重庆市渝中区2021届新高考第一次模拟数学试题含解析
重庆市渝北区2021届新第一次高考模拟考试数学试卷含解析
重庆市渝北区2021届新第一次高考模拟考试数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下图是我国第24~30届奥运奖牌数的回眸和中国代表团奖牌总数统计图，根据表和统计图，以下描述正确的是（）．金牌（块）银牌（块）铜牌（块）奖牌总数24 5 11 12 2825 16 22 12 5426 16 22 12 5027 28 16 15 5928 32 17 14 6329 51 21 28 10030 38 27 23 88A．中国代表团的奥运奖牌总数一直保持上升趋势B．折线统计图中的六条线段只是为了便于观察图象所反映的变化，不具有实际意义C．第30届与第29届北京奥运会相比，奥运金牌数、银牌数、铜牌数都有所下降D．统计图中前六届奥运会中国代表团的奥运奖牌总数的中位数是54.5【答案】B【解析】【分析】根据表格和折线统计图逐一判断即可.【详解】A.中国代表团的奥运奖牌总数不是一直保持上升趋势，29届最多，错误；B.折线统计图中的六条线段只是为了便于观察图象所反映的变化，不表示某种意思，正确；C.30届与第29届北京奥运会相比，奥运金牌数、铜牌数有所下降，银牌数有所上升，错误；D. 统计图中前六届奥运会中国代表团的奥运奖牌总数按照顺序排列的中位数为545956.52+=,不正确； 故选：B 【点睛】此题考查统计图，关键点读懂折线图，属于简单题目. 2．已知函数()()614,7,7x a x x f x ax -⎧-+≤=⎨>⎩是R 上的减函数，当a 最小时，若函数()4y f x kx =--恰有两个零点，则实数k 的取值范围是（ ） A ．1(,0)2-B ．1(2,)2- C ．(1,1)- D ．1(,1)2【答案】A 【解析】 【分析】首先根据()f x 为R 上的减函数，列出不等式组，求得112a ≤<，所以当a 最小时，12a =，之后将函数零点个数转化为函数图象与直线交点的个数问题，画出图形，数形结合得到结果. 【详解】由于()f x 为R 上的减函数，则有()1001714a a a a ⎧-<⎪<<⎨⎪≤-+⎩，可得112a ≤<， 所以当a 最小时，12a =， 函数()4y f x kx =--恰有两个零点等价于方程()4f x kx =+有两个实根， 等价于函数()y f x =与4y kx =+的图像有两个交点．画出函数()f x 的简图如下，而函数4y kx =+恒过定点()0,4，数形结合可得k 的取值范围为102k -<<．故选：A. 【点睛】该题考查的是有关函数的问题，涉及到的知识点有分段函数在定义域上单调减求参数的取值范围，根据函数零点个数求参数的取值范围，数形结合思想的应用，属于中档题目.3．已知3log 5a =，0.50.4b =，2log 5c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．c b a >> B ．b c a >>C ．a b c >>D ．c a b >>【答案】D 【解析】 【分析】与中间值1比较，,a c 可用换底公式化为同底数对数，再比较大小． 【详解】0.50.41<，3log 51>，又550log 2log 3<<，∴5511log 2log 3>，即23log 5log 5>， ∴c a b >>． 故选：D. 【点睛】本题考查幂和对数的大小比较，解题时能化为同底的化为同底数幂比较，或化为同底数对数比较，若是不同类型的数，可借助中间值如0，1等比较． 4．设命题p ：,a b R ∀∈，a b a b -<+，则p ⌝为 A ．,a b R ∀∈，a b a b -≥+ B ．,a b R ∃∈，a b a b -<+ C ．,a b R ∃∈，a b a b ->+D ．,a b R ∃∈，a b a b -≥+【答案】D 【解析】 【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可. 【详解】因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题p ：,a b R ∀∈，a b a b -<+，则p ⌝为：,a b R ∃∈，a b a b -≥+.故本题答案为D. 【点睛】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题. 5．函数()sin (0)f x x ωω=>的图象向右平移12π个单位得到函数()y g x =的图象，并且函数()g x 在区间[,]63ππ上单调递增，在区间[,]32ππ上单调递减，则实数ω的值为（ ） A ．74B ．32C ．2D ．54【答案】C 【解析】由函数()sin (0)f x x ωω=>的图象向右平移12π个单位得到[]1212g x sin x sin x πωπωω=-=-（）（）（），函数()g x 在区间,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，可得3x π=时，()g x 取得最大值，即23122k πωππωπ⨯-=+（），k Z ∈，0ω>，当0k =时，解得2ω=，故选C.点睛：本题主要考查了三角函数图象的平移变换和性质的灵活运用，属于基础题；据平移变换“左加右减，上加下减”的规律求解出()g x ，根据函数()g x 在区间,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减可得3x π=时，()g x 取得最大值，求解可得实数ω的值.6．根据党中央关于“精准”脱贫的要求，我市某农业经济部门派四位专家对三个县区进行调研，每个县区至少派一位专家，则甲，乙两位专家派遣至同一县区的概率为（ ） A ．16B ．14C ．13D ．12【答案】A 【解析】 【分析】每个县区至少派一位专家，基本事件总数36n =，甲，乙两位专家派遣至同一县区包含的基本事件个数6m =，由此能求出甲，乙两位专家派遣至同一县区的概率.【详解】派四位专家对三个县区进行调研，每个县区至少派一位专家基本事件总数：234336n C A ==甲，乙两位专家派遣至同一县区包含的基本事件个数：2122326m C C A ==∴甲，乙两位专家派遣至同一县区的概率为：61366m p n === 本题正确选项：A 【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题. 7．已知集合2{|1}A x x =<,2{|log 1}B x x =<，则 A ．{|02}A B x x ⋂=<< B ．{|2}A B x x ⋂=< C ．{|2}A B x x ⋃=< D ．{|12}AB x x =-<<【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】因为2{|1}{|11}A x x x x =<=-<<,2{|log 1}{|02}B x x x x =<=<<,所以{|01}A B x x =<<,{|12}A B x x =-<<,故选D ．8．如图是正方体截去一个四棱锥后的得到的几何体的三视图，则该几何体的体积是（ ）A ．12B ．13C ．23D ．56【答案】C 【解析】 【分析】根据三视图作出几何体的直观图，结合三视图的数据可求得几何体的体积.根据三视图还原几何体的直观图如下图所示：由图可知，该几何体是在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中截去四棱锥1B ABCD -所形成的几何体， 该几何体的体积为321211133V =-⨯⨯=. 故选：C. 【点睛】本题考查利用三视图计算几何体的体积，考查空间想象能力与计算能力，属于基础题.9．双曲线C ：2215x y m-=（0m >），左焦点到渐近线的距离为2，则双曲线C 的渐近线方程为（ ） A ．250x y ±= B ．250x ±=C 520x y ±=D 50x y ±=【答案】B 【解析】 【分析】50mx -=，再利用左焦点到渐近线的距离为2，列方程即可求出m ，进而求出渐近线的方程.【详解】设左焦点为(),0c -50mx -=，由左焦点到渐近线的距离为2，可得25mc m m ==+，所以渐近线方程为5y =250x =, 故选：B 【点睛】本题考查双曲线的渐近线的方程，考查了点到直线的距离公式，属于中档题.10．已知变量x ，y 满足不等式组210x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则2x y -的最小值为（ ）A ．