠AOC＝∠BOD＝90°.又因为∠1＋∠FOC＝180°，∠DOF＋∠FOC＝180°，所以∠DOF＝∠1＝40°.所以∠2＝∠BOD－∠DOF＝90°－40°＝50°.5．运用整体思想解决角的计算问题整体思想就是根据问题的整体结构特征，不拘泥于部分而是从整体上去把握解决问题的一种重要的思想方法．整体思想突出对问题的整体结构的分析和改造，发现问题的整体结构特征，善于用“集成”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，把握它们之间的关联，进行有目的的、有意识的整体处理．整体思想方法在代数式的化简与求值、解方程、几何解证等方面都有广泛的应用，整体代入、整体运算、整体设元、整体处理、几何中的补形等都是整体思想方法在解数学问题中的具体运用．【例5】如图所示，∠AOB ＝90°，ON 是∠AOC 的平分线，OM 是∠BOC 的平分线，求∠MON 的大小．分析：解决问题的关键是把∠AOC －∠BOC 视为一个整体，代入求值．解：因为ON 是∠AOC 的平分线，OM 是∠BOC 的平分线，所以∠NOC ＝12∠AOC ，∠MOC ＝12∠BOC ， 所以∠MON ＝∠NOC －∠MOC ＝12∠AOC －12∠BOC ＝12(∠AOC －∠BOC )＝12∠AOB ＝12×90°＝45°. 6.钟表问题对于钟表问题要掌握基本的数量关系，如走一大格为30度，一小格为6度，分针每分钟转6度，时针每分钟转0.5度，分针是时针转速的12倍等．若已知具体时间，求时针与分针的夹角，只需知道它们相距的格数，便可求得；若是已知时针与分针的夹角求相应的时间，则一般需要建立方程求解．【例6】上午9点时，时针与分针成直角，那么下一次时针与分针成直角是什么时候？解：设经过x 分钟，时针与分针再次成直角，则时针转过(0.5x )°，分针转过(6x )°，如图所示，可列方程360－6x －(90－0.5x )＝90，解得x ＝32811.即过32811分钟，时针与分针再一次成直角．7.角中的实验操作题实验操作题是近年来悄然兴起的一种新形式的考题，它集阅读、作图、实验于一体，要求在规定的条件下进行实验，在动手操作中找出答案．这类题目主要是能画出整个过程中的状态示意图，进而求出点的转动角度．【例7】如图，把作图用的三角尺(含30°，60°的那块)从较长的直角边水平状态下开始，在平面上转动一周，求B 点转动的角度(在点的位置没有发生变化的情况下，一律看作点没有转动)．解：如图，从位置①到位置②，B 点转过90°；从位置②到位置③，B 点转过120°；从位置③到位置④，由题意B点看作不动．于是在整个过程中B点转过的角度为90°＋120°＝210°.8.归纳猜想在角的问题中的运用归纳猜想，是一种很重要的数学思想方法，数学史上的许多重要发现：如哥德巴赫猜想、四色猜想、角谷猜想、费马定理等都是由数学家的探究、猜想、总结而得到的．学习数学必须不断地去探索、猜想，不断地总结规律，才会有新发现．运用n(n－1)2这个式子，能解决很多类似的问题，能达到一石数鸟，这都是大家善于借鉴的结果．在学习过程中，注意不断总结、归纳规律，积累经验，运用总结出来的方法、技巧解决问题．【例8】(1)若在n个人的聚会上，每个人都要与另外所有的人握一次手，问握手总次数是多少？(2)如图①中共有多少条线段？如图②中共有多少个角(指小于平角的角)?解：(1)每个人可与另外(n－1)个人握一次手，n个人就有(n－1)·n次握手，其中各重复一次，所以，握手总次数是n(n－1)÷2次．(2)图①中每两个点构成一条线段(类似于两个人握一次手)，所以共有n(n－1)÷2条线段．图②中每条射线都与另外(n－1)条射线构成一个角(类似于握手)，所以共有n(n－1)÷2个角．9.方位角的应用(1)如图，画两条互相垂直的直线AB和CD相交于点O，其中一条为水平线，则图中四条射线所指方向就是东西南北四大方向，具体是：向上的射线OA表示正北方向，向下的射线OB表示正南方向，向右的射线OD表示正东方向，向左的射线OC表示正西方向．这四大方向简称为上北下南左西右东．建立这四条方向线后，对于点P，如果点P在射线OA上，则称点P在正北方向；如果点P在射线OB上，则称点P在正南方向；如果点P在射线OC上，则称点P在正西方向；如果点P在射线OD上，则称点P在正东方向．(2)在图中，东西和南北方向线把平面分成四个直角，如果点P在正北方向线OA与正东(或正西)方向线OD(或OC)的夹角内，且射线OP与正北方向线OA的夹角是m°，则称点P在北偏东(或西)m°方向；如果点P在正南方向线OB与正东(或正西)方向线OD(或OC)的夹角内，且射线OP与正南方向线OB的夹角为m°，则称点P在南偏东(或西)m°方向．例如图中的射线OA，OB，OC，OD分别称为：北偏东40°、北偏西65°、南偏西45°、南偏东20°.对于偏向45°的方位角，有时也可以说成东南(北)方向或西南(北)方向．如图中的OC，除了说成南偏西45°外，还可以说是西南方向，但不要说成南西方向．【例9】如图，OA的方向是北偏东15°，OB的方向是西偏北50°.(1)若∠AOC＝∠AOB，则OC的方向是________；(2)OD是OB的反向延长线，OD的方向是____；(3)∠BOD可看作是OB绕点O逆时针方向至OD，作∠BOD的平分线OE，OE的方向是____；(4)在(1)、(2)、(3)的条件下，∠COE＝____.解析：(1)∵OB的方向是西偏北50°，∴∠1＝90°－50°＝40°，∴∠AOB＝40°＋15°＝55°∵∠AOC＝∠AOB，∴∠AOC＝55°，∴∠FOC＝∠AOF＋∠AOC＝15°＋55°＝70°，∴OC的方向是北偏东70°.(2)∵OB的方向是西偏北50°，∴∠1＝40°，∴∠DOH＝40°，∴OD的方向是南偏东40°.(3)∵OE是∠BOD的平分线，∴∠DOE＝90°.∵∠DOH＝40°，∴∠HOE＝50°，∴OE的方向是南偏西50°.(4)∵∠AOF＝15°，∠AOC＝55°，∴∠COG＝90°－∠AOF－∠AOC＝90°－15°－55°＝20°.∵∠EOH＝50°，∠HOG＝90°，∴∠COE＝∠EOH＋∠HOG＋∠COG＝50°＋90°＋20°＝160°.答案：(1)北偏东70°(2)南偏东40°(3)南偏西50°(4)160°。
人教版七年级数学上册 6.3.1 角的概念 含动画PPT
合作探究 借助三角尺，我们可以画出30°，45°，60°，90°等特殊角，借助量角 器，可以画出任何给定度数(如36°，108°)的角.
