圆的方程公开课教学设计
圆的一般方程教案
圆的一般方程教案
一般方程(x-a)²+(y-b)²=r²表示圆的方程，其中(a,b)为圆心的坐标，r为半径。
以下是关于圆的一般方程的教案：
教学目标：
1. 了解圆的一般方程的含义和作用；
2. 掌握圆的一般方程的使用方法；
3. 能够根据已知条件写出圆的一般方程。
教学步骤：
1. 引入：通过观察多个圆的图形，引导学生思考如何表示圆的方程；
2. 解释一般方程的含义：解释方程中的各个部分的含义，比如(x-a)表示x坐标与圆心x坐标的差值，(y-b)表示y坐标与圆心y坐标的差值；
3. 讲解一般方程的形式：讲解一般方程的标准形式，即(x-
a)²+(y-b)²=r²；
4. 演示如何写出一般方程：通过给定圆心和半径的坐标，演示写出一般方程的步骤；
5. 练习一：给出圆心和半径的坐标，要求学生自行写出一般方程；
6. 解释一般方程的应用：解释一般方程的应用，比如通过一般方程可以求圆的周长和面积；
7. 练习二：给出圆的一般方程，要求学生求出圆的半径和圆心的坐标；
8. 总结和评价：帮助学生总结所学内容，并对学生进行评价。
教学资源：
1. 圆的图形；
2. 圆的一般方程的示意图；
3. 练习题。
教学评价：
1. 学生能否准确理解圆的一般方程的含义；
2. 学生能否熟练运用一般方程求解问题；
3. 学生对于一般方程的应用是否有深入理解。
圆的方程的数学教案
圆的方程的数学教案篇一：圆的方程教学目标（1）掌握圆的标准方程，能根据圆心坐标和半径熟练地写出圆的标准方程，也能根据圆的标准方程熟练地写出圆的圆心坐标和半径．（2）掌握圆的一般方程，了解圆的一般方程的结构特征，熟练掌握圆的标准方程和一般方程之间的互化．（3）了解参数方程的概念，理解圆的参数方程，能够进行圆的普通方程与参数方程之间的互化，能应用圆的参数方程解决有关的简单问题．（4）掌握直线和圆的位置关系，会求圆的切线．（5）进一步理解曲线方程的概念、熟悉求曲线方程的方法．教学建议教材分析（1）知识结构（2）重点、难点分析①本节内容教学的重点是圆的标准方程、一般方程、参数方程的推导，根据条件求圆的方程，用圆的方程解决相关问题．②本节的难点是圆的一般方程的结构特征，以及圆方程的求解和应用．教法建议（1）圆是最简单的曲线．这节教材安排在学习了曲线方程概念和求曲线方程之后，学习三大圆锥曲线之前，旨在熟悉曲线和方程的理论，为后继学习做好准备．同时，有关圆的问题，特别是直线与圆的位置关系问题，也是解析几何中的基本问题，这些问题的解决为圆锥曲线问题的解决提供了基本的思想方法．因此教学中应加强练习，使学生确实掌握这一单元的知识和方法．（2）在解决有关圆的问题的过程中多次用到*法、待定系数法等思想方法，教学中应多总结．（3）解决有关圆的问题，要经常用到一元二次方程的理论、平面几何知识和前边学过的解析几何的基本知识，教师在教学中要注意多复习、多运用，培养学生运算能力和简化运算过程的意识．（4）有关圆的内容非常丰富，有很多有价值的问题．建议适当选择一些内容供学生研究．例如由过圆上一点的切线方程引申到切点弦方程就是一个很有价值的问题．类似的还有圆系方程等问题．篇二：圆的一般方程教学目标：（1）掌握圆的一般方程及其特点．（2）能将圆的一般方程转化为圆的标准方程，从而求出圆心和半径．（3）能用待定系数法，由已知条件求出圆的一般方程．（4）通过本节课学习，进一步掌握*法和待定系数法．教学重点：（1）用*法，把圆的一般方程转化成标准方程，求出圆心和半径．（2）用待定系数法求圆的方程．教学难点：圆的一般方程特点的研究．教学用具：计算机．教学方法：启发引导法，讨论法．教学过程：【引入】前边已经学过了圆的标准方程把它展开得任何圆的方程都可以通过展开化成形如①的方程【问题1】形如①的方程的曲线是否都是圆？师生共同讨论分析：如果①表示圆，那么它一定是某个圆的标准方程展开整理得到的．我们把它再写成原来的形式不就可以看出来了吗？运用*法，得②显然②是不是圆方程与是什么样的数密切相关，具体如下：（1）当时，②表示以为圆心、以为半径的圆；（2）当时，②表示一个点；（3）当时，②不表示任何曲线．总结：任意形如①的方程可能表示一个圆，也可能表示一个点，还有可能什么也不表示．圆的一般方程的定义：当时，①表示以为圆心、以为半径的圆，此时①称作圆的一般方程．即称形如的方程为圆的一般方程．【问题2】圆的一般方程的特点，与圆的标准方程的异同．（1）和的系数相同，都不为0．（2）没有形如的二次项．圆的一般方程与一般的二元二次方程③相比较，上述（1）、（2）两个条件仅是③表示圆的必要条件，而不是充分条件或充要条件．圆的一般方程与圆的标准方程各有千秋：（1）圆的标准方程带有明显的几何的影子，圆心和半径一目了然．（2）圆的一般方程表现出明显的代数的形式与结构，更适合方程理论的运用．【实例分析】例1：下列方程各表示什么图形．（1）；（2）；（（3）．学生演算并回答（1）表示点（0，0）；（2）*得，表示以为圆心，3为半径的圆；（3）*得，当、同时为0时，表示原点（0，0）；当、不同时为0时，表示以为圆心，为半径的圆．例2：求过三点，，的圆的方程，并求出圆心坐标和半径．分析：由于学习了圆的标准方程和圆的一般方程，那么本题既可以用标准方程求解，也可以用一般方程求解．解：设圆的方程为因为、、三点在圆上，则有解得：，，所求圆的方程为可化为圆心为，半径为5．请同学们再用标准方程求解，比较两种解法的区别．。
圆的一般方程》教案(公开课)
圆的一般方程》教案(公开课)
x2+y2+Dx+Ey+F=0和圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0的异同点是什么？
答案：相同点是都是二元二次方程，不同点是圆的一般方程有限制条件D2+E2-4F＞0，且表示的轨迹为圆形，而二元二次方程的轨迹可以是圆、椭圆、双曲线或者无图形．因此，圆的一般方程的特点是必须满足限制条件D2+E2-4F＞0，且表示的轨迹为圆形．
四)求圆的一般方程的标准方程
1．通过配方求圆心和半径
将圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0化为标准方程(x-
a)2+(y-b)2=r2，可以得到圆心坐标为(a，b)，半径为
r=√(a2+b2-F)．
2．用待定系数法，由已知条件导出圆的方程
以求圆心坐标为例，假设圆心坐标为(a，b)，则圆的一般方程为(x-a)2+(y-b)2=r2，展开可得x2+y2-2ax-2by+(a2+b2-
r2)=0．由此，可以列出方程组：
x2+y2-2ax-2by+(a2+b2-r2)=0
x1^2+y1^2-2ax1-2by1+(a2+b2-r2)=0
x2^2+y2^2-2ax2-2by2+(a2+b2-r2)=0
解方程组得到a=(x1+x2)/2，b=(y1+y2)/2，r=√[(x1-
x2)2+(y1-y2)2]/2．
五)实际问题的应用
通过配方和待定系数法，可以解决一些实际问题，如求解两个圆的位置关系、求解圆与直线的交点等等．
五、教学反思
本节课主要讲解了圆的一般方程，重点在于让学生掌握通过配方和待定系数法求解圆的一般方程的方法，以及圆的一般方程的特点和应用．在教学过程中，要引导学生深入思考，分析问题，培养解决实际问题的能力．同时，要注意让学生掌握基本概念和公式，避免死记硬背．。
初中圆的方程教案
初中圆的方程教案
教学目标：
