北京大学自主招生强基计划北大自招数学2017
北京大学自主招生强基计划北大自招数学2018
2018北大自招数学笔试试题整理1、(5+3√3)2018写成十进制小数，十分位、百分位、千分位数字之和为（）A.0B.9C.27D.都不对2、三棱锥P-ABC ，地面三角形ABC 为∠A =90°的直角三角形。
PA =AB +AC ，且PA 垂直于地面ABC 。
求∠APC +∠CPB +∠PBA =()A.60°B.75°C.90°D.都不对3、正数a,b 满足a +b =1。
则1a +27b 3的最小值为（）A.47+13√132 B.55+15√132C.281D.都不对 4、过椭圆22194x y +=上一点P 向圆222x y +=作两条切线，过两切点的直线交两坐标轴与AB 两点，其与原点O 组成的三角形AOB 的面积的最小值为A ．12 B.23 C.34D.都不对5、椭圆x 24+y 2=1上一点(x,y),则|3x +4y −12|取值范围是： A.[0,+∞] B.[12−2√13,12+2√13] C.[0,12+2√13] D.都不对6、已知a ≠b ,有a 2(b +c )=b 2(a +c )=1,求c 2(a +b )−abc =A.0B.1C.2D.都不对7、f (t )=t 2+2t 则集合{(x,y)|f (x )+f (y )≤2 且 f (x )≥f (y )}中的点构成的图形面积为：A.4πB.2πC.πD.都不对8、设f (x )=ax 2+bx +c,(a ≠0).已知f (x )=x 无实数解，f n (x )=f(f n−1(x )),(n ≥2,n ∈N ∗)，则f 2018(x)实数解的个数为A.0B.2018C.4036D.都不对9、S n 表示一等差数列的前n 项和，若S 10=0,S 15=25.求nS n 的最小值A.-10B.-25C.-48D.都不对10、正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1，在平面A 1B 1C 1D 1内一动点P 满足∠DD 1A 1=∠DD 1P ,则点P 的轨迹为A.圆的一部分B.椭圆的一部分C.抛物线的一部分D.都不对。
江苏省淮阴中学2017高三清华北大自主招生数学训练题4
数学自主招生训练题（4）1. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A.54B.60C.66D.722. 某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是（ ）A.72B.120C.144D.3 3. 已知ABC ∆的内角A 、B 、C 满足1sin 2sin()sin()2A ABC C A B +-+=--+，面积S 满足12S ≤≤，记a 、b 、c 分别为A 、B 、C 所对的边，则下列不等式成立的是（ ） A.()8bc b c +>B.()ab a b +>C.612abc ≤≤D.1224abc ≤≤4.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A.π+31 B.π+32 C.π231+ D.π232+5.在平面直角坐标系xOy 中，已知向量a ，b ，|a |=|b |1=，a ·b 0=，点Q 满足(2=a +b )，曲线==P C |{a +θcos b }20,sin πθθ≤≤，区域=Ω正视图 侧视图 俯视图},0|{R r R r P <≤≤<，若Ω C 为两段分离的曲线，则（A ）31<<<R r （B ）R r ≤<<31（C ） 31<<≤R r （D ）R r <<<316.若定义在R 上的函数f （x ）满足f （0）=﹣1，其导函数f ′（x ）满足f ′（x ）＞k ＞1，则下．8.已知，若P 点是△ABC 所在平面内一点，且，则的最大值等于（ ）9.在614x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 的展开式中，2x 的系数为 .10.在ABC ∆ 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知ABC ∆的面积为，12,cos ,4b c A -==- 则a 的值为 .11.在等腰梯形ABCD 中,已知//,2,1,60AB DC AB BC ABC ==∠= ,动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上, 且1,9BE BC DF DC λλ==，则A E A F 的最小值为 .12.平面直角坐标系xOy 中，双曲线C 1：﹣=1（a ＞0，b ＞0）的渐近线与抛物线C 2：x 2=2py （p ＞0）交于点O ，A ，B ，若△OAB 的垂心为C 2的焦点，则C 1的离心率为 ．13．如图，在三棱台DEF ﹣ABC 中，AB=2DE ，G ，H 分别为AC ，BC 的中点． （Ⅰ）求证：BD∥平面FGH ； （Ⅱ）若CF⊥平面ABC ，AB⊥BC，CF=DE ，∠BAC=45°，求平面FGH 与平面ACFD 所成的角（锐角）的大小．14．设数列{a n}的前n项和为S n，已知2S n=3n+3．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}，满足a n b n=log3a n，求{b n}的前n项和T n．15.若n是一个三位正整数，且n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”（如137，359，567等）．在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次，得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分，若能被5整除，但不能被10整除，得﹣1分，若能被10整除，得1分．（Ⅰ）写出所有个位数字是5的“三位递增数”；（Ⅱ）若甲参加活动，求甲得分X的分布列和数学期望EX．16．平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，左、右焦点分别是F1，F2，以F1为圆心以3为半径的圆与以F2为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设椭圆E：+=1，P为椭圆C上任意一点，过点P的直线y=kx+m交椭圆E于A，B两点，射线PO交椭圆E于点Q．（i）求||的值；（ii）求△ABQ面积的最大值．17．设函数f（x）=ln（x+1）+a（x2﹣x），其中a∈R，（Ⅰ）讨论函数f（x）极值点的个数，并说明理由；（Ⅱ）若∀x＞0，f（x）≥0成立，求a的取值范围．18.已知函数()n ,nf x x x x R =-∈，其中*n ,n 2N ∈≥.(I)讨论()f x 的单调性；(II)设曲线()y f x =与x 轴正半轴的交点为P ，曲线在点P 处的切线方程为()y g x =,求证：对于任意的正实数x ，都有()()f x g x ≤；(III)若关于x 的方程()=a(a )f x 为实数有两个正实根12x x ，，求证：21|-|21ax x n<+-.数学自主招生训练题（4）答案1-8.BBAAACDA 9.1516 10.8 11. 2918 12.为平面，则：，则：；=|cos；14.===+++﹣=﹣（Ⅱ）由题意知，全部“三位递增数”的个数为个进行组合，即进行组合，即进行组合，即=，=，=0 ﹣1 1EX=0×）×+1×．=的方程为+y的方程为+=1，由于+y，即（|=2﹣，所以，|m|•|x|=|m|•，设在（，6．时，△≤0，时，1+x2=，0≤a时，函数）当＜a≤1＞＞18 （I ）解：由()f x =n nx x -，可得'()f x =1n n nx --=()11n n x --，其中n N *∈，且2n ≥. 下面分两种情况讨论： （1）当n 为奇数时.令'()f x =0，解得1x =，或1x =-.当x 变化时，'()f x ，()f x 的变化情况如下表：所以，()f x 在(),1-∞-，()1,+∞上单调递减，在()1,1-内单调递增。
2017北京大学自主招生面试真题
2017北京大学自主招生面试真题
2017年6月11日，北京大学率先开始了自主招生测试，2017年北京大学有1522人通过了自主招生初审。
为方便2018届考生参考，湖南自主招生华夏高考网特意对北京大学自主招生的考试试题做相关整理，希望对大家备考有做帮助。
据考生反映，北大自主招生笔试科目为语文、数学、英语三科，题型均为选择题。
其中，语文试题涉及大量古诗词、文化常识等内容。
莫言的小说《奇遇》成为阅读理解的考查内容，其中一道考题是将结尾文章补充完整，选择文中主角母亲最可能说的一句话是什么。
面试试题：
1、对中国人口政策沿革的思考;
2、社会效应相关名词解读;
3、集体行为逻辑和破窗效应，举两个事例说明破窗效应，并说明解决破窗效应的条件;
4、古诗词题题目;
5、高晓松的“诗和远方”的看法
6、阅读理解材料选择莫言的小说《奇遇》，考的是原句填空。
7、英语阅读的题目涉及迪士尼的创始人事迹等等。
2017年北大自主招生数学试题及答案
5
13
）
A. 锐角三角形
B. 钝角三角形
C. 无法确定
D. 前三个答案都不对
答案 A．
5
B.
20 5,
Å3 ã
3
C.
