数学实验第6次作业_线性规划
数学建模作业实验线性规划实验模板

数学建模作业(实验3线性规划实验)基本实验1.生产计划安排某公司使用三种操作装配三种玩具——玩具火车、玩具卡车和玩具汽车。
对于三种操作可用时间限制分别是每天430分钟、460分钟和420分钟, 玩具火车、玩具卡车和玩具汽车的单位收入分别是3美元、2美元和5美元。
每辆玩具火车在三种操作的装配时间分别是1分钟, 3分钟和1分钟。
每辆玩具卡车和每辆玩具汽车相应的时间是( 2, 0, 4) 和( 1, 2, 0) 分钟( 零时间表示不使用该项操作) 。
( 1) 将问题建立成一个线性规划模型, 确定最优的生产方案。
( 2) 对于操作1, 假定超过它当前每天430分钟能力的任何附加时间必须依靠每小时50美元的加班获得。
每小时成本包括劳动力和机器运行费两个方面。
对于操作1, 使用加班在经济上有利吗? 如果有利, 最多加多少时间?( 3) 假定操作2的操作员已同意每天加班工作两小时, 加班费是45美元一小时。
还有, 操作自身的成本是一小时10美元。
这项活动对于每天收入的实际结果是什么?( 4) 操作3需要加班时间吗?解答解:设生产玩具火车、玩具卡车和玩具汽车的数量分别为X1, X2, X3, 则目标函数为:3X1+2X2+5X3约束条件:X1+2X2+X3<=4303X1+2X3<=460X1+4X2<=420X1>=0; X2>=0; X3>=0最优值为目标函数取得最大。
LINGO程序max=3*x1+2*x2+5*x3;x1+2*x2+x3<=430;3*x1+2*x3<=460;x1+4*x2<=420;运行结果Globaloptimalsolutionfound.Objectivevalue:1350.000Infeasibilities:0.000000Totalsolveriterations:2ModelClass:LPTotalvariables:3Nonlinearvariables:0Integervariables:0Totalconstraints:4Nonlinearconstraints:0Totalnonzeros:10Nonlinearnonzeros:0VariableValueReducedCostX10.0000004.000000X2100.00000.000000X3230.00000.000000RowSlackorSurplusDualPrice11350.0001.00000020.0000001.00000030.0000002.000000420.000000.000000( 1) 由运行结果可得, 最优的生产方案为:玩具火车、玩具卡车和玩具汽车的生产数量分别为: 0、100、230; 收入为1350.( 2) 由DualPrice第二行可知, 当操作1每增加1分钟收入增加1美元, 因此50/60<1, 使用加班在经济上是有利的; Rangesinwhichthebasisisunchanged: ObjectiveCoefficientRanges:CurrentAllowableAllowable VariableCoefficientIncreaseDecreaseX13.0000004.000000INFINITYX22.0000008.0000002.000000X35.000000INFINITY2.666667RighthandSideRanges:CurrentAllowableAllowableRowRHSIncreaseDecrease2430.000010.00000200.00003460.0000400.000020.000004420.0000INFINITY20.00000分析可知, 最多增加10分钟。
数学建模实验报告线性规划.doc

数学建模实验报告线性规划数学建模实验报告姓名:霍妮娜班级:计算机95学号:09055093指导老师:戴永红提交日期:5月15日一.线性规划问题描述:某厂生产甲乙两种口味的饮料,每百箱甲饮料需用原料6千克,工人10名,可获利10万元;每百箱乙饮料需用原料5千克,工人级大学生正在从若干个招聘单位中挑选合适的工作岗位,他考虑的主要因素包括发展前景、经济收入、单位信誉、地理位置等,试建立模型给他提出决策建议。
问题分析首先经过对问题的具体情况了解后,建立层次结构模型,进而进行决策分析。
下面我建立这样一个层次结构模型:某岗位综合分数发展前景x1经济收入x2家庭因素x3地理位置x4这是一个比较简单的层次结构模型,经过如下步骤就可以将问题解决。
1.成对比较从x1,x2,x3,x4中任取xi和xj,对他们对于y贡献的大小,按照以下标度给xi/xj赋值:xi/xj=1,认为前者与后者贡献程度相同;xi/xj=3,前者比后者的贡献程度略大;xi/xj=5,前者比后者的贡献程度大;xi/xj=7,前者比后者的贡献大很多;xi/xj=9,前者的贡献非常大,以至于后者根本不能和它相提并论;xi/xj=2n,n=1,2,3,4,认为xi/xj介于2n-1和2n+1直接。
xj/xi=1/n,n=1,2,…,9,当且仅当xi/xj=n。
2.建立逆对称矩阵记已得所有xi/xj,i,j=1,2,3,4,建立n阶方阵1135A=11351/31/3131/51/51/313.迭代e0=(1/n,1/n,1/n,1/n)Tek=Aek-1一直迭代直达到极限e=(a1,a2,…,a4)T则权系数可取Wi=ai 解:首先通过迭代法计算得x1,x2,x3,x4的权数分别为:0.278,0.278,0.235,0.209.假设对所有的xi都采用十分制,现假设有三家招聘公司,它们的个指标如下所示:x1x2x3x4甲8579乙7966丙5798按公式分别求出甲、乙、丙三家公司的综合指数为7.144,7.112和7.123.由此可以看出,应该选择甲公司。
数学建模线性规划和整数规划实验

1、线性规划和整数规划实验1、加工奶制品的生产计划(1)一奶制品加工厂用牛奶生产A1, A2两种奶制品,1桶牛奶可以在甲车间用12小时加工成3千克A1产品,或者在乙车间用8小时加工成4千克A2 产品.根据市场需求,生产的A1、A2产品全部能售出,且每千克A1产品获利24元,每千克A2产品获利16元.现在加工厂每天能得到50桶牛奶的供应,每天正式工人总的劳动时间为480小时,并且甲车间的设备每天至多能加工100 千克A1产品,乙车间的设备的加工能力可以认为没有上限限制.试为该厂制订一个生产计划,使每天获利最大,并进一步讨论以下3个附加问题: (i)若用35元可以买到1桶牛奶,是否应作这项投资?若投资,每天最多购买多少桶牛奶?(ii)若可以聘用临时工人以增加劳动时间,付给临时工人的工资最多是每小时几元?(iii)由于市场需求变化,每千克A1产品的获利增加到30元,是否应改变生产计划?(2)进一步,为增加工厂获利,开发奶制品深加工技术.用2小时和3元加工费,可将1千克A1加工成0.8千克高级奶制品B1,也可将1千克A2加工成0.75千克高级奶制品B2,每千克B1可获44元,每千克B2可获32元.试为该厂制订一个生产销售计划,使每天获利最大,并进一步讨论以下问题:(i)若投资30元可增加供应1桶牛奶,投资3元可增加1小时劳动时间,是否应作这项投资?若每天投资150元,或赚回多少?(ii)每千克高级奶制品B1, B2的获利经常有10%的波动,对制订的生产销售计划有无影响?若每千克B1的获利下降10%,计划是否应作调整?解:由已知可得1桶牛奶,在甲车间经过十二小时加工完成可生产3千克的A1,利润为72元;在乙车间经八小时加工完成可生产四千克的A2,利润为64元。
利用lingo软件,编写如下程序:model:max=24*3*x1+16*4*x2;s.t.12*x1+8*x2≤480;x1+x2≤50;3*x1≤100;X1≥0,x2≥0end求解结果及灵敏度分析为:Objective value: 3360.000Total solver iterations: 2Variable Value Reduced CostX1 20.00000 0.000000X2 30.00000 0.000000Row Slack or Surplus Dual Price1 3360.000 1.0000002 0.000000 2.0000003 0.000000 48.000004 40.00000 0.000000Objective Coefficient RangesCurrent Allowable Allowable Variable Coefficient Increase DecreaseX1 72.00000 24.00000 8.000000X2 64.00000 8.000000 16.00000Righthand Side RangesRow Current Allowable AllowableRHS Increase Decrease2 480.0000 53.33333 80.000003 50.00000 10.00000 6.6666674 100.0000 INFINITY 40.00000 分析结果:1)从结果可以看出在供应甲车间20桶、乙车间30桶的条件下,获利可以达到最大3360元。
线性规划