1. 了解圆的方程的概念和意义。
2. 学会用圆的标准方程和一般方程表示圆。
3. 能够熟练地运用圆的方程解决实际问题。
教学重点：
1. 圆的方程的概念和意义。
2. 圆的标准方程和一般方程的表示方法。
3. 运用圆的方程解决实际问题。
教学准备：
1. 教学课件或黑板。
2. 圆的模型或图片。
3. 练习题。
教学过程：
一、导入（5分钟）
1. 向学生介绍圆的概念，引导学生回顾圆的性质。
2. 提问：圆有什么特殊的性质？我们可以用什么方式来表示圆？
二、新课讲解（15分钟）
1. 介绍圆的方程的概念和意义。
2. 讲解圆的标准方程和一般方程的表示方法。
3. 通过示例，让学生理解圆的方程的含义和运用。
三、课堂练习（15分钟）
1. 让学生独立完成练习题，巩固对圆的方程的理解。
2. 引导学生运用圆的方程解决实际问题。
四、总结与拓展（10分钟）
1. 对本节课的内容进行总结，让学生掌握圆的方程的概念和表示方法。
2. 引导学生思考圆的方程在实际问题中的应用，激发学生的学习兴趣。
教学反思：
本节课通过导入、新课讲解、课堂练习和总结与拓展环节，让学生了解了圆的方程的概念和意义，学会了用圆的标准方程和一般方程表示圆，并能够运用圆的方程解决实际问题。
在教学过程中，要注意引导学生积极参与，通过示例和练习题让学生充分理解和掌握圆的方程的表示方法。
同时，也要注重培养学生的思维能力和实际应用能力，让学生能够将所学知识运用到实际问题中。
2.4.2圆的一般方程教学设计-2024-2025学年高二上学期数学人教A版选择性
2.4.2圆的一般方程一、教学内容与解析（一）教学内容圆的一般方程.（二）内容解析在学习了圆的标准方程，并能根据圆的标准方程求出圆心坐标、半径后，会用待定系数法求圆的一般方程.以圆的几何性质为基础，用代数方法研究圆的方程形式，首先从圆的标准方程着手，确定圆的圆心与圆的半径，从而写出圆的一般方程，并掌握这两种方程之间的转化.二、教学目标及分析（一）教学目标1.理解圆的一般方程及其特点；2.掌握圆的一般方程和标准方程的互化；3.会求圆的一般方程以及简单的轨迹方程.（二）目标分析1.使学生掌握圆的一般方程的特点；能将圆的一般方程化为圆的标准方程从而求出圆心的坐标和半径；能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程;2.使学生掌握通过配方求圆心和半径的方法，熟练地用待定系数法由已知条件导出圆的方法，熟练地用待定系数法由已知条件导出圆的方程，培养学生用配方法和待定系数法解决实际问题的能力;3.理解轨迹方程的定义，通过题意求出轨迹方程.三、教学重难点重点：圆的一般方程难点：圆的一般方程的运用四、教学过程设计问题一、什么是圆的一般方程？问题1、将圆的标准方程222()()x a y b r -+-=展开得到什么样的式子？ 师生活动：学生将几个不同的圆的标准方程展开，观察几个展开式的结构发现他们的共同点。
教师总结出圆的一般方程任何一个圆的方程都可以写成x 2+y 2+Dx+Ey+F=0．问题2、形如x 2+y 2+Dx+Ey+F=0的方程的曲线是不是圆？师生活动：教师利用两个二元二次方程讲解，方程222410x y x y +-++=与222460x y x y +--+=表示的图形都是圆吗？为什么？通过简单例子让学生掌握圆的一般方程的条件。
方程220x y Dx Ey F ++++=可化为22224()()224D E D E F x y +-+++=， （1）当2240D E F +->时，方程表示圆，圆心为)22D E （-，-，半径为； （2）当2240D E F +-=时，方程表示一个点)22D E （-，- （3）当2240D E F +-<时，方程不表示任何图形问题3、圆的一般方程220x y Dx Ey F ++++=22(40)D E F +-> 有何结构特征？问题4、当D=0，E=0或F=0时，圆220x y Dx Ey F ++++=的位置分别有什么特点？师生活动：学生观察或动手画出圆的图形回答上述两个问题，教师指导，特别是书写圆的一般方程时，要注意方程的结构特征。
圆的标准方程教案
圆的标准方程教案一、教学目标1、理解圆的标准方程的推导过程。
2、掌握圆的标准方程的形式和特点。
3、能够根据圆的标准方程求出圆心坐标和半径。
4、会用待定系数法求圆的标准方程。
二、教学重难点1、教学重点圆的标准方程的推导。
圆的标准方程的应用。
2、教学难点圆的标准方程的推导过程中坐标变换的理解。
三、教学方法讲授法、讨论法、练习法四、教学过程1、导入通过展示生活中常见的圆形物体，如车轮、圆盘等，引导学生思考圆的特征。
提问学生如何描述一个圆，从而引出本节课的主题——圆的标准方程。
2、知识讲解（1）圆的定义在平面直角坐标系中，以点\（（a,b)＼）为圆心，以\（r\）为半径的圆的定义是：平面内到定点\（（a,b)＼）的距离等于定长\（r\）的点的集合。
（2）圆的标准方程的推导设点\（M(x,y)＼）是圆上任意一点，根据圆的定义，点\（M\）到圆心\（（a,b)＼）的距离等于半径\（r\）。
根据两点间的距离公式可得：＼（＼sqrt{（x a)＾2 ＋（y b)＾2} ＝ r\）两边平方可得：＼（（x a)＾2 ＋（y b)＾2 ＝ r^2\）这就是圆的标准方程。
（3）圆的标准方程的特点方程\（（x a)＾2 ＋（y b)＾2 ＝ r^2\）中，有三个参数\（a\）、＼（b\）、＼（r\），即圆心坐标\（（a,b)＼）和半径\（r\）。
当圆心在原点\（（0,0)＼）时，圆的标准方程为\（x^2 ＋ y^2 ＝r^2\）。
3、例题讲解例 1：已知圆的圆心为\（（2,－3)＼），半径为\（4\），求圆的标准方程。
解：因为圆心为\（（2,－3)＼），半径为\（4\），所以圆的标准方程为\（（x 2)＾2 ＋（y ＋ 3)＾2 ＝ 16\）例 2：求以点\（（－1,2)＼）为圆心，且过点\（（3,4)＼）的圆的标准方程。
首先计算半径\（r\）：＼（r ＝＼sqrt{（3 ＋ 1)＾2 ＋（4 2)＾2} ＝＼sqrt{16 ＋ 4} ＝2\sqrt{5}＼）所以圆的标准方程为\（（x ＋ 1)＾2 ＋（y 2)＾2 ＝ 20\）4、课堂练习（1）已知圆的圆心为\（（－3,4)＼），半径为\（＼sqrt{5}＼），写出圆的标准方程。
《圆的标准方程》-公开课教学设计
4.1.1圆的标准方程一、教学分析在初中曾经学习过圆的有关知识，本节内容是在初中所学知识及前几节内容的基础上，进一步运用解析法研究圆的方程、它与其他图形的位置关系及其应用.同时,圆是特殊的圆锥曲线，因此，学习了圆的方程，就为后面学习其他圆锥曲线的方程奠定了基础。
也就是说，本节内容在教材体系中起到承上启下的作用，具有重要的地位，在许多实际问题中也有着广泛的应用.由于“圆的方程"一节内容的基础性和应用的广泛性，对圆的标准方程要求层次是“掌握”，为了激发学生的主体意识，培养学生的创造和应用意识，本节内容我采用“引导探究”型教学模式进行教学设计.二、三维目标1、掌握圆的标准方程,能根据圆心、半径写出圆的标准方程，能根据圆的标准方程写出圆的圆心坐标和半径，进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力，渗透数形结合思想。
2、用待定系数法和几何法求圆的标准方程,通过圆的标准方程解决实际问题的学习,形成代数方法处理几何问题的能力。