20 , 20
D. 前三个答案都不对
3
解析 C．
13. 正方形 ABCD 与点 P 在同一平面内，已知该正方形的边长为 1 ，且 |P A|2 + |P B|2 = |P C|2 ，则 |P D|
的最大值为（ ） √
A. 2 + 22 2 D. 前三个答案都不对
答案 A．
） B. −1.5 D. 前三个答案都不对
19. 动圆与两圆 x2 + y2 = 1 和 x2 + y2 − 6x + 7 = 0 都外切，则动圆的圆心轨迹是（ ）
A. 双曲线
B. 双曲线的一支
C. 抛物线
D. 前三个答案都不对
答案 B．
4
20.
在
△ABC
中， sin A = 4 ， cos B = 4 ，则该三角形是（
√ B. 2 6 D. 前三个答案都不对
答案 D．
6. 已知三角形三条中线长度分别为 9, 12, 15 ，则该三角形面积为（ ）
A. 64
B. 72
C. 90
D. 前三个答案都不对
答案 B．
7. 已知 x 为实数，使得 2, x, x2 互不相同，且其中有一个数恰为另一个数的 2 倍，则这样的实数 x 的个
3π
ã
的值为（
）
5
5
A.
1 1+ √
5
C.
1+
1 √
2017年北京大学自主招生数学试题及其参考答案
2017年北京大学自主招生数学试题及其参考答案甘志国;张荣华【期刊名称】《高中数理化》【年(卷),期】2018(000)005【总页数】5页(P19-23)【作者】甘志国;张荣华【作者单位】北京丰台二中;山西临汾三中【正文语种】中文2017年北京大学自主招生数学试题，包含20道单项选择题,试题简洁基础,涵盖面广，对自主招生及高考复习备考都有极高的参考价值.本文将给出其详细解答.1. 若实数 a、b 满足 (a2+4)(b2+1)=5(2ab-1),则的值为( ).A 3/2;B 5/2;C 7/2;D 前3个答案都不对解法1 由题设,可得(a2b2-6ab+9)+(a2-4ab+4b2)=0,(ab-3)2+(a-2b)2=0, ab=3且a=2b,解法2 由题设,可得(a2+4)b2-10a·b+(a2+9)=0.①因为关于b的一元二次方程①有实数解,所以Δ=(-10a)2-4(a2+4)(a2+9)=-4(a2-6)2≥0,因为关于b的一元二次方程①有2个相等的实数解,由根与系数的关系可得所以ab=3,从而故选C.2. 函数在[-1,2]上的最大值与最小值的差所在的区间是( ).A (2,3);B (3,4);C (4,5);D 前3个答案都不对解法1 可得当时,f(x)的取值范围分别是可得f(x)在[-1,2] 上的值域是所以 f(x)在[-1,2] 上的最大值与最小值的差是再由可得选项为B.解法2 在解法1中,已得可知函数f(x)在每一段的图象都是抛物线段,最值只可能在端点处或对称轴处取到.而抛物线段的端点是对称轴分别是得其中的最大值最小值就分别是函数 f(x)在[-1,2] 上的最大值与最小值.所以函数 f(x)在[-1,2] 上的最大值与最小值的差是再由可得选项为B.3. 不等式组所表示的平面区域的面积为( ).A 6;B 33/5;C 36/5;D 前3个答案都不对图1可得题设中的平面区域即图1中的四边形ABCD,其中进而可求得四边形ABCD的面积为选项为C.的值为( ).前3个答案都不对由题意可得1+2coscos+coscos=1+coscos=选项为B.5. 在圆周上逆时针摆放了 4个点A、B、C、D,若BA=1,BC=2,BD=3,∠ABD=∠DBC,则该圆的直径为( ).前3个答案都不对图2解法1 如图2所示,可设∠ABD=∠DBC=θ(0<θ<π).由∠ABD=∠DBC,可得DA=DC.在△ABD,△BCD中,由余弦定理可得12+32-2·1·3cos θ=22+32-2·2·3cos θ,θ=π/3.连结AC,在△ABC中,由余弦定理可求得在△ABC中,由正弦定理可求得△ABC的外接圆直径为解法2 如图2所示,由托勒密定理AB·CD+AD·BC=AC·BD,可得CD+2AD=3AC.由∠ABD=∠DBC,可得CD=AD,所以CD=AD=AC,得正再由题设可得连结AC,在△ABC中,由余弦定理可求得在△ABC中,由正弦定理可求得△ABC的外接圆直径为故选项为D.6. 若三角形3条中线长度分别为 9,12,15,则该三角形面积为( ).A 64;B 72;C 90;D 前3个答案都不对设△ABC的3边长分别为AB=c,BC=a,CA=b,3条中线长分别为AD=9,BE=12,CF=15.由余弦定理,可证得“平行四边形各边的平方和对于其2条对角线的平方和”.由此结论,可得把它们相加后,可得3(a2+b2+c2)=(2·3)2(52+32+42)=2(2·3·5)2,a2+b2+c2=600.进而可求得再由余弦定理,得所以△ABC的面积为故选项为B.7. 若x 为实数,使得 2,x,x2 互不相同,且其中有一个数恰为另一个数的 2 倍,则这样的实数 x的个数为( ).A 3;B 4;C 5;D 前3个答案都不对由题设知,包括下面的6种情形: 1) 由2=2·x,得x=1,检验知,不满足题意；2) 由x=2·2,得x=4,检验知,满足题意；3) 由2=2·x2,得x=±1,经检验知,仅有x=-1满足题意；4) 由x2=2·2,得x=±2,经检验知,仅有x=-2满足题意；5) 由x=2·x2,得x=0或检验知,仅有满足题意；6) 由x2=2·x,得x=0或2,检验知,均不满足题意.综上,可得进而可知选B.8. 若整数 a,m,n 满足则这样的整数组 (a,m,n) 的组数为( ).A 0;B 1;C 2;D 前3个答案都不对已知|a|、m、n∈N*,m>n,且此时题中的等式等价于②进而可得③所以8(m+n-a2)=0,a2=m+n(否则式③左边是无理数,右边是整数,不可能).再由式②得mn=20 (m>n，m、n∈N*),所以20=mn>n2,n≤4,因而n=1,2或4.可得(n,m)=(1,20),(2,10)或(4,5).再由a2=m+n(|a|∈N*),可得(a,m,n)=(±3,5,4),进而可知选C.9. 若则不超过 S且与 S 最接近的整数为( ).A -5;B 4;C 5;D 前3个答案都不对可得又因为所以不超过 S且与 S 最接近的整数为[S]=-5.故选A.10. 若复数 z 满足是实数,则 |z+i|的最小值等于( ).C 1;D 前3个答案都不对可设z=r(cos θ+i sin θ)(r>0),得由是实数,得sin θ=0或即当sin θ=0时,可得z是非零实数,故|z+i|=|z-(-i)|,表示复平面xOy上的点-i与x轴上非原点O的点z之间的距离.由“垂线段最短”可得|z+i|>1.当即时,可得当且仅当时,因为所以故选D.11. 已知正方形A、B、C、D的边长为1,若P1、P2、P3、P4是正方形内部的4个点使得△ABP1,△BCP2,△CDP3和△DAP4都是正三角形,则四边形P1P2P3P4的面积等于( ).前3个答案都不对图3如图3所示,建立平面直角坐标系xOy后,可求得可得四边形P1P2P3P4的对角线互相垂直平分且相等,所以四边形P1P2P3P4是正方形,其面积为故选A.12. 已知某个三角形的2条高的长度分别为10和20,则它的第三条高的长度的取值范围是( ).前3个答案都不对设该三角形3边分别为a、b、c,这些边上的高分别为10,20,h(h>0),可得2S△ABC=10a=20b=ch, a=2b, c=20b/h，进而可得该三角形3边分别为这样的三角形存在的充要条件是即故选C.13. 已知正方形ABCD与点P在同一平面内,该正方形的边长为1,且|PA|2+|PB|2=|PC|2,则|PD| 的最大值为( ).前3个答案都不对以A为原点，建立平面直角坐标系xAy,可得A(0,0),B(1,0),C(1,1),D(0,1).设P(x,y),由|PA|2+|PB|2=|PC|2,可得(x2+y2)+[(x-1)2+y2]=(x-1)2+(y-1)2,x2+y2=1-2y,因而|PD|2=x2+(y-1)2=x2+y2+1-2y=进而可得:当且仅当点P的坐标是时, 故选A.14. 方程log4(2x+3x)=log3(4x-2x)的实根个数为( ).A 0;B 1;C 2;D 前3个答案都不对可设log4(2x+3x)=log3(4x-2x)=t,得所以4t-3x=4x-3t, 3t+4t=3x+4x. 因为f(u)=3u+4u (u∈R)是增函数,所以t=x,得设可得它是减函数,且所以函数g(x)有唯一的零点,进而可知选B.15. 使得和都是整数的正实数x的个数为( ).A 1;B 2;C 无穷多;D 前3个答案都不对由及和都是整数,可得是正整数,因而可设由是整数,可得n=1或或1.再由是整数,可得x=1.进而可知选A.16. 满足f(f(x))=f4(x)的实系数多项式f(x)的个数为( ).A 2;B 4;C 无穷多;D 前3个答案都不对若f(x)是实数常数,则可设f(x)=k (k∈R),由题设得k=k4,k=0或1,得f(x)=0或f(x)=1.