矿物质(g)
维生素(mg)
0.1
0.05
0.05
0.1
0.02
0.02
0.2
0.2
0.05
0.08
希望建立数学模型,既能满足动物需要,又使总成 本最低的饲料配方
模型
饲料 符号 A1 x1 A2 x2 A3 x3 A4 x4 A5 x5
约 l2 : 12x1 8x2 480 束 12x1 8x2 480 l4 条 3x1 100 l3 : 3x1 100 件 c l4 : x1 0, l5 : x2 0 x1 , x2 0 目标 函数
l1 : x1 x2 50
x2 A
l1 B l2 C Z=3600 l3
线性规划问题的数学模型的一般形式
( 1)列出约束条件及目标函数 (2)画出约束条件所表示的可行域 (3)在可行域内求目标函数的最优解及最优值
线性规划问题的标准形式
{
max y=cTx s.t. Ax=b x≥0
求解方法: (1)单纯形法 (2)软件求解:Lindo, Lingo, matlab,sas
RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED: OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE X1 X2 ROW 72.000000 24.000000 8.000000
Max z 72x1 64x2
z=c (常数) ~等值线
0
l5
Z=0
x1 D Z=2400
线性规划问题

线性规划问题一、线性规划问题的基本概念先看几个典型实例 例1 生产计划问题某工厂拥有a 、b 两种原材料生产A 、B 两种产品,现有设备使用限量为8台时,已知每件产品的利润、所需设备台时及原材料的消耗如下表所示:试问:在计划期内应如何安排计划才能使工厂获得的利润最大?解 设x 1、x 2分别表示在计划期内产品A 、B 的产量,则所用设备的有效台时必须满足x 1+2x 2≤8同样,由原材料的限量,可以得到4x 1≤16,4x 2≤12因此,生产计划就是满足如下约束条件的一组变量x 1、x 2的值:x1+2x 2≤8, 4x 1≤16,4x 2≤12, x 1≥0,x 2≥0显然,可行的生产计划有限多个,现在问题就是要在很多个可行计划中找一个利润最大的,即求一组变量x 1、x 2的值,使它满足约束条件,并使目标函数L=2x 1+3x 2的值最大(即利润最大)例2 资金分配问题某商店拥有100万元资金,准备经营A 、B 、C 三种商品,其中A 商品有A 1、A 2两种型号,B 商品有B 1、B 2两种型号,每种商品的利润率如下表所示:在经营中有以下限制:(1)经营A 或B 的资金各自都不能超过总资金的50%; (2)经营C 的资金不能少于经营B 的资金的25%; (3)经营A 2的资金不能超过经营A 的总资金的60%; 试问应怎样安排资金的使用才能使利润最大?解 设经营A 1、A 2、B 1、B 2、C 的资金分别为x 1,x 2,x 3,x 4,x 5(万元),这一问题的数学模型为求一组变量x 1、x 2,…,x 5的值,使它满足 x 1+x 2+…+x 5=100, x 1+x 2≤50, x 3+x 4≤50,025x 3+0.25x 4-x 5≤0 0.6x 1-0.4x 2≥0,x j ≥0 (j=1,2, (5)并使目标函数L=0.073x 1+0.103x 2+0.064x 4+0.075x 4+0.045x 5的值最大(利润最大)上面我们建立了几个实际问题的数学模型,虽然实际问题各不相同,但是它们的数学模型却有相同的数学形式,这就是:表示约束条件的数学式子都是线性等式或线性不等式,表示问题最优化指标的目标函数都是线性函数,因为约束条件和目标函数都是线性的,所以把具有这种模型的问题称为线性规划问题。
数学实验第6次作业_线性规划

线性规划一实验目的1 掌握用MATLAB优化工具箱和LINGO解线性规划的方法;2 联系建立实际问题的线性规划模型。
二实验内容1 某银行经理计划用一笔资金进行有价证券的投资,可供购进的证券以及其信用等级、到期年限、收益如下表所示。
按照规定,市政证券的收益可以免税,其他证券的收益需要按50%的税率纳税。
此外还有以下限制:证券名称证券种类信用等级到期年限/年到期税前收益/%B代办机构215 5.4C政府14 5.0D政府13 4.4(1)政府以及代办机构的证券总共至少要购进400万元;(2)所购证券的平均信用等级不超过1.4(信用等级数字越小,信用程度越高);(3)所购证券的平均到期年限不超过5年。
问:(1) 若该经理有1000万元资金,应该如何投资?(2) 如果能够以2.75%的利率借到不超过100万元的资金,该经理应该如何操作?(3) 在1000万元的资金情况下,若证券A的税前收益增加为4.5%,投资应该如何改变?若证券C的税前收益减少为4.8%,投资应该如何改变?初步解决:(1) 首先确定决策变量,设投资五种证券的资金分别为x1、x2、x3、x4、x5(单位:万元)。
由于我们的目的是要使该经理投资所得的利润最大,再考虑到部分收益的纳税,所以可以构建以下目标函数:Max z=0.043x1+0.054x2×0.5+0.05x3×0.5+0.044x4×0.5+0.045x5然后来分析题目所给的约束条件由投资总金额为1000万元可得:x1+x2+x3+x4+x5≤1000由政府以及代办机构的证券总共至少要购进400万元可得:x2+x3+x4≥400由所购证券的平均信用等级不超过1.4可得:2x1+2x2+x3+x4+5x5x1+x2+x3+x4+x5≤1.4化简可得:6x1+6x2−4x3−4x4+36x5≤0由所购证券的平均到期年限不超过5年可得:9x1+15x2+4x3+3x4+2x5x1+x2+x3+x4+x5≤5化简可得:4x1+10x2−x3−2x4−3x5≤0非负约束条件:x1、x2、x3、x4、x5≥0将所得模型化为标准形,得到:c=−[0.043,0.027,0.025,0.022,0.045]A=[1110−1−111−10 66−4410−1−436−2−3]b=[1000,−400,0,0]然后在MATLAB中解决问题。
MATLAB实验之线性规划问题求解

封面作者:PanHongliang仅供个人学习桂林电子科技大学数学与计算科学学院实验报告实验室:实验日期:年月日x附录Ⅱ综合性、设计性实验报告格式桂林电子科技大学数学与计算科学学院综合性、设计性实验报告版权申明本文部分内容,包括文字、图片、以及设计等在网上搜集整理。
版权为潘宏亮个人所有This article includes some parts, including text, pictures, and design. Copyright is Pan Hongliang's personal ownership.用户可将本文的内容或服务用于个人学习、研究或欣赏,以及其他非商业性或非盈利性用途,但同时应遵守著作权法及其他相关法律的规定,不得侵犯本网站及相关权利人的合法权利。
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典型的整数线性规划问题

小型 中型 大型
现有量
钢材(吨)
1.5
3
5
600
劳动时间(小时) 280
250
400
60000
利润(万元)
2
3
4
• 制订月生产计划,使工厂的利润最大。
• 如果生产某一类型汽车,则至少要生产80辆,
那么最优的生产计划应作何改变?
汽车厂生产计划
模型建立
设每月生产小、中、大型 汽车的数量分别为x1, x2, x3
模型建立
令xj表示对第j个发展项目的投资数量
n
Max z cj x j j 1 n
s. t. a j xj b j 1
xj 0或1(j=1,2, ,n)
整数 线性 规划 0-1 模型
(IP)
整数线性规划及0-1规划
例1 汽车厂生产计划
汽车厂生产三种类型的汽车,已知各类型每辆车对钢 材、劳动时间的需求,利润及工厂每月的现有量。
方法3:化为非线性规划
x1=0 或 80
x1(x1 80) 0
x2=0 或 80
x2 (x2 80) 0
x3=0 或 80
x3 (x3 80) 0
非线性规划(Non- Linear Programming,简记NLP)
NLP 虽 然 可 用 现 成 的 数 学 软 件 求 解 ( 如 LINGO, MATLAB),但是其结果常依赖于初值的选择。
丙 1’18” 1’07”8 1’24”6 59”4
丁 1’10” 1’14”2 1’09”6 57”2
戊 1’07”4 1’11” 1’23”8 1’02”4
讨论 丁蛙泳c43 =69.675.2,戊自由泳c54=62.4
matlab线性规划实验报告心得