4-B ．2-C ．0D ．4【解析】 【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值. 【详解】解：由变量x ，y 满足不等式组210x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，画出相应图形如下：可知点()1,1A ,()0,2B ，2x y -在B 处有最小值，最小值为2-.故选：B. 【点睛】本题主要考查简单的线性规划，运用了数形结合的方法，属于基础题.11．正方体1111ABCD A B C D -，()1,2,,12i P i =是棱的中点，在任意两个中点的连线中，与平面11A C B平行的直线有几条（ ）A ．36B ．21C ．12D ．6【答案】B 【解析】 【分析】先找到与平面11A C B 平行的平面，利用面面平行的定义即可得到. 【详解】考虑与平面11A C B 平行的平面148PP P ，平面10116P P P ，平面9523712P P P P P P ， 共有22623321C C C ++=， 故选：B. 【点睛】本题考查线面平行的判定定理以及面面平行的定义，涉及到了简单的组合问题，是一中档题. 12．将函数sin 2y x =的图像向左平移(0)ϕϕ>个单位得到函数sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，则ϕ的最小值为（ ） A ．6πB ．12πC ．1112πD ．56π 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角函数的平移求出函数的解析式，结合三角函数的性质进行求解即可． 【详解】将函数sin 2y x =的图象向左平移(0)ϕϕ>个单位， 得到sin 2()sin(22)y x x ϕϕ=+=+， 此时与函数sin(2)6y x π=+的图象重合， 则226k πϕπ=+，即12k πϕπ=+，k Z ∈，∴当0k =时，ϕ取得最小值为12πϕ=，故选：B ． 【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数的平移关系求出解析式是解决本题的关键． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021重庆渝中区数学模拟试题(含答案)下载
2021重庆渝中区数学模拟试题（含答案）下载第Ⅰ卷选择题（共30分）一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）1.5的倒数是（）.A．-5 B．5 C．1/5 D．-1/52．若一个棱柱有10个顶点，则下列说法正确的是( )A．这个棱柱有4个侧面B．这个棱柱有5个侧面C．这个棱柱的底面是十边形D．这个棱柱是一个十棱柱3.在│-2│，-│0│，（-2）5，-│-2│，-（-2）中负数共有（）A 1 个B 2个C 3个D 4个4．对于用科学记数法表示的数4.70×104，下列说法正确的是( )A．精确到百位，原数是47000B．精确到百位，原数是4700C．精确到百分位，原数是47000D．精确到百分位，原数是4700005．星期天，小王去朋友家借书，下图是他离家的距离y（千米）与时间x（分钟）的函数图象，根据图象信息，下列说法正确的是（）A．小王去时的速度大于回家的速度B．小王在朋友家停留了10 分钟C．小王去时所花的时间少于回家所花的时间D．小王去时走上坡路，回家时走下坡路6．把弯曲的道路改直，能够缩短行程，其道理用数学知识解释应是 ……………( )A ．垂线段最短B ．两点确定一条直线C ．线段可以大小比较D ．两点之间，线段最短7．“十一”黄金周，商场为促销开始打折，某商品原价a 元 ，打m 折后的售价为……………（ ）A ．amB ．a/mC ．am%D ．0.1am8．一根绳子弯曲成如图1的形状，用剪刀像图2那样沿虚线a 把绳子剪断时，绳子被剪为5段；当用剪刀像图3那样沿虚线b （b ∥a ）把绳子再剪一次时，绳子就被剪为9段．若用剪刀在虚线a ，b 之间把绳子再剪(n －2)次(剪开的方向与a 平行)，这样一共剪n 次时绳子的段数是 ( )A ．4n ＋1B ．4n ＋2C ．4n ＋3D ．4n ＋59．四个互不相等整数的积为9，则和为（ ） A ． 9 B ． 6 C ． 0 D ． ﹣3．10．如图，AC 、BD 相交于点O ，∠1= ∠2，∠3= ∠4，则图中有（ ）对全等三角形。
2021届重庆市第一中学高三上学期一诊模拟考试数学(理)试题Word版含解析
2021届重庆市第一中学高三上学期一诊模拟考试数学（理）试题一、选择题1．复数满足，则复数在复平面上对应的点与点间的距离为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：的对应点坐标为，由两点间距离公式得，故选B【考点】复数的基本运算.2．已知集合为实数集，则集合（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：由，得，即，又，故选D.【考点】集合的基本运算.3．将函数图象上各点的横坐标缩短到原来的倍，得到的图象，则的最小正周期为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：图象上各点的横坐标缩短到原来的倍，得到的最小正周期为，故选B.【考点】三角函数的图象与性质.4．已知双曲线的离心率为，且点到其渐近线的距离为，则的实轴长为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：渐近线的方程为，即，由点到直线距离公式可得点到直线的距离，实轴长，故选D.【考点】双曲线的方程与性质.5．设，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：由指数函数性质知，由对数函数的性质得，，可化为；可化为，，故选A.【考点】指数函数与对数函数的性质.6．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：执行程序框图，第一次循环；第二次循环；第三次循环；第四次循环；第五次循环；第六次循环，退出循环，输出，故选B.【考点】程序框图及循环结构.【点睛】本题主要考查程序框图及循环结构，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.7．若随机变量，则有如下结论（），一班有名同学，一次数学考试的成绩服从正态分布，平均分，方差为，理论上说在分到分之间的人数约为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：由题意，这名同学的数学成绩服从正态分布，分到分之间的人数为（人），故选C.【考点】正态分布的应用.8．定义在上的奇函数关于点对称，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：关于对称，，令，则①又是奇函数，相加，令，②由①②得，故选D.【考点】函数的解析式及函数的奇偶性.9．将4个不同的小球装入4个不同的盒子，则在至少一个盒子为空的条件下，恰好有两个盒子为空的概率是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：个不同的球装入个不同的盒子共有（种）方法，至少一个盒子为空的方法共有，四个球分为两组有两种方法，若两组每组有两个球，不同分组的方法有种，恰有两个盒子不放球的不同方法是种，若一组为，一组为个球，不同的分组方法有种，恰有两个盒子不放球的不同方法是种，综合两种情况，恰有两个盒子不放球的不同方法是种，所以恰有两个盒子为空的的概率为，故选A.【考点】排列组合及古典概型概率公式.10．的展开式中，的系数为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：展开式中含项为展开式中项的系数为项的系数为展开式中的系数为，故选B.【考点】二项式定理的应用.11．过轴下方的一动点作抛物线的两切线，切点分别为，若直线到圆相切，则点的轨迹方程为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：设，可得，化为，同理方程为，设，则有，说明都在在直线上，即方程，又与圆相切，，可化为点轨迹方程为，故选A.【考点】利用导数求切线方程、直线与抛物线的位置关系及轨迹方程的求法.【方法点晴】本题主要考查利用导数求切线方程、直线与抛物线的位置关系及轨迹方程的求法，属于难题.