三、教学重点圆的标准方程的推导过程和圆的标准方程的应用.四、教学难点会根据不同的已知条件,会利用待定系数法和几何法求圆的标准方程。
五、课时安排 1课时六、教学过程设计七、板书设计八、教学反思圆是学生比较熟悉的曲线，求圆的标准方程是本节课的重点和难点。
为此我设置了由浅入深的学习环境，先让学生熟悉圆心、半径与圆的标准方程之间的关系，逐步理解三个参数的重要性，自然形成待定系数法的解题思路，在突出重点的同时突破了难点.利用圆的标准方程由浅入深的解决问题，增强学生应用数学的意识。
另外,为了培养学生的理性思维，在例题二中我用一题多解的探究，纵向挖掘知识深度，横向加强知识间的联系，培养了学生创新精神,并且使学生的有效思维量加大，随时对所学知识和方法产生有意注意,能力与知识的形成相伴而行，这样的设计不但突出了重点，更使难点的突破水到渠成。
本设计把学生学习知识的过程转变为学生观察问题、发现问题、分析问题、解决问题的过程，在解决的同时锻炼了思维、提高了能力、培养了兴趣,完成本节的学习任务。
圆的一般方程教案
圆的一般方程教案一、教学目标1.知识与技能目标：学生能够掌握圆的一般方程的基本概念和推导过程；能够根据已知条件，确定圆的一般方程。
2.过程与方法目标：通过引入问题，激发学生的探究兴趣，培养学生的思维能力和解决问题的能力。
3.情感态度价值观目标：培养学生对数学的兴趣，培养学生的观察力和分析问题的能力，培养学生认真负责的学习态度。
二、教学重难点1.教学重点：圆的一般方程的基本概念，圆的一般方程的推导过程。
2.教学难点：通过引导学生分析，理解圆的一般方程的推导过程。
三、教学过程1.导入（5分钟）老师在黑板上画一个圆，问学生：你们对圆的一般方程有了解吗？有什么想法？2.引入问题（5分钟）老师出示一张图片，画有一个坐标系和一个圆，问学生：如何确定这个圆的方程？请你们思考一下。
3.讲解圆的一般方程的基本概念（10分钟）a.老师引导学生思考：圆的一般方程是什么意思？它包括哪些内容？b.学生回答：圆的一般方程是指坐标系中，所有满足其方程的点的集合。
它包括圆心、半径的信息。
c.老师给出圆的一般方程的定义：圆的一般方程是指平面直角坐标系中，满足方程的所有点的集合。
4.推导圆的一般方程（20分钟）a.老师先引导学生思考：圆的特点是什么？如何用代数表示？b.学生回答：圆的特点是所有到圆心距离等于半径的点。
可以用勾股定理表示。
c.老师给出推导圆的一般方程的步骤：-假设圆心坐标为(x0,y0)，半径为r。
-任取圆上一点P(x,y)，根据勾股定理，有(x-x0)²+(y-y0)²=r²。
-展开可得到一般方程：x²+y²+Ax+By+C=0。
其中A=-2x0，B=-2y0，C=x0²+y0²-r²。
d.老师给出实例，通过具体计算，将圆的一般方程推导出来。
5.圆的一般方程的应用（15分钟）a.老师出示一道问题：圆心在原点，且与x轴和y轴的交点分别为(5,0)和(0,3)的圆的方程是什么？b.学生通过对问题分析，发现可以利用已知条件得到方程的三个参数：圆心坐标和半径。
圆的方程教学设计名师公开课获奖教案百校联赛一等奖教案
圆的方程教学设计一、教学目标1. 理解圆的定义，能够正确地描述圆的性质和特征。
2. 掌握圆的标准方程和一般方程的推导和使用，能够将问题转化为圆的方程来解答。
3. 能够利用圆的方程解决实际问题，如求圆的半径、圆心坐标等。
4. 培养学生的数学思维和逻辑推理能力，提高解决问题的能力。
二、教学重难点1. 圆的方程的推导和使用2. 利用圆的方程解决实际问题三、教学内容和过程1. 引入通过展示一些圆形物体，如篮球、轮胎等，引导学生对圆有一个直观的认识，并提出以下问题：（1）你能描述一下圆的性质和特征吗？（2）圆有没有什么特殊的方程呢？2. 圆的定义和性质向学生介绍圆的定义和性质，包括：（1）圆的定义：平面上离一个固定点距离相等的点的集合，这个固定点称为圆心，固定距离称为圆的半径。
（2）圆的性质：圆心到圆上任何一点的距离都相等，任意直径的长度都相等，圆上任意两点的连线都是直径。
3. 圆的方程的推导（1）标准方程的推导：以圆心坐标为原点，建立直角坐标系。
设圆的半径为r，圆上一点的坐标为(x, y)。
由圆的定义可得：(x - 0)² + (y - 0)² = r²。
化简得到标准方程：x² + y² = r²。
（2）一般方程的推导：设圆的圆心坐标为(h, k)，圆的半径为r，圆上一点的坐标为(x, y)。
由圆的定义可得：(x - h)² + (y - k)² = r²。
化简得到一般方程：(x - h)² + (y - k)² = r²。
4. 圆的方程的应用通过一些实际问题的例子，带领学生进行圆的方程应用的练习，如求圆的半径、圆心坐标等。
（1）例题1：已知圆上一点的坐标为(3, 4)，圆心坐标为(2, -1)，求圆的方程。
解：根据一般方程(x - h)² + (y - k)² = r²，代入已知数据得：(3 - 2)² + (4 - (-1))² = r²，化简得：2² +5² = r²，即 29 = r²。
圆方程教学设计(精选4篇)_圆的方程教学设计
圆方程教学设计（精选4篇）_圆的方程教学设计圆方程教学设计（精选4篇）由作者整理，希望给你工作、学习、生活带来方便。
第1篇：圆的一般方程教学设计一、学习目标知识与技能：在熟练记忆圆的标准方程的基础上，能通过配方法将方程配方，从而得出此方程表示圆的条件，记住此条件，并会求圆心和半径；熟练进行标准方程和一般方程之间的互化；通过比较得出求圆方程的两种方法（待定系数法和几何性质法）。
过程与方法：通过对方程表示圆的条件的探究，培圆的一般方程教学设计养学生探索发现和解决问题的能力，通过比较例题，感悟归纳和总结的学习方法。
情感态度与价值观：通过对数学思想和方法的渗透，让学生感受解决问题的不同思考角度和过程，激励学生积极思考，勇于探索的精神。
二、重点难点：探究方程的两种方法（待定系数法和几何性质法）。
三、学法提示：探究式；比较归纳式四、学习过程：包括相关预习、学习探究、反馈和展示、启发点拨、归纳小结、释疑答难、训练巩固、点拨校正、作业等。
1、自主预习（用10分钟时间阅读教材内容，勾勒自己的疑惑，查阅相关的资料辅助解决疑惑，记录自己一些独特的见解，完成学业质量模块测评的环节1，包括基础知识的记忆、思维提升的判断及A、B、C不同层级的练习）2、思考探究（引入）：问题1：圆的标准方程是什么？你能正确展开吗？此时重点观察和发现后进生的练习过程，及时地予以真诚的语言鼓励或者一个肯定的眼神、一个手势，让这些学生从一开始投入到我能学会的自信心当中来。
问题2：方程方程表示圆的条件；求圆方程在解决这两个问题之前老师紧接着问：由问题1你能想到解决这两个问题的办法吗？或者由这两个方程的形式特点你想到了什么方法来处理这两个方程？这样培养学生善于发现问题之间的内在联系的意识，也培养学生观察分析问题的能力。
这样学生自然采用配方法处理，第一个表示一个圆，第二个不表示任何图形。
问题3：将问题2一般化，方程都表示圆吗？在什么条件下表示圆？3、小组展示先给学生5分钟自主探究（因为涉及到分情况讨论，可能有一半学生会出错），而后各个小组在小组长的展示下相互完善，达成共识。
圆的一般方程教学案例(2篇)
第1篇一、教学背景本案例针对高中数学课程中的圆的一般方程进行教学设计。
圆的一般方程是解析几何中的重要内容，对于学生空间想象能力和代数运算能力的培养具有重要意义。