matlab线性规划实验报告心得大学数学实验对于我们来说是一门陌生的学科。
大学数学实验作为一门新兴的数学课程在近十年来取得了迅速的发展。
数学实验以计算机技术和数学软件为载体,将数学建模Q的思想和方法融入其中,现在已经成为一种潮流。
刚开始时学大学数学实验的时候我都有一种恐惧感,因为对于它都是陌生的,虽然在学数值分析时接触过MATLAB,但那只是皮毛。
大学数学实验才让我真正了解到了这门学科,真正学到了MATLAB的使用方法,并且对数学建模有了一定的了解。
MATLAB 在各个领域均有应用,作为数学系的学生对于MATLAB解决数学问题的能力相当震惊,真是太强大了。
数学实验这门课让我学到了很多东西,收获丰硕。
第一节课我了解到了数学实验的一些基本发展史和一些基本知识。
通过这学期的学习,学完这门课,让我知道了原来数学与实际生活连接的是这么紧密,许多问题都可以借助数学的方法去解决。
对于一些实际问题,我们可以建立数学模型,把问题简化,然后运用一些数学工具和方法去解决。
大学数学实验我们学习了MATLAB的编程方法,虽然仅仅只有一种软件,可是整本书可用分的数学知识一点都不少,比如插值、拟合、微积分、线性代数、概率论与数理统计等等,现在终于知道课本上的知识如何用于实际问题了,真可谓应用十分广泛。
刚开始我对MATLAB很陌生,感觉这个软件很难,以为它就像C语言一样难学,而且这个软件都是英文原版,对于我这种英语很烂的人来说真是种噩梦。
但是经过一段时间的学习后感觉其实并没有想象中的那么可怕,感觉很好玩。
我觉得学好这门课需要做到以下几点:多运用matlab编写、调试程序。
对于不懂得程序要尽量搞清楚问题出在哪。
3、与同学课下多多交流,课上多请教老师。
数学建模-线性规划实验

3 线性规划实验3.1实验目的与要求●学会建立线性规划模型●学会LINGO软件的基本使用方法,求解线性规划问题●学会对线性规划问题进行灵敏度分析,以及影子价格的意义3.2基本实验1.生产计划安排与灵敏度分析解:(1)假设最后总生产得到的Ⅰ型产品为x1kg,Ⅱ型产品为x2kg,那么它们必须同时满足以下条件:Max Z=130x1+400x2-100(x1+x2/0.33)x1+(x2)/0.33≤902x1+3(x2)/0.33≤200x2≤40LINGO程序:Max =130*x1+400*x2-100*(x1+x2/0.33);x1+x2/0.33<=90;2*x1+3*x2/0.33<=200;x2<=40;结果:Global optimalsolutionfound.Objective value:2740.000Infeasibilities: 0.000000Total solver iterations:3ModelClass:LPTotal variables: 2Nonlinear variables: 0Integer variables: 0Total constraints: 4Nonlinear constraints: 0Total nonzeros:7Nonlinear nonzeros:0VariableValue Reduced CostX170.000000.000000X2 6.6000000.000000Row Slack orSurplus Dual Price1 2740.0001.00000020.00000026.000003 0.0000002.000000433.40000 0.000000即:最优的方案是Ⅰ型产品为70kg,Ⅱ型产品为6.6kg。
(2)Max Z=130x1+400x2-100(x1+x2/0.33)x1+(x2)/0.33≤872x1+3(x2)/0.33≤200x2≤40LINGO程序:Max=130*x1+400*x2-100*(x1+x2/0.33);x1+x2/0.33<=87;2*x1+3*x2/0.33<=200;x2<=40;结果:Variable Value Reduced CostX1 61.00000 0.000000X28.580000 0.000000Row Slack or Surplus Dual Price1 2662.000 1.00000020.000000 26.000003 0.000000 2.000000431.420000.000000那么公司得到的利润为:2662元(3)如果产品Ⅱ的销售价格变为395元/千克,最优解没有变化。
运筹学实验总结

运筹学实验总结引言:运筹学是一门综合了数学、经济学和工程学等多学科知识的学科,它通过建立数学模型和运用各种优化方法,帮助我们在现实问题中寻找最优解决方案。
在这学期的运筹学课程中,我们进行了一系列实验。
这些实验不仅加深了对运筹学理论的理解,还提供了一种应用运筹学方法解决问题的实践平台。
在本文中,我将总结我参与的运筹学实验,并分享我的体会和收获。
实验一:线性规划问题求解在这个实验中,我们学习了线性规划的基本概念和求解方法。
我选择了一个典型的生产调度问题作为实验题目。
通过建立数学模型,并运用线性规划软件,我成功地解决了这个问题。
通过这个实验,我深刻理解了线性规划问题的本质,以及如何利用线性规划方法找到最优解。
实验二:整数规划问题求解整数规划是线性规划的扩展,它在决策问题中更加实用。
在这个实验中,我选择了货物配送路线问题作为研究对象。
通过构建整数规划模型,并运用求解软件,我得到了最佳的货物配送方案。
这个实验不仅对我的数学建模能力提出了要求,还培养了我的实际问题解决能力。
实验三:动态规划动态规划是一种重要的优化方法,它广泛应用于最优化问题的求解。
在这个实验中,我们学习了动态规划的基本原理和设计思想。
我选择了旅行商问题作为研究对象,通过建立递推关系和寻找最优子结构,我成功地解决了该问题。
这个实验让我意识到了动态规划方法的强大威力,同时也对我的算法设计能力提出了更高的要求。
实验四:模拟退火算法模拟退火算法是一种全局搜索优化算法,具有很强的应用能力。
在这个实验中,我选择了旅行商问题作为研究对象,通过模拟退火算法的迭代和优化,我得到了一个较好的解。
通过这个实验,我掌握了模拟退火算法的基本原理和实现过程,也了解到了算法的优越性。
实验五:遗传算法遗传算法是一种模拟自然选择和遗传机制的优化算法。
在这个实验中,我选择了装箱问题作为研究对象。
通过运用遗传算法的交叉、变异和适应度选择,我得到了一个较好的装箱方案。
这个实验不仅对我的算法设计能力提出了更高的要求,还让我意识到了遗传算法的创新性和解决复杂问题的能力。
线性规划实验

实验一:线性规划实验1. 求解线性规划问题123451234512345min 23523..2342330,1,2,,5j f x x x x x s t x x x x x x x x x x x j =++++⎧⎪++++≥⎪⎨-+++≥⎪⎪≥=⎩2. 农场种植计划问题某农场Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ等耕地的面积分别为100km 2、300 km 2和200 km 2,计划种植水稻、大豆和玉米,要求三种作物的最低收获量分别为190000kg 、130000kg 和350000kg 。
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ等耕地种植三种作物的单产如表1所示。
若三种作物的售价分别为水稻1.20元/kg ,大豆1.50元/kg ,玉米0.80元/kg 。
那么:(1)如何制定种植计划,才能使总产量最大? (2)如何制定种植计划,才能使总产值最大?23. 厂址选择问题考虑A 、B 、C 三地,每地都出产一定数量的原料,也消耗一定数量的产品,如表2所示。
已知制成每吨产品需3吨原料,各地之间的距离为:A-B ,150km ;A-C ,100km ;B-C ,200km 。
假定每万吨原料运输1km 的运价是5000元,每万吨产品运输1km的运价是6000元。
由于地区条件的差异,在不同地点设厂的生产费用也不同。
问究竟在哪些地方设厂,规模多大,才能使总费用最小?另外,由于其他条件限制,在B 处建厂的规模(生产的产品数量)不能超过5万吨。
表2 A 、B 、C 三地出产原料、消耗产品情况表4. 生产计划问题某机床厂生产甲、乙两种机床,每台销售后的利润分别为4000元与3000元。
生产甲机床需用A 、B 机器加工,加工时间分别为每台2小时和1小时;生产乙机床需用A 、B 、C 三种机器加工,加工时间为每台各1小时。
若每天可用于加工的机器时数分别为A 机器10小时、B 机器8小时和C 机器7小时。
问该厂应生产甲、乙机床各几台,才能使总利润最大?5. 军事方案问题某战略轰炸机群奉命摧毁敌人军事目标。
数学实验线性规划