考点解析
例3 如图6.3-5(1)，货轮O在航行过程中，发现灯塔A在它南__偏__东__ 600的方向上.同时， 在它北偏东 40°、南偏西 10°、西北(北偏西 45°)方向上又分别发现了客轮B、 货轮C和海岛D.仿照表示灯塔方位的方法，画出表示客轮 B、货轮 C和海岛D 方向的 射线.
自学导航 如图，能把∠α记作∠O吗？为什么？∠α还可以怎样表示呢？
不能把∠α记作∠O，因为以O为顶点的角不止一个. ∠α记还可以用∠AOB来表示.
合作探究 角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形.
合作探究 把一个周角360等分，每一份就是1度的角，记作1°；把1度的角60等分，每 一份叫做1分的角，记作1′；把1分的角60等分，每一份叫做1秒的角，记作 1″.
情境引入
情境引入
情境引入
情境引入
自学导航 我们已经了解了生活中“角”的形象，那么什么样的图形才是角呢？ 有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点， 这两条射线是角的两条边.
考点解析
重点
例1.下列关于角的说法正确的是( D )
A.由两条射线组成的图形叫做角
未强调“射线有公共端点”.
考点解析
难点
例4.(1)求上午10时30分，钟面上时针和分针的夹角； (2)在上午10时30分到11时之间，时针和分针何时成直角?
迁移应用
1.若分针指向12，时针这时恰好与分针成60°的角，则此时是( D )
A.9时
B.10时
C.4时或8时D.2时或源自0时2.如图，在9时30分，时钟的分针与时针所夹角的度数为( B )
新人教版初中数学七年级上学期《角》知识点讲解及例题解析
《角》知识讲解及例题解析【学习目标】1．掌握角的概念及角的表示方法，并能进行角度的互换；2. 借助三角尺画一些特殊角，掌握角大小的比较方法；3．会利用角平分线的意义进行有关表示或计算；4. 掌握角的和、差、倍、分关系，并会进行有关计算.【要点梳理】要点一、角的概念1．角的定义：（1）定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．如图1所示，角的顶点是点O，边是射线OA、OB．图1 图2（2）定义二：一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角的内部．如图2所示，射线OA绕它的端点O旋转到OB的位置时，形成的图形叫做角，起始位置OA是角的始边，终止位置OB是角的终边．要点诠释：（1）两条射线有公共端点，即角的顶点；角的边是射线；角的大小与角的两边的长短无关．（2）平角与周角：如图1所示射线OA绕点O旋转，当终止位置OB和起始位置OA成一条直线时，所形成的角叫做平角，如图2所示继续旋转，OB和OA重合时，所形成的角叫做周角．2.角的表示法：角的几何符号用“∠”表示，角的表示法通常有以下四种：要点诠释：用数字或小写希腊字母表示角时，要在靠近角的顶点处加上弧线，且注上阿拉伯数字或小写希腊字母．3.角的画法（1）用三角板可以画出30°、45°、60°、90°等特殊角．（2）用量角器可以画出任意给定度数的角．（3）利用尺规作图可以画一个角等于已知角．要点二、角度制及其换算角的度量单位是度、分、秒，把一个周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，1°的160为1分，记作“1′”，1′的160为1秒，记作“1″”．这种以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制．1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″．要点诠释：在进行有关度分秒的计算时，要按级进行，即分别按度、分、秒计算，不够减，不够除的要借位，从高一位借的单位要化为低位的单位后再进行运算，在相乘或相加时，当低位得数大于60时要向高一位进位．要点三、角的比较与运算1.角的比较角的大小比较与线段的大小比较相类似，方法有两种．方法1：度量比较法．先用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小．方法2：叠合比较法．把其中的一个角移到另一个角上作比较．如比较∠AOB和∠A′O′B′的大小：如下图，由图（1）可得∠AOB＜∠A′O′B′；由图(2)可得∠AOB ＝∠A′O′B′；由图(3)可得∠AOB＞∠A′O′B′．2.角的和、差运算如图所示，∠AOB是∠1与∠2的和，记作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB与∠2的差，记作：∠1＝∠AOB-∠2．要点诠释：(1)用量角器量角和画角的一般步骤：①对中(角的顶点与量角器的中心对齐)；②重合(一边与刻度尺上的零度线重合)；③读数(读出另一边所在线的度数)．(2) 利用三角板除了可以做出30°、45°、60°、90°外，根据角的和、差关系，还可以画出15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°的角．3.角平分线从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．如图所示，OC是∠AOB的角平分线，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC，∠AOC＝∠BOC =12∠AOB．要点诠释：由角平分线的概念产生的合情推理其思维框架与线段中点的思维框架一样．要点四、方位角在航行和测绘等工作中，经常要用到表示方向的角．例如，图中射线OA的方向是北偏东60°；射线OB的方向是南偏西30°．这里的“北偏东60°”和“南偏西30°”表示方向的角，就叫做方位角．要点诠释：（1）正东，正西，正南，正北4个方向不需要用角度来表示．（2）方位角必须以正北和正南方向作为“基准”，“北偏东60°”一般不说成“东偏北30°”．（3）在同一问题中观察点可能不止一个，在不同的观测点都要画出表示方向的“十字线”，确定其观察点的正东、正西、正南、正北的方向．（4）图中的点O是观测点，所有方向线(射线)都必须以O为端点．要点五、钟表上有关夹角问题钟表中共有12个大格，把周角12等分、每个大格对应30°的角，分针1分钟转6°，时针每小时转30°，时针1分钟转0.5°，利用这些关系，可帮助我们解决钟表中角度的计算问题．【典型例题】类型一、角的概念1. 利用一副三角板上的角，能画出多少个小于180°的角，试一一画出来．【思路点拨】首先发现一副三角板上有30°，45°，60°，90°这样4个不相等的角，利用这些角进行一次和差，可得小于180°的所有角．【答案与解析】解：除了可以画30°，45°，60°，90°外，还可画15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°的七个度数的角，画法如图所示．