初中数学变式案例及艺术
例谈初中数学教学中变式题的应用技巧

例谈初中数学教学中变式题的应用技巧初中数学教学中,变式题是非常重要的一部分。
变式题能够帮助学生理解数学知识,并且提高他们的解决问题的能力。
本文将介绍一些关于初中数学教学中变式题的应用技巧,希望能够对教师和学生有所帮助。
一、培养学生的逻辑思维能力在教学过程中,教师应该注重培养学生的逻辑思维能力。
变式题往往需要学生进行逻辑推理,找出其中的规律。
教师可以通过分析变式题的解题思路,向学生展示逻辑推理的过程,引导学生学会从已知条件中推断出结果。
在课堂上,教师还可以设计一些有趣的逻辑推理游戏,帮助学生提高逻辑思维能力,从而更好地理解变式题的求解方法。
二、注重培养学生的解决问题能力变式题的求解过程往往需要学生进行灵活的思维和分析,教师在教学中应该注重培养学生的解决问题能力。
可以通过设计一些实际生活中的问题,让学生运用所学的知识去解决,帮助学生理解抽象的数学知识,并且提高他们的解决问题能力。
在课堂上,教师可以组织学生进行小组讨论,让学生通过交流和讨论,学会倾听他人的观点,发现问题的不同解决方法。
三、设计丰富多样的练习题目为了帮助学生更好地掌握变式题的求解方法,教师应该设计丰富多样的练习题目。
变式题的种类很多,包括代数式的变式、几何图形的变式等等,教师可以根据学生的实际情况,设计不同类型的练习题目。
教师还可以根据教材内容,设计一些拓展性的练习题目,帮助学生更加深入地理解变式题的求解方法。
四、注意引导学生发现问题的变化规律在变式题的教学中,教师应该注重引导学生发现问题的变化规律。
变式题的求解过程往往涉及到问题的变化规律,教师在引导学生解题的过程中,应该注重启发学生思维,帮助学生通过观察和分析,找出其中的规律。
在课堂上,教师可以通过举一反三的方式,设计一些相关的问题,让学生通过比较和分析,发现问题的变化规律。
五、关注学生的学习习惯和方法在变式题的教学过程中,教师还应该关注学生的学习习惯和方法。
变式题的学习需要学生有很好的思维习惯和解题方法,教师可以通过课堂讲解、作业布置等方式,引导学生建立正确的学习习惯和解题方法。
变式教学的课堂案例

变式教学的课堂案例常州市花园中学数学组曹瑜变式教学是对数学中的问题用不同的观点进行不同角度、不同层次、不同情形、不同背景的探究,以暴露问题的本质特征,揭示不同知识点间的内在联系的一种教学。
通过变式教学,使一题多用,多题重组,不仅能给学生以新鲜感,提高解题的积极性,而且加强了学生对问题的认识,提高学生的解题能力。
以下就08年常州市中考题第28题做一些演变。
原考题如图,抛物线24=+与x轴分别相y x x交于点B、O,它的顶点为A,连接AB,把AB所的直线沿y轴向上平移,使它经过原点O,得到直线l,设P是直线l上一动点.(1)求点A的坐标;(2)以点A、B、O、P为顶点的四边形中,有菱形等腰梯形、直角梯形,请分别直接写出这些特殊四边形的顶点P的坐标。
分析:第一小题,可以用配方法或顶点坐标公式求出点A的坐标,本题较简单。
第二小题是四边形与抛物线的结合,难点是能找到点P的位置。
这就要求学生对几类四边形的性质相当熟悉,并能在该题中灵活运用。
师:需要什么条件就可以确定菱形ABOP?生:四条边相等或对角线互相平分。
师:目前本题中给出了哪些条件?生:三个确定的点A、B、O和一个动点P师:由三个定点你可以知道哪些是边哪些是对角线吗?生:可以是AB、AO为边,BO为对角线或AO、BO为边,AB为对角线或者是BO、AB为边,AO为对角线。
师:从分析来看,一共有三种情况,下面就一个一个来分析。
当AB、AO为边,BO为对角线时,点P可以确定了吗?生:点P在BO的中垂线上。
师:点P是BO的中垂线上的哪个点呢?生:与直线l的交点。
师:非常好!那么点P的坐标该怎么求呢?生:利用对称性,点A与点P关于X轴对称。
题(2)中,A、B、O三点固定不变,四边形要为菱形,显然BO 、AP分别为菱形的对角线,由菱形对角线的性质可知点P在BO的中垂线上,且点P在直线L上,则 BO的中垂线与直线L的交点即为点P。
四边形要为等腰梯形,则AB、OP作为梯形的底,只需满足AO=BP即可。
变式教学在初中数学中的应用举例

变式教学在初中数学中的应用举例摘要:变式教学作为一种有效的教学模式,在中学数学教学中十分常见。
本文以初中数学教学为载体,以举例研究为主要方式,从数学概念教学中的变式、一题多解性变式、多题一解性变式及一题多变性变式进行了举例研究。
以期为优化初中数学教学起到一定的参考借鉴意义。
关键词:变式教学;初中数学;应用所谓变式教学是指在教学中从一道母题出发,通过改变母题的条件、问题或改变母题设计的数学情境,重新进行探讨的一种教学方法。
教师在进行课堂教学的时候,必须抓住核心,不断进行变式,多方面、多角度地引导学生理解相关知识。
建构主义的数学学习观认为:数学学习是学习者主动的构建活动,而并非是被动地接受过程,因此我们就不能期望单纯通过“传授”而使学生获得真正的数学知识,与此相反,我们必须肯定学习过程的创造(再创造)性质以及学生的创造性才能。
而此时,变式教学显得尤为重要。
在变式教学中,把学习数学的主动权交给学生,教师成为学生学习活动的促进者,在肯定学生主体地位的前提下,教师又在教学活动中发挥着主导作用。
前苏联教育家苏霍姆林斯基说过:“兴趣的源泉藏在深处”。
灵活运用变式教学,引导学生多角度去审视、探索问题,可激发学生学习数学和思考问题的兴趣,增强数学课堂教学的有效性。
变式是多样的,本文主要针对初中数学教学,从数学概念教学中的变式、一题多解性变式、多题一解性变式及一题多变性变式进行了举例研究:一、数学概念教学中的变式数学概念很多时候都是非常抽象的,怎样使学生对数学概念理解起来通俗易懂呢?不妨尝试对数学概念进行适当的变式,使抽象的概念通俗化,更容易让学生接受。
反思:通过这样的变式训练,可以使学生在理解定义的时候,不仅仅是从定义本身的角度去理解,而是结合具体的问题有针对性的进行理解,学生学习起来不会觉得那么枯燥,而且对定义的理解会更加的透彻。
另一方面,学生以后学习二次函数,反比例函数等函数定义的时候可以以一次函数定义的理解为基础进行类比学习,达到深化知识的效果!二、一题多解性变式一题多解变式训练,即引导学生对同一题目从不同角度、不同方位快速联想及思考问题,探求不同的解答方案,从而拓宽思路,培养思维的敏捷性。
变式教学在初中数学专题复习中的教学策略及课例设计(南屏中学李俊光)