若f(x)不是实数常数,则可设f(x)=anxn+…+a2x2+a1x+a0(an,…,a2,a1,a0∈R;an≠0,n∈N*).再由题设,可得an(anxn+…+a2x2+a1x+a0)n+…+a1(anxn+…+a2x2+a1x+a0)+a0=(anxn+…+a2x2+a1x+a0)4.比较该等式两边的首项,得解得因而可设f(x)=x4+bx3+cx2+dx+e(b、c、d、e∈R),再由题设,可得(x4+bx3+cx2+dx+e)4+b(x4+bx3+cx2+dx+e)3+c(x4+bx3+cx2+dx+e)2+d(x4+bx3+cx2+dx+e)+e=(x4+bx3+cx2+dx+e)4.即b(x4+bx3+cx2+dx+e)3+c(x4+bx3+cx2+dx+e)2+d(x4+bx3+cx2+dx+e)+e=0.比较该等式两边x12的系数,可得b=0,所以c(x4+bx3+cx2+dx+e)2+d(x4+bx3+cx2+dx+e)+e=0.再比较该等式两边x8的系数,可得c=0,所以d(x4+bx3+cx2+dx+e)+e=0.又比较该等式两边x4的系数,可得d=0,所以e=0，所以f(x)=x4.检验知f(x)=x4满足题设，从而满足题设的f(x)有且仅有3个:f(x)=0或f(x)=1或f(x)=x4.故选D.17. 使得p3+7p2为完全平方数的不大于100的素数p的个数为( ).A 0;B 1;C 2;D 前3个答案都不对由已知,设p2(p+7)=a2 (a∈N*),因而p|a,设a=pb(b∈N*),得p+7=b2 (b∈N*).由p是不大于100的素数,可得9≤b2≤106,3≤b≤10,因而p+7=b2=9,16,25,36,49,64,81或100. p=2,9,18,29,42,57,64或93.再由p是素数,可得p=2或29,进而可得答案为C.18. 函数f(x)=x(x+1)(x+2)(x+3)的最小值为( ).A -1;B -1.5;C -2;D 前3个答案都不对由已知可得f(x)=x(x+3)·(x+1)(x+2)=(x2+3x)(x2+3x+2)=(x2+3x+1)2-1.设得进而可知选A.19. 若动圆与两圆x2+y2=1和x2+y2-6x+7=0都外切,则动圆圆心的轨迹是( ).A 双曲线;B 双曲线的一支;C 抛物线;D 前3个答案都不对可得圆x2+y2=1的圆心是O(0,0),半径是1;圆x2+y2-6x+7=0的圆心是A(3,0),半径是设动圆圆心为M(x,y),半径是r.再由题设“……都外切”,可得因而所以动圆的圆心M的轨迹是以O、A为焦点,实半轴长为的双曲线的右支.故选B.20. 在△ABC中,若则该三角形是( ).A 锐角三角形;B 钝角三角形;C 无法确定;D 前3个答案都不对由题设,可得B是锐角,所以再由正弦定理,可得B>A,进而可得A是锐角,所以所以cosC=-cos(A+B)=sin AsinB-cos Acos B=得C是锐角,因而△ABC是锐角三角形.故选A.(本文系北京市教育学会“十三五”教育科研滚动立项课题“数学文化与高考研究”(课题编号FT2017GD003,课题负责人:甘志国)阶段性研究成果.)。
北大自招2017数学强基计划
!"#$%&'()*+,-./01选择题共20小题（51题至70题）；在每小题的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把正确选项的代号填在表格中，选对得5分，选错扣1分，不选得0分．51．实数满足，则的值为（ ）A ．B ．C ．D ．前三个答案都不对【分析】初联难度的二次方程题目. 【详解】C整理可得，将其看成关于的二次方程，，即，即或原式.52．函数在区间上的最大值与最小值的差位于的区间是（ ）A ．B ．C ．D ．前三个答案都不对 【分析】分类讨论 【详解】B设最大值与最小值的差为.当，，当，，当，，当，，因此，，53．由和所围成的平面区域的面积为（ ）A ．B．C ．D ．前三个答案都不对a b ，22(4)(1)5(21)a b ab ++=-1b a a æö+ç÷èø1.5 2.5 3.5()222110490b a ba b +-++=a ()22423b D =--232b =2a b =a b ì=ïí=ïîa b ì=ïí=ïî72=21|2||||1|2y x x x =--+-[12]-，532æöç÷èø，732æöç÷èø，742æöç÷èø，d []1,0x Î-215493,2216y x x éù=--+Îêúëû(]0,1x Î[)2330.5,32y x x =--+Î(x Î2111,0.52y x x ö=-++Î-÷÷øx ùÎû2131,22y x x ù=+-Îúû[]1,2x Î-491,16y ùÎ-úû6573,162d æö=ç÷èø2||1y x -≥3||5y x -+≤6335365【分析】C【详解】易得围成的图形为筝形，四点坐标分别为，，，，面积为54．的值为（ ）A ．B ．C ．D ．前三个答案都不对【分析】 【详解】55．在圆周上逆时针摆放了4个点，已知，，则该圆的直径为（ ） A ．B．C ．D ．前三个答案都不对【分析】托勒密定理. 【详解】D，设，，由托勒密定理可得，即，即△为等边三角形.在△中，由，余弦定理可得56．已知三角形三条中线长度分别为，则该三角形面积为（ ）A ．B ．C ．D ．前三个答案都不对【分析】 【详解】57．已知为实数，使得互不相同，且其中有一个数恰为另一个数的2倍，则这样的实数的个数为（ ） A ． B ．C ．D ．前三个答案都不对【分析】集合背景的讨论题目【详解】B首先，，，4组，58．设整数的个数为（ ） A ．无穷个 B ． C ． D ．前三个答案都不对【分析】 【详解】C 59．设，则不超过且与最接近的整数为（ ） ()0,1-()0,567,55æöç÷èø67,55æö--ç÷èø112366255=´´=π3π1cos 1cos 55æöæö++ç÷ç÷èøèø1+114+1+A B C D ，，，123BA BC BD ===，，ABD DBC Ð=ÐABD DBC Ð=ÐÛAD DC =AD DC x ==AC y =AB CD AD BC AC BD ×+×=×33x y =ACD ABC 120ABC Ð=!AC =2R =91225，，697275x 22x x ，，x 3450x ¹1x ¹2x ¹x ¹14,1,2,2--a m n ，，=()a m n ，，42111123571111log πlog πlog πlog πS =+++S SA ．B ．C ．D ．前三个答案都不对【分析】对数基本题目 【详解】A60．已知复数满足是实数，则的最小值等于（ ） ABC ．D ．前三个答案都不对【分析】 【详解】61．已知正方形的边长为是正方形内部的4个点使得，，和都是正三角形，则四边形的的面积等于（ ） A ．BCD ．前三个答案都不对【详解】A易得正方形，故正方形的面积62．已知某个三角形的两条高的长度分别为和，则它的第三条高的长度取值区间为（ ）A ．B ．C ．D ．前三个答案都不对 【详解】C 设第三条高长度为，则易知三角形三条边的比值为，则，即. 63．正方形与点在同一平面内，已知该正方形的边长为，且，则的最大值为（ ） A ．B ．C ．D ．前三个答案都不对【分析】 【详解】64．方程的实根个数为（ ）A ．B ．C ．D ．前三个答案都不对5-45log 210S p =-3log 210log 2105S p =->->-3.5722401log 210log 210log 416S p =-<-<-=-z 2z z+||z i +1ABCD 12341P P P P ，，，，1ABP △2BCP △3CDP △4DAP △1234PP P P 2-1234PP P P 1-1234PP P P 22==-10201053æöç÷èø，2053æöç÷èø，20203æöç÷èø，h 111::1020h113,2020h æöÎç÷èø20,203h æöÎç÷èøABCD P 1222||||||PA PB PC +=||PD 2+1+43log (23)log (42)x x x x +=-013【分析】 【详解】 65．使得和都是整数的正实数的个数为（ ） A ． B ． C ．无穷多 D ．前三个答案都不对【分析】 【详解】66．满足的实系数多项式的个数为（ ） A ． B ． C ．无穷多 D ．前三个答案都不对【分析】 【详解】67．有多少个不大于的素数满足为平方数（ ） A ． B ． C ． D ．前三个答案都不对【分析】 【详解】68．函数的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ．前三个答案都不对【分析】初中因式分解题目的难度，2013全国新课标I 高考理科数学14题弱化版 【详解】A.等号成立条件为.69．动圆与两圆和都外切．则动圆的圆心的轨迹是（ ） A ．双曲线B ．双曲线的一支C ．抛物线D ．前三个答案都不对【分析】 【详解】70．在三角形中，，则该三角形是（ ） A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．无法确定D ．前三个答案都不对【分析】 【详解】2x x +222x x+x 134(())()f f x f x =()f x 24100p 327p p +012()(1)(2)(3)f x x x x x =+++1- 1.5-2-()()()()22223323111f x x x x x x x =+++=++-³-2310x x ++=221x y +=22670x y x +-+=ABC 44sin cos 513A B ==，。