【总结升华】利用一副三角板共可以画出11个度数的角，分别是：30°，45°，60°，90°，15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°．举一反三：【变式】下列说法中，正确的是（）A．两条射线组成的图形叫做角B．有公共端点的两条线段组成的图形叫做角C．角可以看做是由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形D．角可以看做是由一条线段绕着它的端点旋转而形成的图形【答案】C．类型二、角度制的换算2. 计算下列各题：(1)152°49′12″+20.18°； (2)82°-36°42′15″；(3)35°36′47″×9； (4)41°37′÷3．【答案与解析】解：(1)解法一：∵ 20.18°＝20°10′48″即：152°49′12″+20.18°＝173°．解法二：∵ 152°49′12″＝152.82°，∴ 152.82°+20.18°＝173°．即：152°49′12″+20.18°＝173°．(2)将82°化为81°59′60″，则∴ 82°-36°42′15″＝45°17′45″．423″＝7′3″， 324′+7′＝5°31′，∴ 35°36′47″×9＝320°31′3″．∴ 41°37′÷3=13°52′20″．【总结升华】在角度的和、差运算中应先统一单位，都化成度或分、秒表示，然后进行计算；在进行乘法运算时，往往先把度、分、秒分别乘以倍数，将结果满60″进1′，满60′进1°；对于除法运算则是从度开始除，将余数化为分和以前的分数相加再除，将余数再化成秒和以前的秒数相加再除，若除不尽往往四舍五入．举一反三：【变式】计算：(1)23°45′36″+66°14′24″；(2)180°-98°24′30″；(3)15°50′42″×3； (4)88°14′48″÷4．【答案】(1)23°45′36″+66°14′24″＝90°；(2)180°-98°24′30″＝81°35′30″；(3)15°50′42″×3＝47°32′6″；(4)88°14′48″÷4＝22°3′42″．类型三、角的比较与运算3. 如图所示表示两块三角板．(1)用叠合法比较∠1，∠α，∠2的大小；(2)量出图中各角的度数，并把图中的6个角从小到大排列，然后用“＜”或“＝”连接．【答案与解析】解：(1)如图所示，把两块三角板叠在一起，可得∠1＞∠α，用同样的方法，可得∠α＜∠2．所以∠2＝∠1＞∠α．(2)用量角器量出图中各个角的度数，分别是∠1＝∠2＝45°，∠3＝90°，∠α＝30°，∠β＝60°，∠γ＝90°，把它们从小到大排列，有∠α＜∠1＝∠2＜∠β＜∠3＝∠γ．【总结升华】比较角的大小有叠合法和度量法两种：①先将两个角的顶点与顶点重合，一条边与一条边重合再比较．②先量出每个角的度数，然后按它们的度数来比较．举一反三：【变式】如图，∠AOB的平分线OM,ON为∠MOA内的一条射线，OG为∠AOB外的一条射线.某同学经过认真分析，得到一个关系式是∠MON＝12（∠BON－∠AON），你认为这个同学得到的关系式正确吗？若正确，请把得到这个结论的过程写出来.【答案】解：正确，理由如下：∵∠AOB的平分线OM，∴∠AOM＝∠MOB又∵∠MON＝∠AOM－∠AON=∠MOB－∠AON=(∠BON－∠MON) －∠AON 即有∠MON＝∠BON－∠MON －∠AON∴ 2∠MON＝∠BON－∠AON∴∠MON＝12（∠BON－∠AON）4. 如图，∠AOB=90°，∠AOC=30°，且OM平分∠BOC，ON平分∠AOC，（1）求∠MON的度数；（2）若∠AOB=α其他条件不变，求∠MON的度数；（3）若∠AOC=β（β为锐角）其他条件不变，求∠MON的度数；（4）从上面结果中看出有什么规律？【思路点拨】（1）要求∠MON，即求∠COM﹣∠CON，再根据角平分线的概念分别进行计算即可求得；（2）和（3）均根据（1）的计算方法进行推导即可．（4）根据（2）和（3）中的结论进行总结．【答案与解析】解：（1）∵∠AOB=90°，∠AOC=30°，∴∠BOC=120°∵OM平分∠BOC，ON平分∠AOC∴∠COM=60°，∠CON=15°∴∠MON=∠COM﹣∠CON=45°．（2）∵∠AOB=α，∠AOC=30°，∴∠BOC=α+30°∵OM平分∠BOC，ON平分∠AOC∴∠COM=+15°，∠CON=15°∴∠MON=∠COM﹣∠CON=．（3）∵∠AOB=90°，∠AOC=β，∴∠BOC=90°+β∵OM平分∠BOC，ON平分∠AOC∴∠COM=45°+，∠CON=．∴∠MON=∠COM ﹣∠CON=45°． （4）从上面的结果中，发现：∠MON 的大小只和∠AOB 得大小有关，与∠A0C 的大小无关．【总结升华】能够结合图形表示角之间的和差关系，根据角平分线的概念运用几何式子表示角之间的倍分关系．举一反三：【变式】如图，已知O 是直线AC 上一点，OD 平分∠AOB ，OE 在∠BOC 内，且∠BOE ＝12∠EOC ，∠DOE ＝70°，求∠EOC 的度数.【答案】解：设∠EOC=x °，则∠BOE ＝12∠EOC ＝12x °，根据题意可得：1180127022x xx --+= ，解得： 80x = .∠EOC ＝2∠BOE ＝80°. 类型四、方位角5.已知小岛A 位于基地O 的东南方向，货船B 位于基地O 的北偏东50°方向，那么∠AOB 的度数等于 ． 【答案】85°． 【解析】解：如图：∵∠2=50°，∴∠3=40°， ∵∠1=45°，∴∠AOB=∠1+∠3=45°+40°=85°， 故答案为：85°．【总结升华】本题主要考查了方位角的概念，根据方位角的概念，画图正确表示出A ，B 的方位，注意东南方向是45度是解答此题的关键． 类型五、钟表上有关夹角问题6. 在7时到7时10分之间的什么时刻，时针与分针成一条直线? 【答案与解析】解：设7时x 分钟，时针与分针成一条直线，由题意得：16302x x -=，5511x =． 答：7时5511分钟时针与分针成一条直线．【总结升华】时钟上的分针与时针绕着中心顺时针均匀转动，在不同时刻，两针之间形成一定的角度．如果把单位时间分针和时针转过的度数当作它们的速度则： ① 分针的速度为36060＝6°/分；②时针的速度为3060°分＝0.5°/分． 故分针速度是时针速度的12倍． 举一反三：【变式】某人下午6点多外出购物，表上的时针和分针的夹角恰为110°，下午7点前回家时，发现表上的时针和分针的夹角又是110°，试算出此人外出用了多长时间? 【答案】解：设此人外出用了x 分钟，则分针转了6x 度，时针转了0.5x 度．根据题意得：6x-0.5x ＝110×2，解之得x ＝40． 答：此人外出购物用了40分钟的时间．。
人教版初中七年级上册数学《角》精品课件
定义
把一个周角360等分，每一 份就是1度的角，记作1°；
把1度的角60等分，每一份 叫做1分的角，记作1′；
把1分的角60等分，每一份 叫做1秒的角，记作1″.
