优化探究高考数学一轮复习 第四章 第二节 平面向量的基本定理及坐标表示课时作业 理 新人教A版

【优化探究】2017届高考数学一轮复习 第四章 第二节 平面向量的基本定理及坐标表示课时作业 理 新人教A 版A 组 考点能力演练1．(2015·郑州一模)设向量a ＝(x,1)，b ＝(4，x )，若a ，b 方向相反，则实数x 的值是( )A ．0B ．±2C ．2D ．－2解析：由题意可得a ∥b ，所以x 2＝4，解得x ＝－2或2，又a ，b 方向相反，所以x ＝－2，故选D.答案：D2．(2015·抚顺二模)若向量a ＝(2,1)，b ＝(－1,2)，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，52，则c 可用向量a ，b 表示为( )A.12a ＋b B ．－12a －bC.32a ＋12b D.32a －12b 解析：设c ＝xa ＋yb ，则⎝ ⎛⎭⎪⎫0，52＝(2x －y ，x ＋2y )，所以⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝0，x ＋2y ＝52，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝1，则c ＝12a ＋b ，故选A.答案：A3．在△ABC 中，O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N ，若AB →＝xAM →，AC →＝yAN →，则x ＋y ＝( )A ．2B ．1C ．3D.52解析：因为M ，O ，N 三点共线，所以存在常数λ(λ≠0，且λ≠－1)，使得MO →＝λON →，即AO →－AM →＝λ(AN →－AO →)，所以AO →＝11＋λAM →＋λ1＋λAN →，又O 是BC 的中点，所以AO →＝12AB →＋12AC→＝x 2AM →＋y 2AN →，又AM →，AN →不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝11＋λ，y 2＝λ1＋λ，得x 2＋y 2＝11＋λ＋λ1＋λ＝1，即x ＋y ＝2.答案：A4．已知△ABC 是边长为4的正三角形，D ，P 是△ABC 内的两点，且满足AD →＝14(AB →＋AC →)，AP →＝AD →＋18BC →，则△APD 的面积为( )A.34B.32C. 3 D ．2 3解析：取BC 的中点E ，连接AE ，由于△ABC 是边长为4的正三角形，则AE ⊥BC ，AE →＝12(AB →＋AC →)，又AD →＝14(AB →＋AC →)，所以点D 是AE 的中点，AD ＝ 3.取AF →＝18BC →，以AD ，AF 为邻边作平行四边形，可知AP →＝AD →＋18BC →＝AD →＋AF →.而△APD 是直角三角形，AF ＝12，所以△APD 的面积为12×12×3＝34. 答案：A5．(2015·怀化一模)如图所示，在△ABC 中，D 为AB 的中点，F 在线段CD 上，设AB →＝a ，AC →＝b ，AF →＝xa ＋yb ，则1x ＋2y的最小值为( )A ．8＋2 2B ．8C ．6D ．6＋2 2解析：因为D 为AB 的中点，所以AB →＝2AD →，因为AF →＝xa ＋yb ，所以AF →＝2xAD →＋yAC →，因为F 在线段CD 上，所以2x ＋y ＝1，又x ，y >0，所以1x ＋2y ＝(2x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2y ＝4＋y x ＋4x y ≥4＋2y x ·4x y ＝8，当且仅当y ＝2x ＝12时取等号，所以1x ＋2y的最小值为8. 答案：B6．已知S 是△ABC 所在平面外一点，D 是SC 的中点，若BD →＝xAB →＋yAC →＋zAS →，则x ＋y ＋z＝________.解析：依题意得BD →＝AD →－AB →＝12(AS →＋AC →)－AB →＝－AB →＋12AC →＋12AS →，因此x ＋y ＋z ＝－1＋12＋12＝0. 答案：07．已知平面向量a ，b 满足|a |＝1，b ＝(1,1)，且a ∥b ，则向量a 的坐标是________． 解析：设a ＝(x ，y )．∵平面向量a ，b 满足|a |＝1，b ＝(1,1)，且a ∥b ， ∴x 2＋y 2＝1，x ·y ＝0.解得x ＝y ＝±22. ∴a ＝⎝⎛⎭⎪⎫22，22或⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，－22. 答案：⎝⎛⎭⎪⎫22，22或⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，－22 8．已知A (－3,0)，B (0，3)，O 为坐标原点，C 在第二象限，且∠AOC ＝30°，OC →＝λOA →＋OB →，则实数λ的值为________．