本节课旨在通过引导学生探索圆的一般方程，理解圆的几何性质，并能够运用圆的一般方程解决实际问题。
二、教学目标1. 知识与技能：- 理解圆的一般方程的形式及其几何意义。
- 掌握圆的一般方程的求解方法。
- 能够根据圆的一般方程描述圆的几何性质。
2. 过程与方法：- 通过观察、分析、归纳等方法，探索圆的一般方程。
- 通过实例分析和问题解决，培养学生的空间想象能力和代数运算能力。
3. 情感态度与价值观：- 体验数学与生活的联系，感受数学的简洁美。
- 培养学生的探究精神和团队合作意识。
三、教学重难点1. 重点：- 圆的一般方程的形式及其几何意义。
- 圆的一般方程的求解方法。
2. 难点：- 理解圆的一般方程中系数的几何意义。
- 圆的一般方程的应用。
四、教学过程（一）导入1. 展示生活中常见的圆形物体图片，如钟表、硬币、圆形跑道等，引导学生回顾圆的基本性质。
2. 提问：如何用数学语言描述一个圆？3. 引出圆的一般方程，并介绍其形式。
（二）新课讲授1. 圆的一般方程：- 引入坐标系，展示圆的标准方程和一般方程。
- 解释圆的一般方程中各系数的几何意义，如圆心坐标、半径等。
- 通过实例讲解如何根据圆的一般方程求解圆的几何性质。
2. 圆的一般方程的求解：- 展示圆的一般方程的求解步骤，包括化简、配方、求解等。
- 通过实例演示如何求解圆的一般方程。
3. 圆的一般方程的应用：- 展示圆的一般方程在实际问题中的应用，如求圆与直线的交点、求圆的面积等。
- 引导学生思考如何运用圆的一般方程解决实际问题。
（三）课堂练习1. 给出圆的一般方程，要求学生求解圆的几何性质。
2. 给出实际问题，要求学生运用圆的一般方程求解。
（四）课堂小结1. 回顾本节课所学的知识点，包括圆的一般方程的形式、求解方法、应用等。
圆的标准方程教案(一)
圆的标准方程教案(一)圆的标准方程教案一、教学目标1.理解什么是圆的标准方程。
2.学会根据圆的特性写出圆的标准方程。
3.掌握使用标准方程解决与圆有关的问题。
二、教学内容1.圆的定义及特性。
2.圆的标准方程的推导过程。
3.根据圆的特性写出标准方程的方法。
4.解决与圆有关的问题。
三、教学步骤1.引入：通过举例子引入圆的定义及特性，让学生了解什么是圆。
•圆：由平面上距离一个固定点（圆心）的距离相等的所有点组成的集合。
•圆的特性：半径、直径、弧、圆心角等。
2.讲解圆的标准方程的推导过程。
•圆的标准方程：(x−a)2+(y−b)2=r2，其中(a,b)为圆心，r 为半径。
•讲解推导过程，并进行示范。
3.指导学生如何根据圆的特性写出标准方程。
•已知圆心和半径：直接代入公式。
•已知圆上一点和半径：利用点到圆心的距离公式求解。
4.练习解决与圆有关的问题。
•给出一些实际问题，要求学生根据题目分析并列出方程，然后解答问题。
5.总结与拓展。
•总结圆的标准方程的写法和应用。
•拓展圆的其他方程形式（如一般方程）。
四、教学资源1.教材：教科书相关章节。
2.板书：绘制圆的定义、特性、标准方程及推导过程。
3.实例题：多个与圆相关的问题实例。
五、教学评估1.课堂练习：分发练习题，要求学生计算圆的标准方程或解决与圆有关的问题。
2.课堂讨论：对学生解答的问题进行讨论，指出正确的解题方法和思路。
3.提问：针对圆的标准方程的推导过程和应用进行提问，检查学生的掌握情况。
六、扩展延伸1.提供更多与圆相关的应用问题，让学生综合运用标准方程解决问题。
2.引导学生进一步探究一般方程和其他形式的圆方程。
3.拓展至三维空间中的圆方程，引导学生思考与圆相关的几何问题。
2.4.2圆的一般方程教学设计+-2024-2025学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册
2.4.2圆的一般方程教学设计【学习目标】1.会推导圆的一般方程，能够说出圆的一般方程的特点以及满足的条件.2.会根据已知条件运用待定系数法求圆的方程.3.会求动点的轨迹方程.【重点难点】重点：圆的一般方程及限制条件.难点：动点轨迹方程.【新课导入】1. 复习圆的标准方程，说出圆心和半径；2. 标准方程展开式：x 2+y 2-2ax-2by+a 2+b 2-r 2=03. 抽象为：x 2+y 2+Dx+Ey+F=0提问：二元二次方程一定表示圆吗？设计意图：复习巩固圆的标准方程，展开后，类比直线的一般方程，抽象出二元二次方程的形式，由问题引入本课主题。
任务一：探究圆的一般方程问题一：圆的一般方程是什么？有什么限制条件？思：认真阅读课本85-86页，在课本上圈画关键知识。
1. 结合以下问题认真阅读课本85-86页，在课本上圈画关键知识并回答以下问题：2. 小组研讨:一般方程022=++++C Ey Dx y x 配方得（x +D 2)2+（x +E 2)2=D 2+E 2−4F 4 （1）当D 2+E 2−4F =0时，方程表示一个点，该点的坐标为(−D 2,−E 2).（2）当D 2+E 2−4F <0时，方程不表示任何图形.（3）当D 2+E 2−4F >0时，方程表示的曲线为圆，它的圆心坐标为(−D 2,−E 2)，半径为r =√D 2+E 2−4F 4. 小结：一般方程转化为标准方程的常用方法：配方法训练：（教材88页练习 1题和第2题）第1题：求下列各圆的圆心坐标和半径，并画出它们的图形：（1）圆心：(3,0)半径：r=3（2）圆心：(0,-b)半径：r=|b|（3）圆心：(a ,√3a )半径：r=|a|第2题：求下列各圆的方程，并画出图形：（1）表示一个点(0,0)（2）表示一个圆，圆心为(1,-2)，半径为√11（3）当a 2+b 2=0表示点（0，0）：当a 2+b 2>0表示圆，圆心为（−a,0)，半径为r =√a 2+b 2 设计意图：通过学生自主学习教材知识，小组讨论方程的特点，认识圆的一般方程及其成立的条件。
初中圆的方程教案
教案：初中圆的方程教学目标：1. 理解圆的方程的概念，掌握圆的标准方程和一般方程的形式。
2. 学会使用圆的方程解决实际问题，提高解决问题的能力。
3. 培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
教学重点：1. 圆的方程的概念及形式。
2. 圆的标准方程和一般方程的互化。
3. 使用圆的方程解决实际问题。
教学难点：1. 圆的方程的推导过程。
2. 圆的标准方程和一般方程的互化方法。
教学准备：1. 圆的方程的PPT或黑板。
2. 圆的方程的练习题。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引导学生回顾圆的定义和性质，如圆的半径、直径等。
2. 提问：我们已经学习了直线和圆的方程，那么圆的方程是什么呢？二、新课讲解（15分钟）1. 讲解圆的标准方程和一般方程的定义和形式。
圆的标准方程：圆心在原点，半径为r的圆的方程为x^2 + y^2 = r^2。
圆的一般方程：圆心不在原点，半径为r的圆的方程为(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2。
2. 讲解圆的标准方程和一般方程的互化方法。
互化公式：若已知圆的方程为(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2，则圆的标准方程为x^2 + y^2 - 2ax - 2by + a^2 + b^2 - r^2 = 0。