问题 什么叫角度制？角的度量单位之间是 如何换算的？
用度（°）、分（′）、秒（″）来测量角的 大小的制度叫做角度制.角的度量单位使用 60进制换算.1°=60′，1′ =60″.
4.3 角 4.3.1 角
R·七年级上册
新课导入
角是一种基本的几何图形，生活中处处有 “角”．
这节课我们将在已有的知识基础上，对角 作进一步的研究．
（1）明确角的意义及其表示方法. （2）知道角的度量单位，会进行简单的单位换算. （3）了解生产和生活中测量角的方法和相关工具， 会用量角器量角的大小.
1.老师引导学生归纳本课知识点。 2.师生共同反思学习心得。
Байду номын сангаас科书本课课后习题第一题。完 成后同桌之间相互订正
强化练习
1.如图. a.若用三个大写字母表示角， 则∠1可以表示为 ∠AOB， ∠2可以表示为 ∠COD . b.∠BOC能写作∠O吗？为什么？
不能，因为以O为顶点的角不止一个. c.图中有多少个角？试分别表示出来. ∠1,∠2，∠BOC,∠AOC,∠BOD,∠AOD
知识点2 角的度量
问题 角的度量单位有哪些？它们又是如何 定义的？
推进新课
知识点1 角的定义及表示方法 问题 根据你的理解，如何定义一个角？
边
顶点
边
a 有公共端点的两条射线组成的图形叫做角.
问题 你还能从其他角度给角下定义吗？ 终边
始边 b 角可以看作是由一条射线绕着它的端点旋转
6.3.1角的概念 课件(共35张PPT) 初中数学人教版(2024)七年级上册
图例 A
O
B
用一个大写 字母表示
O
用数字表示
1
用希腊字母 表示
记法
方法解读
字母O表示顶点，要写在中 间，A，B表示角的两边上 的点，用该表示法可以表 示任何一个角。
当以某一个字母表示的点为 顶点的角只有一个时，可以 用这个顶点的字母来表示
在靠近角的顶点处加上 弧线，并标上数字或希 腊字母。该表示法形象 直观
巩固练习
1、下列图形是角吗？
2、判断题： （1）两条射线组成的图形叫角。 （2）角的大小与边的长短无关。 （3）角的两边是两条射线。
总结
定义
图例
组成元素
“静” 态的观
点
“动” 态的观
点
有公共端点的
边
两条射线组成
的图形叫做角 顶点
边
角可以看作由 一条射线绕着 它的端点旋转 而形成的图形。
终边 始边
因此，54.26°= 54°15′36″.
例3 .把45°25′48″化成度．
解：45°25′48″ =45°+25′+48×(610)' =45°+25.8' =45°+25.8×(610)° =45.43°
巩固练习
例2：填空 ① 1小时= 60分， 1分= 60 秒. ② 3.3小时= 3 小时 18 分， 2小时30分= 2.5 小时. ③ 1°= 60 ′，1′= 60 ″. ④ 0.75°= 45 ′= 2700 ″， ⑤ 1800″= 0.5 °，39°36′= 39.6 °.
向两端 无限延 伸
0个
不可 度量
射线
·
A
B· l
1.射线AB 2.射线l
(2024秋季新教材)人教版数学七年级上册6.3.1角的概念 课件(共30张PPT)
新知探究 知识点1 角的概念
例1 给出下列说法：①两条射线组成的图形是角；②将一条线 段绕它的一个端点旋转得到的图形是角；③把一个角放在放大镜 下观察，角的度数不变；④平角是一条直线，周角是一条射线.其
∠α的度数是48度56分37秒， 记作：∠α=48°56′37″.
角的度、分、秒是60进制，这和计量 时间的时、分、秒是一样的.
新知探究 知识点3 角的度量和换算
以度、分、秒为单位的角的度量制，叫作角度制. 此外，还有其他度量角的单位制. 例如，以后将要学到的以弧度为基本度量单位的弧度制， 在军事上经常使用的角的密位制，等等.
我们常用量角器量角，度、分、秒是常用的角的度量单位. 如图，把一个周角360等分，每一份就是1度的角，记作1°； 把1度的角60等分，每一份叫作1分的角，记作1′； 把1分的角60等分，每一份叫作1秒的角， 记作1″.
1周角＝ 360 °；1平角＝ 180°.
1°＝ 60′；1′＝ 60″.
新知探究 知识点3 角的度量和换算
O
始边 A
如果射线OB继续旋转，还会形成什么角呢？
新知探究 知识点1 角的概念
一条射线绕它的端点旋转，当终边和始边成一条直线时， 所成的角叫作平角.
B
O
A
当终边又和始边重合时，所成的角叫作周角.
O
A (B)
新知探究 知识点1 角的概念 归纳：角的概念 (1)静态：角由两条具有公共端点的射线组成. (2)动态：角也可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的.