北京大学2017年自主招生试题
北京大学2017年自主招生数学试卷选择题共20小题,在每小题的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把正确选项的代号填写在表格中，选对得5分，选错扣1分，不选得0分. 1.实数,a b 满足22(4)(1)5(21)a b ab ++=-，则1()b a a+的值为 () 1.5A () 2.5B () 3.5C ()D 前三个答案都不对解答：由柯西不等式()()()()()222221054126930ab a b ab ab ab ab -=++≥+⇒-+=-≤,所以13 3.5ab a b b a a ⎛⎫=⇒==⇒+= ⎪⎝⎭. 答案：C. 2.函数21212y x x x =--+-在区间[]1,2-上的最大值与最小值的差位于的区间是 5()32A ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 7()32B ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 7()42C ⎛⎫⎪⎝⎭， ()D 前三个答案都不对解答：2222213,10233,011221121,12122x x x x x x y x x x x x x x x x ⎧--+-≤<⎪⎪⎪--+≤<⎪=--+-=⎨⎪-++≤<⎪⎪+-≤≤⎪⎩,当14x =-时，max 4916y =；当x =时，min 12y =-;最大值与最小值的差为6516-,在732⎛⎫⎪⎝⎭，内.3.由21y x ≥-和35y x ≤-+所围成的平面区域的面积为()6A 33()5B 36()5C ()D 前三个答案都不对解答：画出平面区域,由21y x ≥-和35y x ≤-+所围成的平面区域面积为：6366=55⨯，答案C. 4. 3(1cos)(1cos)55ππ++的值为(A 1()14B +()C ()D 前三个答案都不对解答：3331cos1cos 1cos cos cos cos 555555ππππππ⎛⎫⎛⎫++=+++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 2221coscos2cos cos 1cos cos555555ππππππ=-+=+ 24sincoscossin1555551144sinsin 55ππππππ=+=+⋅=, 答案：B.5.在圆周上逆时针摆放了4个点,,,A B C D 已知1BA =，2BC =，3BD =，ABD DBC ∠=∠，则该圆的直径为()A()B()C ()D 前三个答案都不对解答：由ABD DBC ∠=∠，得AD DC =.在,ABD DBC ∆∆内，由余弦定理得:229194612AD CD AD CD +-+-=⇒==所以1cos 23ABD ABD π∠=⇒∠=,在ABD ∆内由正弦定理可得，2sin 3ADR ABD==∠, 答案：D. 6.已知三角形三条中线长度分别为9,12,15，则三角形的面积为()69A ()72B ()75C ()D 前三个答案都不对解答：在AIE ∆中，6,5AI IE ==，在AIE ∆中，8,5CI IE ==，AEI CEI π∠+∠=，由余弦定理可得222536256401010AE CE AE CE+-+-+=，其中AE CE =，得=5AE CE =，则10AC =，同理可得另外两条边长分别为所以三角形面积为72.答案B. 7.已知x 为实数，使得22,,x x 互不相同，且其中有一个数恰为另一个数的2倍，则这样的实数x 的个数为()3A ()4B ()5C ()D 前三个答案都不对解答：2221,1x x x =⇒==，不符合题意；222211x x x =⇒=⇒=-符合题意；24,16x x ==，符合题意；242,2x x x =⇒==-，舍去2x =；2120,2x x x x =⇒==，舍去0x =；220,2x x x x =⇒==，舍；综上，x 的值可以为4，-2，-1，0.5. 答案B.8.设整数,,a m n=(,,)a m n 的个数为()A 无穷个 ()4B ()2C ()D 前三个答案都不对解答：=2a m n -=+-由于,,a m n 都是整数，所以20mn =，则2a m n =+，且m n >所以整数组(,,)a m n 可以为()()3,5,4,3,5,4-，答案C. 9.设111123571111log log log log S ππππ=+++，则不超过S 且与S 最接近的整数为 ()5A - ()4B ()5C ()D 前三个答案都不对解答：()11112357111111111log log 5,4log log log log 2357210S ππππππ⎛⎫=+++=⋅⋅⋅=∈-- ⎪⎝⎭,答案A.10.已知复数z 满足2z z+是实数，则z i +的最小值等于()3A()2B ()1C ()D 前三个答案都不对解答： 由2z z +是实数可得22z z z z +=+，即22z z z z+=+，整理得2()10z z z z ⎛⎫--= ⎪⋅⎝⎭，所以z z =或z =若z z =，则z 为实数，当0z =时，z i +有最小值1；若z =z i +1; 综上可得z i +1. 答案D. 11.已知正方形ABCD 的边长为1，1234,,,P P P P 是正方形内部的4个点使得1234,,ABP BCP CDP DAP ∆∆∆∆和都是正三角形，则四边形1234PP P P 的面积等于()2A()B()C ()D 前三个答案都不对解答：四边形1234PP P P为边长为)12的正方形，故面积为2.答案：A.12.已知某个三角形的两条高的长度分别为10和20，则它的第三条高的长度取值区间为10()53A ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 20()5,3B ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 20(),203C ⎛⎫ ⎪⎝⎭()D 前三个答案都不对解答： 由面积相等，两条高之比为1:2，所对应的底边之比为2:1，设为2,x x ，则第三条边长的取值范围为(,3)x x ，由面积相等可知第三条高的长度取值区间为20,203⎛⎫⎪⎝⎭，答案C. 13.正方形ABCD 与点P 在同一平面内，已知该正方形的边长为1,且222PA PB PC +=，则PD 的最大值为()2A +(B()1C +()D 前三个答案都不对解答：以点A 为坐标原点，AB 为x 轴正方向建立平面直角坐标系，则()()()()0,0,1,0,1,1,0,1A B C D .设(),P x y ,由222PA PB PC +=得(),P x y 的轨迹方程为()2212x y ++=,所以PD的最大值为2答案A. 14.方程()()43log 23log 42x x x x +=-的实根个数为()0A ()1B ()3C ()D 前三个答案都不对解答：设()()43log 23log 42xxxxm +=-=234423x x mx x m⎧+=⎪⇒⎨-=⎪⎩两式相加得4343x x m m +=+，由函数34x x y =+单调递增，x m =；23413234124423x x x x xx x xx x x⎧+=⎪⎛⎫⎛⎫⇒+=⇒+=⎨ ⎪ ⎪-=⎝⎭⎝⎭⎪⎩，由介值定理易知其实根个数为1.答案A.15.使得2+x x 和222x x+都是整数的正实数x 的个数为 ()1A ()3B ()C 无穷多 ()D 前三个答案都不对解答：因为2+x x是整数，所以 22222222221111222224x x x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫+=++=+++++=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是整数， 又222x x+和4是整数，所以22x是整数，所以221,21,x x x x ==⇒=±=;当x =2+x x不是整数，所以1x =±，正实数x 的值为1. 