理由.
3. 线段和最小值问题。
中考真题回顾:(2014年)
23、如题23图,已知A ,B(-1,2)
是一次函数
与反比例函数
(
)图象的两个交点,AC⊥x
轴于C,BD⊥y轴于D。
(1)根据图象直接回答:在第二象
限内,当x取何值时,一次函数大于
反比例函数的值? (2)求一次函数解析式及 m的值;
(1)求m的值;
(2)求函数
的解析式.
(3)抛物线上是否存在M点 ,使得 考点:
?若存在,求M出点 的坐 1.一次函数与二次函数
标;若不存在,请说明理由.
的关系;
2.待定系数法求二次函
数解析式。
3. 旋转及分类讨论思想。
中考真题回顾—函数综合题(第23题)
2013 年
2014 年
2015 年
2016 年
考点:垂径定理、弦心 距定理,相似三角形、 全等三角形、等腰三角 形、平行四边形、三角 形中位线等。
真题回顾:第24题(2016年)
如图11,⊙O是△ABC的外接圆,
BC是⊙O的直径,∠ABC=30°,过点B作
⊙O的切线BD,与CA的延长线交于点D,
与半径AO的延长线交于点E,过点A作
⊙O的切线AF,与直径BC的延长线交于 考点:切线性质
解析式,并求出抛物线的对称轴方 程.
点问题。
3.待定系数法求二次函 数解析式、对称轴。
中考真题回顾:(2017年)
23.如图23图,在平面直角坐标系中,
抛物线
交x轴A(1,0),B(3,0)
两点,点P是抛物线上在第一象限内
的一点,直线BP与y轴相交于点C.
初中数学课堂变式教学案例的实践与思考

初中数学课堂变式教学案例的实践与思考作者:谢禹来源:《中学生数理化·教与学》2019年第01期所谓变式教学是指在教学过程中,通过对数学对象或数学问题的变换,从而促使学生透过现象抓住本质的一种教学方法.初中数学课堂变式教学是教学中的一个十分重要的环节.对此,笔者结合平时的课堂教学实践,有意识地充分利用变式,尽可能引发和展示学生的思维过程,变教学过程为学生数学思维活动的过程,让学生积极主动地参与教学的全过程,培养学生独立分析和解决问题的能力以及大胆创新、勇于探索的精神,从而真正使学生成为学习的主人,把数学素养的培养落实到实处.一、数学概念变式,基本技能提升数学概念变式是指在数学概念教学过程中,通过对数学概念的变换,引导学生积极观察、分析、比较、归纳,从而抓住变式规律,把握概念本质属性,深化概念理解.数学概念具有很强的抽象性,学生在学习过程中往往感到枯燥乏味,这在很大程度上会降低学生的学习热情.因此,在平时的课堂教学中,对于概念教学,我经常借助变式开展课堂活动.在形成概念的过程中,利用变式引导学生积极参与形成概念的全过程,在复习概念时,通过变式,使学生牢固掌握概念.只有牢固掌握概念,运用概念的技能才能提升.在多样化的变式中,逐步培养学生观察、分析以及概括的能力.案例一学习一次函数概念时,笔者通过变式教学法来实现对“一般地,形如y=kx+b(k≠0,k、b为常数),那么y叫做x的一次函数”这一定义的深刻理解.变式1:若k=0,其他条件保持不变,则该函数是否是一次函数?若不是,你认为它是什么函数?变式2:若b=0,其他条件保持不变,则该函数是否是一次函数?若不是,你认为它是什么函数?变式3:若k=0,b=0,其他条件仍保持不变,则该函数是否是一次函数?若不是,则说明理由?通过这样巧妙地对数学概念进行变式,可以调动学生学习的积极性,保持学习的热情,促使学生对数学概念有更深层次的理解. 由此可见,数学概念、定理等基本概念的变式教学,有利于培养学生思维的深刻性和创造性.二、常见结论变式,增强解题能力常见的数学结论较多,它们的应用又很广.若能注重其变式应用,有利于加深学生对数学结论的掌握,有利于学生深入领悟数学结论中隐含的数学方法.因此,在数学教学过程中,教师要注意适时适当进行结论变式训练,拓展学生的思维空间,引导学生多角度、多方位、多层次地思考问题,探究出不同的解题方法,增强学生的解题能力.案例二已知直线a和a同侧两点A、B,求作点C,使C在直线a上,且AC+BC最短.变式1:在正方形ABCD中,E在BC上,BE=2,CE=1,动点P在对角线BD上,求PE+PC的最小值.变式2:已知M(3,2),N(1,-1),点P在y轴上,且PM+PN最短,则点P的坐标是.变式3:半径为a的半圆的圆心为O,直径为AB,C、D是半圆上的两点,若弧AC的度数为93度,弧BD的度数为33度,动点P在直径AB上,则PC+PD的最小值为.通过以上结论的变式训练,引发学生大胆猜测联想,积极动手作图,严密推理计算,增强学生解决实际问题的能力,同时培养了学生举一反三,化归复杂问题的思维品质.三、解题思维变式,多项变通思维在解题教学中,变式仍不失为一种有利的工具,这时变式常表现为两类:一类是解题的变式,即“一题多解”;一类是解型的变式,即“一题多变”或“多题一解”.观察角度的灵活多变,各种不同思路、不同方法的分析比较,是形成创新能力、创新意识的源泉.精选习题时应有意识地偏重于那些可用多种思路来完成的典型题目,并鼓励学生不拘泥于常规方法,寻求变异,勇于创新.案例三解关于x的方程:x2+mx+2=mx2+3x(m≠1).变式1:分解因式:(1-m)x2+(m-3)x+2.变式2:m为什么整数时,方程x2+mx+2=mx2+3x(m≠1)的两根均为整数.变式3:m为何值时,方程x2+mx+2=mx2+3x(m≠1)有一个正根,一个负根.这样,通过变换习题的条件和结论,巩固了学生的知识基础,训练了学生的思维,提高了学生解题的应变能力.数学教学实践证明,变式教学是一种有效的教学模式,可以切实提高教学效果.因此,在平时的课堂教学中,有的放矢地进行变式教学与训练,学生能在千变万化中得到不断提高.。
八年级数学下册《四边形的变身术》优秀教学案例