七年级上角度知识点
七年级上角度知识点角度是代数学和几何学中非常重要的概念，而在七年级的学习中，我们将初步接触到这个概念。
本文将为大家介绍七年级上角度知识点，让我们一起来看看吧！1. 角的概念角是由两条射线共同端点而成的图形。
共同端点被称为角的顶点，两条射线则被称为角的边。
角的大小用角度来表示，常用单位为度（°）。
2. 角度的表示方法角度可以通过角的度数来表示，也可以用弧度来表示。
角的度数是按照顺时针或逆时针方向旋转的程度来度量的。
一圈为360°，半圈为180°，取决于它旋转的方向。
弧度则是按照半径长为1的圆片段所对应的圆心角来度量的。
一圈为2π弧度，半圈为π弧度。
3. 角的分类根据角的大小，角可以被分为三类：锐角、直角和钝角。
锐角指角的大小小于90°，直角指大小为90°的角，而钝角则指大小大于90°的角。
4. 角的度数换算在角的度数换算中，我们需要掌握以下内容：4.1 角度到弧度的转换一个角的弧度数等于它的度数乘以π除以180°。
例如：45°的角度对应的弧度数为：45°×π/180°=π/4。
4.2 弧度到角度的转换一个角的度数等于它的弧度数乘以180°除以π。
例如：π/3的弧度对应的角度数为：π/3×180°/π=60°。
5. 角的运算在角的运算中，需要掌握以下内容：5.1 角的加减运算两角的加减运算是指将两个角分别以它们自己顶点处的一条公共边为平分线，把它们相邻的边（无需平行）组合在一起。
如果两个角的大小相等，则得到它们的和，否则得到它们的差。
5.2 角的乘法在角的乘法中，我们需要用到同角的正弦、余弦和正切等三条比例公式，它们分别表示：sinθ=对边/斜边，cosθ=邻边/斜边，tanθ=对边/邻边。
6. 角的应用举例角的概念和运算在数学中有着广泛的应用，下面举两个例子：6.1 三角函数三角函数是角的函数，其中最常用的函数包括正弦、余弦和正切。
人教版七年级数学上册教学课件4. 角
4.根据结构来梳理。按照情节的开端 、发展 、高潮 和结局 来划分 文章层 次,进而 梳理情 节。
5.根据场景来梳理。一般一个场景可 以梳理 为一个 情节。 小说中 的场景 就是不 同时间 人物活 动的场 所。
6.根据线索来梳理。抓住线索是把握 小说故 事发展 的关键 。线索 有单线 和双线 两种。 双线一 般分明 线和暗 线。高 考考查 的小说 往往较 简单,线 索也一 般是单 线式。
二、角的表示方法
（1）用三个大写字母表示.
A
如图，图中的角可以表示为
∠AOB 或∠BOA
O B
读作“角AOB”或“角BOA”
注意: 顶点的字母必须写在中间。
（2）角也可用一个大写字母表示。 如图，图中的角可以表示为∠O O
注意: 这个大写字母必须写在顶点处， 它只适 用于顶点处只有一个角。
（3）用一个数字加弧线表示或
7.阅历之所以会对读书所得产生深浅 有别的 影响， 原因在 于阅读 并非是 对作品 的简单 再现， 而是一 个积极 主动的 再创造 过程， 人生的 经历与 生活的 经验都 会参与 进来。
8.少年时阅历不够丰富，洞察力、理 解力有 所欠缺 ，所以 在读书 时往往 容易只 看其中 一点或 几点， 对书中 蕴含的 丰富意 义难以 全面把 握。
DD
1
2
CC
EE
三、角的度量
度、分、秒
量角器
把一个周角360等分，每一份就是1度,记作 1
把1 的角等分成60份，每一份就是1分,记作 1
把1 的角等分成60份，每一份就是1秒,记作 1
即： 1°＝
′；1′＝
″.
角的换算
例1:用度、分、秒表示48.32°
（基本程序:把不足1°的化成分，把不足 1′的化成秒)
七年级数学角知识点人教版
七年级数学角知识点人教版数学是一门基础性极强的学科，角的概念和运算是其重要构成部分。
在七年级数学中，角的知识点是非常重要的，本文将为您简单阐述七年级数学角知识点人教版的相关内容，以期帮助您更好地掌握这一知识点。
一、角的概念
角是由两条射线（或直线段）共同端点形成的几何图形。
通常用字母"∠"表示，如∠ABC、∠A。
角的度量单位是度，常用符号是"°"。
二、角的分类
按角的大小，角可以分为3个类别：锐角、直角和钝角。
锐角的角度小于90度，直角等于90度，钝角的角度大于90度。
方向相同，大小不同的角叫做同向角；大小相同，方向不同的角叫做对顶角；相邻的两个角互为补角，其和为90度。
三、角的运算
1、角的加减法：∠A + ∠B = ∠C
2、角的度数：角度的度数是衡量角大小的标准单位，一个整
圆的角大小为360度。
3、同向角和对顶角的关系：同向角互为补角且对顶角相等。
四、角的相关概念
1、角的平分线：角的平分线是指将一个角平分为两个相等的
角的射线，该射线被称为角的平分线。
平分线始于顶点。
2、角度量角法：角度量角法是指通过量角器等器具来测定角
的大小。
3、直角三角形和三角函数：直角三角形是以一个直角为一端，其他两个端点分别与直角相对的三角形。
三角函数指以三角形边
长比值为基础，定义正弦、余弦和正切等函数。
以上是七年级数学角知识点人教版的相关内容，希望本文能够帮助您更好地掌握这一知识点。
不断学习，不断进步，愿您能在数学的道路上走得更加稳健、更加成功。
七年级数学上册-4.3角课件人教版
注：（1）用数字或小写希腊字母不能表示超过一个以上的角； （2）用一个大写英文字母也不能表示超过一个以上的角；（3） 用三个大写字母表示角时，一定要把顶点字母写在中间，边上 的字母写在两侧。
3、角的简单性质 （1）角的大小与边的长短无关，只与构成角的边的两条射线 张开的幅度大小有关。
角
1、角的概念 （1）有公共端点的两条射线组成的图形叫做角。这个公共端 点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的边。
（2）角也可以看作是一条射线绕着端点的起始位置旋转到终 止位置所组成的图形。
（3）射线旋转时经过的平面部分称为角的内部，平面其余部 分称为角的外部。 （4）平角与周角。 注：如无特殊说明，角都指没有旋转到成为平角时所成的角。
示方向较大小，可参与运算。 4、角的比较方法 （1）度量法 （2）叠合法 5、角的和、差 6、角平分线
（1）定义：一条射线把一个角分成两个相等的角，这条 射线叫做这个叫角的平分线。
（2）画法 7、角的度量单位及换算 8、互余、互补
9、用角度表示方向 一般以正北、正南为基准，向东或向西旋转的角度来表
人教版数学七年级上册角的概念
A D
射线 OA绕点O 旋转，当终点位置OC和起始位置OA 成一直线时，所成的角叫做平角; 继续旋转，回到起始位置OA时,所成的角叫做周角。
说明：在不做特别说明的情况下，我们 说的角都指不大于平角的角.