解析：由题意知OA →＝(－3,0)，OB →＝(0，3)， 则OC →＝(－3λ，3)，由∠AOC ＝30°，知∠xOC ＝150°，∴tan 150°＝3－3λ，即－33＝－33λ，∴λ＝1.答案：19．已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)，设AB →＝a ，BC →＝b ，CA →＝c ，有CM →＝3c ，CN →＝－2b ，求：(1)3a ＋b －3c ；(2)满足a ＝mb ＋nc 的实数m ，n ； (3)M ，N 的坐标及向量MN →的坐标．解：由已知得a ＝(5，－5)，b ＝(－6，－3)，c ＝(1,8)， (1)3a ＋b －3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8) ＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)． (2)∵mb ＋nc ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n )，∴⎩⎪⎨⎪⎧－6m ＋n ＝5，－3m ＋8n ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝－1.(3)设O 为坐标原点，∵CM →＝OM →－OC →＝3c ， ∴OM →＝3c ＋OC →＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)， ∴M 的坐标为(0,20)． 又CN →＝ON →－OC →＝－2b ，∴ON →＝－2b ＋OC →＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)， ∴N 的坐标为(9,2)．故MN →＝(9－0,2－20)＝(9，－18)．10.(2015·皖南八校模拟)如图，∠AOB ＝π3，动点A 1，A 2与B 1，B 2分别在射线OA ，OB 上，且线段A 1A 2的长为1，线段B 1，B 2的长为2，点M ，N 分别是线段A 1B 1，A 2B 2的中点．(1)用向量A 1A 2→与B 1B 2→表示向量MN →； (2)求向量MN →的模．解：(1)MN →＝MA 1→＋A 1A 2→＋A 2N →，MN →＝MB 1→＋B 1B 2→＋B 2N →两式相加，并注意到点M ，N 分别是线段A 1B 1，A 2B 2的中点，得MN →＝12()A 1A 2→＋B 1B 2→.(2)由已知可得向量A 1A 2→与B 1B 2→的模分别为1与2，夹角为π3，所以A 1A 2→·B 1B 2→＝1，由MN →＝12(A 1A 2→＋B 1B 2→)得|MN →|＝ 14A 1A 2→＋B 1B 2→2＝12A 1A 2→2＋B 1B 2→2＋2A 1A 2→·B 1B 2→＝72.B 组 高考题型专练1．(2013·高考陕西卷)已知向量a ＝(1，m )，b ＝(m,2)，若a ∥b ，则实数m 等于( ) A ．－ 2 B. 2 C ．－2或 2D ．0解析：由a ∥b ⇒m 2＝1×2⇒m ＝2或m ＝－ 2. 答案：C2．(2015·高考四川卷)设向量a ＝(2,4)与向量b ＝(x,6)共线，则实数x ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．6解析：由向量a ＝(2,4)与向量b ＝(x,6)共线，可得4x ＝2×6，解得x ＝3. 答案：B3．(2015·高考全国卷Ⅰ)已知点A (0,1)，B (3,2)，向量AC →＝(－4，－3)，则向量BC →＝( ) A ．(－7，－4) B ．(7,4) C ．(－1,4)D ．(1,4)解析：设C (x ，y )，∵A (0,1)，AC →＝(－4，－3)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y －1＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝－2，∴C (－4，－2)，又B (3,2)，∴BC →＝(－7，－4)，选A.答案：A4．(2015·高考北京卷)在△ABC 中，点M ，N 满足AM →＝2MC →，BN →＝NC →.若MN →＝xAB →＋yAC →，则x ＝________；y ＝________.解析：由题中条件得MN →＝MC →＋CN →＝13AC →＋12CB →＝13AC →＋12(AB →－AC →)＝12AB →－16AC →＝xAB →＋yAC →，所以x ＝12，y ＝－16.答案：12 －165．(2015·高考湖北卷)已知向量 OA →⊥AB →，|OA →|＝3，则OA →·OB →＝________.解析：因为OA →⊥AB →，|OA →|＝3，所以OA →·OB →＝OA →·(OA →＋AB →)＝|OA →|2＋OA →·AB →＝|OA →|2＝32＝9.答案：9。