32
第32页,本讲稿共67页
加工奶制品的生产计划
1桶 牛奶 或
12小时 8小时
3公斤A1 4公斤A2
获利24元/公斤 获利16元/公斤
决策变量 目标函数
约束条件
x1桶牛奶生产A1 获利 24×3x1
x2桶牛奶生产A2
获利 16×4 x2
每天获利
Mz a7 xx1 26x4 2
原料供应 劳动时间 加工能力 非负约束
2、运输问题;
特点:从若干可能的计划(方案)中寻求某种意义下的
最优方案,数学上将这种问题称为最优化问题( optimization).
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12
第12页,本讲稿共67页
优化问题的表述
最优化是企业运作、科技研发和工程设计中常见的问题。 要表述一个最优化问题(即建立数学模型),应明
明确三样东西:决策变量、约束条件 和目标函数. 决策变量:它们是决策者(你)所控制的那些数量,它们取什么数值需要 决策者来决策,最优化问题的求解就是找出决策变量的最优取值。
a1
a2
…
ai
…
a7
s1
s2
si
s7
C11
C12
Ci,j
C1j
C1,15
…
…
A1
A2
Aj
A15
b1
b2
bj
b15
7 15
min
cij xij
i1 j 1
15
s.t.
xij ai, i1,2,...,7
j1
7
xij bj
i1
j1,2,...,15
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x ij 0 ,i 1 , 7 , j 1 , ,1 5
Matlab数学规划方法及实验题目

MATLAB数学规划问题(实验题目及答案在最后)一、线性规划线性规划问题是目标函数和约束条件均为线性函数的问题,MATLAB6.0及更高版本解决的线性规划问题的标准形式为:min n R',f∈xxsub.to:b⋅A≤x⋅Aeq=xbeq≤lb≤xub其中f、x、b、beq、lb、ub为向量,A、Aeq为矩阵。
其它形式的线性规划问题都可经过适当变换化为此标准形式。
在MATLAB6.0版中,线性规划问题(Linear Programming)已用函数linprog取代了MATLAB5.x版中的lp函数。
在6.0和7.0中依然可以使用lp 函数,但在更高版本中,就只能使用linprog函数了。
函数linprog调用格式:x=linprog(f,A,b)x=linprog(f,A,b,Aeq,beq)- 1 -- 1 -x=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub) x=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0) x=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options) [x,fval]=linprog(…)[x, fval, exitflag]=linprog(…) [x, fval, exitflag, output]=linprog(…)[x, fval, exitflag, output, lambda]=linprog(…) 说明:x=linprog(f, A, b) %求min f ' *x, sub.to b x A ≤⋅线性规划的最优解。
返回值x 为最优解向量。
x=linprog(f, A, b, Aeq, beq) %含有等式约束beq x Aeq =⋅,若没有不等式约束b x A ≤⋅,则令A=[ ],b=[ ]。
x = linprog(f, A, b, Aeq, beq, lb, ub) %指定x 的范围ub x lb ≤≤ x=linprog(f, A, b, Aeq, beq, lb, ub, x0) %设置x0为初值点。
运筹学实验报告(一)线性规划问题的计算机求解

运筹学实验报告实验课程:运筹学实验日期: 2020年4月4日任课教师:杨小康班级:数学1802 姓名:王超学号:2501180224一、实验名称: 简单线性规划模型的求解与Lingo软件的初步使用二、实验目的:了解Lingo软件的基本功能和简单线性规划模型的求解的输入和输出结果。
熟悉Lingo 软件在运筹学模型求解中的作用,增强自身的动手能力,提高实际应用能力三、实验要求:1、熟悉Lingo软件的用户环境,了解Lingo软件的一般命令2、给出Lingo中的输入,能理解Solution Report中输出的四个部分的结果。
4、能给出最优解和最优值;5、能给出实际问题的数学模型,并利用lingo求出最优解四、报告正文(文挡,数据,模型,程序,图形):1.在Lingo中求解下面的线性规划数学模型;(1)12132412512345 max2543..28,,,,0z x xx xx xs tx x xx x x x x=++=⎧⎪+=⎪⎨++=⎪⎪≥⎩(2)12121212max2343..28,0z x xxxs tx xx x=+≤⎧⎪≤⎪⎨+≤⎪⎪≥⎩(3)12121212max243..28,0z x xxxs tx xx x=+≤⎧⎪≤⎪⎨+≤⎪⎪≥⎩(4)12121212max324 ..3,0z x xx xs t x xx x=+-≤⎧⎪-+≤⎨⎪≥⎩(5)1212121212max102401.530.50,0z x xx xx xs tx xx x=++≤⎧⎪+≤⎪⎨+≥⎪⎪≥⎩2、某工厂利用三种原料生产五种产品,其有关数据如下表。
原料可利用数(千克)每万件产品所用材料数(千克)A B C D E甲10 1 2 1 0 1 乙24 1 0 1 3 2 丙21 1 2 2 2 2 每万件产品的利润(万元)8 20 10 20 21 (l)建立该问题的运筹学模型。
(2)利用lingo 软件求出最优解,得出最优生产计划解:(1)设xi(i=1,2...,5)为所用材料生产的件数则数学模型,,,,21 2222242 3102;212010208max543215 43215431532154321≥≤++++≤+++≤+++++++ =xxxxxx xxxxt xxxx xxxxsxxxxxz (2)结果为220.3:现有15米长的钢管若干,生产某产品需4米、5米、7米长的钢管各为100、150、120根,问如何截取才能使原材料最省?(建立线性规划模型并利用lingo软件求解)解:方案4米5米7米剩余量截取长度1 3 0 0 32 2 1 0 23 2 0 1 04 1 2 0 15 0 3 0 06 0 1 1 37 0 0 2 14人力资源分配问题某昼夜服务的公交线路每天各时间段内所需司机和乘务人员人数如表1所示。
数学建模实验报告之线性规划

数学模型实验报告——线性规划专业:数学与应用数学L081姓名: XXX 学号: 08L1002106姓名: XXX 学号: 08L1002109姓名: XXX 学号: 08L1002112数学模型实验报告(线性规划)一、 实验目的:1、了解线性规划的基本内容。
2、掌握用数学软件包求解线性规划问题。
二、实验内容:1、用MATLAB 优化工具箱解线性规划 ;2、两个例题;3、实验作业。
三、内容分析:(一)用MATLAB 优化工具箱解线性规划1、模型: min z=cXb AX t s ≤..命令:x=linprog (c ,A ,b )2、模型: min z=cXb AX t s ≤..beq X Aeq =⋅命令:x=linprog (c ,A ,b ,Aeq, beq ) 注意:若没有不等式:b AX ≤ 存在,则令A=[ ],b=[ ].3、模型:min z=cX b AX t s ≤..beq X Aeq =⋅VLB ≤X ≤VUB命令:[1] x=linprog (c ,A ,b ,Aeq,beq, VLB ,VUB )[2] x=linprog (c ,A ,b ,Aeq,beq, VLB ,VUB, X 0)注意:[1] 若没有等式约束: beq X Aeq =⋅, 则令Aeq=[ ], beq=[ ]. [2]其中X 0表示初始点4、命令:[x,fval]=linprog(…) 返回最优解x及x处的目标函数值fval.例1 max 6543216.064.072.032.028.04.0x x x x x x z +++++=85003.003.003.001.001.001.0..654321≤+++++x x x x x x t s70005.002.041≤+x x 10005.002.052≤+x x 90008.003.063≤+x x 6,2,10=≥j x j解 :编写M 文件程序如下:c=[-0.4 -0.28 -0.32 -0.72 -0.64 -0.6]; A=[0.01 0.01 0.01 0.03 0.03 0.03;0.02 0 0 0.05 0 0; 0 0.02 0 0 0.05 0; 0 0 0.03 0 0 0.08]; b=[850;700;100;900]; Aeq=[]; beq=[];vlb=[0;0;0;0;0;0]; vub=[];[x,fval]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub)例2321436m in x x x z ++= 120..321=++x x x t s301≥x 5002≤≤x 203≥x解:编写M 文件程序如下: c=[6 3 4]; A=[0 1 0]; b=[50];Aeq=[1 1 1]; beq=[120]; vlb=[30,0,20];vub=[];[x,fval]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub)运行结果如下:Optimization terminated. (最优解为) x =1.0e+004 * 3.5000 0.5000 3.0000 0.0000 0.0000 0.0000 fval =-2.5000e+004(二)例题例1:任务分配问题:某车间有甲、乙两台机床,可用于加工三种工件。
数学实验——线性规划