5. 培养学生的审美观念,让他们在欣赏几何图形变换的过程中,感受到数学美。
三、教学策略
(一)情景创设
1. 利用多媒体教学资源,展示生活中各种四边形的实物图片,如建筑物的立面、家具设计、艺术作品等,让学生感受到四边形在现实生活中的广泛应用。
2. 创设有趣的几何变换动画,激发学生对四边形变身术的兴趣,引导他们探索四边形变换的奥秘。
3. 结合实际生活中的问题,如地图的旋转、建筑物的翻折等,创设情境,让学生在情境中体验四边形变换的魅力。
(二)问题导向
1. 提出具有挑战性的问题,如:“如何将一个普通四边形变成一个矩形?”“四边形在翻折变换过程中,哪些性质是不变的?”等问题,引导学生积极思考。
2. 鼓励学生提出自己的疑问,充分调动他们的学习积极性,培养他们的问题意识。
3. 教师适时给予引导和提示,帮助学生找到解决问题的方法,培养他们解决问题的能力。
(三)小组合作
1. 将学生分成若干小组,每组选出一个组长,负责组织小组成员共同完成任务。
2. 各小组成员相互协作,共同探究四边形性质和变换规律,分享各自的想法和发现。
4. 设计多样化的练习题,巩固所学知识,让学生在解决问题的过程中,掌握几何图形变换的方法和技巧。
(三)情感态度与价值观
1. 激发学生对数学学习的兴趣,培养他们主动探究、积极思考的学习态度。
2. 培养学生的团队协作精神,让他们在合作学习中体验到分享、互助、共赢的快乐。
3. 培养学生勇于面对困难和挑战的精神,让他们在克服困难的过程中,增强自信心。
2. 讲解四边形特殊性质,如矩形的对边平行且相等,菱形的对角线互相垂直平分等。
九年级数学下册《旋转变换》优秀教学案例

1.教师带领学生回顾本节课所学内容,总结旋转变换的定义、性质、表示方法和应用。
-强调旋转变换在实际问题中的应用,提高学生的几何解题能力。
2.对学生在课堂上的表现给予积极评价,鼓励他们在今后的学习中继续努力。
(五)作业小结
1.布置课后作业,巩固旋转变换的知识。
-基础题:运用旋转变换解决简单几何问题。
-学生能够将旋转变换应用于解决平面几何问题,如求旋转后图形的面积、周长等。
-学生掌握旋转变换在坐标平面中的应用,能够解决旋转相关的坐标问题。
3.掌握旋转变换与其他几何变换(如平移、轴对称)的综合运用,培养几何变换的综合运用能力。
(二)过程与方法
1.通过观察、实践、探究旋转变换的性质,培养学生的空间想象能力和几何直观。
3.培养学生运用数学思维解决问题的能力,提高数学素养。
-教学过程中,教师引导学生运用数学语言描述旋转变换,培养数学表达和逻辑思维能力。
-学生通过解决旋转变换的实际问题,体会数学在实际生活中的应用,提高数学素养。
(三)情感态度与价值观
1.培养学生对数学学科的兴趣和热情,激发他们的学习积极性。
-教师通过生动的教学情境,让学生感受旋转变换在生活中的应用,激发学习兴趣。
-提高题:结合其他几何变换,解决综合几何问题。
2.鼓励学生利用课余时间观察生活中的旋转变换现象,将数学知识融入日常生活。
五、案例亮点
1.生活情境导入,激发学习兴趣
本案例以生活中的旋转变换现象为切入点,通过多媒体展示和实际操作,让学生直观感受到旋转变换在实际生活中的广泛应用。这种导入方式既激发了学生的学习兴趣,又使他们能够将抽象的数学知识与社会生活紧密联系在一起,增强了学习动机。
四、教学内容与过程
以“变”促教,引领高效教学———例析初中数学变式训练的实施策略

教学篇教学反思•高效课堂以“变”促教,引领高效教学———例析初中数学变式训练的实施策略王福平(甘肃省白银市靖远县第五中学,甘肃白银)摘要:数学作为基础性学科之一在学生的学习生活中占有重要地位,对学生未来的发展起到极其重要的作用。
然而,在实际学习中,许多学生都对数学头疼不已,因此需要教师转变教学的方式方法,激发学生学习的动力。
“变式训练”是数学教学的重要形式,举一反三,“变”的是表象,“不变”的是本质,教师在变式训练中引导学生发现不变的本质,从而能够真正掌握学习的规律,达到触类旁通的效果,教学事半功倍。
因此,如何在教学中开展变式训练,达到以“变”促教的目的是教师需要重点研究的问题。
关键词:初中数学;变式训练;实施策略数学本就千变万化,这也成为部分学生畏惧数学的原因之一。
在实际学习中部分学生进行数学题目的解答时只是简单地套用公式,常常题目一变学生便束手无策,缺乏变通的能力,长此以往数学学习动机必然下降,导致成绩的不理想。
因此,需要教师在平时教学中就注意引导学生进行变式训练,利用好经典的例题加以变动,既能加深学生对知识的掌握又能增强课堂趣味、提高学生的学习兴趣,教师要在“变”中激发学生学习数学的动力,培养学生的数学思维。
一、数值变换数值变换是变式训练中最基本的形式,即在不改变题目形式的情况下进行数值的变换。
但是数值的变换绝不仅仅是改变数字的大小,需要考虑变了之后的教学效果,以数字的改变加深学生对知识的理解,达到巩固提升的效果。
例1:计算12+(-9)×(-2)÷2变式:计算12+(-9)×2÷(-2)例2:已知一个等腰三角形的两条边长分别为3和6,求第三边的长度。
变式:已知一个等腰三角形的两条边长分别为3和5,求第三边的长度。
以上两个变式训练都是通过简单的数值变换达到知识巩固的目的。
其中例1是有理数的混合运算,其中重点在于负数的运算,通过改变符号改变了数的正负,让学生深入掌握负数的运算法则。
初中变式教学案例