答案A.16.满足()()()4ff x f x =的实系数多项式()f x 的个数为()2A ()4B ()C 无穷多 ()D 前三个答案都不对解答：()()()40,1,f x f x f x x ===, 答案D. 17.有多少个不大于100的素数p 满足327p p +为平方数.()0A ()1B ()2C ()D 前三个答案都不对解答：设()322277p p p p n +=+=，则7p +是完全平方数，所以2,29p p ==,答案C. 18.函数()(1)(2)(3)f x x x x x =+++的最小值为()1A - () 1.5B - ()2C - ()D 前三个答案都不对解答：()()()22(1)(2)(3)332f x x x x x x xxx =+++=+++,设223993244t x x x ⎛⎫=+=+-≥- ⎪⎝⎭，则()()222211y t t t t t =+=+=+-，min 1y =-, 答案A.19.动圆与两圆221x y +=和22670x y x +-+=都外切.则动圆的圆心的轨迹是()A 双曲线 ()B 双曲线的一支 ()C 抛物线 ()D 前三个答案都不对解答：设动圆圆心为点P ，半径为r ，已知两圆圆心为()()120,0,3,0F F .由已知得122112||1,||||||1||3PF r PF r PF PF F F =+=⇒-=<=，所以动圆圆心的轨迹为双曲线的一支. 答案B. 20.在三角形ABC 中，44sin ,cos 513A B ==，则该三角形是 ()A 锐角三角形 ()B 钝角三角形 ()C 无法确定 ()D 前三个答案都不对解答：sin sin 132B A A B π=>⇒<<，又3cos 5A =,()cos cos sin sin cos cos 0C A B A B A B =-+=-=>,所以为锐角三角形, 答案A.本文档由华夏园教育提供。
北京大学自主招生数学试题及答案1
南方球队总得分为 =189
北方球队总得分为 =21
南方球队内部比赛总得分 =105
北方球队内部比赛总得分 =15
北方胜南方得分=21-15=6
北方球队最高得分=5+6=11
因为11×15=165<189
所以南方球队中至少有一支得分超过11分．
冠军在南方球队中
当x=8时
所有球队总得分为 =300
北京大学自主招生数学试题及答案
1 求证：边长为1的正五边形对角线长为
略解：三角形ABE∽三角形DAE，则：
2．已知六边形AC1BA1CB1中AC1=AB1,BC1=BA1,CA1=CB1,∠A+∠B+∠C=∠A1+∠B1+∠C1，
求证：△ABC面积是六边形AC1BA1CB1的一半。
略解：如图得证
3 已知
4 排球单循坏赛 南方球队比北方球队多9支 南方球队总得分是北方球队的9倍 求证 冠军是一支南方球队（胜得1分 败得0分）
解：设北方球队共有x支，则南方球队有x+9支
所有球队总得分为
南方球队总得分为
北方球队总得分为
南方球队内部比赛总得分
北方球队内部比赛总得分
解得：
因为 为整数
x=6或x=8
当x=6时
南方球队总得分为 =270
北方球队总得分分 =28
北方胜南方得分=30-28=2
北方球队最高得分=7+2=9
因为9×17=153<270
所以南方球队中至少有一支得分超过9分．
冠军在南方球队中
综上所述，冠军是一支南方球队
5 （理科）O-XYZ坐标系内xoy平面系内 绕y轴旋转一周构成一个不透光立体 在点(1,0,1)设置一光源xoy平面内有一以原点为圆心的圆C被光照到的长度为2π，求C上未被照到的长度。
历年来北大自主招生数学试题
2010北京大学 香港大学 北京航空航天大学 自主招生（三校联招）试题数学部分1．（仅文科做）02απ<<，求证：sin tan ααα<<．2．AB 为边长为1的正五边形边上的点．证明：AB （25分）3．AB 为21y x =-上在y 轴两侧的点，求过AB 的切线与x 轴围成面积的最小值．（25分）4．向量OA 与OB 已知夹角，1OA =，2OB =，(1)OP t OA =-，OQ tOB =，01t ≤≤．PQ 在0t 时取得最小值，问当0105t <<时，夹角的取值范围．（25分）5．（仅理科做）存不存在02x π<<，使得sin ,cos ,tan ,cot x x x x 为等差数列．（25分）2010北京大学 香港大学 北京航空航天大学 自主招生（三校联招）试题 数学部分解析1．（仅文科做）02απ<<，求证：sin tan ααα<<． 【解析】 不妨设()sin f x x x =-，则(0)0f =，且当02x π<<时，()1cos 0f x x '=->．于是()f x 在02x π<<上单调增．∴()(0)0f x f >=．即有sin x x >．同理可证()tan 0g x x x =->．(0)0g =，当02x π<<时，21()10cos g x x '=->．于是()g x 在02x π<<上单调增。
∴在02x π<<上有()(0)0g x g >=。
即tan x x >。
注记：也可用三角函数线的方法求解．2．AB 为边长为1的正五边形边上的点．证明：AB（25分） 【解析】 以正五边形一条边上的中点为原点，此边所在的直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．⑴当,A B 中有一点位于P 点时，知另一点位于1R 或者2R 时有最大值为1PR ；当有一点位于O 点时，1max AB OP PR =<；⑵当,A B 均不在y 轴上时，知,A B 必在y 轴的异侧方可能取到最大值（否则取A 点关于y 轴的对称点A '，有AB A B '<）．不妨设A 位于线段2OR 上（由正五边形的中心对称性，知这样的假设是合理的），则使AB 最大的B 点必位于线段PQ 上．且当B 从P 向Q 移动时，AB 先减小后增大，于是max AB AP AQ =或；对于线段PQ 上任意一点B ，都有2BR BA ≥．于是22max AB R P R Q == 由⑴，⑵知2max AB R P =．不妨设为x ． 下面研究正五边形对角线的长．如右图．做EFG ∠的角平分线FH 交EG 于H ． 易知5EFH HFG GFI IGF FGH π∠=∠=∠=∠=∠=． 于是四边形HGIF 为平行四边形．∴1HG =． 由角平分线定理知111EF EH x FGx HG ===-．解得x 3．AB 为21y x =-上在y 轴两侧的点，求过AB 的切线与x 轴围成面积的最小值．（25分）IH GFE1111x x-1【解析】 不妨设过A 点的切线交x 轴于点C ，过B 点的切线交x 轴于点D ，直线AC 与直线BD 相交于点E ．如图．设1122(,),(,)B x y A x y ，且有222211121,1,0y x y x x x =-=->>．由于2y x '=-，于是AC 的方程为2222x x y y =--；① BD 的方程为1122x x y y =--． ② 联立,AC BD 的方程，解得121221(,1)2()y y E x x x x ---．对于①，令0y =，得222(,0)2y C x -；对于②，令0y =，得112(,0)2y D x -．于是221212121222112222y y x x CD x x x x --++=-=-． 121(1)2ECD S CD x x ∆=-．不妨设10x a =>，20x b -=>，则2222111111()(1)(22)44ECD a b S ab a b a b ab a b a b ∆++=++=+++++1111()(2)(2)44a b ab ab ab ab =+++⋅++≥ ③0s =>，则有331111111(2)(.....)223399ECD S s s s s s s s s∆=++=++++++6个 9个1243691616111116)]8()2393s s s ⋅⋅[⋅(⋅()=⋅≥3218)3=⋅( ④又由当12x a x b s ===-==时，③，④处的等号均可取到．∴min ()ECD S ∆=注记：不妨设311()(2)2g s s s s=++，事实上，其最小值也可用导函数的方法求解．由2211()(32)2g s s s '=+-知当210s <<时()0g s '<；当213s <时()0g s '>．则()g s 在(0,上单调减，在)+∞上单调增．于是当s =()g s 取得最小值．4．