实验5 线性规划分1 黄浩 43一、实验目的1.掌握用MATLAB工具箱求解线性规划的方法2.练习建立实际问题的线性规划模型二、实验内容1.《数学实验》第二版(问题6)问题叙述:某银行经理计划用一笔资金进行有价证券的投资,可供购进的证券以及其信用等级、到期年限、收益如下表所示。
按照规定,市政证券的收益可以免税,其他证券的收益需按50%的税率纳税。
此外还有如下限制:(1).政府及代办机构的证券总共至少要购进400万元;(2).所购证券的平均信用等级不超过1.4(信用等级数字越小,信用程度越高);(3).所购证券的平均到期年限不超过5年I.若该经理有1000万元资金,该如何投资?II.如果能够以2.75%的利率借到不超过100万元资金,该经理应如何操作?III.在1000万元资金情况下,若证券A的税前收益增加为4.5%,投资应否改变?若证券C的税前收益减少为4.8%,投资应否改变?模型转换及实验过程:I.设经理对于上述五种证券A 、B 、C 、D 、E 的投资额分别为:x 1、x 2、x 3、x 4、x 5(万元),全部到期后的总收益为z 万元。
由题目中的已知条件,可以列出约束条件为:{ x 2+x 3+x 4≥4002x 1+2x 2+x 3+x 4+5x 5≤1.4(x 1+x 2+x 3+x 4+x 5)9x 1+15x 2+4x 3+3x 4+2x 5≤5(x 1+x 2+x 3+x 4+x 5)x 1+x 2+x 3+x 4+x 5≤1000}而决策变量x =(x 1,x 2,x 3,x 4,x 5)T 的上下界约束为:x i ∈[0,1000]目标函数z =0.043x 1+0.027x 2+0.025x 3+0.022x 4+0.045x 5 将上述条件转变为matlab 的要求形式:使用matlab 解上述的线性规划问题(程序见四.1),并整理成表格:得出结论:当经理对A 、B 、C 、D 、E 五种证券分别投资218.18、0、736.36、0、45.45万元时,在全部收回时可得到29.836万元的税后收益,而且这种投资方式所得收益是最大的。
完整版简单线性规划问题附答案