判断正误： （1）两条射线组成的图形叫做角； （2）两条具有公共点的射线叫做角； （3）角是由一条射线旋转而成的；
A
B
∠∠A1MA2 ∠A2MA1 ∠M
A1
∠FAC ∠CAF ∠A
C
图中有几个角？你能把它们表示出来吗？
A
312
O
C B
答：∠AOB、∠1 （ ∠ ）、 ∠2（ ∠ ）
把图中的角表示成下列情势，哪些正确，
哪些不正确？
C
A
P
MO
（1）∠MPC （2）∠AOP （3）APO （4）∠OAP （5）∠O （6） ∠P
Ａ
Ｄ
Ｂ
Ｃ
找出图中的所有角（不计平角） 并把它表示出来：
Ｍ
Ａ
Ｎ
Ｂ
Ｃ
找出图中的所有角（不计平角） 并把它表示出来：
Ｄ
Ｃ
Ｏ
Ａ
Ｂ
逛一逛
• 如图是江南长城的几 个景点。
• （1）请用字母分别表 示图中的每个景点；
• （2）请用字母表示以 每一个景点为中心的 另两个风景点之间的 夹角。
A 龙兴寺
B
崇和门
C揽胜门
念
概
的
角
角的定义
什么是角呢? 生活中有许多与角有关的实例,视察 下图,你能指出图中的角吗?
角是由两条具有公共端点的射线组成的图形。
射边线
公共端点
顶点
射边线
1.角的定义： 有公共端点的两条射线组成的图形叫做角
数学人教版七年级上册角的认识、表示方法及角度制
数学人教版七年级上册角的认识、表示方法及角度制《角》教学设计教学目标:1.通过丰富的实例,帮助学生理解角的形成,建立几何中角的概念,掌握角的两种定义形式、三种表示方法以及角度制和角度的转换.2.通过在图片、实例中找角,培养学生的观察、探究、抽象、概括的能力以及把实际问题转化为数学问题的能力.教学重点:角的概念与角的表示方法.教学难点:角度的换算教学过程:一、提出问题展示实物(如屋顶、圆规、时钟等),播放多媒体课件.1.观察实物与图片,你发现其中有什么相同几何图形吗?2.你能把观察得到的图形画在本子上或黑板上吗?这是一些什么图形?3.从黑板上这些不同的图形中,你能归纳出它们的共同特点吗?二、探究新知(一)角的概念1.在学生充分发表自己对角的认识的基础上,师生共同归纳得出:有公共端点的两条射线组成的图形叫做角.这个公共端点是角的顶点,这两条射线是角的两条边.（角的静态定义）2、演示：通过扫动手电筒发出的光，引导学生得出角的动态定义：角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转面形成的图形。
继续演示:当射线OA绕点O旋转时,当终止位置OB和起始位置OA成一条线时,会形成什么角?继续旋转,当OB和OA重合时,又形成什么角?3.小组交流:说说生活中的角.分组活动:先独立思考,然后小组内互相交流并做记录,最后各组选派代表发言.(二)角的表示在刚才的讨论中,我们发现了生活中有许多角的形象.那么,我们如何给这些角取名呢?1.大写字母表示法：通常用三个大写字母及符号“∠”表示.三个大写字母应分别为顶点和两边上的任意点,顶点的字母必须写在中间.如∠AOB,“O”表示顶点,“A、B”表示两边上的任意一点，可以用∠BOA表示.当顶点引出的射线只有两条时，还可以用一个大写字母表示，如∠O.2. 阿拉伯数字表示法：在角的内部靠近角的顶点处画一弧线,在弧边标记上1、2、3等阿拉伯数字，记做∠1.注意事项是，先要在要表示的角上用弧线标出，弧线范围内只有一个角。
人教版数学七年级上册《角》教学课件
顶点 边
角的表示方法
记法1：用三个大写英文字母表示； 记作：∠AOB 或∠BOA（表示顶点的字母 O 写在中间.
O
A B
可以写成∠ABO 或∠BAO 吗？
当顶点处只有一个角时，也可以用一 个大写英文字母表示，记作：∠O.
记法2：用一个小写希腊字母表示； 记作：∠α
α
记法3：用一个数字表示； 记作：∠1.
解：1.45° = (1.45×60)' = 87'， 87' = (87×60)" = 5220".
(2) 1800'' = _____3_0____' = ____0_._5____°； 解：1800"÷60 = 30'， 30'÷60 = 0.5°.
随堂练习
1. 6时整，钟表的时针和分钟构成多少度的角？8时呢？8时30分呢？
2. 根据图中信息填写下表，将表中的角用其他方法表示出来.
表示方法1 ∠1 ∠2
∠3
∠B
∠4
∠D
表示方法2 ∠CAD ∠ACB ∠BAC ∠ABC ∠ACD ∠ADC
A1 3
B
D
4
2
C
课堂小结
定义
静态定义：有公共端点的两条射线组成的图形 叫做角.
动态定义：角是由一条射线绕着它的端点旋转 而形成的图形.
1
思考
A
如图，能把∠α记作∠O吗？为什么？∠α还
B
可以怎样表示呢？
α
β
O
C
不能.在顶点处只有一个角的时候，才可只
用顶点的一个字母来记这个角.
∠α还可表示为∠AOB.
方法
三个大写
角 七年级数学上册教学课件(人教版)
知识点三
【例1】度分秒的互化
角的度量
典例精讲
(1)57.32°= 57 ° 12 ′ 19 ″；(2)17°6′36″= 17.11 °.
(1)57.32=57+0.32×60′=57+19.2′=5719′+0.2×60″=5719′12″
(2)176′36″=17+6′+
36 60
′=17+6.6′=17+
人教版七年级(上)数学教学课件
第4章 几何图形初步
4.3 角
4.3.1 角
情境导入 探究新知 知识归纳 典例精讲 当堂训练
温故知新
角
情境导入
观察左边的实物，你发现这些实物能抽象出什么样的共同形象？ ——角
01
知识要点
Байду номын сангаас
02
03
角的定义 角的表示方法
角的度量
精讲精练
知识点一
角的定义
要点归纳
角的有关概念 1.静态定义：有公共端点的两条射线组成的图形,叫做角.
(注意必须把顶点字母放在中间)
或用一个大写字母表示,如：∠O ；
【思考】如图,还能把∠AOB记作∠O吗？为什么？
1
α
O
当两个或两个以上的角共同一个顶点时,不能用
B
一个大写字母表示. 用数字或希腊
2.用一个数字表示,如∠1；
字母表示角时, 一定要在图形
3.用小写希腊字母表示,如∠α.
中用角弧标出.
