巧求最值问题八种方法

如何求“最值”问题

求最大值与最小值是中学数学常见的一种题型，在数学竞赛中作为一个靓点大量存在，解这类题有一定的难度和技巧,所以不少同学为之感叹，这里向大家介绍一些求最值问题的方法与技巧。

一、 利用配方求最值

例１:若x,y 是实数，则19993322+--+-y x y xy x 的最小值是 。

分析:由于是二次多项式,难以直接用完全平方公式,所以用配方法来解更为简捷。 原式=

1990)96(2

1)96(21)2(212222++-++-++-y y x x y xy x ＝1990)3(21)3(21)(21222+-+-+-y x y x 显然有 （ｘ－ｙ)2≥0, (ｘ-3）2≥０， (ｙ-３）2≥0,

所以 当x －y ＝0,x-３=0,y-３=０时 ,得x=ｙ=3时， 代数式的值最小,最小是1990; 例2，设ｘ为实数，求y ＝312-+-x

x x 的最小值。 分析：由于此函数只有一个未知数,容易想到配方法,但要注意只有一个完全平方式完不成，因此要考虑用两个平方完全平方式，并使两个完个平方式中的ｘ取值相同。由于ｙ=121122--+++-x x x x =1)1()1(22--+-x

x x ，要求y 的最小值，必须有x －1＝０,且01

=-x x ，解得x ＝1，

于是当x ＝1时，ｙ=312-+

-x x x 的最小值是-1。 二、 利用重要不等式求最值

例3:若xy ＝1，那么代数式4

4411y x +的最小值是 。 分析：已知两数积为定值，求两数平方和的最小值，可考虑用不等式的性质来解此题，44411y x +＝2

222222)(121·1·2)21()1(xy y x y x =≥+=1 所以:4

4411y x +的最小值是1 三、 构造方程求最值

例4:已知实数a 、b 、c 满足：a+b+c ＝2, ａｂc ＝4．求a 、ｂ、c 中的最大者的最小值. 分析:此例字母较多，由已知可联想到用根与系数的关系,构造方程来解。

解:设c 为最大者，由已知可知,c>０， 得:a+ｂ=2-ｃ, ａb ＝c 4,则a 、b 可以看作04)2(2=+--c x c x 的两根，因为 a 、b 是实数,所以04·4)2(2≥--c c ,即0164423≥-+-c c c , 0)4)(2)(2(≥--+c c c ，得,42≥≤c c 或因为c 是最大者,所以c 的最小值是4.

四、 构造图形求最值

例５：使16)8(422+-++x x 取最小值的实数x 的值为 .

分析:用一般方法很难求出代数式的最值,由于16)8(422+-++x x

=2

222)40()8()20()0(-+-+-+-x x ,于是可构造图形，转化为:在x 轴上求一点c(x,0),使它到两点A(0，2)和B （8，4)的距离和C Ａ+ＣＢ最小，利用对称可求出C 点坐标,这样，通过构造图形使问题迎刃而解。

解：16)8(422+-++x x

=2222)40()8()20()0(-+-+-+-x x .

于是构造如图所示。作A （0，2）关于ｘ轴的

对称点Ａ′(0,-2),,令直线Ａ′B 的解析式为y=kx+b, 则⎩⎨⎧=+-=+8820b k b k 解得⎪⎩⎪⎨⎧-==2

43b k

所以24

3-=x y ,令y=0,得38=x . 即C 点的坐标是，x x ，　x 有最小值时所以当16)8(43

8),0,38(22+-++= 五、利用判别式求最值

例6：:求y ＝1

556322++++x x x x 的最小值 解：去分母可以整理出关于x 的一元二次方程,

0)102()122()6(2=-+---y x y x y ，因为x 为实数,所以△≥0

得:4≤x ≤6,解得,故ｙ的最小值是4

六、消元思想求最值

例7:已知a 、b 、c 为整数,且ａ+b=2006,c －a=2005，a

分析由题：由于是求三个未知数的最大值,设法将其转化成一个未知数的形式,由题设可得b=2006－a,ｃ=2０05+a ，将其代入原式得：

a+b ＋ｃ=a ＋20０6－ａ+20０5+ａ=4011+a

又a+b=20０6,ａ、b 均为整数，ａ

所以当a=100２时,a ＋b ＋c 的最大值是40１1+1002=501３．

七、利用数的整除性求最值

例８：已知a 、b 为正整数,关于x 的方程022

=+-b ax x 的两个实数根 21、x x ,关于y 的方程022=++b ay y 两个实数根为21、y y ,且满足,20082211=-y x 、y x 求b 的最小值。（《数学周报》杯2００8年全国初中数学竞试题）

分析与解:因为方程022=+-b ax x 与022

=++b ay y 有实根,所以有： 04)2(2≥-b a ,即b a ≥2,由根与系数的关系,得：

b x x

a x x ==+2121,2;

b y y a y y ==+2121,2 即⎩⎨⎧--=-+-=+-=-=+)

)(()()()(22121212121x x y y x x x x a y y

解得:11122221

y x y x y x y x =-=-⎧⎧⎨⎨=-=-⎩⎩或 把12,y y 的值分别代入，20082221=-y x y x 得

2008)()(2211=---x x x x ,或2008)()(1221=---x x x x （不成立） 即22212008x x -=,2121()()2008x x x x +-=

因为0,022121>=>=+b x x a x x 所以0,021>>　x x

于是有 20084422=-b a a 即251250212⨯=⨯=-b a a 因为a,ｂ都是正整数,所以

2222221505225150212514

a a a a a

b a b a b a b ====⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨-=-=-=-=⎩⎩⎩⎩或或或 分别解得:2222150222511502502122512514a a a a b b b b ====⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨=-=-=-=-⎩⎩⎩⎩或或或 经检验只有:22502

25150212514a a b b ==⎧⎧⎨⎨=-=-⎩⎩，　符合题意. 所以ｂ的最小值为：2251462997b =-最小值＝

八、利用函数的增减性求最值

例9：设21、x x 是方程0232422

2=-++-m m mx x 的两个实根，当m 为何值时，