初中变式教学案例
变式教学案例:
题目:求证:顺次连接四边形各边的中点,所得的四边形是平行四边形。
【分析】
此题考查的是有关四边形的中点四边形的知识。
解决此题的关键是根据三角形的中位线定理和一组对边平行且相等的四边形是平行四边形,得出所得到的四边形是平行四边形。
【解答】
证明:
第一步,连接四边形各边的中点。
第二步,连接AC,BD。
第三步,因为E、F、G、H分别是各边的中点,根据三角形的中位线定理,我们可以得到EF是三角形ACD的中位线,GH是三角形BCD的中位线,EH是三角形ABD的中位线,FG是三角形ABC的中位线。
第四步,根据三角形的中位线定理,我们有EF=1/2AC,EF平行于AC;GH=1/2BD,GH平行于BD;EH=1/2AC,EH平行于AC;FG=1/2BD,FG平行于BD。
第五步,根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形,我们可以得出四边形EFGH是平行四边形。
此题通过连接四边形各边的中点来证明得到的四边形是平行四边形。
这种解题思路也适用于其他一些多边形的中点四边形的证明题。
例说初中几何问题的变式途径及方法

例说初中几何问题的变式途径及方法培养学生的创新能力是初中数学教学的重要目标。
在初中数学几何问题的教学中,解题之后,渗透问题变式,展示新问题的形成过程,可以激发学生的主动探究数学问题的兴趣,增强学生解决问题的自信心和创新能力。
下面举例说明几何问题的变式途径及方法:原题:如图.已知:△ABC 分别以AB 、AC 为边长作等边三角形△ABD 、△ACE ,连接BE 、CD.求证:CD=BE. 一.拓展结论解决原题之后,认真观察、思考,会发现很多有价值的信息,将发现的信息进行整合会得出很多有价值的结论。
因此,教师要鼓励学生题后反思,立足问题本质,不断追问,拓展结论。
学生的发现将会百花齐放,精彩纷呈。
变式1.(1)△ABE 是△ADC 经过怎样的变换得到的?(2)∠BFC 等于多少度?(3)图中有哪些相似三角形?有哪些成比例线段?……。
二.变换条件对于很多几何问题,结论不变,适当变换条件,可以设计出很多新颖的问题。
变换途径通常有:弱化条件,类比替换,条件开放等. 1、 弱化条件.去掉某一条件或者将性质较强的图形变为性质较弱的图形。
如:变式2.将原题条件中的等边三角形△ABD 、△ACE 弱化为顶角相等的等腰三角形,且∠BAD=∠CAE ,求证:BE=CD.2、 类比替换.立足结论,根据条件中某些图形的特性,联想与之性质相近的图形,进行图形替换,可以设计出新的问题.变式3.如图 将原题中的等边三角形替换为等腰直角三角. 变式4.如图.将原题中的等边三角形替换为正方形或者正五边形等.3、条件DEE开放给出结论,替换或者添加某个条件。
如:变式3.原题中的△ABC 满足什么条件时CD ⊥AB ?添加什么条件时线段CD 、AB 互相垂直平分?三.条件结论互换对于很多几何题,将一个结论与其中一个条件互换后得到的新问题是真命题。
如将变式2中的条件∠BAD=∠CAE ,与结论BE=CD 互换.变式4.如图 已知:△ABD 、△ACE 是等腰三角形,BE=CD ,求证:两等腰三角形的顶角∠BAD=∠CAE. 四.化静为动旋转、平移、对称是常用的几何变换,用几何变换方法观察图形、构造图形,可以迅速找的解决问题的途径.而运用几何变换将图形化静为动,又可以创造出新的问题.变式5.把原题中的△ADC 绕点A 逆时针旋转,旋转到△AGE 的位置,AG 、CD 相交于于点O ,CD 、GE 相交于于点F ,其它条件不变.(1)求证:OA ·OG=OD ·OF(2)如果△ABD 边长为2,探究:线段CD 与AG 具有怎样关系时OD ·OF 有最大值,并求最大值。
初中数学变式题PPT学习教案

240+(
1+ 20
1)·x=1 12
解之得:x=6 答:两人合作还要6小时完成。
第13页/共24页
分析2:此工作由甲、乙两人完成的,故有相等关系: 甲共完成的工作量+乙完成的工作量=完成的工作总量
解法二:设两人合作还需x小时完成此工作,依题意可得:
240+ (
1+
20
1)·x=
12
2 3
解法:略
第15页/共24页
变式三:
一件工作,甲单独做20小时完成,乙单独做12小时完 成。甲先单独做4小时,然后乙加入合作,那么共要 多少小时完成此工作的 2/3 ? 分析:本题目在前者的基础上改变了未知量,弄清问 题中是总的时间,是要特别注意的。相等关系: 甲共完成的工作量+乙完成的工作量=完成的工作总量 解:设共需x小时完成此工作,依题意可得:
+ =1
解 之 得 : x=7.5 答 : 两 人 合 作7.5小 时完 成。
xx 20 12
第12页/共24页
变式一:
一件工作,甲单独做20小时完成,乙单独做12小时完成。 甲先单独做4小时,然后乙加入合作,那么两人合作还 要多少小时完成?
分析1:此工作分两步完成的,故有相等关系: 甲先单独完成的工作量+两人合作完成的工作量 =完成的工作总量
另一个直角三角形绕直
角顶点旋转,旋转后把
对应顶点连接,得到两
个三角形.
A
B D
C
第6页/共24页
E
变式四:等腰三角形
第7页/共24页
变式五:直角三角形
第8页/共24页
初中数学教学变式训练(含示范课课程设计、学科学习情况总结)

