16种常见概率分布概率密度函数、意义及其应用

目录

1.均匀分布 (1)

2.正态分布（高斯分布） (2)

3.指数分布 (2)

4.Beta分布（β分布） (2)

5.Gamma分布 (4)

6.倒Gamma分布 (5)

7.威布尔分布(Weibull分布、韦伯分布、韦布尔分布) (5)

8.Pareto分布 (7)

9.Cauchy分布（柯西分布、柯西-洛伦兹分布） (7)

χ分布（卡方分布） (8)

10.2

11.t分布 (9)

12.F分布 (9)

13.二项分布 (10)

14.泊松分布（Poisson分布） (11)

15.对数正态分布 (12)

1.均匀分布

均匀分布~(,)

X U a b是无信息的，可作为无信息变量的先验分布。

1()f x b a =

- ()2

a b

E X +=

2

()()12

b a Var X -=

2. 正态分布（高斯分布）

当影响一个变量的因素众多，且影响微弱、都不占据主导地位时，这个变量很可能服从正态分布，记作2~(,)X N μσ。正态分布为方差已知的正态分布

2(,)N μσ的参数μ的共轭先验分布。

22

()2()x f x μσ--

=

()E X μ=

2()Var X σ=

3. 指数分布

指数分布~()X Exp λ是指要等到一个随机事件发生，需要经历多久时间。其中0λ>为尺度参数。指数分布的无记忆性：{}|{}P X s t X s P X t >+>=>。

(),0

x f x e x λλ-=>

1

()E X λ

=

2

1

()Var X λ

=

4. Beta 分布（β分布）

Beta 分布记为~(,)X Be a b ，其中Beta(1,1)等于均匀分布，其概率密度函数可凸也可凹。如果二项分布(,)B n p 中的参数p 的先验分布取(,)Beta a b ，实验数据（事件A 发生y 次，非事件A 发生n-y 次），则p 的后验分布(,)Beta a y b n y ++-，即Beta 分布为二项分布(,)B n p 的参数p 的共轭先验分布。

10

()x t x t e dt ∞--Γ=⎰

1

1()()(1)()()

a b a b f x x x a b --Γ+=

-ΓΓ ()a E X a b

=

+ 2()()(1)

ab

Var X a b a b =

+++

5. Gamma 分布

Gamma 分布即为多个独立且相同分布的指数分布变量的和的分布，解决的问题是“要等到n 个随机事件都发生，需要经历多久时间”，记为~(,)X Ga a b 。其中0a >为形状参数，0b >为尺度参数。Gamma 分布为指数分布()Exp λ的参数λ、Poisson 分布()P λ的参数λ的共轭先验分布。

1(),0

()a a bx

b f x x e x a --=>Γ

()a

E X b =

2()a Var X b

=

6. 倒Gamma 分布

倒Gamma 分布记为~(,)X IGa a b 。若随机变量~(,)X Ga a b ，则

1

~(,)IGa a b X

。其中0a >为形状参数，0b >为尺度参数。倒Gamma 分布为指数分布()Exp λ的参数1

λ

、均值已知的正态分布2(,)N μσ的参数2σ的共轭先验分

布。

(1)(),0

()

a a bx

b f x x e x a ---=>Γ ()1

b

E X a =

- 2

2(),2(1)(2)

b Var X a a a =>--

7. 威布尔分布(Weibull 分布、韦伯分布、韦布尔分布)

威布尔分布记为~(,)X W m η。其中0m >为形状参数，0η>为尺度参数。当1m =，它是指数分布；2m =时，是Rayleigh distribution （瑞利分布）。常用于拟合风速分布，并用最小二乘法、平均风速估计法或极大似然法求解其参数。

1

(),0

m

m x m x

f x e

x ηηη-⎛⎫

- ⎪⎝⎭

⎛⎫

=

> ⎪⎝⎭

1()1E X m η⎛

⎫=Γ+ ⎪⎝⎭

2

2

21()11Var X m m η⎧⎫⎡⎤⎪⎪⎛⎫⎛⎫=Γ+-Γ+⎨⎬ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎪⎪⎩⎭

8. Pareto 分布

Pareto 分布记为~(,)X Pa a b 。其中0b >为门限参数，0a >为尺度参数。Pareto 分布是一种厚尾分布。Pareto 分布为均匀分布(0,)U θ的参数θ的共轭先验分布。

1

(),a a b f x x b

b x +⎛⎫=≥ ⎪

⎝⎭

(),11

ab

E X a a =

>- 2

2(),2(1)(2)

ab Var X a a a =>--

9. Cauchy 分布（柯西分布、柯西-洛伦兹分布）

Cauchy 分布记为~(,)X Ca a b 。其中a 为位置参数，0b >为尺度参数。中位数()Mode X a =，期望、方差都不存在。如果12,,,n X X X K 是分别符合柯西分布的相互独立同分布随机变量，那么算术平均数()12,,,/n X X X n K 服从同样的柯西分布。标准柯西分布(0,1)Ca 是t 分布的一个自由度。这种分布更适合拟合那种比较扁、宽的曲线。

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1

()()b

f x b x a π=

+-