求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出在处的导数，即在点出的切线斜率（当曲线在处的切线与轴平行时，在处导数不存在，切线方程为）；（2）由点斜式求得切线方程.12．已知函数，若对恒成立，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：如图所示，在同一坐标系内画出的图象，由图象可知，在上，恒成立，即，当且仅当或时等号成立，，设，则等价于，即，，再设，原不等式可化为，即，而，，故选A.【考点】函数的图象与性质、三角函数的性质及不等式恒成立问题.【方法点晴】本题主要考查函数的图象与性质、三角函数的性质及不等式恒成立问题.，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：①分离参数恒成立(可)或恒成立（即可）；②数形结合(图象在上方即可)；③讨论最值或恒成立；④讨论参数.本题是利用方法①求得的范围的.二、填空题13．中，为边的中点，则__________．【答案】2【解析】试题分析：，又因为为的中点，所以，故答案为.【考点】向量的几何运算.14．已知实数满足，则的最大值为__________．【答案】【解析】画出约束条件表示的可行域，如图，就是可行域内的点与点连线的斜率，由得直线交点为，当在点时，有大值，的最大值为，故答案为.15．（原创）中，角所对的边分别为，且，则的取值范围是__________．【答案】【解析】试题分析：由，得，，，故答案为.【考点】余弦定理、诱导公式及二倍角的正切公式.【方法点睛】本题主要考查余弦定理、诱导公式及二倍角的正切公式，属于难题.解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷．如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．16．高斯是德国著名的数学家，享有“数学王子”之称，以他的名字“高斯”命名的成果达110个，设，用表示不超过的最大整数，并用表示的非负纯小数，则称为高斯函数，已知数列满足：，则__________．【答案】【解析】试题分析：，，，…可归纳：当为奇数时，；当为偶数时，，故答案为.【考点】归纳推理、数列的递推公式及新定义问题.三、解答题17．已知的展开式中各项的二项式系数和为，第二项的系数为.（1）求，（2）求数列的前项和.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：(1)利用二项式系数的定义可得根据二项式定理可得第二项为，从而可得系数为；（2）由（1）可知知根据错位相减法可得结果.试题解析：(1)；（2）由（1）知所以①，②②-①可得，可得.【考点】二项式定理的应用、等比数列求和公式的应用及错位相减法求和.【方法点睛】本题主要考查二项式定理的应用、等比数列求和公式的应用及错位相减法求和.，属于中档题.一般地，如果数列是等差数列，是等比数列，求数列的前项和时，可采用“错位相减法”求和，一般是和式两边同乘以等比数列的公比，然后作差求解, 在写出“”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式.18．（原创）在中，角所对的边分别为，且.（1）证明：成等比数列；（2）若的外接圆半径为，且，求的周长.【答案】（1）证明见解析；（2）9．【解析】试题分析：（1）由正弦定理可得再根据两角和正弦公式、三角形内角和定理及诱导公式可得，从而，进而得结论；（2）由可求得角的值，结合外接圆半径为，利用正弦定理可得，在利用余弦定理可得的值，从而可得结果.试题解析：（1）证明，则，所以，所以成等比数列；（2），，所以的周长为.【考点】正弦定理、余弦定理及等比数列的定义.19．为降低汽车尾气的排放量，某厂生产甲乙两种不同型号的节排器，分别从甲乙两种节排器中各自抽取100件进行性能质量评估检测，综合得分情况的频率分布直方图如图所示.节排器等级及利润如表格表示，其中，（1）若从这100件甲型号节排器按节排器等级分层抽样的方法抽取10件，再从这10件节排器中随机抽取3件，求至少有2件一级品的概率；（2）视频率分布直方图中的频率为概率，用样本估计总体，则①若从乙型号节排器中随机抽取3件，求二级品数的分布列及数学期望；②从长期来看，哪种型号的节排器平均利润较大？【答案】（1）；（2）①分布列见解析；期望为；②投资乙型号节排器的平均利润率较大. 【解析】试题分析：（1）根据排列组合知识及古典概型概率公可得结果；（2）①由频率分布直方图中可知乙型号节排器中的二级品的概率为，再根据独立重复试验次发生次的概率公式可得分布列，从而可求得其期望，②比较甲乙两种不同型号的节排器利润的平均值（期望值），即可得结论.试题解析：（1）；（2）（2）①由已知及频率分布直方图中的信息知，乙型号节排器中的一级品的概率为，二级品的概率，三级品的概率为，若从乙型号节排器随机抽取3件，则二级品数所有可能的取值为，且，所以,,所以的分布列为所以数学期望（或）.②由题意知，甲型号节排器的利润的平均值，乙型号节排器的利润的平均值，，又，所以投资乙型号节排器的平均利润率较大.【考点】古典概型概率公式及离散型随机变量的分布列与期望.20．已知椭圆的左右焦点分别为，且为抛物线的焦点，的准线被和圆截得的弦长分别为和.（1）求和的方程；（2）直线过且与不相交，直线过且与平行，若交于,交交于，且在轴上方，求四边形的面积的取值范围.【答案】（1）和的方程分别为；（2）．【解析】试题分析：（1）根据已知，由椭圆的通径、勾股定理求得的圆的弦长列出关于的方程组，可解的的值，从而可得结果；（2）设，由，得根据韦达定理，结合椭圆的几何性质将面积表示为关于的函数，根据单调性求函数值域即可.试题解析：（1）由得，所以和的方程分别为.（2）由题意，的斜率不为，设，由，得，得，由，得，，与间的距离为，由椭圆的对称性，为平行四边形，,设，.【考点】椭圆、圆及抛物线的标准方程及椭圆与直线的位置关系.【方法点晴】本题主要考查椭圆、圆及抛物线的标准方程、椭圆与直线的位置关系及圆锥曲线求范围，属于难题.解决圆锥曲线中的范围问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法，本题（2）就是用的这种思路，利用函数单调性法求四边形范围的.21．设函数.（1）若函数的图象与直线相切，求的值；（2）当时，求证：.【答案】（1）；（2）证明见解析．【解析】试题分析：（1）求出，设切点为，则有，结合导数的知识可求得的值；（2）构造函数，所以，根据单调性可得，从而可证时，及，进而可得结论.试题解析：（1），设切点为，则切线为，即，又切线为，所以，消，得，设，易得为减函数，且，所以（2）令，所以，当时，，函数在为单调递增；当时，，函数在为单调递减；所以，当时，即时，，即，故时，在上单调递增，所以时，，即，所以，①因为，所以，所以，即，②①+②得：，故当时，.【考点】导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、求函数的最值及证明不等式. 22．选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，直线为参数，与圆相交于点，以为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求直线与圆的极坐标方程；（2）求的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）由直线的参数方程可得直角坐标方程，进而得极坐标方程，将圆的标准方程化为普通方程，利用即可得极坐标方程；（2）利用极坐标的几何意义.试题解析：（1）直线的极坐标方程为，圆的极坐标方程为；（2），代入，得，显然，所以的最大值为.【考点】参数方程化为普通方程及直角坐标方程化为极坐标方程.23．选修4-5：不等式选讲设函数.（1）当时，求的最小值；（2）若关于的不等式在上有解，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）利用绝对值基本不等式得结果；（2）有解等价于有解，只需求出时的最小值与的最大值即可.试题解析：（1）当时，，当且仅当时，取等号.（2）时，，因为时的最小值为，的最大值为，所以，又因为，所以.【考点】基本不等式求最值及绝对值不等式的解法.。
重庆市渝中区2021届新高考数学第一次调研试卷含解析