知识点二
A
·
P
O
B
图①
D· A
·
B
C
E
图②
查漏补缺
人教七年级数学上册《角的概念和度量》课件(17张ppt)
4、角的符 号和一个 小写希腊 字母表示。
你会了吗？？？
1、你能用不同的方法 表示图（1）
的各个角吗？
A
B
O
a 2
E
Oa
C
图1
C
图2
A
2、图2中，下列表示角的方法错误的为
（ D ） (A)∠AOB (B) ∠BOC
(C) ∠a (D) ∠O
3、把图3中的角表示成下列形式：
(1)∠APO，(2)∠AOP ,(3) ∠OPC ， (4)∠O，(5)∠COP ，(6)∠P,(7) ∠a
北
A
30º
西O
东
南
练习：学校、电影院、公园在平面图上的位
置分别是A、B、C，电影院在学校的正东 方向，公园在学校的南偏西25°方向，那
么平面图上的∠CAB等于（
）。
A. A115°
C. 25°
B. 155° D. 65°
生活在线
度、分、秒是常用的角的度量单位， 1°=60′，1′=60″。类似于时间单位中的1 小时=60分，1分=60秒。这种六十进制，最早 起源于四大文明古国之一的古代巴比伦。为什 么选择60作为进位制的基数呢？据说是由于60 这个数是许多简单数2、3、4、5、6、10、12 、15、20、30的倍数，60=12×5，12是一年中 的月数，5是一只手的手指数，所以古代巴比 伦人认为60是一个很特别而又很重要的数。
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
4.3.1角的认识
1、角的概念
有公共端点的两条射线组成的图形。 （静态）
由一条射线绕着它的端点旋转而成的 图形。（动态）
终边
O
始边
七年级上册数学角度知识点
七年级上册数学角度知识点七年级上册数学：角度知识点一、角度的概念在平面直角坐标系内，从一条射线沿逆时针方向旋转到另一条射线所夹的空间部分称为角。
角分为两种：内角和外角。
内角是射线之间的角度，而外角是一条射线与延长线组成的角度。
二、角度的度量单位角的度量单位包括度、弧度和梯度。
其中，度是最为常见的角度单位。
以圆心为顶点，过圆上两点作出两条射线，所夹的角度为一度。
一个圆周一共有360度。
三、角度的标记方法使用拉丁字母小写a、b、c等来表示角。
同时，也可以使用角符号来标记角，如∠ABC表示以点B为顶点，线段BA和线段BC为两条边的角ABC。
四、角度的性质1.锐角的度数是小于90度的，长边小于直角三角形中的斜边。
2.钝角的度数是大于90度的，长边大于直角三角形中的斜边。
3.直角的度数是90度，两条边相互垂直。
4.互补角之和为90度，补角为互补角之差。
5.邻角互补的角称为补角，邻角补角的和为180度。
6.同位角是两条平行线被截出的对应角，它们的度数相等。
五、角度的计算1.加减法如果两个角是平角、直角或是补角，可以通过相加或相减计算出它们的度数。
2.乘法在一个圆周中，一半圆的角度是180度，所以一个圆的角度是360度。
因此，可以通过乘法计算出一个角的度数。
举个例子，如果一个角的度数是30度，那么这个角占了圆周的1/12，也就是1/12 × 360 = 30度。
3.除法根据圆周角的概念可知，全角为360度，半角为180度，1/4角为90度，1/3角为120度等。
因此，可以通过除法计算出一个角度的比例。
六、角度的应用角度在各个领域都有着广泛的应用，如地理领域中的方位角、三角函数中的弧度、物理领域中的作用力和矢量等。
在生活中，人们也经常会使用到角度，例如：从某一地方出发，行驶一段距离后，需要转角到前进的方向上等。
总之，角度是数学中一个非常基本的概念，在各个领域都有非常广泛的应用。
熟练掌握角度知识点，可以帮助我们更好地理解和解决各种数学问题。
七上数学知识点归纳总结角
七上数学知识点归纳总结角角是数学中的一个基本概念，它在我们的生活中无处不在。
在数学的世界里，角是两条射线的夹角，可以用来描述物体之间的关系以及运动的方向等。
本文将以七上数学的知识点为基础，归纳总结角的相关知识，帮助读者更好地理解和运用角的概念。
一、角的定义和表示方法角是由两条射线共同围成的图形，其中一条射线称为角的边，另一条射线称为角的腿。
角的大小可以用角度来度量，角度是以度为单位的。
通常用符号∠ABC来表示一个角，其中A、B、C分别表示角的顶点、边、腿。
二、角的分类和特点根据角的大小，我们可以将角分为三类：锐角、直角和钝角。
1. 锐角：角的度数小于90°，如30°、45°等。
锐角的特点是两条射线的夹角比较小，形状类似于一个尖角。
2. 直角：角的度数等于90°，如90°。
直角的特点是两条射线正好垂直相交，形状类似于一个正方形的角。
3. 钝角：角的度数大于90°但小于180°，如120°、150°等。
钝角的特点是两条射线的夹角比较大，形状类似于一个钝角。
三、角的运算和性质1. 角的加法：两个角的度数相加得到它们的和角。
例如，∠ABC和∠BCD的和角是∠ABD，其度数等于∠ABC的度数加上∠BCD的度数。
2. 角的减法：一个角减去另一个角得到它们的差角。
例如，∠ABD 减去∠BCD得到∠ABC，其度数等于∠ABD的度数减去∠BCD的度数。
3. 互补角和补角：两个角的度数加起来等于90°的角称为互补角，两个角的度数加起来等于180°的角称为补角。
四、角的度数和角度制与弧度制的转换角度制是我们常用的度量角的方法，其中360°等于一圈。
弧度制是另一种度量角的方法，其中2π弧度等于一圈。
要将角度制转换为弧度制，可以使用下面的公式：弧度 = (角度×π) / 180要将弧度制转换为角度制，可以使用下面的公式：角度 = (弧度× 180) / π五、角的平分线和垂直平分线1. 角的平分线：一条射线可以将一个角分成两个相等的角，这条射线称为角的平分线。
人教版七年级数学上《角》知识全解
《角》知识全解课标要求理解角的形成与角的概念,掌握角的两种定义形式与四种表示方法及角的度量．知识结构静态描述1.定义动态描述一个大写字母三个大写字母角 2.表示方法一个阿拉伯数字一个希腊字母3. 角的度量单位：度、分、秒1 =60'，1'=60''内容解析1.角的定义（角是一种基本几何图形）（1）有两条射线（边）公共端点（顶点）（2）由一条射线围绕它的端点旋转而成（形成了平角、周角）.2. 角的表示方法（1）在顶点处只有一个角时，可以用角的顶点的一个大写字母来记这个角.（2）用三个大写字母可以表示任意一个角，但表示顶点的大写字母必须写在中间，其它两个字母写在两旁，可以交换.（3）用一个小写希腊字母表示，在靠近角的顶点处加弧线；并在弧线旁注上希腊字母.（4）用一个阿拉伯数字表示，其方法与用一个小写希腊字母来表示一样.3. 角的度量度、分、秒是常用的度量单位，以60为进制.重点难点重点:角的概念与角的表示方法与角的度量难点:正确理解角的概念教法导引本节是在回忆小学学过的角的基础上,进一步举出生活中角的实例,以学生熟悉的钟表的时针和分针组成的图形为背景,自然的引入角的概念和表示问题,既可以激发学生的学习兴趣,又可体现角的丰富背景.因此,可以采取师生互动的方法,既可以活跃课堂气氛，又可以让学生体会到数学是来源于生活的.在认识角的基础上,那么应该怎么给角取名呢?从而总结出角的四种表示方法,结合练习巩固角的符号的同时,研究角的单位换算。
学法建议角思路要点紧扣概念时钟的角度1.有公共端点的两条射线组成的图形叫做角；2.角也可看作是由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形.1.度、分、秒互化：160︒'=，160=′″2. 时钟每大格夹角30°，每小格夹角6°，分针每分钟旋转6°，时针每分钟旋转0.5°判别应用方法方法。
人教版七年级数学上册4.角
D．21°32′24″
3．(1)27°14′24″＝ 27.24 °；
(2)7200″＝ 120 ′＝ 2 °.