初中数学教学变式训练第一篇范文:初中数学教学变式训练在初中数学教学中,变式训练是一种重要的教学方法。
它旨在通过多种形式的题目设置,让学生在变化中掌握数学概念、原理和方法,培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。
本文将从教学实际出发,探讨如何有效地进行初中数学教学变式训练。
二、变式训练的原则1.针对性:变式训练应针对学生的学习需求和教学目标,有目的地选择或设计题目,使学生在变化中掌握数学知识。
2.层次性:变式训练应遵循由浅入深、由易到难的原则,分层次地设置题目,使学生在逐步解决问题的过程中提高数学能力。
3.多样性:变式训练应注重题目的多样性,包括不同类型、不同背景、不同难度的题目,以丰富学生的数学思维。
4.创新性:变式训练应注重题目的创新性,引导学生从不同角度思考问题,培养学生的创新意识和解决问题的能力。
三、变式训练的设计与实施1.课前准备:教师应根据教学内容和学生的学习情况,选取或设计具有代表性的题目,并分析题目的关键点和考察目标。
2.课堂讲解:在课堂上,教师应引导学生分析题目的基本结构,揭示题目的本质特征,让学生在变化中理解数学知识。
3.课后练习:教师应布置相应的课后练习,让学生在自主学习中巩固所学知识,提高解决问题的能力。
4.反馈与评价:教师应及时对学生的练习情况进行反馈,针对学生的问题进行讲解和指导,鼓励学生积极参与讨论和思考。
四、变式训练的注意事项1.关注学生的个体差异:在变式训练中,教师应关注学生的个体差异,根据学生的实际情况调整题目的难度和教学策略。
2.注重数学思维的培养:变式训练的目的是培养学生的数学思维能力,教师应引导学生从多个角度分析问题,提高学生的思维品质。
3.创设良好的学习氛围:教师应营造轻松、愉快的学习氛围,激发学生的学习兴趣,使学生在愉悦的情感中学习数学。
4.合理分配教学时间:教师应合理分配教学时间,确保变式训练的实施,同时兼顾其他教学内容的学习。
总之,在初中数学教学中,变式训练是一种有效提高学生数学能力的教学方法。
初中数学变式教学

一、对变式教学的理解
1.1 数学变式教学的本质含义
数学变式教学,是指通过不同角度、不同的 侧面、不同的背景,从多个方面变更所提供的 数学对象或数学问题的呈现形式,使事物的非 本质特征发生变化而本质特征保持不变的教学 形式.
一、对变式教学的理解
1.2 初中数学变式教学的意义
★初中数学变式教学,对提高学生 的思维能力、应变能力是大有益处.
A
M BD
N C
二、变式教学要遵循的原则
可行性原则 【案例4】 原题 有一块三角形余料ABC,它的边BC=120mm,高
AD=80mm. 要把它加工成正方形零件,使正方形的一边在BC上,其 余两个顶点分别在AB、AC上。问加工成的正方形零件的边长为多少 mm?
A
P
E
N
B
QD
M
C
二、变式教学要遵循的原则
B
x1 C
x2 x3
A
二、变式教学要遵循的原则
可行性原则
变式4 在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=3. (1)如图(1),四边形DEFG为Rt△ABC的内接正方形,
求正方形的边长.
(2)如图(2),三角形内有并排的两个相等的正方形,它 们组成的矩形内接于Rt△ABC,求正方形的边长.
上述函数图象 关于 x轴对称的有 ;…
一、对变式教学的理解
【案例2】浙教版七(上) 平行线 :
课内练习第3题:如图,在△ABC中,P是AC边上的 一点,过点P分别画AB,BC的平行线.
A
A
P
Q
P
B
C
B
RC
二、变式教学要遵循的原则
2.1 针对性原则 2.2 可行性原则 2.3 参与性原则
七年级数学上册精选例题变式全解析