向量OA 与OB 已知夹角，1OA =，2OB =，(1)OP t OA =-，OQ tOB =，01t ≤≤．PQ 在0t 时取得最小值，问当0105t <<时，夹角的取值范围．（25分）【解析】 不妨设OA ，OB 夹角为α，则1,2OP t OQ t =-=，令222()(1)42(1)2cos g t PQ t t t t α==-+-⋅-⋅2(54cos )(24cos )1t t αα=++--+．其对称轴为12cos 54cos t αα+=+．而12()54x f x x +=+在5(,)4-+∞上单调增，故12cos 1154cos 3αα+-+≤≤．当12cos 1054cos 3αα++≤≤时，012cos 1(0,)54cos 5t αα+=∈+，解得223αππ<<．当12cos 1054cos αα+-<+≤时，()g t 在[0,1]上单调增，于是00t =．不合题意．于是夹角的范围为2[,]23ππ． 5．存不存在02x π<<，使得sin ,cos ,tan ,cot x x x x 为等差数列．（25分） 【解析】 不存在；否则有(cos sin )(cos sin )cos sin cot tan sin cos x x x x x x x x x x-+-=-=，则cos sin 0x x -=或者cos sin 1sin cos x xx x+=．若cos sin 0x x -=，有4x π=1,1不成等差数列；若cos sin 1sin cos x x x x+=，有2(sin cos )12sin cos x x x x =+．解得有sin cos 1x x =．而11sin cos sin 2(0,]x x x =∈，矛盾！()()1132，(1的交点的直线方程6x +()()1132得⎪⎪⎨⎪⎪⎩解析：因为222cos 2a b c C ab +-=22222a b a b ab +⎛⎫+- ⎪⎝⎭≥()2231422a b ab ab+-= 312422ab abab -≥12=，当且仅当a b =时，""=成立，又因为()0,C π∈，所以060C ∠≤。
北京大学2024年强基计划笔试数学试题
北京大学2024年强基计划笔试数学试题考试时间 2024年6月30日上午9：00-11：00以下为理科数学试题，共20题.2024ii=1模 7 的余数.1. 求∑�19ii20�2. 求sin36∘−sin3114∘+sin3126∘ .3. 求1,2,…,8的排列的个数,使得排列中没有出现连续的12,23,…,78 .4. 已知数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,… ,求第 2024 项模 5 的余数.5. 求四元组(aa1,aa2,aa3,aa4)的个数,使得aa ii∈{1,2,3} ,且10<aa1aa2aa3aa4< 20.6. 求(0,2ππ]上方程2cosxx=sin xx的解的个数.7. 求ℝ上方程xx�ee xx4−1−1�+(xx−1)(xx4−1)=0的解的个数.8. 求ℝ上方程xx2−13[xx]+11=0的解的个数.9. 在体积为 1 的正方体内取一个点, 过这个点作三个平行于正方体面的平面,将正方体分为 8 个长方体,求这些小长方体中体积不大于18的长方体个数的最小值.10. 在离心率为√32的椭圆中, FF1,FF2是两个焦点, PP是椭圆上一点,且∠FF1PPFF2=ππ3,|PPFF1|−|PPFF2|=3 ,求SS△PPFF1FF2 .11. 用SS(nn)表示正整数nn的数码和,求满足SS(nn+1)与SS(nn)均为 5 的倍数的nn的最小值.112. 称正整数nn为好数,当它各位数字均不相同,且对于所有正整数mm满足�nn10mm�>0 ,都有�nn10mm�∣nn ,求最大的好数的范围. (选项为(0,1000),(1000,2000),(2000,3000) .)13. 在△AAAAAA中,求cos AA cos AA cos AA的最小值.14. 在△AAAAAA中,若AAAA边上的高为13aa ,求(bb+cc)2bbcc的范围.15. 在△AAAAAA中,若aa=2,bb=√2,cc=2√2,DD在AAAA上,比较AADD2与2DDAA×DDAA的大小.16. 在△AAAAAA中,若OO为形外一点,满足∠AAOOAA=2∠AAAAAA ,线段OOAA与线段OOAA交于DD ,且OOAA=OOAA=3,OODD=2 ,求AADD×AADD .17. 在△AAAAAA中,若DD在AAAA上, AADD平分∠AAAAAA,△AADDAA的内心与△AAAAAA的外心重合,求∠AA .18. 在△AAAAAA中,若DD在AAAA上, AADD平分∠AAAAAA,AAAA=AADD=3,AADD= 2 , 求△AAAAAA的周长.19. 在△AAAAAA中,求2sin AA+sin AA+sin AA的最小值.20.aa1=√2, aa nn+1=[aa nn]+1{aa nn} ,求∑aa kk2024kk=1 .2北京大学2024年强基计划笔试数学试题解析345678。
2017年北京大学自主招生数学学科试题(含解析)
数学试题1．已知实数a ，b 满足(a 2+4)(b 2+1)＝5(2ab -1)，求1b a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭。
A ．1.5B ．2.5C ．3.5D ．以上答案均不正确2．在三角形ABC 中，已知4sin 5A =，4cos 13B =，则△ABC 为（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．无法确定D ．以上答案均不正确3．已知2x x +和222x x+均为整数，则正实数x 的可能取值有（ ）个 A ．1 B ．2 C ．4 D ．以上答案均不正确4．复数z 满足2z z+为实数，求|z +i |的最小值（ ） 5的实数(a ，m ，n )有（ ）组6．圆上四点ABCD 逆时针排列，已知AB ＝1，BC ＝2，BD ＝3，∠DBC ＝∠DBA ，求圆的直径（ ）A． B． C． D ．以上答案均不正确7．已知p 为100以内的质数，且满足p 3+7p 2为完全平方数，求p 的个数（ ） 8．函数f (x )＝x (x +1)(x +2)(x +3)的最小值为（ ） A ．-1.5 B ．-1 C ．-2 D ．以上答案均不正确9．已知三角形的两条高为10和20，求第三条高的取值范围（ ） 10．已知三角形的三条中线为9，12，15，求三角形的面积（ ） 11．已知111123571111log πlog πlog πlog πS =+++，求不大于S 的最大整数（ ） 12．求方程log 4(2x +3x )＝log 3(4x -2x )整数解的个数（ ）13．求π31cos 1cos π55⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭（ ）14．设ABCD 是边长为1的正方形，正方形所在平面上的点P 满足|P A |2+|PB |2＝|PC |2，求|PD |max （ ）数学 答案1、【解答】C ．对(a 2+4)(b 2+1)＝5(2ab -1) 直接展开，有a 2b 2+a 2+4b 2+4＝10ab -5。
北大自主招生数学(理)试题答案
1.AB 为单位正五边形边上的点，证明：AB 最长为512+ (25分) 解：（1）首先利用三角形相似求得对角线长为512+；（10分） （2）再证明AB 运动时对角线长是最长的，可分3类； （i ）AB 同在一条边时，显然AB ≤1，（ii ）AB 在相临边上时，如图1，易证111A B AB AB ≤≤=512+；（15分） (iii) AB 在相对边上时，如图2，只需证明，1AB AB ≤且11A B AB ≤ 先证1AB AB ≤，考虑ABD ∆中，512AB AD +==，11180AB D AB B ∠+∠=︒ 故11,AB D AB B ∠∠︒与中必有一个大于或等于90不妨设1,AB B ∠≥︒90 则1AB AB <，再证11A B AB ≤，又由(ii)知，1B C AB ≤， 在1AB C ∆中，同上可证得：11||A B 至少小于11,AB CB 中的一条即证得：11A B AB ≤综上可得：AB 最长为512+。
（25分） 2.AB 为y=1-x 2上在y 轴两侧的点，求过AB 的切线与x 轴围成面积的最小值。
(25分) 2．如图，只需求CDE S ∆的最小值。