简单的线性规划问题[ 学习目标 ] 1.认识线性规划的意义以及拘束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本看法 .2.认识线性规划问题的图解法,并能应用它解决一些简单的实责问题.知识点一线性规划中的基本看法名称意义拘束条件关于变量 x, y 的一次不等式 (组 )线性拘束条件关于 x, y 的一次不等式 (组 )目标函数欲求最大值或最小值的关于变量x, y 的函数解析式线性目标函数关于变量 x,y 的一次解析式可行解满足线性拘束条件的解(x, y)可行域由所有可行解组成的会集最优解使目标函数获取最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性拘束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题知识点二线性规划问题1.目标函数的最值线性目标函数 z= ax+ by (b≠ 0)对应的斜截式直线方程是y=-a z,在 y 轴上的截距是z,bx+b b当 z 变化时,方程表示一组互相平行的直线.当 b>0,截距最大时, z 获取最大值,截距最小时,z 获取最小值;当 b<0,截距最大时, z 获取最小值,截距最小时,z 获取最大值.2.解决简单线性规划问题的一般步骤在确定线性拘束条件和线性目标函数的前提下,解决简单线性规划问题的步骤能够概括为:“画、移、求、答”四步,即,(1)画:依照线性拘束条件,在平面直角坐标系中,把可行域表示的平面图形正确地画出来,可行域能够是封闭的多边形,也能够是一侧开放的无量大的平面地域.(2)移:运用数形结合的思想,把目标函数表示的直线平行搬动,最先经过或最后经过的极点(或界线 )即是最优解.(3)求:解方程组求最优解,进而求出目标函数的最大值或最小值.(4)答:写出答案.知识点三简单线性规划问题的本质应用1.线性规划的实责问题的种类(1)给定必然数量的人力、物力资源,问怎样运用这些资源,使完成的任务量最大,收到的效益最大;(2)给定一项任务,问怎样兼备安排,使完成这项任务耗费的人力、物力资源量最小.常有问题有:①物质调动问题比方,已知两煤矿每年的产量,煤需经两个车站运往外处,两个车站的运输能力是有限的,且已知两煤矿运往两个车站的运输价格,煤矿应怎样编制调动方案,才能使总运费最小?②产品安排问题比方,某工厂生产甲、乙两种产品,每生产一个单位的甲种或乙种产品需要的 A、B、C 三种资料的数量,此厂每个月所能供应的三种资料的限额都是已知的,这个工厂在每个月中应怎样安排这两种产品的生产,才能使每个月获取的总利润最大?③下料问题比方,要把一批长钢管截成两种规格的钢管,应怎样下料能使耗费最小?2.解答线性规划本质应用题的步骤(1)模型建立:正确理解题意,将一般文字语言转变成数学语言,进而建立数学模型,这需要在学习有关例题解答时,仔细领悟模范给出的模型建立方法.(2)模型求解:画出可行域,并结合所建立的目标函数的特点,选定可行域中的特别点作为最优解.(3)模型应用:将求解出来的结论反响到详尽的实例中,设计出最正确的方案.题型一求线性目标函数的最值例1 已知变量x, y 满足拘束条件y≤ 2,x+ y≥ 1,x- y≤1,则 z= 3x+ y 的最大值为( )A . 12B .11C.3 D.- 1答案 B解析第一画出可行域,建立在可行域的基础上,解析最值点,尔后经过解方程组得最值点的坐标,代入即可.如图中的阴影部分,即为拘束条件对应的可行域,当直线y=- 3x+z 经y=2,x= 3,过点 A 时, z 获取最大值.由? 此时z=3x+ y= 11.x-y= 1 y= 2,x+y- 2≤ 0,追踪训练 1 (1)x,y 满足拘束条件x- 2y- 2≤ 0,若z=y-ax获取最大值的最优解不唯一,...2x-y+ 2≥ 0,则实数 a 的值为 ()1 1A. 2或- 1 B .2 或 2C.2 或 1 D. 2 或- 1x-y+ 1≤ 0,(2)若变量 x,y 满足拘束条件x+2y- 8≤ 0,则 z= 3x+ y 的最小值为 ________ .x≥0,答案(1)D (2)1解析(1) 如图,由 y=ax+ z 知 z 的几何意义是直线在y 轴上的截距,故当 a>0 时,要使z= y- ax 获取最大值的最优解不唯一,则a=2;当 a<0 时,要使 z= y- ax 获取最大值的最优解不唯一,则a=- 1.y=- 3x+ z 过点(2)由题意,作出拘束条件组成的可行域以下列图,当目标函数z= 3x+ y,即(0,1)时 z 取最小值 1.题型二非线性目标函数的最值问题x- y-2≤ 0,例2 设实数 x, y 满足拘束条件 x+ 2y- 4≥ 0,求2y- 3≤ 0,(1)x2+y2的最小值;y(2)x的最大值.解如图,画出不等式组表示的平面地域ABC,(1)令 u= x2+ y2,其几何意义是可行域ABC 内任一点 (x, y)与原点的距离的平方.x+2y- 4= 0,4,8 过原点向直线 x+ 2y- 4=0 作垂线 y= 2x,则垂足为y=2x 的解,即 5 5 ,x+ 2y- 4= 0, 3又由2y- 3=0,得 C 1,2 ,因此垂足在线段 AC 的延长线上,故可行域内的点到原点的距离的最小值为|OC|=1+3 2 213=2,13因此, x2+y2的最小值为4 .yABC 内任一点 (x, y)与原点相连的直线l 的斜率为 v,即 v (2)令 v=x,其几何意义是可行域y- 0=x-0.由图形可知,当直线l 经过可行域内点 C 时, v 最大,3由(1) 知 C 1,2,因此 v max=3 y 3,因此的最大值为.2 x 2x≥ 0,追踪训练 2 已知 x, y 满足拘束条件y≥ 0,则(x+3) 2+ y2的最小值为 ________.x+ y≥ 1,答案10解析画出可行域 ( 以下列图 ) . (x+ 3)2+ y2即点 A(- 3,0)与可行域内点(x, y)之间距离的平方.显然AC 长度最小,∴AC2= (0+ 3)2+ (1- 0)2= 10,即 (x+ 3)2+y2的最小值为 10.题型三线性规划的本质应用例 3某公司生产甲、乙两种桶装产品.已知生产甲产品 1 桶需耗 A 原料 1 千克、 B 原料 2 千克;生产乙产品 1 桶需耗 A 原料 2 千克、 B 原料 1 千克.每桶甲产品的利润是300 元,每桶乙产品的利润是400 元.公司在生产这两种产品的计划中,要求每天耗费A, B 原料都不高出 12 千克.经过合理安排生产计划,从每天生产的甲、乙两种产品中,公司共可获取的最大利润是多少?x+ 2y≤ 12,解设每天赋别生产甲产品x 桶,乙产品 y 桶,相应的利润为2x+ y≤ 12,z 元,于是有x≥ 0, y≥ 0,x∈ N , y∈ N ,z= 300x+ 400y,在坐标平面内画出该不等式组表示的平面地域及直线300x+400y= 0,平移该直线,当平移到经过该平面地域内的点(4,4)时,相应直线在 y 轴上的截距达到最大,此时 z= 300x+ 400y 获取最大值,最大值是 z= 300× 4+ 400× 4= 2 800,即该公司可获取的最大利润是 2 800 元.反思与感悟线性规划解决实责问题的步骤:① 解析并依照已知数据列出表格;②确定线性拘束条件;③ 确定线性目标函数;④画出可行域;⑤利用线性目标函数 (直线 )求出最优解;⑥ 实责问题需要整数解时,应合适调整,以确定最优解.追踪训练 3 估量用 2 000 元购买单价为 50 元的桌子和 20 元的椅子,希望使桌子和椅子的总数尽可能的多,但椅子数很多于桌子数,且不多于桌子数的 1.5 倍,问桌子、椅子各买多少才行?解设桌子、椅子分别买x 张、 y 把,目标函数z= x+ y,把所给的条件表示成不等式组,即拘束条件为50x+20y≤ 2 000,y≥ x,y≤,x≥ 0,x∈ N*,y≥0, y∈ N* .x=200,50x+ 20y=2 000,7由解得200 y= x,y=,7因此 A 点的坐标为 200,200 .7 750x + 20y =2 000,x = 25,由解得75y =,y = 2 ,因此 B 点的坐标为 7525, 2 .200 20075因此满足条件的可行域是以 A 7 ,7 , B 25, 2 , O(0,0) 为极点的三角形地域 (如图 ).75由图形可知,目标函数 z =x + y 在可行域内的最优解为 B 25, 2 ,但注意到 x ∈ N * , y ∈ N * ,x = 25, 故取y = 37.故买桌子 25 张,椅子 37 把是最好的选择.x + y - 3≤ 0,1.若直线 y = 2x 上存在点 ( x , y)满足拘束条件 x - 2y - 3≤0, 则实数 m 的最大值为 ()x ≥ m ,3A .- 1B . 1C.2D . 25x - 11y ≥- 22,2x + 3y ≥ 9, 2.某公司招收男职员x 名,女职员 y 名, x 和 y 需满足拘束条件则 z2x ≤ 11,x ∈ N * , y ∈ N * ,= 10x + 10y 的最大值是 ( )A . 80B .85C .90D . 95y≤1,3.已知实数x,y 满足x≤1,则z=x2+y2的最小值为________.x+y≥ 1,一、选择题1.若点 (x, y)位于曲线 y= |x|与 y= 2 所围成的封闭地域,则 2x- y 的最小值为 ( ) A .- 6 B.- 2 C. 0 D. 2x≥ 1,2.设变量 x, y 满足拘束条件x+ y- 4≤ 0,则目标函数 z= 3x- y 的最大值为 ()x- 3y+4≤ 0,4A .- 4 B. 0 C.3 D. 4x≥ 1,则 z=y-1的取值范围是 (3.实数 x, y 满足 y≥ 0,)x- y≥ 0,xA . [ - 1,0]B .( -∞, 0]C.[ -1,+∞ ) D. [ - 1,1)x- y≥ 0,4.若满足条件x+ y- 2≤ 0,的整点 (x, y)(整点是指横、纵坐标都是整数的点)恰有 9 个,y≥ a则整数 a 的值为 ()A .- 3 B.- 2C.- 1 D. 0x≥ 1,5.已知 x, y 满足x+ y≤ 4,目标函数z= 2x+ y 的最大值为7,最小值为1,则 b,c x+ by+ c≤ 0,的值分别为( )A .- 1,4B .- 1,- 3C.- 2,- 1 D.- 1,- 26.已知x,y 满足拘束条件x+ y≥ 5,x- y+ 5≥0,x≤ 3,使 z= x+ ay(a> 0)获取最小值的最优解有无数个,则 a 的值为( )A .- 3 B. 3 C.- 1 D. 1二、填空题x≤ 2,7.若 x, y 满足拘束条件y≤2,则 z= x+ 2y 的取值范围是 ________.x+ y≥2,8.已知- 1≤ x+y≤ 4 且 2≤ x-y≤ 3,则 z= 2x- 3y 的取值范围是________(答案用区间表示).0≤ x≤ 2,9.已知平面直角坐标系 xOy 上的地域 D 由不等式组y≤ 2,给定.若 M(x, y)为 Dx≤ 2y上的动点,点 A 的坐标为 (→ →2, 1),则 z= OM ·OA的最大值为 ________.10.满足 |x|+ |y|≤ 2 的点 (x,y)中整点 (横纵坐标都是整数)有 ________个.x- y+ 2≥ 0,11.设实数 x, y 满足不等式组2x- y- 5≤ 0,则 z= |x+ 2y- 4|的最大值为 ________.x+ y- 4≥ 0,三、解答题x- 4y≤- 3,12.已知x, y 满足拘束条件3x+ 5y≤ 25,目标函数z= 2x- y,求z 的最大值和最小值.x≥ 1,x+ y- 11≥ 0,13.设不等式组3x- y+ 3≥0,表示的平面地域为 D.若指数函数y= a x的图象上存在地域5x- 3y+ 9≤0D 上的点,求 a 的取值范围.14.某家具厂有方木材90 m3,五合板600 m2,准备加工成书桌和书厨销售.已知生产每张书桌需要方木材0.1 m3,五合板 2 m2,生产每个书厨需要方木材0.2 m3,五合板 1 m2,销售一张方桌可获利润80 元,销售一个书厨可获利润120 元.(1)若是只安排生产书桌,可获利润多少?(2)若是只安排生产书厨,可获利润多少?(3)怎样安排生产可使所得利润最大?当堂检测答案1. 答案B解析 如图,当 y = 2x 经过且只经过x + y - 3=0 和 x = m 的交点时, m 取到最大值,此时,即 (m,2m)在直线 x + y - 3= 0 上,则 m = 1.2. 答案 C解析 该不等式组表示的平面地域为以下列图的阴影部分.由于 x , y ∈ N * ,计算地域内与11 9 近来的点为 (5,4),故当 x =5, y = 4 时, z 获取最大值为90.2 ,213. 答案2解析实数 x ,y 满足的可行域如图中阴影部分所示,则 z 的最小值为原点到直线 AB 的距离的平方,故 z min = 12= 1.2 2课时精练答案一、选择题1.答案 A解析画出可行域,以下列图,解得A(- 2,2),设 z= 2x- y,把z= 2x- y 变形为 y= 2x- z,则直线经过点 A 时 z 获取最小值;因此 z min=2× (- 2)- 2=- 6,应选 A.2.答案 D解析作出可行域,以下列图.x+ y- 4=0,x=2,联立解得x- 3y+ 4= 0,y=2.当目标函数z= 3x- y 移到 (2,2)时, z= 3x- y 有最大值4.3.答案 D解析作出可行域,以下列图,y-1的几何意义是点 (x, y)与点 (0,1)连线 l 的斜率,当直线l 过 B(1,0) 时 k l最小,最小为- 1. x又直线 l 不能够与直线x- y= 0 平行,∴ k l< 1.综上, k∈ [- 1,1).解析不等式组所表示的平面地域如图阴影部分所示,当 a=0 时,只有 4 个整点 (1,1),(0,0) ,(1,0),(2,0).当 a=- 1 时,正好增加 (- 1,- 1),(0,- 1),(1 ,- 1),(2,- 1),(3,- 1)5 个整点.故选C.5.答案 D解析由题意知,直线x+by+ c= 0 经过直线2x+ y= 7 与直线x+ y= 4 的交点,且经过直线2x+ y=1 和直线x= 1 的交点,即经过点(3,1)和点 (1,- 1),3+ b+ c= 0,b=- 1,∴解得1- b+ c= 0,c=- 2.6.答案 D解析如图,作出可行域,作直线l:x+ ay=0,要使目标函数z= x+ ay(a> 0)获取最小值的最优解有无数个,则将l 向右上方平移后与直线x+ y= 5 重合,故a= 1,选 D.二、填空题7.答案[2,6]解析如图,作出可行域,作直线 l :x+ 2y= 0,将 l 向右上方平移,过点 A(2,0)时,有最小值 2,过点 B(2,2)时,有最大值 6,故 z 的取值范围为[2,6] .解析作出不等式组-1≤ x+ y≤ 4,表示的可行域,如图中阴影部分所示.2≤ x- y≤ 3在可行域内平移直线 2x-3y= 0,当直线经过 x- y= 2 与 x+y= 4 的交点 A(3,1)时,目标函数有最小值z min=2× 3- 3× 1= 3;当直线经过 x+ y=- 1 与 x- y= 3 的交点 B(1,- 2) 时,目标函数有最大值z max=2× 1+ 3× 2 = 8.因此 z∈[3,8] .9.答案 4解析由线性拘束条件0≤ x≤ 2,y≤ 2,画出可行域如图中阴影部分所示,目标函数→ →2x+ y,将其化为z=OM ·OA=x≤ 2yy=- 2x+ z,结合图形可知,目标函数的图象过点( 2, 2)时, z 最大,将点 ( 2, 2)代入 z = 2x+ y,得 z 的最大值为 4.10.答案13解析|x|+ |y|≤ 2 可化为x+ y≤ 2 x- y≤ 2x≥ 0, y≥0x≥ 0, y< 0 ,,-x+ y≤ 2 x<0, y≥ 0 ,-x- y≤ 2 x<0, y< 0 ,作出可行域为如图正方形内部(包括界线 ),简单获取整点个数为13 个.11.答案 21解析作出可行域 (如图 ),即△ABC 所围地域 (包括界线 ),其极点为A(1,3), B(7,9),C(3,1)方法一∵可行域内的点都在直线x+ 2y- 4=0 上方,∴x+ 2y- 4> 0,则目标函数等价于 z= x+ 2y-4,易合适直线 z= x+2y- 4 在点 B(7,9)处,目标函数获取最大值z max= 21.方法二z= |x+ 2y-4|=|x+ 2y- 4|· 5,5令 P( x,y)为可行域内一动点,定直线x+2y- 4= 0,则z= 5d,其中 d 为 P(x, y)到直线 x+2y- 4= 0 的距离.由图可知,地域内的点 B 与直线的距离最大,故d的最大值为 |7+ 2× 9-4|= 21.5 5故目标函数z max= 21 · 5= 21.5三、解答题12.解z= 2x- y 可化为y= 2x- z, z 的几何意义是直线在y 轴上的截距的相反数,故当z 获取最大值和最小值时,应是直线在y 轴上分别获取最小和最大截距的时候.作一组与l0:2x- y=0 平行的直线系l,经上下平移,可得:当l 搬动到l1,即经过点A(5,2) 时, z max= 2× 5 - 2= 8.当l 搬动到 l 2,即过点 C(1,4.4) 时,z min= 2× 1-=- 2.4.13.解先画出可行域,以下列图,y= a x必定过图中阴影部分或其界线.∵A(2,9) ,∴ 9= a2,∴a= 3.∵a> 1,∴ 1< a≤ 3.14.解由题意可画表格以下:方木材 (m3) 五合板 (m2) 利润 (元 ) 书桌 (张 ) 2 80书厨 (个 ) 1 120(1)设只生产书桌x 张,可获取利润z 元,≤ 90,x≤ 900,2x≤ 600,? x≤300,? 0≤ x≤ 300.则z= 80x,x≥0x≥ 0因此当 x= 300 时, z max= 80× 300= 24 000(元 ) ,即若是只安排生产书桌,最多可生产300 张书桌,获取利润24 000 元.(2)设只生产书厨y 个,可获取利润z 元,≤ 90,y≤ 450,1·y≤ 600,? y≤ 600,? 0≤ y≤ 450.则z= 120y,y≥ 0y≥ 0因此当 y= 450 时, z max= 120× 450= 54 000(元 ),即若是只安排生产书厨,最多可生产450 个书厨,获取利润54 000 元.(3)设生产书桌 x 张,书厨 y 个,利润总数为z 元,+≤ 90,x+ 2y≤ 900,2x+ y≤ 600,2x+ y≤ 600,则?x≥ 0,x≥ 0,y≥ 0 y≥ 0.z= 80x+120y.在平面直角坐标系内作出上面不等式组所表示的平面地域,即可行域(如图 ).作直线 l :80x+ 120y=0,即直线 l: 2x+ 3y=0.把直线 l 向右上方平移至 l1的地址时,直线经过可行域上的点M,此时 z= 80x+ 120y 获取最大值.x+ 2y= 900,由2x+ y= 600,解得,点M 的坐标为 (100,400) .因此当 x= 100,y= 400 时,z max= 80×100+ 120×400= 56 000(元 ).因此,生产书桌100 张、书厨400 个,可使所得利润最大.。
线性规划典型例题和归纳