讲次01 有理数的分类及数轴考点一、有理数分类按照整数和分数的分类【注意】0既不是正数也不是负数。
按正数、负数、和零的关系分类有理数分类注意事项:1.无限不循环的小数不是有理数,比如:圆周率。
2.无限循环的小数是有理数,比如:0.6666666…3.如200%,6/3能约分成整数的数不能算做分数考点二、数轴规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。
数轴的三要素:原点、正方向、单位长度(重点)画数轴步骤:画直线-取原点-规定正方向-单位长度任何有理数都可以用数轴上的点表示,有理数与数轴上的点是一一对应的。
数轴上的点表示的数从左到右依次增大;原点左边的数是负数,原点右边的数是正数. 实心点表示包括本数,空心点表示不包括本数。
命题角度一 正负数在实际生活中的应用例题1.如果向东走2m 记为2m +,则向西走3m 可记为( ) A .3m +B .2m +C .3m -D .2m -【解析】若向东走2m 记作+2m ,则向西走3m 记作-3m ,选C .变式1.如果+20%表示增加20%,那么﹣6%表示( ) A .增加14%B .增加6%C .减少6%D .减少26%【解析】在一对具有相反意义的量中,先规定其中一个为正,则另一个就用负表示.“正”和“负”相对,所以如果+20%表示增加20%,那么﹣6%表示减少6%.选C .变式2.四个足球与足球规定质量偏差如下:﹣3,+5,+10,﹣20(超过为正,不足为负).质量相对最合规定的是( )A .+10B .﹣20C .﹣3D .+5 【分析】质量偏差越少越好,最符合规定的是﹣3. 【解析】最符合规定的是﹣3,选C . 【小结】本题主要考查负数的意义.变式3.花店、书店、学校依次坐落在一条东西走向的大街上,花店位于书店西边100米处,学校位于书店东边50米处,小明从书店沿街向东走了20米,接着又向西走了–30米,此时小明的位置( ) A .在书店 B .在花店 C .在学校D .不在上述地方【分析】由题意知,可看作书店为原点,花店位于书店西边100米处,即-100米,学校位于书店东边50米处,即+50米,解答出即可.【解析】根据题意:小明从书店沿街向东走了20米,接着又向西走了–30米,即向东走了50米,而学校位于书店东边50米处,故此时小明的位置在学校.选C .【小结】本题考查类比点的坐标及学生解决实际问题的能力和阅读理解能力,解题的关键在于对正负坐标的理解.命题角度二有理数的分类例题2.把下列各数填入它所在的数集的括号里.﹣12,+5,﹣6.3,0,﹣1213,245,6.9,﹣7,210,0.031,﹣43,﹣10%正数集合:{…}整数集合:{…}非负数集合:{…}负分数集合:{…}.【解析】正数集合:{+5,245,6.9,210,0.031 …};整数集合:{+5,0,﹣7,210,﹣43 …};非负数集合:{+5,0,245,6.9,210,0.031 …};负分数集合:{﹣12,﹣6.3,﹣1213,﹣10% …}.故答案为{+5,245,6.9,210,0.031…};{+5,0,﹣7,210,﹣43…};{+5,0,245,6.9,210,0.031 …};{﹣12,﹣6.3,﹣1213,﹣10%…}.变式1.所有的正数组成正数集合,所有的负数组成负数集合,所有的整数组成整数集合,所有的分数组成分数集合,请把下列各数填入相应的集合中:-2.5,3.14,-2,+72,-0.6,0.618,0,-0.101正数集合:{ …};负数集合:{ …};分数集合:{ …};非负数集合:{ …}.【解析】正数集合:{3.14,+72,0.618,…};负数集合:{-2.5,-2,-0.6,-0.101,…};分数集合:{-2.5,3.14,-0.6,0.618,-0.101,…};非负数集合:{3.14,+72,0.618,0,…}.变式2.(1)如图,下面两个圈分别表示负数集和分数集,请你把下列各数填入它所在的数集的圈里;2016,﹣15%,﹣0.618,712,﹣9,﹣23,0,3.14,﹣72(2)上图中,这两个圈的重叠部分表示什么数的集合?(3)列式并计算:在(1)的数据中,求最大的数与最小的数的和.【解析】(1)根据题意如图:(2)这两个圈的重叠部分表示负分数集合;(3)最大数是2016,最小数是72-,∴最大的数与最小的数之和2016(72)1944+-=.命题角度三数轴的三要素及画法例题3.下列数轴画正确的是()A.B.C.D.【解析】A、没有单位长度,故错误;B、没有正方向,故错误;C、原点、正方向、单位长度都符合数轴的条件,故正确;D、数轴的左边单位长度的表示有错误.选C.变式1.下列图中数轴画法不正确...的有().(1)(2)(3)(4)(5)A.2个B.3个C.4个D.5个【解析】(1)没有正方向,数轴画法不正确;(2)单位不统一,数轴画法不正确;(3)缺少单位长度,数轴画法不正确;(4)单位不统一,数轴画法不正确;(5)符合数轴的定义,数轴画法正确.选C.变式2.下列各图表示数轴正确的是()A.B.C.D.【解析】各图表示数轴正确的是:.选C.命题角度四用数轴上的点表示有理数例题4.如图,在数轴上,小手遮挡住的点表示的数可能是()A.﹣1.5 B.﹣2.5 C.﹣0.5 D.0.5【解析】由数轴可知小手遮挡住的点在-1和0之间,而选项中的数只有-0.5在-1和0之间,所以小手遮挡住的点表示的数可能是-0.5,选C.变式1.如图,数轴上蝴蝶所在点表示的数可能为()A.3B.2C.1D.-1【解析】数轴上蝴蝶所在点表示的数可能为-1,选D.【小结】考查有理数与数轴上点关系,任何一个有理数都可以用数轴上点表示,在数轴上,原点左边点表示负数,原点右边点表示正数,右边的点表示的数比左边的点表示的数大.变式2.如图,25倒数在数轴上表示的点位于下列两个点之间( )A.点E和点F B.点F和点G C.点F和点G D.点G和点H【解析】25的倒数是52,∴52在G和H之间,选D.变式3.若|a|=﹣a,则实数a在数轴上的对应点一定在()A.原点左侧B.原点或原点左侧C.原点右侧D.原点或原点右侧【解析】∵|a|=-a,∴a一定是非正数,∴实数a在数轴上的对应点一定在原点或原点左侧,选B.命题角度五利用数轴表示有理数的大小例题5.实数a,b在数轴上的对应点的位置如图所示,把﹣a,﹣b,0按照从小到大的顺序排列,正确的是()A.﹣a<0<﹣b B.0<﹣a<﹣b C.﹣b<0<﹣a D.0<﹣b<﹣a【解析】根据数轴得出a<0<b,求出﹣a>﹣b,﹣b<0,﹣a>0,即得出答案.∵从数轴可知:a<0<b,∴﹣a>﹣b,﹣b<0,﹣a>0,∴﹣b<0<﹣a,变式1.,在数轴上位置如图所示,则,,,的大小顺序是( )A.B.C.D.【分析】从数轴上a b的位置得出b<0<a,|b|>|a|,推出-a<0,-a>b,-b>0,-b>a,根据以上结论即可得出答案.【解析】从数轴上可以看出b<0<a,|b|>|a |,∴-a<0,-a>b,-b>0,-b>a,即b<-a<a<-b,选D.变式2.实数a,b在数轴上的对应点的位置如图所示,则正确的结论是()A.a>﹣2 B.a<﹣3 C.a>﹣b D.a<﹣b【解析】试题分析:A.如图所示:﹣3<a<﹣2,故此选项错误;B.如图所示:﹣3<a<﹣2,故此选项错误;C.如图所示:1<b<2,则﹣2<﹣b<﹣1,又﹣3<a<﹣2,故a<﹣b,故此选项错误;D.由选项C可得,此选项正确.选D.变式3.有理数m,n在数轴上的对应点的位置如图所示,则正确的结论是( )A.m<-1B.n>3C.m<-n D.m>-n【解析】由数轴可得,-1<m<0<2<n<3,选项A错误,选项B错误,∴m>-n,选项C错误,选项D正确命题角度六 数轴上的动点问题例题6.如图1,圆的周长为4个单位,在该圆的4等分点处分别标上字母m 、n 、p 、q ,如图2,先让圆周上表示m 的点与数轴原点重合,再将数轴按逆时针方向环绕在该圆上,则数轴上表示-2019的点与圆周上重合的点对应的字母是( )A .mB .nC .pD .q【解析】由于圆的周长为4个单位长度,所以只需先求出此圆在数轴上环绕的距离,再用这个距离除以4,如果余数分别是0,-1,-2,-3,则分别与圆周上表示字母为m ,q ,p ,n 的点重合.2019÷4=504...3,故-2016与n 点重合.变式1.在数轴上,把表示﹣4的点移动1个单位长度后,所得到的对应点表示的数为( ) A .﹣2B .﹣6C .﹣3 或﹣5D .无法确定【分析】分两种情况讨论:把表示﹣4的点向左移动1个单位长度或向右移动1个单位长度,然后根据数轴表示数的方法可分别得到所得到的对应点表示的数.【解析】把表示﹣4的点向左移动1个单位长度为-5,向右移动1个单位长度为-3.选C . 【小结】考查数轴:数轴三要素(正方向、原点和单位长度);数轴上原点左边点表示负数,右边的点表示正数;左边的点表示的数比右边的点表示的数要小.也考查了分类讨论的思想.变式2.已知数轴上的三点A 、B 、C ,分别表示有理数a 、1、﹣1,那么|a +1|表示为( ) A .A 、B 两点间的距离 B .A 、C 两点间的距离C .A 、B 两点到原点的距离之和D .A 、C 两点到原点的距离之和 【解析】因为1(1)a a +=--,所以1a +表示A 点与C 点之间的距离,选B变式3.如图,半径为1的圆从表示1的点开始沿着数轴向左滚动一周,圆上的点A与表示1的点重合,滚动一周后到达点B,点B表示的数是()A.﹣2πB.1﹣2πC.﹣πD.1﹣π【解析】解:∵直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向左滚动一周,∴AB之间的距离为圆的周长=2π,A点在数轴上表示1的点的左边.∴A点对应的数是1﹣2π.选B.讲次02 绝对值与相反数考点一相反数只有符号不同的两个数叫做互为相反数.(绝对值相等,符号不同的两个数叫做互为相反数)注意:1、通常a与-a互为相反数;2、a表示任意一个数,可以是正数、负数,也可以是0;3、特别注意,0的相反数是0.考点二绝对值正数的绝对值是它本身;负数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0。
初中数学七年级上册《从三个方向看物体的形状》例题讲解与变式