三、例题讲解（15分钟）1. 讲解一个简单的例题，让学生理解圆的方程的应用。
例题：已知圆的一般方程为(x-2)^2 + (y+3)^2 = 13，求圆的圆心坐标和半径。
解：将圆的一般方程化为标准方程，得到圆的标准方程为x^2 + y^2 - 4x +6y + 5 = 0。
圆心坐标为(2, -3)，半径为√13。
四、课堂练习（15分钟）1. 让学生独立完成练习题，巩固圆的方程的知识。
五、总结（5分钟）1. 回顾本节课所学内容，强调圆的方程的概念和形式。
2. 提醒学生注意圆的标准方程和一般方程的互化方法。
教学反思：本节课通过讲解和练习，让学生掌握了圆的方程的概念和形式，以及圆的标准方程和一般方程的互化方法。
《圆的一般方程》教案(公开课)
《圆的一般方程》教案一、教学目标(一)知识教学点使学生掌握圆的一般方程的特点；能将圆的一般方程化为圆的标准方程从而求出圆心的坐标和半径；能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程．(二)能力训练点使学生掌握通过配方求圆心和半径的方法，熟练地用待定系数法由已知条件导出圆的方法，熟练地用待定系数法由已知条件导出圆的方程，培养学生用配方法和待定系数法解决实际问题的能力．(三)学科渗透点通过对待定系数法的学习为进一步学习数学和其他相关学科的基础知识和基本方法打下牢固的基础．二、教材分析1．重点：(1)能用配方法，由圆的一般方程求出圆心坐标和半径；(2)能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程．(解决办法：(1)要求学生不要死记配方结果，而要熟练掌握通过配方求圆心和半径的方法；(2)加强这方面题型训练．)2．难点：圆的一般方程的特点．(解决办法：引导学生分析得出圆的一般方程的特点，并加以记忆．)3．疑点：圆的一般方程中要加限制条件D2+E2-4F＞0．(解决办法：通过对方程配方分三种讨论易得限制条件．)三、活动设计讲授、提问、归纳、演板、小结、再讲授、再演板．四、教学过程(一)复习引入新课前面，我们已讨论了圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2，现将展开可得x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0．可见，任何一个圆的方程都可以写成x2+y2+Dx+Ey+F=0．请大家思考一下：形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程的曲线是不是圆？下面我们来深入研究这一方面的问题．复习引出课题为“圆的一般方程”．(二)圆的一般方程的定义1．分析方程x3+y2+Dx+Ey+F=0表示的轨迹将方程x2+y2+Dx+Ey+F=0左边配方得：(1)(1)当D2+E2-4F＞0时，方程(1)与标准方程比较，可以看出方程半径的圆；(3)当D2+E2-4F＜0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0没有实数解，因而它不表示任何图形．这时，教师引导学生小结方程x2+y2+Dx+Ey+F=0的轨迹分别是圆、法．2．圆的一般方程的定义当D2+E2-4F＞0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0称为圆的一般方程．(三)圆的一般方程的特点请同学们分析下列问题：问题：比较二元二次方程的一般形式Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0．(2)与圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0，(D2+E2-4F＞0)．(3)的系数可得出什么结论？启发学生归纳结论．当二元二次方程 Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0具有条件：(1)x2和y2的系数相同，不等于零，即A=C≠0；(2)没有xy项，即B=0；(3)D2+E2-4AF＞0．它才表示圆．条件(3)通过将方程同除以A或C配方不难得出．教师还要强调指出：(1)条件(1)、(2)是二元二次方程(2)表示圆的必要条件，但不是充分条件；(2)条件(1)、(2)和(3)合起来是二元二次方程(2)表示圆的充要条件．(四)应用与举例同圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2一样，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0也含有三个系数D、E、F，因此必具备三个独立的条件，才能确定一个圆．下面看一看它们的应用．例1求下列圆的半径和圆心坐标：(1)x2+y2-8x+6y=0，(2)x2+y2+2by=0．此例由学生演板，教师纠错，并给出正确答案：(1)圆心为(4，-3)，半径为5；(2)圆心为(0，-b)，半径为|b|，注意半径不为b．同时强调：由圆的一般方程求圆心坐标和半径，一般用配方法，这要熟练掌握．例2求过三点O(0，0)、A(1，1)、B(4，2)的圆的方程．解：设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，由O、A、B在圆上，则有解得：D=-8，E=6，F=0，故所求圆的方程为x2+y2-8x+6=0．例2小结：1．用待定系数法求圆的方程的步骤：(1)根据题意设所求圆的方程为标准式或一般式；(2)根据条件列出关于a、b、r或D、E、F的方程；(3)解方程组，求出a、b、r或D、E、F的值，代入所设方程，就得要求的方程．2．关于何时设圆的标准方程，何时设圆的一般方程：一般说来，如果由已知条件容易求圆心的坐标、半径或需要用圆心的坐标、半径列方程的问题，往往设圆的标准方程；如果已知条件和圆心坐标或半径都无直接关系，往往设圆的一般方程．再看下例：例3求圆心在直线l：x+y=0上，且过两圆C1∶x2+y2-2x+10y-24=0和C2∶x2+y2+2x+2y-8=0的交点的圆的方程．(0，2)．设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2，因为两点在所求圆上，且圆心在直线l上所以得方程组为故所求圆的方程为：(x+3)2+(y-3)2=10．这时，教师指出：(1)由已知条件容易求圆心坐标、半径或需要用圆心的坐标、半径列方程的问题，往往设圆的标准方程．(2)此题也可以用圆系方程来解：设所求圆的方程为：x2+ y2-2x+10y-24+λ(x2+y2+2x+2y-8)=0(λ≠-1)整理并配方得：由圆心在直线l上得λ=-2．将λ=-2代入所假设的方程便可得所求圆的方程为x2+y2+6x-6y+8=0．此法到圆与圆的位置关系中再介绍，此处为学生留下悬念．的轨迹，求这个曲线的方程，并画出曲线．此例请两位学生演板，教师巡视，并提示学生：(1)由于曲线表示的图形未知，所以只能用轨迹法求曲线方程，设曲线上任一点M(x，y)，由求曲线方程的一般步骤可求得；(2)应将圆的一般方程配方成标准方程，进而得出圆心坐标、半径，画出图形．(五)小结1．圆的一般方程的定义及特点；2．用配方法求出圆的圆心坐标和半径；3．