4．任意画一个∠AOB，在∠AOB 的内部引射线 OC， OD，这时图中共有几个角？分别把它们表示出来． 解：如图所示． 这时图中共有 6 个角，分别是 ∠BOD，∠BOC，∠BOA，∠DOC， ∠DOA，∠COA.
(2)用度表示37°24′36″. 分析：根据度分秒之间60进制的关系计算． 解：(2)根据1°＝60′，1′＝60″得36″÷60＝0.6′， 24.6′÷60＝0.41°，所以37°24′36″用度来表示为 37.41°.
方法点拨：用度、分、秒表示的角度和用度表 示的角度的相互转化的过程正好相反：大单位 化小单位，乘以进率60；而小单位化大单位要 除以进率60.
知识要点2 角的度量与换算
角的度量单位：度、分、秒，记作°、′、″.
角的换算：1°＝
60பைடு நூலகம்
′，1′＝60
″，1′＝
1 60
°，1″＝
1 60
′.
1周角＝360°，1周角＝2平角＝4直角．
1平角＝180°，1平角＝2直角．
例 (1)用度、分、秒表示48.26°； 分析：度、分、秒是常用的角的度量单位．根据 1度＝60分，即1°＝60′，1分＝60秒，即1′＝60″， 把大单位化成小单位乘以60即可； 解：(1)48.26°＝48°＋0.26×60′＝48°＋15.6′＝ 48°15′＋0.6×60″＝48°15′36″；
知识要点1 角的定义及表示方法
角
内容
静态：有公共端点 的两条 射线 所组成的图形．动
定义 态：由一条射线绕着它的 端点 旋转 而成的图形.
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《角》教学设计
教学目标:
1.通过丰富的实例,帮助学生理解角的形成,建立几何中角的概念,掌握角的两种定义形式、三种表示方法以及角度制和角度的转换.
2.通过在图片、实例中找角,培养学生的观察、探究、抽象、概括的能力以及把实际问题转化为数学问题的能力.
教学重点:角的概念与角的表示方法.
教学难点:角度的换算
教学过程:
一、提出问题
展示实物(如屋顶、圆规、时钟等),播放多媒体课件.
1.观察实物与图片,你发现其中有什么相同几何图形吗?
2.你能把观察得到的图形画在本子上或黑板上吗?这是一些什么图形?
3.从黑板上这些不同的图形中,你能归纳出它们的共同特点吗?
二、探究新知
(一)角的概念
1.在学生充分发表自己对角的认识的基础上,师生共同归纳得出:有公共端点的两条射线组成的图形叫做角.这个公共端点是角的顶点,这两条射线是角的两条边.（角的静态定义）
2、演示：通过扫动手电筒发出的光，引导学生得出角的动态定义：角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转面形成的图形。
继续演示:当射线OA绕点O旋转时,当终止位置OB和起始位置OA成一条线时,会形成什么角?继续旋转,当OB和OA重合时,又形成什么角?
3.小组交流:说说生活中的角.
分组活动:先独立思考,然后小组内互相交流并做记录,最后各组选派代表发言.
(二)角的表示
在刚才的讨论中,我们发现了生活中有许多角的形象.那么,我们如何给这些角取名呢?
1.大写字母表示法：通常用三个大写字母及符号“∠”表示.三个大写字母应分别为顶点和两边上的任意点,顶点的字母必须写在中间.如∠AOB,“O”表示顶点,“A、B”表示两边上的任意一点，可以用∠BOA表示.当顶点引出的射线只有两条时，还可以用一个大写字母表示，如∠O.
2. 阿拉伯数字表示法：在角的内部靠近角的顶点处画一弧线,在弧边标记上1、2、3等阿拉伯数字，记做∠1.注意事项是，先要在要表示的角上用弧线标出，弧线范围内只有一个角。
3. 希腊字母表示法：类似阿拉伯数字表示法，在角的内部靠近角的顶点处画一弧线,在弧边标记上α、β、γ等希腊字母，
记做∠α注意事项是，先要在要表示的角上用弧线标出，弧线范围内只有一个角。
(三)角度制
我们常用量角器量角.在量角器中看到,把一个平角180等分,每一份就是1度的角.请同学们在练习本上画出1度的角(可请几位学生上台板演).
在实际生活中,有时还需要更精密的角度.因此我们把1度的角60等分,每份就是1分的角,记作1';把1分的角60等分,每份就是1秒的角,记作1″.
归纳:以度、分、秒为单位的角的度量制叫做角度制.
想一想:角度进位制和其他什么进位制相类似?(时间进位制)
三、效果检测:
1. 下列关于角的叙述正确的是（）
A、角是由两条射线组成的图形
B、平角是一条直线
C、周角是一个圆
D、把一条射线绕端点旋转所形成的图形叫角
2、判断下面各角的表示方法是否正确.
3. 完成已下各题
4、一周角=（360）°一平角=（180）°
72°=（4320 ） ' =（25960） "
40°30 ' =（2430） ' 1800"=(0.5)°
6点整，钟表的时针和分钟构成（ 180）度的角；8点时，构成（120）度的角。
∠α的度数是123度9分45秒，记作（123°9 '45 "）
四、提高练习
38°15 ' 和38.15°相等吗？如不相等，哪一个大？
五、课堂小结
1、角的两种定义
2、角的三种表示方法
3、角度制和角度的转化
六、布置课后作业。