解:设每天生产甲产品x吨,乙产品y吨,可得产值z千元。
目的函数为:z=7x+9y
4x 6 y 180 线性约束条件为: 3x 6 y 150
5x 3y 150
画出可行域如图:
画出直线7x+9y=0 并平移得点P使Z最小。
求出点P 为 (150 ,100)
77
所以每天生产甲产品 150吨,乙产品100 吨时,
效益最大。
7
7
x y 6 0
例4 已知 x , y 满足不等式 x y 0 ,
y
6
x 3
x y 0
4
A
x y6 0
C
求:(1). z y 3 旳范围;
x
2
6
4
2
O
2
4x
(2).
z
y x
2 1
旳范围.
2
Q
B
x3
解: (1) z y 3 表达可行域内任一点与定点Q(0,-3)连线旳斜率,
x ≥ 1.
解:画出可行域如图:
(1)若z线 2x+y=0 并平移得点A使Z最大, 点B使Z最小。
由 x 4 y 3 0求出A 为(5,2)。
3x 5y 25 0
x 1 由 x 4 y 3 0 求出B为(1,1)。
Zmax 2 5 2 12, Zmin 2 1 1 3.
足维生素旳需要量,并能取得最大量旳维
• 作出不等式组表达旳平面区域如图所示,
• 作出5x+2y=0. • 把直线向右上方平移,直线经过可行域上
旳点M时,z=5x+2y取得最大值.
x y ≥ 0,
【6】已知x,
y满足
x
y
≤ 1,
研究性课题与实习作业:线性规划的实际应用