用待定系数法，导出圆的方程．五、布置作业1．求下列各圆的一般方程：(1)过点A(5，1)，圆心在点C(8，-3)；(2)过三点A(-1，5)、B(5，5)、C(6，-2)．2．求经过两圆x2+y2+6x-4=0和x2+y2+6y-28=0的交点，并且圆心在直线x-y-4=0上的圆的方程．3．等腰三角形的顶点是A(4，2)，底边一个端点是B(3，5)，求另一个端点的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么．4．A、B、C为已知直线上的三个定点，动点P不在此直线上，且使∠APB=∠BPC，求动点P的轨迹．作业答案：1．(1)x2+y2-16x+6y+48=0(2)x2+y2-4x-2y-20=02．x2+y2-x+7y-32=03．所求的轨迹方程为x2+y2-8x-4y+10=0(x≠3，x≠5)，轨迹是以4．以B为原点，直线ABC为x轴建立直角坐标系，令A(-a，0)，C(c，0)(a ＞0，c＞0)，P(x，y)，可得方程为：(a2-c2)x2+(a2-c2)y2-2ac(a+c)x=0．当a=c时，则得x=0(y≠0)，即y轴去掉原点；当a≠c时，则得(x-与x轴的两个交点．六．板书设计。
《圆的方程》的课堂教案设计（通用10篇）
《圆的方程》的课堂教案设计《圆的方程》的课堂教案设计（通用10篇）作为一位不辞辛劳的人民教师，时常要开展教案准备工作，编写教案有利于我们弄通教材内容，进而选择科学、恰当的教学方法。
教案要怎么写呢？下面是小编精心整理的《圆的方程》的课堂教案设计，供大家参考借鉴，希望可以帮助到有需要的朋友。
《圆的方程》的课堂教案设计篇11、教学目标（1）知识目标：a、在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程；b、会由圆的方程写出圆的半径和圆心，能根据条件写出圆的方程；c、利用圆的方程解决与圆有关的实际问题。
（2）能力目标：a、进一步培养学生用解析法研究几何问题的能力；b、使学生加深对数形结合思想和待定系数法的理解；c、增强学生用数学的意识。
（3）情感目标：培养学生主动探究知识、合作交流的意识，在体验数学美的过程中激发学生的学习兴趣。
2、教学重点、难点（1）教学重点：圆的标准方程的求法及其应用。
（2）教学难点：①会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程②选择恰当的坐标系解决与圆有关的实际问题。
3、教学过程（一）创设情境（启迪思维）问题一：已知隧道的截面是半径为4m的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为2.7m，高为3m的货车能不能驶入这个隧道？[引导]：画图建系[学生活动]：尝试写出曲线的方程（对求曲线的方程的步骤及圆的定义进行提示性复习）解：以某一截面半圆的圆心为坐标原点，半圆的直径AB所在直线为x轴，建立直角坐标系，则半圆的方程为x2+y2=16（y≥0）将x=2.7代入，得即在离隧道中心线2。
7m处，隧道的高度低于货车的高度，因此货车不能驶入这个隧道。
（二）深入探究（获得新知）问题二：1、根据问题一的探究能不能得到圆心在原点，半径为的圆的方程？答：x2+y2=r22、如果圆心在，半径为时又如何呢？[学生活动]：探究圆的方程。
[教师预设]：方法一：坐标法如图，设M（x，y）是圆上任意一点，根据定义点M到圆心C的距离等于r，所以圆C就是集合P={M||MC|=r}由两点间的距离公式，点M适合的条件可表示为①把①式两边平方，得（x―a）2+（y―b）2=r2方法二：图形变换法方法三：向量平移法（三）应用举例（巩固提高）I直接应用（内化新知）问题三：1、写出下列各圆的方程（课本P77练习1）（1）圆心在原点，半径为3；（2）圆心在，半径为（3）经过点，圆心在点2、根据圆的方程写出圆心和半径II灵活应用（提升能力）问题四：1、求以为圆心，并且和直线相切的圆的方程。
圆的方程公开课教学设计
§2.1 圆的标准方程教学目标（ 一 ） 知识与能力 1. 了解确定圆的条件 ; 2. 理解圆的标准方程的推导过程及方程形式 , 逐步理解用代数方法研究几 何问题 ; 3. 会用圆的标准方程写出圆的半径和圆心坐标 , 能根据条件写出圆的标准 方程, 能选择恰当的坐标系解决与圆有关的实际问题 .二）过程与方法 由确定圆的条件推导出圆的标准方程 ; 明确求圆的标准方程的一般步骤 .三）情感态度与价值观 渗透数形结合的思想方法 ; 培养学生的思维品质和提高学生的思维能力 . 培养学生合作交流的意识 , 培养勤于思考、探究问题的精神 . 教学重点1. 已知圆心为 C （a,b ） , 半径为 r 的圆的标准方程的求法 ;2.在求圆的标准方程的过程中 , 加强对坐标法的理解 . 教学难点 根据已知条件 ,利用待定系数法确定圆的三个参数 a,b,r ,从而求出圆的标准方程. 教具准备制作多媒体 , 辅助教学 .教学方法 引导、合作、讨论、探究法 .设计思想 设计的根本出发点是促进学生的发展。
教师以合作者的身份参与， 课堂上建 立平等、互助、融洽的关系，师生共同研究，在教学过程中，教师遵循数学发展 规律，并依据建构主义教育理论， 创设一系列数学实验环境， 在情境中让学生观 察、类比、猜想、尝试、探索、归纳并引导加以证明，强调主动建构，从深层次 加强学生对知识的感知度，使学生能更好地理解和掌握圆的标准方程。
教学过程（ 一） 课题引入1.圆的定义①：平面内绕着线段的一个端点旋转一周所组成的图形 .（ 描述性定义 ）［ 探究］ 圆的几何特征 （学生讨论 ）教师总结：圆的几何特征是圆上任意一点到定点的距离等于定长 . 说明：（1） 定点叫圆心 ,定长称为半径 ; ［探究］：确定圆的条件 （学生讨论）教师总结 ： 一个圆的圆心位置和半径一旦给定 , 那么这个圆就被确定下来了 , 所以( 1. 2. ( 1. 2. 3.(3) y = J 4-X ; (4) y = <0);确定圆的条件是圆心和半径.说明：在确定圆的条件中，圆心和半径缺一不可，其中： ①圆心确定圆的位置，②半径确定圆的大小.2.圆的定义②：平面内到一个定点的距离等于定长的点的轨迹 (集合).(运动变化的思想)说明:(1)其中定点叫做圆的圆心，定长叫做圆的半径.(2)设圆心为C( a, b),半径为r ( r >0 )的圆上的点M 就是集合P = {M || MC =3. 曲线方程的一般求解步骤 (2)(3)(二)圆的标准方程圆的标准方程的推导过程：(圆心为C(a,b),半径为r(r:>0)的圆)设P(x,y)是圆上的任意一点,根据圆的定义，点P(x,y)到圆心C(a,b)的距离为r,即|P C |=r,由两点间的距离公式，得J (x -a)2 +(y-b)2=r ①把①式两边平方，得圆的标准方程为：(X-a)2+(y -b)2 = r 2［说明］：(1)圆的标准方程中有两个基本要素：圆心和半径，即只要三个参数a,b, r (r >0),确定了，圆的标准方程就确定了 ，这也是用待定系数法求圆的 标准方程的思想方法；(2)特别地，当a=b=0 (即圆心在坐标原点)，时，圆的标准方程为:X 2+ y 2=r 2;又当r =1时，圆的标准方程为x 2+ y 2=1(单位圆);(3)点与圆的位置关系：点在圆上，点在圆内，点在圆外. ［及时反馈］ 口答1:下列说法正确吗？