设A 11(,)x y ，B 22(,)x y ，120.0x x <> 则可求得：2y x '=-, 122,2CD CE k x k x =-=-，CD 方程为： 1112(),y y x x x -=-- 21121y x x x ⇒=-++，①令y=0,得：211112x x x +=，即D （211112x x +，0），(5分)AB B 1A 1 ABB 1A 1 DCDC图1图2A B C DE xo y同理可得CE 方程为：22221y x x x =-++②，E （222112x x +，0）（7分）联立①，②解得：C 点坐标为（122x x +，121x x -）,（10分） 222211*********11(1)()111||()(1)244CDEC x x x x x x S DE y x x x x x x ∆++--==--=-,（15分） 21122x x x x -≥-,令12(0)x x t t -=>，则S 221(1)2t t +≥，设221(1)()2t g t t += 2222222214(1)(1)(1)(31)()22t t t t t g t t t+-++-'==，令3()0(0)3g t t t '=>⇒=（20分） 此时221(1)2t t +取最小值为839，即1233,33x x =-=时，min 839S =.（25分） 3. 向量OA 与OB 夹角为θ，|OA |=2，|OB |=1，OP =t OA ，OQ=（1-t ）OB ，|PQ|在t 0处取得最小值，问当0<t 0<1/5时，夹角θ的取值范围。
江苏省淮阴中学2017高三清华北大自主招生数学训练题1含答案
数学自主招生训练题（1）1．已知函数f(x ）=ax 3﹣3x 2+1,若f （x)存在唯一的零点x 0，且x 0＞0，则a 的取值范围是（ ） A ． （2，+∞） B ． (1，+∞） C ． (﹣∞，﹣2） D ． （﹣∞，﹣1） 2.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（ )A ． 6B ． 6C ． 4D ． 43.设函数()3x f x mπ=。
若存在()f x 的极值点0x 满足()22200x f x m +<⎡⎤⎣⎦，则m的取值范围是（ ）A 。
()(),66,-∞-⋃∞ B. ()(),44,-∞-⋃∞ C. ()(),22,-∞-⋃∞ D.()(),14,-∞-⋃∞4。
记,max{,},x x y x y y x y≥⎧=⎨<⎩,y,min{,}x,x y x y x y≥⎧=⎨<⎩，设,a b 为平面向量,则（ ) A ．min{||,||}min{||,||}a b a b a b +-≤B 。
min{||,||}min{||,||}a b a b a b +-≥C 。
2222max{||,||}||||a b a b a b +-≤+ D 。
2222max{||,||}||||a b a b a b +-≥+5. 已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m 个红球和n 个篮球(3,3)m n ≥≥，从乙盒中随机抽取(1,2)i i =个球放入甲盒中.（a ）放入i 个球后，甲盒中含有红球的个数记为(1,2)ii ξ=;（b ）放入i 个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为(1,2)ip i =. 则 （ ）A 。
1212,()()p p E E ξξ>< B. 1212,()()p p E E ξξ<> C. 1212,()()p p E E ξξ>> D. 1212,()()pp E E ξξ<<6 设函数21()f x x =，22()2()f x x x =-，31()|sin 2|3f x x π=，99iai=，,2,1,0=i 99,，记1219998|()()||()()||()()|kkkkkkkI f a f a f a f a f a f a=-+-++-，1,2,3k = 则 （ ）A 。
2017年北京大学夏令营数学试卷-学生用卷
2017年北京大学夏令营数学试卷-学生用卷
1、【来源】 2017年北京北京大学自主招生夏令营第1题
高二上学期单元测试《解三角形与恒等式》自招第16题
在中，求证：．
2、【来源】 2017年北京北京大学自主招生夏令营第2题
高二下学期单元测试《整除与同余》自招
求实数，使得方程的解均为整数．
3、【来源】 2017年北京北京大学自主招生夏令营第3题
数列中，是否存在个数，使其为等差数列．
4、【来源】 2017年北京北京大学自主招生夏令营第4题
为整系数方程的无理根，求证：存在，使得任意互质正整数，满足．
5、【来源】 2017年北京北京大学自主招生夏令营第5题
已知正数满足，求证：．
1 、【答案】证明见解析．
;
2 、【答案】或．
;
3 、【答案】存在．
;
4 、【答案】证明见解析．;
5 、【答案】证明见解析．;。
北大清华北清自主招生博雅领军强基计划笔试真题数学试题分类-导数与微积分初步
清华领军2015.5.如图，已知直线y kx n =+与曲线()y f x =相切于两点，则()()F x f x kx =-有（ ）A.2个极大值点B.3个极大值点C.2个极小值点D.3个极小值点 同时分入了函数图像与性质类清华领军2015.25.设函数()f x 的定义域是（-1，1），若(0)(0)1f f ='=，则存在实数(0,1)δ∈，使得（ ） A.()0,(,)f x x δδ>∈- B.()f x 在(,)δδ-上单调递增 C.()1,(0,)f x x δ>∈ D.()1,(,0)f x x δ>∈-北大博雅2016.1.直线2y x =-+与曲线x a y e +=-相切，则a 的值为（ ） A.-3 B.-2 C.-1 D.前三个答案都不对 1.【解答】A由于()x a x a e e ++'-=-，于是切点横坐标为x =-a ，进而有-(-a )+2=a a e -+-解得a =-3. 【评析】非常基础的问题，注意计算速度和准确度。
清华领军2016.17. ∫(x −π)2π−1(1+sin 2πx)dx =2π? 17.【解答】0()()()()()()()()()()()()()()()212121222220021221220021212201sin 1sin 1sin 1sin 21sin 221sin 1sin 0n n n nnnn n nnn n nnx x dx x x dx x x dxx x dx x x d x x x dx x x dx πππππππππππππππππππ--------+=-++-+⎡⎤=-++--+--⎡⎤⎣⎦⎣⎦=-++-+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰【评析】考察大学的微积分知识，运用到换元积分法，清华的考试中常出现这类问题。
清华领军2016.22.2()()x f x x a e =+有最小值，则220x x a ++=的解的个数为______22.【解答】2()()()2222x x x f x x a e xe x x a e '=++=++，当220x x a ++=无解或者只有一解时，220x x a ++≥恒成立，从而()0f x '≥，此时()f x 无最小值，故()f x 有最小值时220x x a ++=有两个解。
2020年北京海淀区北京大学自主招生数学试卷(强基计划)-学生用卷
2020年北京海淀区北京大学自主招生数学试卷（强基计划）-学生用卷一、选择题（本大题共20个小题，每小题5分，共100分）1、【来源】 2020年北京海淀区北京大学自主招生（强基计划）第1题5分正实数x ，y ，z ，ω满足x ⩾y ⩾ω和x +y ⩽2(z +ω)，则ωx +z y 的最小值为（ ）．A. 34B. 78C. 1D. 前三个答案都不对2、【来源】 2020年北京海淀区北京大学自主招生（强基计划）第2题5分2020~2021学年北京高三单元测试2020~2021学年北京高二单元测试竞赛在(2019×2020)2021的全体正因数中选出若干个，使得其中任意两个的乘积都不是平方数，则最多可选因数个数为（ ）．A. 16B. 31C. 32D. 前三个答案都不对3、【来源】 2020年北京海淀区北京大学自主招生（强基计划）第3题5分2020~2021学年北京高三单元测试2020~2021学年北京高二单元测试整数列{a n }n⩾1满足a 1=1，a 2=4，且对任意n ⩾2有a n 2−a n+1a n−1=2n−1，则a 2020的个位数字是( )A. 8B. 4C. 2D. 前三个答案都不对4、【来源】 2020年北京海淀区北京大学自主招生（强基计划）第4题5分2020~2021学年北京高二单元测试2020~2021学年北京高三单元测试设a，b，c，d是方程x4+2x3+3x2+4x+5=0的4个复根，则a−1a+2+b−1b+2+c−1c+2+d−1d+2的值为()A. −43B. −23C. 23D. 