重庆市渝中区2021届新高考数学第一次调研试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．双曲线()221x y m c m-=>的一条渐近线方程为20x y +=，那么它的离心率为（ ）A B ．C ．2D 【答案】D 【解析】 【分析】根据双曲线()221x y m c m-=>的一条渐近线方程为20x y +=，列出方程，求出m 的值即可.【详解】∵双曲线()221x y m c m-=>的一条渐近线方程为20x y +=，12=，∴4m =，∴双曲线的离心率2c e a ==. 故选：D. 【点睛】本小题主要考查双曲线离心率的求法，属于基础题. 2．抛物线22y x =的焦点为F ，则经过点F 与点()2,2M 且与抛物线的准线相切的圆的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．0个D ．无数个【答案】B 【解析】 【分析】圆心在FM 的中垂线上，经过点F ，M 且与l 相切的圆的圆心到准线的距离与到焦点F 的距离相等，圆心在抛物线上，直线与抛物线交于2个点，得到2个圆． 【详解】因为点(2,2)M 在抛物线22y x =上， 又焦点1(F ，0)，这样的交点共有2个，故过点F 、M 且与l 相切的圆的不同情况种数是2种． 故选：B ． 【点睛】本题主要考查抛物线的简单性质，本题解题的关键是求出圆心的位置，看出圆心必须在抛物线上，且在垂直平分线上．3．已知集合{|{|2,}A x N y B x x n n Z =∈===∈,则A B =（ ）A ．[0,4]B ．{0,2,4}C ．{2,4}D ．[2,4]【答案】B 【解析】 【分析】计算{}0,1,2,3,4A =，再计算交集得到答案 【详解】{}{|0,1,2,3,4A x N y =∈==,{|2,}B x x n n Z ==∈表示偶数，故{0,2,4}AB =.故选：B . 【点睛】本题考查了集合的交集，意在考查学生的计算能力.4．命题p ：存在实数0x ，对任意实数x ，使得()0sin sin x x x +=-恒成立；q ：0a ∀>，()ln a xf x a x+=-为奇函数，则下列命题是真命题的是（ ） A ．p q ∧ B ．()()p q ⌝∨⌝ C ．()p q ∧⌝ D ．()p q ⌝∧【答案】A 【解析】 【分析】分别判断命题p 和q 的真假性，然后根据含有逻辑联结词命题的真假性判断出正确选项. 【详解】对于命题p ，由于()sin sin x x π+=-，所以命题p 为真命题.对于命题q ，由于0a >，由0a xa x+>-解得a x a -<<，且()()1ln ln ln a x a x a x f x f x a x a x a x --++⎛⎫-===-=- ⎪+--⎝⎭，所以()f x 是奇函数，故q 为故选：A 【点睛】本小题主要考查诱导公式，考查函数的奇偶性，考查含有逻辑联结词命题真假性的判断，属于基础题. 5．在ABC ∆中，0OA OB OC ++=，2AE EB =，AB AC λ=，若9AB AC AO EC ⋅=⋅，则实数λ=( )A B ．C D 【答案】D 【解析】 【分析】将AO 、EC 用AB 、AC 表示，再代入9AB AC AO EC ⋅=⋅中计算即可. 【详解】由0OA OB OC ++=，知O 为ABC ∆的重心，所以211()323AO AB AC =⨯+=()AB AC +，又2AE EB =， 所以23EC AC AE AC AB =-=-，93()AO EC AB AC ⋅=+⋅2()3AC AB -2223AB AC AB AC AB AC =⋅-+=⋅，所以2223AB AC =，||322||AB AC λ===.故选：D 【点睛】本题考查平面向量基本定理的应用，涉及到向量的线性运算，是一道中档题. 6．已知i 是虚数单位，则(2)i i +=（ ） A ．12i + B ．12i -+C ．12i --D ．12i -【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的乘法运算法则，直接计算，即可得出结果. 【详解】() 22112i i i i +=-=-+.故选B 【点睛】7．已知数列{}n a 是公差为()d d ≠0的等差数列，且136,,a a a 成等比数列，则1a d=（ ） A ．4 B ．3C ．2D ．1【答案】A 【解析】 【分析】根据等差数列和等比数列公式直接计算得到答案. 【详解】由136,,a a a 成等比数列得2316a a a =⋅，即()()211125a d a a d +=+，已知0d ≠，解得14a d=. 故选：A . 【点睛】本题考查了等差数列，等比数列的基本量的计算，意在考查学生的计算能力. 8．若函数()sin 2f x x =的图象向右平移6π个单位长度得到函数()g x 的图象，若函数()g x 在区间[0,]a 上单调递增，则a 的最大值为（ ）． A ．2π B ．3π C ．512π D ．712π 【答案】C 【解析】 【分析】由题意利用函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，正弦函数的单调性，求出a 的最大值． 【详解】解：把函数()sin 2f x x =的图象向右平移6π个单位长度得到函数()sin(2)3g x x π=-的图象， 若函数()g x 在区间[0，]a 上单调递增， 在区间[0，]a 上，2[33x ππ-∈-，2]3a π-，则当a 最大时，232a ππ-=，求得512a π=， 故选：C ． 【点睛】本题主要考查函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，正弦函数的单调性，属于基础题． 9．已知全集U =R ，集合{|lg(1)}A x y x ==-，|B x y⎧==⎨⎩则()U A B =（ ） A ．(1,)+∞ B ．(0,1) C ．(0,)+∞D ．[1,)+∞根据函数定义域的求解方法可分别求得集合,A B ，由补集和交集定义可求得结果. 【详解】{}()10,1A x x =->=-∞，()0,B =+∞，[)1,U A ∴=+∞，()[)1,U A B ∴=+∞.故选：D . 【点睛】本题考查集合运算中的补集和交集运算问题，涉及到函数定义域的求解，属于基础题.10．在平面直角坐标系xOy 中，将点()1,2A 绕原点O 逆时针旋转90︒到点B ，设直线OB 与x 轴正半轴所成的最小正角为α，则cos α等于( ) A ．255-B ．55-C ．55D ．25-【答案】A 【解析】 【分析】设直线直线OA 与x 轴正半轴所成的最小正角为β，由任意角的三角函数的定义可以求得sin β的值，依题有OA OB ⊥,则90αβ，利用诱导公式即可得到答案.【详解】如图，设直线直线OA 与x 轴正半轴所成的最小正角为β因为点()1,2A 在角β的终边上，所以2225sin 12β 依题有OA OB ⊥,则90αβ，所以25，本题考查三角函数的定义及诱导公式，属于基础题. 11．若(12)5i z i -=（i 是虚数单位），则z 的值为（ ） A ．3 B ．5C ．3D ．5【答案】D 【解析】 【分析】直接利用复数的模的求法的运算法则求解即可. 【详解】() 125i z i -=（i 是虚数单位）可得()125i z i -= 解得5z = 本题正确选项：D 【点睛】本题考查复数的模的运算法则的应用，复数的模的求法，考查计算能力. 12．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的表面积是( )A ．28cmB ．212cmC ．()2452cmD ．()2454cm【答案】D 【解析】 【分析】根据三视图判断出几何体为正四棱锥，由此计算出几何体的表面积.根据三视图可知，该几何体为正四棱锥.底面积为224⨯=.1422⨯⨯=所以该几何体的表面积是()24cm .故选：D 【点睛】本小题主要考查由三视图判断原图，考查锥体表面积的计算，属于基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
重庆市渝中区2021届新高考数学一月模拟试卷含解析