(1)圆(X -1)2+(y —2)2=3的圆心坐标为(T,—2),半径为3;⑵ 圆(2X-2)2+(2y+4)2 =2的圆心坐标为(2, Y),半径为72 ; ⑶ 圆(x +1)2+(y +2)2=m 2(m H 0)的圆心坐标为(-1,-2),半径为m ; 口答2:下列方程分别表示什么图形？(1) x +y =0;(2) x +y =4;写出适合条件的点M 的集合;用坐标表示集合； 化方程为最简形式. :⑴2 2 2 2又 r = M 1C =(4—(—1)) +(9—4) =50, 故所求圆的标准方程为(X +1)2+(y -4)2 =50变式2.已知△ M 1M 2M 3三个顶点的坐标为M 1(4,9), M 2(6,3), M 3(4, -3),求此三角形外接圆的标准方程.解：线段M 1M 2的中垂线方程为X-3y+13 = 0,线段M 1M 3的中垂线方程为y = 3l x — 3y+13=0 l x = —4 由t y=3y S y =3即得圆心C 的坐标为⑷又 r 2=(-4-6)2+(3-3)2=100 故所求圆的标准方程为(x +4 )2+(y -3)2=100口答3:已知圆0的方程为(X +1)2 + (y —1)2 = 4 ,判断下列点与圆0的位置关系：(1) A(1,1); (2) B(0,1); (3)C(0,3)口答4:写出满足下列条件的圆的标准方程.(1)以C(4, _6)为圆心,半径等于3⑵以C(#6)为圆心,半径等于73(三)例题解析例.已知两点M J S®), M 2(6,3),求以MM 为直径的圆的标准方程. 解:方法一(待定系数法).设圆心为C(a,b),半径为r ( r >0)r = CM 1=J (4 -5)2 +(9-6)2二后 故所求圆的标准方程为(X -5)2 +(y -6)2 =10变式1.已知圆C 的圆心在直线标准方程.解：线段M j M ?的中垂线方程为x-3y+13=0 lx = -1 4x + y = 0畀=44x + y=0上,且过点M J SE), M 2(6,3),求此圆的X-3 y +13 = 0,即圆心坐标为C(-1,4),F 曲〔4.9)C［总结］用待定系数法求圆的标准方程的一般步骤： (1)根据题意，设所求圆的标准方程为(X —a)2+(y —b)2= r 2(2)根据已知条件,利用几何或代数关系求出a,b,r ;(3)将所得的a,b,r 的值代回所设的圆的方程中,即得圆的标准方程. (四)测试反馈1. 课本P79练习2. 求满足下列条件的圆的标准方程： (1)经过点P(5,1),圆心为点C(8, -3); ⑵如图,圆经过两点A( —1,4), B(3,2),圆心在y 轴上.解(1)方法一 ：r = PC =5, •••圆的标准方程为(X-8) 2方法二：设圆的标准方程为(X-a)2+(y -b)2 =r 2, •••点P (5,1)在圆上, ••• (5 -8)2 +(1 +3)2 =r 2, ••• r 2 =25, •••圆的标准方程为(x-8)2 +(y + 3)2=25 ⑵方法一：设圆心为C(a,b), •••圆心在在y 轴上，二a =0, 设圆的标准方程为X 2+(y -b)2 =r 2,因为该圆过A(-1,4),B(3,2)两点，所以有 [(-1)2 + (4-b)2=r 232+(2-b)2=r 2=巴" ,所以圆的标准方程为X 2+ (y-1)—10 ［r =10 方法二：线段AB 的中垂线方程为：y -3 = 2(x-1),即y =2x +1,令x = 0,得 y =1,又 r = AC = 710 ,所以圆的标准方程为X 2+ (y -1)2 =10 3.求以C(1,3)为圆心,并且和直线3x -4y -7 =0相切的圆的标准方程. 解:以题意,圆的半径-右 所以圆的标准方程为：(X-1)2+(y-3)2 3咒1—4咒3—7 (五)课时小结 (1) 确定圆的条件； (2) 圆的标准方程的形式和求法. (六)布置作业(1) P85 习题 A 组 1 (1),(2),(3)X 2 + y 2 = r 2,试求过圆上一点P （X 0, y o ）的切线方程.（X —a ）2+（y —b ）2= r 2,试求过圆上一点 P （X 0,y 。
圆的方程教案
圆的方程教案教学目标•理解圆的定义和性质•掌握圆的方程的基本形式•能够根据给定的条件写出圆的方程•能够通过圆的方程求解相关问题教学内容1.圆的定义和性质2.圆的方程的一般形式3.圆的标准方程4.圆的方程与圆心、半径的关系5.通过圆的方程求解相关问题的方法教学步骤Step 1: 圆的定义和性质•给出圆的定义：圆是由平面上与一个确定点的距离相等于定值的所有点的集合。
•进一步解释圆的性质：圆上任意两点的距离相等；圆的半径是任意两个点到圆心的距离；圆心到圆上任意一点的距离是圆的半径。
Step 2: 圆的方程的一般形式•定义圆的方程的一般形式：(x−a)2+(y−b)2=r2，其中(a,b)为圆心的坐标，r为圆的半径。
Step 3: 圆的标准方程•解释圆的标准方程：(x−ℎ)2+(y−k)2=r2，其中(ℎ,k)为圆心的坐标，r 为圆的半径。
Step 4: 圆的方程与圆心、半径的关系•通过具体示例讲解圆的方程与圆心、半径的关系。
例如，给出一个圆心坐标为(2,3)、半径为5的圆，写出其方程。
Step 5: 通过圆的方程求解相关问题的方法•提供不同类型的问题，要求学生根据圆的方程进行求解。
例如：“给定一个圆的方程(x−1)2+(y+2)2=16，求圆的圆心和半径。
”教学示范示例1：圆的定义和性质圆是由平面上与一个确定点的距离相等于定值的所有点的集合。
圆上任意两点的距离相等；圆的半径是任意两个点到圆心的距离；圆心到圆上任意一点的距离是圆的半径。
示例2：圆的方程的一般形式圆的方程的一般形式为(x−a)2+(y−b)2=r2，其中(a,b)为圆心的坐标，r 为圆的半径。
示例3：圆的标准方程圆的标准方程为(x−ℎ)2+(y−k)2=r2，其中(ℎ,k)为圆心的坐标，r为圆的半径。
示例4：圆的方程与圆心、半径的关系对于一个圆心坐标为(2,3)、半径为5的圆，其方程可写为(x−2)2+(y−3)2=25。
示例5：通过圆的方程求解相关问题的方法给定一个圆的方程(x−1)2+(y+2)2=16，我们可以根据方程得到圆的圆心(1,−2)和半径4。
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§2.1圆的标准方程
教学目标
(一)知识与能力
1.了解确定圆的条件;
2.理解圆的标准方程的推导过程及方程形式,逐步理解用代数方法研究几
何问题;
3.会用圆的标准方程写出圆的半径和圆心坐标,能根据条件写出圆的标准
方程,能选择恰当的坐标系解决与圆有关的实际问题.
(二)过程与方法
1.由确定圆的条件推导出圆的标准方程;
2.明确求圆的标准方程的一般步骤.
(三)情感态度与价值观
1.渗透数形结合的思想方法;
2.培养学生的思维品质和提高学生的思维能力.
3.培养学生合作交流的意识,培养勤于思考、探究问题的精神.
教学重点
1.已知圆心为(,)
C a b,半径为r的圆的标准方程的求法;
2.在求圆的标准方程的过程中,加强对坐标法的理解.
教学难点
根据已知条件,利用待定系数法确定圆的三个参数,,
a b r,从而求出圆的标
准方程.
教具准备
制作多媒体,辅助教学.
教学方法
引导、合作、讨论、探究法.