前三个答案都不对5、【来源】 2020年北京海淀区北京大学自主招生（强基计划）第5题5分2020~2021学年北京高二单元测试2020~2021学年北京高三单元测试设等边三角形ABC的边长为1，过点C作以AB为直径的圆的切线交AB的延长线于点D，AD>BD，则△BCD的面积为()A. 6√2−3√316B. 4√2−3√316C. 3√2−2√316D. 前三个答案都不对6、【来源】 2020年北京海淀区北京大学自主招生（强基计划）第6题5分2020~2021学年北京高三单元测试2020~2021学年北京高二单元测试竞赛)π，其中k为整数，已知sin(y+z−x)，sin(x+z−y)，sin(x+y−z)设x，y，z均不为(k+12成等差数列，则依然成等差数列的是（）．A. sinx，siny，sinzB. cosx，cosy，coszC. tanx，tany，tanzD. 前三个答案都不对7、【来源】 2020年北京海淀区北京大学自主招生（强基计划）第7题5分2020~2021学年北京高二单元测试竞赛2020~2021学年北京高三单元测试方程19x+93y=4xy的整数解个数为（）．A. 4B. 8C. 16D. 前三个答案都不对8、【来源】 2020年北京海淀区北京大学自主招生（强基计划）第8题5分2020~2021学年北京高二单元测试2020~2021学年北京高三单元测试+y2=1引切线，两个切点间的线段称为切点弦，则椭圆C内从圆x2+y2=4上的点向椭圆C：x22不与任何切点弦相交的区域面积为()A. π2B. π3C. π4D. 前三个答案都不对9、【来源】 2020年北京海淀区北京大学自主招生（强基计划）第9题5分2020~2021学年10月上海浦东新区华东师范大学第二附属中学高一上学期月考第16题 竞赛2020~2021学年11月浙江杭州滨江区浙江省杭州第二中学高一上学期周测A 卷第9题 2020~2021学年北京高二单元测试使得5x +12√xy ⩽a (x +y )对所有正实数x ，y 都成立的实数a 的最小值为（ ）．A. 8B. 9C. 10D. 前三个答案都不对10、【来源】 2020年北京海淀区北京大学自主招生（强基计划）第10题5分 设点P 为单位正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1上的一点，则PA 1+PC 1的最小值为（ ）．A. √2+√2B. √2+2√2C. 2−√22D. 前三个答案都不对11、【来源】 2020年北京海淀区北京大学自主招生（强基计划）第11题5分 数列{a n }(n ⩾1)满足a 1=1，a 2=9，且对任意n ⩾1，有a n+2=4a n+1−3a n −20，记S n 为数列的前n 项和，则S n 的最大值等于（ ）．A. 28B. 35C. 47D. 前三个答案都不对12、【来源】 2020年北京海淀区北京大学自主招生（强基计划）第12题5分2020~2021学年北京高二单元测试2020~2021学年北京高三单元测试设直线y=3x+m与椭圆x 225+y216=1交于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB面积的最大值为()A. 8B. 10C. 12D. 前三个答案都不对13、【来源】 2020年北京海淀区北京大学自主招生（强基计划）第13题5分2020~2021学年北京高三单元测试2020~2021学年北京高二单元测试正整数n⩾3称为理想的，若存在正整数1⩽k⩽n−1使得C n k−1，C n k，C n k+1构成等差数列，其中C n k=n!k!(n−k)!为组合数，则不超过2020的理想数个数为()A. 40B. 41C. 42D. 前三个答案都不对14、【来源】 2020年北京海淀区北京大学自主招生（强基计划）第14题5分2020~2021学年北京高二单元测试2020~2021学年北京高三单元测试在△ABC中，∠A=150°，已知D1，D2，⋯，D2020依次为边BC上的点，且有BD1=D1D2= D2D3=⋯=D2019D2020=D2020C．设角度∠BAD1=α1，∠D1AD=α2，⋯，∠D2019AD2020=α2020，∠D2020AC=α2021，则sinα1sinα3⋯sinα2021的值为()sinα2sinα4⋯sinα2020A. 11010B. 12020C. 12021D. 前三个答案都不对15、【来源】 2020年北京海淀区北京大学自主招生（强基计划）第15题5分函数√3+2√3cosθ+cos2θ√5−2√3cosθ+cos2θ+4sin2θ的最大值为（）．A. √2+√3B. 2√2+√3C. √2+2√3D. 前三个答案都不对16、【来源】 2020年北京海淀区北京大学自主招生（强基计划）第16题5分2020~2021学年北京高二单元测试2020~2021学年北京高三单元测试竞赛方程√x+5−4√x+1+√x+2−2√x+1=1的实根个数为（）．A. 1B. 2C. 3D. 前三个答案都不对17、【来源】 2020年北京海淀区北京大学自主招生（强基计划）第17题5分竞赛2020~2021学年北京高三单元测试2020~2021学年北京高二单元测试凸五边形ABCDE的对角线CE分别与对角线BD和AD交于点F和G，已知BF:FD=5:4，AG:GD= 1:1，CF:FG:GE=2:2:3，S△CFD和S△ABE分别为△CFD和△ABE的面积，则S△CFD:S△ABE的值等于（）．A. 8:15B. 2:3C. 11:23D. 前三个答案都不对18、【来源】 2020年北京海淀区北京大学自主招生（强基计划）第18题5分2020~2021学年北京高二单元测试2020~2021学年北京高三单元测试设p，q均为不超过100的正整数，则有有理根的多项式f(x)=x5+px+q的个数为()A. 99B. 133C. 150D. 前三个答案都不对19、【来源】 2020年北京海淀区北京大学自主招生（强基计划）第19题5分2020~2021学年北京高三单元测试2020~2021学年北京高二单元测试满足对任意n⩾1，都有a n+1=2n−3a n且严格递增的数列{a n}(n⩾1)的个数为（）．A. 0B. 1C. 无穷多个D. 前三个答案都不对20、【来源】 2020年北京海淀区北京大学自主招生（强基计划）第20题5分设函数f(x,y,z)=xx+y+yy+z+zz+x，其中x，y，z均为正实数，则（）．A. f(x,y,z)既有最大值也有最小值B. f(x,y,z)有最大值但无最小值C. f(x,y,z)有最小值但无最大值D. 前三个答案都不对1 、【答案】 D;2 、【答案】 C;3 、【答案】 A;4 、【答案】 A;5 、【答案】 C;6 、【答案】 C;7 、【答案】 B;8 、【答案】 A;9 、【答案】 B;10 、【答案】 D;11 、【答案】 A;12 、【答案】 B;13 、【答案】 C;14 、【答案】 D;15 、【答案】 D;16 、【答案】 D;17 、【答案】 A;18 、【答案】 B;19 、【答案】 B;20 、【答案】 D;。
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1.已知实数a,b 满足(a 2+4)（b 2+1）=5(2ab-1),求b （a+1a
）。
A.1.5
B.2.5
C.3.5
D.以上答案均不正确
2.在三角形ABC 中，已知sinA=45，cosB=413，则△ABC 为（）
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.无法确定
D.以上答案均不正确
3.已知x+2x 和x 2+2x 2均为整数，则正实数x 的可能取值有（）个
A.1
B.2
C.4
D.以上答案均不正确
4.复数z 满足z+2z 为实数，求|z+i|的最小值（）
5.满足√a 2−4√5 =√m -√n 的实数（a,m,n ）有（）组
6.圆上四点ABCD 逆时针排列，已知AB=1，BC=2，BD=3，∠DBC=∠DBA ，求圆的直径（）
A.2√3
B. 2√5
C. 2√7
D.以上答案均不正确
7.已知p 为100以内的质数，且满足p 3+7p 2为完全平方数,求p 的个数（）
8.函数∫（x ）=x(x+1)(x+2)(x+3)的最小值为（）
A.-1.5
B.-1
C.-2
D.以上答案均不正确
9.已知三角形的两条高为10和20，求第三条高的取值范围（）
10.已知三角形的三条中线为9,12,15，求三角形的面积（） 11.已知，求不大于S 的最大整数（）
12.求方程log 4（2x +3x ）=log 3(4x -2x )整数解的个数（）
13.求（1+cos π5）（1+cos 3π5）的值（）
14.设ABCD 是边长为1的正方形，正方形所在平面上的点P 满足|PA|2+|PB|2=|PC|2，求|PD|max （）。