初中数学七年级上册《从三个方向看物体的形状》例题讲解与变式例1 画出下面几何体的主视图、左视图、俯视图。
分析:这是五个立方体的组合体,从正面看刚好看到五个正方形,从左面看是上下两个正方形,从上面看是四个正方形排成一排。
解其主视图是:其左视图是:其俯视图是:说明:在做这类题时,开始最好能借助模型实际的观察,逐渐来锻炼我们的空间想像力.变式练习1 画出如图所示立体图形的三视图(相当于在平放着的一块砖的中间靠后又立放着一块砖).变式练习2 如图是由6块积木搭成的,这几块积都是相同的小正方体.指出下图中三个平面图形是它的哪个视图.参考答案:1、三视图如下:2、左视图,正视图,俯视图.例2 选择题如图(l),是一个几何体的主视图、左视图、俯视图,则它所对应的几何体是()分析由主视图可知其对应的几何体可能是B和C;由左视图可知其对应的几何体可能是A和B;由俯视图可知其对应的几何体可能是B和D.所以应选B.解选B说明:这个题也可以采用依次淘汰的方法来确定对应的几何体.由主视图可知A和D不是,由左视图可知C不是,所以只有B是.变式练习1 如图,根据下列三视图,画出与它对应的立体图形.变式练习2 根据已知三视图,画与之对应的立体图形(如图).变式练习3 如图是由几个小正方体所搭几何体的俯视图.小正方形中的数字表示在该位置的小正方体的个数,请画出这个几何体的左视图.参考答案:1、解:根据三视图的条件,可知立体图形应是三棱锥.上图就是满足三视图的立体图形.2、解:根据图形条件以及三视图,可以判断它是一个正方体与圆台组合而成的立体图形.依题意,有如图,就是满足三视图条件的立体图形.3、如图:。
变式理论及初中数学教学案例