重庆市渝中区2021届新高考数学一月模拟试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．对某两名高三学生在连续9次数学测试中的成绩（单位：分）进行统计得到折线图，下面是关于这两位同学的数学成绩分析．①甲同学的成绩折线图具有较好的对称性，故平均成绩为130分；②根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计，估计该同学平均成绩在区间内；③乙同学的数学成绩与测试次号具有比较明显的线性相关性，且为正相关；④乙同学连续九次测验成绩每一次均有明显进步．其中正确的个数为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】利用图形，判断折线图平均分以及线性相关性，成绩的比较，说明正误即可．【详解】①甲同学的成绩折线图具有较好的对称性，最高分，平均成绩为低于分，①错误；②根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计，估计该同学平均成绩在区间内，②正确；③乙同学的数学成绩与测试次号具有比较明显的线性相关性，且为正相关，③正确；④乙同学在这连续九次测验中第四次、第七次成绩较上一次成绩有退步，故④不正确．故选：C．【点睛】本题考查折线图的应用，线性相关以及平均分的求解，考查转化思想以及计算能力，属于基础题．2．已知正三角形ABC的边长为2，D为边BC的中点，E、F分别为边AB、AC上的动点，并满足2AE CF=，则DE DF⋅的取值范围是（）A．11[,]216-B．1(,]16-∞C．1[,0]2-D．(,0]-∞【答案】A 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，求出直线:1)AB y x =+，:1)AC y x =-设出点(1)),(,1))E m m F n n +-，通过||2||AE CF =，找出m 与n 的关系．通过数量积的坐标表示，将DE DF ⋅表示成m 与n 的关系式，消元，转化成m 或n 的二次函数，利用二次函数的相关知识，求出其值域，即为DE DF ⋅的取值范围． 【详解】以D 为原点，BC 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴建系，设(1,0),(1,0)A B C -，则直线:1)AB y x =+ ，:1)AC y x =-设点(1)),(,1))E m m F n n +-，10,01m n -≤<<≤所以(,3),(1,1))AE m m CF n n ==--由||2||AE CF =得224(1)m n =- ，即2(1)m n =- ，所以22713(1)(1)4734()816DE DF mn m n n n n ⋅=-+-=-+-=--+， 由12(1)0m n -≤=-<及01n <≤，解得112n ≤<，由二次函数2714()816y n =--+的图像知，11[,]216y ∈-，所以DE DF ⋅的取值范围是11[,]216-．故选A ．【点睛】本题主要考查解析法在向量中的应用，以及转化与化归思想的运用．3．已知a ，b ，c 是平面内三个单位向量，若a b ⊥，则232a c a b c +++-的最小值（ ）A B ．C D ．5【答案】A 【解析】 【分析】由于a b ⊥，且为单位向量，所以可令()1,0a =，()0,1b =，再设出单位向量c 的坐标，再将坐标代入232a c a b c +++-中，利用两点间的距离的几何意义可求出结果．【详解】解：设(),c x y =，()1,0a =，()0,1b =，则221x y +=，从而(2322x +++-=+a c a b c==≥=故选：A 【点睛】此题考查的是平面向量的坐标、模的运算，利用整体代换，再结合距离公式求解，属于难题． 4．数列{}n a 满足：21n n n a a a +++=，11a =，22a =，n S 为其前n 项和，则2019S =（ ） A ．0 B ．1C ．3D ．4【答案】D 【解析】 【分析】用1n +去换21n n n a a a +++=中的n ，得312n n n a a a ++++=，相加即可找到数列{}n a 的周期，再利用2019S =6123336S a a a +++计算.【详解】由已知，21n n n a a a +++=①，所以312n n n a a a ++++=②，①+②，得3n n a a +=-，从而6n n a a +=，数列是以6为周期的周期数列，且前6项分别为1，2，1，-1，-2，-1，所以60S =，2019126123336()01214S a a a a a a =++++++=+++=.故选：D. 【点睛】本题考查周期数列的应用，在求2019S 时，先算出一个周期的和即6S ，再将2019S 表示成6123336S a a a +++即可，本题是一道中档题.5．已知集合2{|1}M x x ==．N 为自然数集，则下列表示不正确的是（ ） A ．1M ∈ B ．{1,1}M =-C ．M ∅⊆D ．M N ⊆【答案】D 【解析】 【分析】集合{}2{|1}1,1M x x ===-．N 为自然数集，由此能求出结果． 【详解】解：集合{}2{|1}1,1M x x ===-．N 为自然数集，在A 中，1M ∈，正确； 在B 中，{}1,1M =-，正确； 在C 中，M ∅⊆，正确；在D 中，M 不是N 的子集，故D 错误． 故选：D ． 【点睛】本题考查命题真假的判断、元素与集合的关系、集合与集合的关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6．已知当m ，[1n ∈-，1)时，33sin sin22mnn m ππ-<-，则以下判断正确的是( )A ．m n >B ．||||m n <C ．m n <D ．m 与n 的大小关系不确定【答案】C 【解析】 【分析】由函数的增减性及导数的应用得：设3()sin,[1,1]2xf x x x π=+∈-，求得可得()f x 为增函数，又m ，[1n ∈-，1)时，根据条件得()()f m f n <，即可得结果．【详解】解：设3()sin,[1,1]2xf x x x π=+∈-，则2()3cos022x f x x ππ'=+>， 即3()sin ,[1,1]2x f x x x π=+∈-为增函数， 又m ，[1n ∈-，1)，33sin sin 22m nn m ππ-<-， 即33sin sin 22m n m n ππ+<+， 所以()()f m f n <， 所以m n <． 故选：C ． 【点睛】本题考查了函数的增减性及导数的应用，属中档题．7．已知四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是边长为2的正方形，PA =E 为PC的中点，则异面直线BE 与PD 所成角的余弦值为（ ）A．1339-B．1339C．155-D．155【答案】B【解析】【分析】由题意建立空间直角坐标系，表示出各点坐标后，利用cos,BE PDBE PDBE PD⋅=⋅即可得解. 【详解】PA⊥平面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，∴如图建立空间直角坐标系，由题意：()0,0,0A，()2,0,0B，()2,2,0C，()0,0,5P，()0,2,0D，E为PC的中点，∴51,1,2E⎛⎫⎪⎪⎝⎭.∴51,1,BE⎛⎫=-⎪⎪⎝⎭，()0,2,5PD=-，∴1132cos,133BE PDBE PDBE PD-⋅===-⋅⋅，∴异面直线BE与PD所成角的余弦值为cos,BE PD即为1339.故选：B.【点睛】本题考查了空间向量的应用，考查了空间想象能力，属于基础题.8．已知向量()3,2AB=，()5,1AC=-，则向量AB与BC的夹角为（）A．45︒B．60︒C．90︒D．120︒【答案】C【解析】【分析】求出()2,3BC AC AB =-=-，进而可求()32230AB BC ⋅=⨯+⨯-=,即能求出向量夹角. 【详解】解：由题意知，()2,3BC AC AB =-=-. 则()32230AB BC ⋅=⨯+⨯-= 所以AB BC ⊥，则向量AB 与BC 的夹角为90︒. 故选:C. 【点睛】本题考查了向量的坐标运算，考查了数量积的坐标表示.求向量夹角时，通常代入公式cos ,a b a b a b⋅= 进行计算.9．已知关于x 的方程3sin sin 2x x m π⎛⎫+-= ⎪⎝⎭在区间[)0,2π上有两个根1x ，2x ，且12x x π-≥，则实数m 的取值范围是（ ） A ．10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．[)1,2C ．[)0,1D ．[]0,1【答案】C 【解析】 【分析】先利用三角恒等变换将题中的方程化简，构造新的函数2sin()6y x π=+，将方程的解的问题转化为函数图象的交点问题，画出函数图象，再结合12x x π-≥，解得m 的取值范围. 【详解】由题化简得3sin cos x x m +=，2sin()6m x π=+，作出2sin()6y x π=+的图象，又由12x x π-≥易知01m ≤<． 故选：C. 【点睛】本题考查了三角恒等变换，方程的根的问题，利用数形结合法，求得范围.属于中档题.10．