研究性课题与实习作业:线性规划的实际应用教学目标(1)了解线性规化的意义以及线性约束条件、线性目标函数、线性规化问题、可行解、可行域以及最优解等基本概念;(2)了解线性规化问题的图解法;(3)培养学生搜集、分析和整理信息的能力,在活动中学会沟通与合作,培养探索研究的能力和所学知识解决实际问题的能力;(4)引发学生学习和使用数学知识的兴趣,发展创新精神,培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德.教学建议一、重点难点分析学以致用,培养学生“用数学”的意识是本节的重要目的。
学习线性规划的有关知识其最终目的就是运用它们去解决一些生产、生活中问题,因而本节的教学重点是:线性规划在实际生活中的应用。
困难大多是如何把实际问题转化为数学问题(既数学建模),所以把一些生产、生活中的实际问题转化为线性规划问题,就是本节课的教学难点。
突破这个难点的关键就在于尽快熟悉生活,了解实际情况,并与所学知识紧密结合起来。
二、教法建议(l)建议可适当采用电脑多媒体和投影仪等先进手段来辅助教学,以增加课堂容量,增强直观性,进而提高课堂效率.(2)课堂上可以设计几个实际让学生分组研讨解答,一方面是复习线性规划问题的一般解法,为总结线性规划问题的数学模型和常见类型作铺垫;另一方面,也为接下来到外面分组调研积累经验,让学生在讨论、探究过程中初步学会沟通与合作,共同完成活动任务.(3)确定研究课题,建议各小组以三个常见问题为主,或者根据本小组实际自拟课题.(4)活动安排,建议要求各小组分式明确,团结协作,听从指挥,注意安全.学生研究活动的成果,可以用研究报告或论文的形式体现.一切以学生自己的自主探究活动为主,教师不能越俎代庖.(5)对学生在课余时间开展的研究性课题,建议作做好成果展示、评估和交流.展示不仅可以让全体学生来分享成果,享受成功的喜悦,而且还可以锻炼学生的组织表达能力,增强学生的自信心.通过评估,可以使同学清楚地看到自己的优点与不足.通过交流研讨,分享成果,进行思维碰撞,使认识和情感得到提升.教学设计方案教学目标(1)了解线性规划的意义以及线性约束条件、线性目标函数、线性规化问题、可行解、可行域以及最优解等基本概念;(2)了解线性规划问题的图解法,并能应用它解决一些简单的实际问题;(3)培养学生观察、联想以及作图的能力,渗透集合、化归、数形结合的数学思想,提高学生“建模”和解决实际问题的能力;(4)结合教学内容,培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识,激励学生勇于创新.重点难点理解二元一次不等式表示平面区域是教学重点。
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线性规划
一实验目的
1 掌握用MATLAB优化工具箱和LINGO解线性规划的方法;
2 联系建立实际问题的线性规划模型。
二实验内容
1 某银行经理计划用一笔资金进行有价证券的投资,可供购进的证券以及其信用等级、到期年限、收益如下表所示。
按照规定,市政证券的收益可以免税,其他证券的收益需要按50%的税率纳税。
此外还有以下限制:
证券名称证券种类信用等级到期年限/年到期税前收益/%
B代办机构215 5.4
C政府14 5.0
D政府13 4.4
(1)政府以及代办机构的证券总共至少要购进400万元;
(2)所购证券的平均信用等级不超过1.4(信用等级数字越小,信用程度越高);
(3)所购证券的平均到期年限不超过5年。
问:(1) 若该经理有1000万元资金,应该如何投资?
(2) 如果能够以2.75%的利率借到不超过100万元的资金,该经理应该如何操作?
(3) 在1000万元的资金情况下,若证券A的税前收益增加为4.5%,投资应该如何改变?若证券C的税前收益减少为4.8%,投资应该如何改变?
初步解决:
(1) 首先确定决策变量,设投资五种证券的资金分别为x1、x2、x3、x4、x5(单位:万元)。
由于我们的目的是要使该经理投资所得的利润最大,再考虑到部分收益的纳税,所以可以构建以下目标函数:
Max z=0.043x1+0.054x2×0.5+0.05x3×0.5+0.044x4×0.5+0.045x5
然后来分析题目所给的约束条件
由投资总金额为1000万元可得:
x1+x2+x3+x4+x5≤1000
由政府以及代办机构的证券总共至少要购进400万元可得:
x2+x3+x4≥400
由所购证券的平均信用等级不超过1.4可得:
2x1+2x2+x3+x4+5x5
x1+x2+x3+x4+x5
≤1.4化简可得:
6x1+6x2−4x3−4x4+36x5≤0
由所购证券的平均到期年限不超过5年可得:
9x1+15x2+4x3+3x4+2x5
x1+x2+x3+x4+x5
≤5化简可得:
4x1+10x2−x3−2x4−3x5≤0
非负约束条件:
x1、x2、x3、x4、x5≥0
将所得模型化为标准形,得到:
c=−[0.043,0.027,0.025,0.022,0.045]
A=[111
0−1−1
11
−10 66−4
410−1
−436
−2−3
]
b=[1000,−400,0,0]
然后在MATLAB中解决问题。
由于问题规模不大,所以采用单纯形法求解。
在命令栏中输入以下内容:
输出结果如下所示:
输入以下命令:
从以上的结果可以看出,当投资A类证券218.1818万元,C类证券736.3636万元,E类证券45.4545万元时,所得收益最大,为29.8364万元。
计算时可知,虽然B类证券的收益大,但是由于到期年限太长,所以最终不选择投资,D类证券虽然到期年限短,但是收益太小,而且还需要交税,所以也不选择投资该证券。
(2) 当借到不超过100万元的资金时,为了求出最优解,在这里直接假设经理借到了100万元,且全部用来投资,再来计算。
此时对于目标函数以及约束条件,唯一需要改变的是:
x1+x2+x3+x4+x5≤1100
此时在命令栏中输入以下命令:
输入以下命令:
从以上可以看出,当借到的资金为100万元时,此时的投资方案应该为A类证券240万元,C 类证券810万元,E类证券50万元,此时最大收益为32.82万元,需要偿还的银行利息为2.75万元,但是到期以后所得的收益增加了2.9836万元,所以可以得到结论,该经理应该选择借这100万元。
(3) 若证券A的税前收益增加为4.5%:
此时需要改变的是目标函数的系数矩阵
c=−[0.045,0.027,0.025,0.022,0.045]
在命令栏中输入以下内容:
输入以下命令:
从以上结果可以看出,当A类证券的收益增加为4.5%时,投资方案不需要改变,但是收益增加为30.2727万元。
若证券C的税前收益减少为4.8%:
此时需要改变的是目标函数的系数矩阵
c=−[0.043,0.027,0.024,0.022,0.045]
在命令栏中输入以下内容:
输入以下命令:
从以上可以看出,当C 类证券的收益减少为4.8%时,投资方案需要改变,此时应该投资A 类证券336万元,D 类证券648万元,E 类证券16万元,此时的税后收益为30.096万元。
2 某牧场主知道,对于一匹平均年龄的马来说,最低的营养需求为:40磅蛋白质,20磅碳水化合物,45磅粗饲料。
这些营养成分是从不同的饲料中得到的,饲料及其价格在下表中列出。
建立数学模型,确定如何以最低的成本满足最低的营养需求。
蛋白质/磅碳水化合物/磅粗饲料/磅价格/美元
燕麦片/袋 1.0 4.0 2.0 3.50
饲料块/块 2.00.5 1.00.40
高蛋白浓缩料/袋 6.0 1.0 2.5 1.00
初步解决:
设每天提供的干草、燕麦片、饲料块、高蛋白浓缩料分别为x1(捆)、x2(袋)、x3(块)、x4(袋),一天的总的成本为z(美元),那么根据题目中的条件以及表格中的数据可以得到以下约束条件:
0.5x1+x2+2x3+6x4≥40,
2x1+4x2+0.5x3+x4≥20,
5x1+2x2+x3+2.5x4≥45,
还有非负约束x1、x2、x3、x4≥0;
需要最小化地目标函数为
z=1.8x1+3.5x2+0.4x3+x4;
化成标准形式之后,可以得到(由于要将不等号全部化为小于等于号,所以系数矩阵要加负号):
c=[1.8,3.5,0.4,1],
A=−[0.51
24
26
0.51 521 2.5
],
b=−[40,20,45],
然后在MATLAB中解决问题。
由于问题规模不大,所以采用单纯形法求解。
在命令栏中输入以下内容:
输出结果如下所示:
从上面的结果可以得到结论,当每天供应5捆干草,20块饲料块的时候,可以以最低的成本满足最低的营养需求,最低的成本为每天17美元。
在命令栏中输入以下内容:
得到结果如下:
可以得出结论,第一个不等式约束的Lagrange乘子为0,说明在一定范围内,当蛋白质的需求增加一个单位时,不需要改变食谱,而碳水化合物和粗饲料的量的增加则会影响到成本,当碳水化合物或者粗饲料的需求增加一个单位时,成本需要增加0.4美元或者0.2美元。