变式理论及初中数学教学案例变式理论及初中数学教学案例摘要:本文首先对变式理论作初步梳理,接着以三个实例:三角形中位线的情境导入变式、直接开平方法的变式、一道几何题的教学变式谈怎样用变式理论指导数学教学,以达到大面积提高教学质量的预期。
关键词:初中数学教学变式理论变易空间变易维度变式理论是我国数学教学传统的一项重要内容。
在数学教学中使用变式教学是一种非常普遍非常频繁的现象,数学教师几乎没有不用变式进行教学的。
然而,变式中“变”的含义是什么?为什么要“变”?为什么变式教学在数学学科中得以广泛应用?变式通常被用在数学教学的哪些方面?怎样在变式理论的指导下开辟变式教学的新渠道?这些方面的问题,可能有些老师不清楚,甚至未曾思考过,只是凭经验在使用变式教学。
我国的变式理论与瑞典著名教育家马飞龙(F.Marton)创立的变易理论十分相似,一脉相承。
两者相比,只是变易理论的视野更开阔些,为变式理论的解读提供了依据,变式理论可视为变易理论的特殊情形。
无论是变易理论,还是变式理论无不透露出这样一个理念,即对事物的认识也好,概念的获得也好,都涉及一个“变”字。
这个“变”字指的是“无关特征或非本质特征的变化”。
那么,为什么要“变”呢?因为“当一个现象或一个事件的某一方面发生改变,而另一方面或其他一些方面保持不变时,发生变化的方面将被识辨”。
(Bowden&Marton语)因此教学中给学生呈现变式对他们的学习至关重要,“教师应当通过变异维数的扩展引导学生更好地去认识对象的各个方面”,甚至提出“教学即变易空间的构建”理念。
(F.Marton语)数学学科中使用变式教学享有得天独厚的优势,原因是什么呢?那是因为数学中充满了“变”,研究的却是变化中的不变。
变量与常量是数学中很重要的两个概念,变换是数学中非常重要的数学方法和思想,而不变量与不变性才是变换的本质特征。
变式教学最终也是为了通过变化,让学生掌握变化中的不变。
我国传统意义上的变式教学,主要指概念性变式,目的是对概念的多角度理解,其次是习题教学中的一题多解,目的是解题的多样性。
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B’
P’
O
A
A’
y k (x 0) x x
s矩形PAOB k
如图所示:△POA的面积是—1——— △ P’A’O的面积是—1——
y
P(x, y)
P’
O
A
A’
y 2 (x 0) x
x
如图所示:三角形POA的面积是多少?
y
B
P(x, y)
P’
B1
O
A
A’
k SPAO 2
y k (x 0) x
x
1
S1 2
y
S2
1 4
1
S3 6
S4
1 8
O
1
Sn ___2_n_
P
P1 P2
P3
A
A1
A2
A3
y 1 (x 0) x
x
1. 如图,点P是双曲线上的一点,点A在X轴
上,PO=PA,设等腰三角形POA的面积为S1, 则S1=————1
y 1 (x 0)
Y
x
P
O
BA
X
2. 如图,在X轴正半轴上截取AA1=OA,作等腰 三角形P1AA1, P1A=P1A1,设等腰三角形 P1AA1的面积为S2,则S2=——13——
C1
A1
C2
P1 P2
A2
A3
P3
O
B B1 B2
B3
x
Sn
1 n
1.如图,点P是双曲线上一点,过点P作X轴的垂线,
交X轴1于点A,若设△POA的面积为S1,则 S1=__2__ y
P
O
A
y 1 (x 0) x
x
2.截取AA1=OA,过点A1作X轴的垂线交双曲
线于点P1,若设△P1AA1的面积为S2, 1
变式教学的关键处
为什么要变 变什么 怎样变
变到什么程度
案例分析
问题可以来自课本、来自辅导书上, 也可以来自一些经典的中考题和学生 的考试题,还可以是从学生已有的数 学知识提炼出来的新问题,而且该问 题应隐含所学内容的有关概念、判定、 性质及应用等一系列知识,它应具目 的性、科学性、实用性、趣味性、典 型性和可拓展性等特点。
B
45o
O
C
A
y
1
x
X
3
2
(1) 求点P的坐标。 过点P作PC x轴 PB y轴 Q POC 45 PC OC 设P(a, a) Q 点P在直线上Y
B
将P点坐标代入解析式中 1 a3 a
2 解得a 2 P(2, 2)
PLeabharlann 45oOC
A
y
1
x
X
3
2
(2)求△POA的面积。
S POA
1 2
的垂线与反比例函数交于点P 1 ,过 点 P1作PB
的垂线,垂足为 A1
1
S2,则 S2 =_2__ y
,设矩形P1B1BA1的面积为
y 1 (x 0) x
P A
C A1
P1
O
B B1
x
3.在X轴正半轴依次截取B1B2=B2B3=BB1,过点B2 ,
B3分别作X轴的垂线与反比例函数图象交于点P 2 ,
如图所示:矩形PAOB的面积是——2—— 矩形P’A’OB’的面积是__2____
矩形P1Cy OD的面积是_2_____
P1(x1, y1)
B P(x, y)
D
y 2 (x 0)
B’
P’
x
CO A
A’
y 2 (x 0) x x
如图所示, 矩形PAOB的面积是多少?
y
B
P(x, y)
OA
PC
Y
1
42 4
P3 得矩形P2B2B1A2和矩形P3B3B2A3,设面积为
1
1
S3,S4,求S3=___,3S4=___ 4 …,Sn= .
y 1 (x 0)
y
x
P A
C1 C2
A1
P1 P2
A2 S3 A3
S4
P3
O
B B1 B2
B3
x
S1 1
S2
1 2
y
y 1 (x 0) x
S3
1 3
S4
1 4
P A
S2
1 3
S3
1 5
1
y 1 (x 0)
Y
x
P
P1
P2
O
B A B1 A1 B2 A2
X
Sn —2n——1
正方形 BOAP,B1P1A1A,B2P2A2A1… 按如图所示的方式放置,设面积分别为
S分1别,S2在,S直3…线点Py,P1,P12…x和 3点和AX,A轴1,上A2… 2
Y
B
P
B1
x
两个基本模型
y
y
B
P(x, y)
B’
P’
O
A
A’
y k (x 0) x
O
x
s矩形PAOB k
P(x, y) P’
A A’
y k (x 0) x
x
k SPAO 2
1. 如图,设矩形PBOA的面积为S1,
S1=
1
——
y
y 1 (x 0) x
P A
O
B
x
2.在X轴正半轴上截取BB1= OB,过点B1作X轴
则S2=—4—
y
P
B
P1
O
A
A1
y 1 (x 0) x
x
3.继续截取A1A2=A2A3=A1A,,用类似的方法作直 角三角形P2A2A1,直角1三角形P3A13A2,,设其面积 分别为S3,S4,则S3=__6___.S4=__8___
y
P
P1 P2
P3
O
A
A1
A2
A3
y 1 (x 0) x
初中数学变式教学 艺术及案例
广西师大附属外国语学校 黄英俊
一、基本问题 理解什么是变式教学? 变式教学的精髓是什么? 变式教学的关键处
·变式教学
所谓“变式教学”,是指以培养学生灵
活转换、独立思考能力为目的,在教学过程 中教师精心设计一些不断变更问题情景或改 变思维角度,由简到繁,由易到难的数学问 题,使事物的非属性属性时隐时现,而事物 的本质属性却始终保持不变的教学形式。变 式教学的精髓就是由浅入深,多角度思考, 分层次推进,使不同层次水平的学生都得到 最大的发展。它实际上是教师有目的地通过 变式为学生组织了一个引导思维的活动。
y 1 (x 0)
Y
x
P
P1
O
B A B1 A1
X
3. 如图;继续在X轴正半轴上截取A1A2=AA1=OA, 作等腰三角形P2A1A2, P2A1=P2A2,设等腰三角
1 形P2A1A2的面积为S3,则S3=——5——
y 1 (x 0)
Y
x
P
P1
P2
O
B A B1 A1 B2 A2
X
S1 1
P1
B2
P2
B3
O
A
A1
A2
y 1 x3 2
X
(1) 求点P的坐标。 (2)求正方形PBOA的面积。
Y
B
P
B1
P1
B2
P2
B3
O
A
A1
A2
y 1 x3 2
X
1.等腰直角三角形POA按如图所示的方式放置, 直角顶点P在直线 y 1 x 3上,点A在X轴正
2 半轴上,(1) 求点P的坐标。
Y
P (a, a)
案例1:来自课本重要知识
y
y
P(x, y)
B
B’
P’
O A A’
y k (x 0) x
O
x
P(x, y) P’
A A’
y k (x 0) x
x
s矩形PAOB k
k SPAO 2
课题:探究反比例函数和 一 次函数的图形面积问题 变式主线: 图形变化
重点:应用反比例函数性质 探究面积问题