根据散点图，对两个具有非线性关系的相关变量x ，y 进行回归分析，设u= lny ，v=(x-4)2，利用最小二乘法，得到线性回归方程为ˆu=-0.5v+2，则变量y 的最大值的估计值是（ ） A ．e B ．e 2C ．ln2D ．2ln2【答案】B 【解析】 【分析】将u= lny ，v=(x-4)2代入线性回归方程ˆu=-0.5v+2，利用指数函数和二次函数的性质可得最大估计值. 【详解】解：将u= lny ，v=(x -4)2代入线性回归方程ˆu=-0.5v+2得： ()2ln 0.542y x =--+，即()20.542x y e --+=，当4x =时，()20.542x --+取到最大值2， 因为xy e =在R 上单调递增，则()20.542x y e --+=取到最大值2e .故选：B. 【点睛】本题考查了非线性相关的二次拟合问题，考查复合型指数函数的最值，是基础题,. 11．已知抛物线24x y =上一点A 的纵坐标为4，则点A 到抛物线焦点的距离为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【答案】D 【解析】试题分析：抛物线24x y =焦点在y 轴上，开口向上，所以焦点坐标为(0,1)，准线方程为1y =-，因为点A 的纵坐标为4，所以点A 到抛物线准线的距离为415+=，因为抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，所以点A 与抛物线焦点的距离为5.考点：本小题主要考查应用抛物线定义和抛物线上点的性质抛物线上的点到焦点的距离，考查学生的运算求解能力.点评：抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，这条性质在解题时经常用到，可以简化运算. 12．已知R 为实数集，{}2|10A x x =-≤，1|1B x x ⎧⎫=≥⎨⎬⎩⎭，则()A B =R（ ）A ．{|10}x x -<≤B ．{|01}x x <≤C ．{|10}x x -≤≤D ．{|101}x x x -≤≤=或【答案】C 【解析】 【分析】求出集合A ，B ，B R，由此能求出()R A B ．【详解】R 为实数集，2{|10}{|11}A x x x x =-=-，1{|1}{|01}B x x x x==<， {|0R B x x ∴=或1}x >， (){|10}R A B x x ∴=-．故选：C ． 【点睛】本题考查交集、补集的求法，考查交集、补集的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021届新高考全国100所名校高考模拟示范卷(一)数学试题(word版,含解析)
2021年普通高等学校招生全国统一考试数学模拟测试一､选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分｡在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的｡1.若,2z i i =-+则z= A.2-iB.1-2iC.-1+2iD.-2+i 2.已知集合2{|30},{2,2}A x x x a B =-+==-,若A∩B={2},则A ∪B=A.{-2,1,2}B.{-2,-1,2}C.{-2,3,2}D.{-2,2}3.62()x x-的展开式的常数项为 A.-120 B.-60 C.120 D.604.某实验室针对某种新型病毒研发了一种疫苗,并在500名志愿者身上进行了人体注射实验,发现注射疫苗的志愿者均产生了稳定的免疫应答｡若这些志愿者的某免疫反应蛋白M 的数值X(单位:mg/L)近似服从正态分布2(15,),N σ且X 在区间(10,20)内的人数占总人数的19,25则这些志愿者中免疫反应蛋白M 的数值X 不低于20的人数大约为A.30B.60C.70D.140 5.天文学中为了衡量星星的明暗程度,古希腊天文学家喜帕恰斯(Hipparchus,又名依巴谷)在公元前二世纪首先提出了星等这个概念｡星等的数值越小,星星就越亮;星等的数值越大,它的光就越暗｡到了1850年,由于光度计在天体光度测量中的应用,英国天文学家普森(M.R.Pogson)又提出了衡量天体明暗程度的亮度的概念｡天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述｡两颗星的星等与亮度满足12212.5(lg lg )m m E E -=-,其中星等为i m 的星星的亮度为(1,2).i E i =已知"角宿一"的星等是0.97,"水委一"的星等是0.47.“水委一”的亮度是"角宿一"亮度的r 倍,则与r 最接近的是(当|x|较小时,2101 2.3 2.7x x x ≈++)A.1.56B.1.57C.1.58D.1.596.已知圆C:22(3)(3)9x y -++=,直线l:(m+1)x+(2-m)y-3m=0,则当圆心C 到直线l 的距离最大时,直线l 被圆C 所截得的弦长为A.4 .25B .23C .27D7.如图,在四棱锥P-ABCD 中,PD ⊥平面ABCD,底面ABCD 是梯形,2//,,43AB CD BCD AB π∠==,PD=BC=CD=2,则四棱锥P-ABCD 的外接球的表面积为A.16πB.18πC.20πD.24π8.已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F(1,0),准线为l,过焦点F 的直线交抛物线C 于点A ､B(A 在x 轴上方),且点A 的横坐标为3,D 是y 轴正半轴上一点,O 为坐标原点,∠ODA 的角平分线过AF 的中点,则点D 的坐标为A.(0,2) 53.(0,)2B C.(0,3) .(0,33)D二､选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分｡在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求｡全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分｡9.已知曲线C:221.x y a b+= A.若C 是双曲线,则ab<0B.若a>0,C 是离心率为2的双曲线,则3b a =- C.若ab>0,则C 是椭圆D.若C 是离心率为12的椭圆,则34b a = 10.已知()cos()(0,0,0)f x A x B A ωϕωϕπ=++>><<,其部分图象如图所示,M ､N 分别为最高点､最低点,则A.A=7B.B=29 .4C πϕ= D.f(11)=32.511.如图,平面α∩平面β=直线l,点A,C ∈α,点B,D ∈β,且A ､B ､C ､D ∉l,点M ､N 分别是线段AB ､CD 的中点｡A.当直线AC 与BD 相交时,交点一定在直线l 上B.当直线AB 与CD 异面时,MN 可能与l 平行C.当A ､B ､C ､D 四点共面且AC//l 时,BD//lD.当M 、N 两点重合时,直线AC 与l 不可能相交12.已知数列{}n a 的通项公式是2,n n a =1a 和2a 之间插入1个数11,x 使1112,,a x a 成等差数列;在2a 和3a 之间插入2个数2122,x x ,使221223,,,a x x a 成等差数列;…;在n a 和1n a +之间插入n 个数12,,,n n n n x x x ,使121,,,,,n nn n n n a x x x a +成等差数列｡这样得到新数列{}:n b 1112212233132334,,,,,,,,,a x a x x a x x x a …,记数列{}n b 的前n 项和为,n S 则836.A a b =B.112132n n n n n n n a x x x a n -++++++=⋅ 38.320C b = 45.6401D S =三､填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分｡把答案填在答题卡中的横线上｡13.若向量a =(1,2),b -a =(-2,1),则a ·b =____.14.若函数21()7ln 2f x x x a x =-++在x=2处取极值,则a=____ ,f(x)的极大值为____.15.已知正实数a,b,c 满足22243,a b c +=则2c c a b +的最小值为____. 16.如图,在△ABC 中,,3BAC A π∠=B=3,AC=2,点D 为边BC 上一个动点,将△ABD 沿AD 翻折,使得点B到达B '的位置,且平面AB D '⊥平面ACD.当CD=_____时,B C '到最小值｡四､解答题:本题共6小题,共70分｡