设计思想
设计的根本出发点是促进学生的发展。
教师以合作者的身份参与，课堂上建立平等、互助、融洽的关系，师生共同研究，在教学过程中，教师遵循数学发展规律，并依据建构主义教育理论，创设一系列数学实验环境，在情境中让学生观察、类比、猜想、尝试、探索、归纳并引导加以证明，强调主动建构，从深层次加强学生对知识的感知度，使学生能更好地理解和掌握圆的标准方程。
教学过程
(一)课题引入
1.圆的定义①:平面内绕着线段的一个端点旋转一周所组成的图形.
(描述性定义)
[探究]圆的几何特征(学生讨论)
教师总结:圆的几何特征是圆上任意一点到定点的距离等于定长.
说明:(1)定点叫圆心,定长称为半径;
[探究]:确定圆的条件(学生讨论)
教师总结:一个圆的圆心位置和半径一旦给定,那么这个圆就被确定下来了,所以
确定圆的条件是圆心和半径.
说明:在确定圆的条件中,圆心和半径缺一不可,其中:
①圆心确定圆的位置,②半径确定圆的大小.
2.圆的定义②:平面内到一个定点的距离等于定长的点的轨迹(集合). (运动变化的思想)
说明:(1)其中定点叫做圆的圆心,定长叫做圆的半径.
(2)设圆心为(,)C a b ,半径为r (0r >)的圆上的点M 就是集合
{}P =M|MC =r
3.曲线方程的一般求解步骤:(1)写出适合条件的点M 的集合;
(2)用坐标表示集合;
(3)化方程为最简形式.
(二)圆的标准方程
圆的标准方程的推导过程:(圆心为(,)C a b ,半径为r (0r >)的圆)
设(,)P x y 是圆上的任意一点,根据圆的定义,点(,)P x y 到圆心(,)C a b 的距离为
r ,即PC r =,由两点间的距离公式,r = ①
把①式两边平方,得圆的标准方程为:222()()x a y b r -+-=
[说明]:
(1)圆的标准方程中有两个基本要素:圆心和半径,即只要三个参数,,a b r (0r >),确定了,圆的标准方程就确定了,这也是用待定系数法求圆的标准方程的思想方法;
(2)特别地,当0a b ==(即圆心在坐标原点),时,圆的标准方程为:
222x y r +=;又当1r =时,圆的标准方程为221x y +=(单位圆);
(3)点与圆的位置关系:点在圆上,点在圆内,点在圆外.
[及时反馈]
口答1:下列说法正确吗?
(1)圆22(1)(2)3x y -+-=的圆心坐标为(1,2)--,半径为3;
(2) 圆22(22)(24)2x y -++=的圆心坐标为(2,4)-,;
(3) 圆222(1)(2)(0)x y m m +++=≠的圆心坐标为(1,2)--,半径为m ; 口答2:下列方程分别表示什么图形?
(1)220x y +=; (2) 224x y +=;
(3)y =; (4) 0)y x =<;
口答3:已知圆O 的方程为22(1)(1)4x y ++-=,判断下列点与圆O 的位置关系:
(1)(1,1)A ; (2)(0,1)B ; (3)C (0,3)
口答4:写出满足下列条件的圆的标准方程.
(1)以(4,6)C -为圆心,半径等于3
(2)以(4,6)C -为圆心,半径等于3 (三)例题解析 例.已知两点12(4,9),(6,3)M M ,求以12M M 为直径的圆的标准方程.
解:方法一(待定系数法).
设圆心为(,)C a b ,半径为r (0r >)
则46935,622
a b ++==== 221(45)(96)10r CM ==-+-=
故所求圆的标准方程为22(5)(6)10x y -+-=
变式 1.已知圆C 的圆心在直线40x y +=上,且过点12(4,9),(6,3)M M ,求此圆的
标准方程.
解: 线段12M M 的中垂线方程为3130x y -+=,
31301404
x y x x y y -+==-⎧⎧⇒⎨⎨+==⎩⎩ 即圆心坐标为(1,4)C -, 又2
2221(4(1))(94)50r M C ==--+-=,
故所求圆的标准方程为22(1)(4)50x y ++-=
变式2.已知123M M M ∆三个顶点的坐标为123(4,9),(6,3),(4,3)M M M -,求此三角
形外接圆的标准方程.
解: 线段12M M 的中垂线方程为3130x y -+=,线段13M M 的中垂线方程为3y = 由3130433
x y x y y -+==-⎧⎧⇒⎨⎨==⎩⎩ 即得圆心C 的坐标为(4,3)- 又222(46)(33)100r =--+-= 故所求圆的标准方程为22(4)(3)100x y ++-=
[总结]用待定系数法求圆的标准方程的一般步骤:
(1)根据题意,设所求圆的标准方程为222()()x a y b r -+-= ;
(2)根据已知条件,利用几何或代数关系求出,,a b r ;
(3)将所得的,,a b r 的值代回所设的圆的方程中,即得圆的标准方程.
(四)测试反馈
1. 课本79P 练习
2. 求满足下列条件的圆的标准方程:
(1)经过点(5,1)P ,圆心为点(8,3)C -;
(2)如图,圆经过两点(1,4),(3,2)A B -,圆心在y 轴上.
解(1)方法一:5r PC ==,∴圆的标准方程为22(8)(3)25x y -++=
方法二:设圆的标准方程为222()()x a y b r -+-=,∵点(5,1)P 在圆上, ∴222(58)(13)r -++=,∴225r =,∴圆的标准方程为22(8)(3)25x y -++=
(2)方法一:设圆心为(,)C a b ,∵圆心在在y 轴上,∴0a =,
设圆的标准方程为222()x y b r +-=,因为该圆过(1,4),(3,2)A B -两点,所以有
22222221(1)(4)103(2)b b r r b r
=⎧-+-=⎧⎪⇒⎨⎨=+-=⎪⎩⎩ ,所以圆的标准方程为22(1)10x y +-= 方法二:线段AB 的中垂线方程为:32(1)y x -=-,即21y x =+,令0x =,得1y =, 又10r AC ==, 所以圆的标准方程为22(1)10x y +-=
3.求以(1,3)C 为圆心,并且和直线3470x y --=相切的圆的标准方程. 解:以题意,圆的半径2231437
165
34r ⨯-⨯-==+, 所以圆的标准方程为:22256(1)(3)25x y -+-=
(五)课时小结
(1)确定圆的条件;
(2)圆的标准方程的形式和求法.
(六)布置作业
(1)85P 习题A 组 1 (1),(2),(3)
(2)问题延伸,课外探究:
(ⅰ)已知圆的方程为222x y r +=,试求过圆上一点00(,)P x y 的切线方程. (ⅱ)已知圆的方程为222()()x a y b r -+-=,试求过圆上一点00(,)P x y 的
切线方程.
(七)板书设计
(八)课后反思
本节在给出圆的标准方程的过程中，运用简单、特殊的到复杂、一般的数学思想，使用了观察、猜测、经验归纳等方法进行合情地推理，同时引导学生对照圆的几何形状，观察和欣赏圆的方程，体会数学中的美——对称、简洁。
圆的标准方程的应用是本节的难点。
为了突破难点，设计三个例题。
充分利用多媒体的动感演示，刺激学生的感官，引起更强的注意，从而使学生理解理论来源于实践，充分调动学生学习数学的热情，激发学生自主探究问题的兴趣，增强应用意识；同时培养学生勇于探索、坚忍不拔的意志品质。
最后设计了“问题延伸”，让学生带着问题走进课堂，又带着问题走出课堂，激发学生不断求知、不断探索的欲望。
在整个教学过程中，主要着眼于“引”，启发学生“探”，把“引”和“探”有机的结合起来，教师的每项措施都是为了力求给学生创造一种思维情境，一种动手、动脑、动口并且主动参与学习的机会，激发学生求知的欲望，促使学生掌握知识，解决问题。