解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤｡17.(本小题满分10分)在3210,9,3a S b ==<-①②③这三个条件中任选一个,补充在下面问题中｡设n S 为各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和,满足____2,36nn n a a S b +=+是否存在实数b,使得数列{}n a 成为等差数列?若存在,求出b 和数列{}n a 的通项公式;若不存在,请说明理由｡(注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分)18.(本小题满分12分)第七次全国人口普查是指中国在2020年开展的全国人口普查,普查标准时点是2020年11月1日零时,将彻查人口出生变动情况以及房屋情况｡普查对象是普查标准时点在中华人民共和国境内的自然人以及在中华人民共和国境外但未定居的中国公民,不包括在中华人民共和国境内短期停留的境外人员｡普查主要调查人口和住户的基本情况,内容包括:姓名､公民身份证号码､性别､年龄､民族､受教育程度､行业､职业､迁移流动､婚姻生育､死亡､住房情况等｡普查登记方式全程电子化方式普查,由普查员使用手机上门入户登记或由普查对象通过互联网自主填报｡某机构调查了100位居名的普查登记方式,数据统计如下表,部分数据缺失 普查员使用手机上门入户登记 通过互联网自主填报 年龄不超过40岁10 a 年龄超过40岁b 15已知从调查的居民中任取一人,其年龄不超过40岁的概率比其年龄超过40岁的概率大110. (1)求a,b 的值；(2)是否有99%的把握认为年龄与普查登记方式有关?附:22()()()()()n ad bc a b c K d a c b d -=++++其中n=a+b+c+d.P(K 2≥k 0) 0.050 0.010 0.001K 0 3.841 6.635 10.82819.(本小题满分12分)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知28sin 72cos2.2B C A -+-=(1)求A;(2)若7,a =b+c=5,求BC 边上的高.20.(本小题满分12分)如图,在直三棱柱111ABC A B C -中,∠ACB=90°,1,.AC BC AB AA ==D ､E 分别是1CC 、1BB 的中点.(1)证明:1C E ⊥平面ACB 1；(2)求二面角1C AB D --的余弦值.21.(本小题满分12分)已知12F F 、分别为椭圆C:22184x y +=的左､右焦点,点M 是椭圆C 上异于左､右顶点的一点,过点1F 作12F MF ∠的外角平分线的垂线交2F M 的延长线于P 点.(1)当M 点在椭圆C.上运动时,求P 点的轨迹方程E.(2)设点N(t,0)(t≠0),过点N 作一条斜率存在且不为0的直线l 交椭圆C 于A,B 两点,点B 关于x 轴的对称点为B '直线AB '交x 轴于点T,O 是坐标原点,求证:|ON|·|OT|为定值.22.(本小题满分12分)已知函数2()ln 1.f x x x =-+(1)求曲线y= f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；(2)若方程f(x)=b 有两个实数根12,,x x 且12,x x <证明:2112.x x b -<-。
重庆2020-2021高三一诊数学考试试卷答案
2021年普通高等学校招生全国统一考试 高三第一次联合诊断检测 数学参考答案一、单选题1～4 DBDA 5～8 DDDC第（6）题解析：由均值不等式a b +≥a b =时等号成立），88ab a b =++≥，即2)0-+≥，∴16ab ≥，当且仅当4a b ==时ab 取到最小值16.第（7）题解析：根据图形的对称性可知ES RC AP QC == ，，故ES AP RC QC RC CQ RQ -=-=+=， 又||||||||RQ PT BQ AT == ， ，故12RQ QB = ，12λ-∴=.第（8）题解析：当0x >时，2()20(())0f x x f x x ''->⇒->，令2()()g x f x x =-，则函数()g x 在(0)+∞， 上单调递增，又22()()()()()g x f x x f x x g x -=---=-=，故()g x 为偶函数，22(2)()44(2)(2)()f x f x x f x x f x x -->-⇔--->-，即(2)()g x g x ->，|2|||x x ∴->，解得1x <.二、多选题9．BC 10．AD 11．ACD 12．ABC第（9）题解析：由题中数据知，营业收入最低的是其它类，A 错；生鲜区的净利润占比165.8%2>，故B 正确；生鲜区的营业利润率为65.8%32.5%50%48.6%⨯<，故D 错；同理可计算其他各区的营业利润率，显然日用品区为20.2%32.5%10.8%⨯，最高，故C 正确.第（10）题解析：当20x π+≥时cos |2|cos(2)cos cos ||x x x x ππ+=+==，当20x π+<时cos |2|cos(2)cos()cos ||x x x x ππ+=--=-=，又|cos(2)||cos |x x π+=，故(2)()f x f x π+=，即2π为()f x 的周期；()0()1102f f ππ==-=， ，故()f x 在[0]π，上不单减；(0)20f =≠，故()f x 不是奇函数；当20x π-≥时cos |2|x π-=cos |2|x π-=(2)()f x f x π-=第（11函数xy e y ==， 当直线y m =由图知，当m 依次出现c a <<第（12）题解析：由题知342(b b b +=2n=，122n n n a n b b -+=-A1x=正确；2(1)222(12)2(21)2n nn n n S n +=+++-+++=--，B 正确； 1211n n n a a +-=-≥，故{}n a 单增，C 正确；当1n =时，111112(11a b =-=， ，矛盾，故D 错误；.三、填空题13．8- 14．560 1516．π第（15）题解析：2sin sin 2sin 2sin cos A B A B A B B =⇒=⇒=，由正弦定理得2cos a b B =，又由余弦定理得22222a c b a b ac+-=⋅，代入23b c ==， 得210a =，故a =. 第（16）题解析：1OD =取AB 中点1O ，则1OO AB ⊥且1OO =，又1AA ⊥平面ABCD ，11AA OO ∴⊥，1OO ∴⊥平面11ABB A ，故球O 截侧面11ABB A 所得图形是以1O为半径的半圆，πS ∴=.四、解答题17．（10分）解：若①②③，则④. 此为真命题，……2分 理由如下：②sin bc A ⇒=，③2223cos 24b c a A bc +-⇒==sin 4A ⇒=，故16bc =， ……6分222216340324b c b c +-=⇒+=，∴2252b c b c bc c b +=+=，即2b c=或12. ……10分任选其中三个作条件，另一个作结论所得命题均为真命题，证明同理.18．（12分） 解：（1）1113()sin (cos sin )1sin 2(cos 21)1sin(22244264f x x x x x x x π=-+=+-+=++， 22226236k x k k x k πππππππππ-<+<+⇒-<<+，∴()f x 的单增区间为(36k k ππππ-+， k Z ∈； ……6分（2）21313131113()sin(2cos(2cos (2642346249436f πππαααα=++=-+=--+=+=. ……12分19．（12分）解：（1）4911146832S a a d a d a d =⇒+=+⇒=，631211a a d a =+⇒=+，123a d ∴==，，23(1)31n a n n ∴=+-=-； ……5分（2）由题知223131222n n S n n n +-=⋅=+，221211()331n b n n n n =⋅=-++， ……8分212(1313(1)n nT n n ∴=-=++，13132n n a n a n +-=+， ……10分2132303(1)(32)n n n a n n T a n n +--+-=<++，故1n n n a T a +<. ……12分 20．（12分）解：（1）由题知 6.5x =，80y =， ……2分23604204985606006126 6.580ˆ41625364964816 6.5b+++++-⨯⨯==-+++++-⨯， ……4分 ˆ80(4) 6.5106a=--⨯=，……6分 故所求回归方程为ˆ4106yx =-+； ……7分 （2）由题知，当每件售价定为x 元时，企业获利z =2(5)(4106)4126530x x x x --+=-+-，……10分 对称轴为15.75x =，故当16x =时，z 最大，即每件售价定为16元. ……12分21．（12分）解：（1）21()f x x x =+，322121()2x f x x x x -'=-=，()0f x x '>⇒> ……3分 故()f x 在(0)-∞，和(0上单减，在)+∞ 上单增； ……6分 （2）21()01f x a x x =⇔=---，令21()1g x x x=---(0)x >，则33322()1x g x x x -'=-+=，()00g x x '>⇒<<，故()g x在(0上单增，在)+∞上单减， ……9分0x →时()g x →-∞，11g =-=-，x →+∞时()g x →-∞， 故()f x无零点只需a g >，又3464(2327=>，故413<<，322∴<<，32g ∴-<<-，∴整数a 的最小值为2-. ……12分22．（12分）解：（1）由题知2242a b ab ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，解得1a b ==，所以椭圆C 的方程为2213x y +=； ……4分 （2）椭圆C 的下顶点为(01)-，，由题知M N ，均不是椭圆的上下顶点， 当直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为y kx m =+(1)m ≠±，点1122()()M x y N x y ， ， ，，由2213y kx mx y =+⎧⎪⇒⎨+=⎪⎩ 222(31)6330k x kmx m +++-=，2212(31)0k m ∆=-+>，且21212226333131km m x x x x k k -+=-=++， ，①由题知1212112y y x x +++=，即1212112kx m kx m x x +++++=，即12122(1)2x x k m x x +++=，将①式代入得 262(1)233kmk m m -++=-，整理得11k m -=-，即1k m +=，所以直线MN 过点(11)， ， ……8分 当直线MN 的斜率不存在时，设0000()()M x y N x y -， ， ， ，则0000112y y x x +-++=即01x =，……9分 综上，直线MN 恒过定点(11)P ，. 结合图形知，当AP MN ⊥时，点A 到直线MN 的距离最远，即为||AP =，此时23k m =-=， ，12(1291)0∆=-+>，这样的直线MN 存在，故点A 到直线MN. ……12分。
重庆市渝中区2021届新高考数学模拟试题含解析
重庆市渝中区2021届新高考数学模拟试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．我国南北朝时的数学著作《张邱建算经》有一道题为：“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出，下三人后入得金三斤，持出，中间四人未到者，亦依次更给，问各得金几何？”则在该问题中，等级较高的二等人所得黄金比等级较低的九等人所得黄金（ ） A ．多1斤 B ．少1斤 C ．多13斤 D ．少13斤 【答案】C 【解析】设这十等人所得黄金的重量从大到小依次组成等差数列{}n a ， 则123891043a a a a a a ++=++=，， 由等差数列的性质得2929441,1,1333a a a a =∴-=-=＝ ， 故选C2．已知过点(1,1)P 且与曲线3y x =相切的直线的条数有（ ）． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】C 【解析】 【分析】设切点为()00x ,y ，则300y x =，由于直线l 经过点()1,1，可得切线的斜率，再根据导数的几何意义求出曲线在点0x 处的切线斜率，建立关于0x 的方程，从而可求方程． 【详解】若直线与曲线切于点()()000x ,y x 0≠，则32000000y 1x 1k x x 1x 1x 1--===++--， 又∵2y'3x =，∴200y'x x 3x ==，∴2002x x 10--=，解得0x 1=，01x 2=-， ∴过点()P 1,1与曲线3C :y x =相切的直线方程为3x y 20--=或3x 4y 10-+=， 故选C ． 【点睛】本题主要考查了利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，求解曲线的切线的方程，其中解答中熟记利用导数的几何意义求解切线的方程是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题． 3．在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测． 甲：我的成绩比乙高．乙：丙的成绩比我和甲的都高． 丙：我的成绩比乙高．成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为 A ．甲、乙、丙 B ．乙、甲、丙 C ．丙、乙、甲 D ．甲、丙、乙【答案】A 【解析】 【分析】利用逐一验证的方法进行求解. 【详解】若甲预测正确，则乙、丙预测错误，则甲比乙成绩高，丙比乙成绩低，故3人成绩由高到低依次为甲，乙，丙；若乙预测正确，则丙预测也正确，不符合题意；若丙预测正确，则甲必预测错误，丙比乙的成绩高，乙比甲成绩高，即丙比甲，乙成绩都高，即乙预测正确，不符合题意，故选A ． 【点睛】本题将数学知识与时政结合，主要考查推理判断能力．题目有一定难度，注重了基础知识、逻辑推理能力的考查．4．已知椭圆C 的中心为原点O ，(25,0)F -为C 的左焦点，P 为C 上一点，满足||||OP OF =且||4PF =，则椭圆C 的方程为（ ） A ．221255x y +=B ．2213616x y +=C ．2213010x y += D ．2214525x y += 【答案】B 【解析】由题意可得c=25，设右焦点为F′，由|OP|=|OF|=|OF′|知， ∠PFF′=∠FPO ，∠OF′P=∠OPF′， 所以∠PFF′+∠OF′P=∠FPO+∠OPF′， 由∠PFF′+∠OF′P+∠FPO+∠OPF′=180°知， ∠FPO+∠OPF′=90°，即PF ⊥PF′．在Rt △PFF′中，由勾股定理，得|PF′|=()2222PF 4548FF -=-='，由椭圆定义，得|PF|+|PF′|=2a=4+8=12，从而a=6，得a 2=36， 于是 b 2=a 2﹣c 2=36﹣=16，所以椭圆的方程为2213616x y +=．故选B ．点睛：椭圆的定义：到两定点距离之和为常数的点的轨迹，当和大于两定点间的距离时，轨迹是椭圆，当和等于两定点间的距离时，轨迹是线段（两定点间的连线段），当和小于两定点间的距离时，轨迹不存在． 5．集合{2,1,1},{4,6,8},{|,,}A B M x x a b b B x B =--===+∈∈,则集合M 的真子集的个数是 A ．1个 B ．3个C ．4个D ．7个【答案】B 【解析】 【分析】由题意，结合集合,A B ，求得集合M ，得到集合M 中元素的个数，即可求解，得到答案． 【详解】由题意，集合{2,1,1},{4,6,8}A B =--=，,x A ∈ 则{}{|,,,}4,6M x x a b x A b B x B ==+∈∈∈=， 所以集合M 的真子集的个数为2213-=个，故选B ． 【点睛】本题主要考查了集合的运算和集合中真子集的个数个数的求解，其中作出集合的运算，得到集合M ，再由真子集个数的公式21n -作出计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．6．为计算23991223242...100(2)S =-⨯+⨯-⨯++⨯-， 设计了如图所示的程序框图，则空白框中应填入（ ）A ．100i <B ．100i >C ．100i ≤D ．100i ≥【答案】A 【解析】 【分析】根据程序框图输出的S 的值即可得到空白框中应填入的内容． 【详解】由程序框图的运行，可得：S ＝0，i ＝0满足判断框内的条件，执行循环体，a ＝1，S ＝1，i ＝1满足判断框内的条件，执行循环体，a ＝2×（﹣2），S ＝1+2×（﹣2），i ＝2满足判断框内的条件，执行循环体，a ＝3×（﹣2）2，S ＝1+2×（﹣2）+3×（﹣2）2，i ＝3 …观察规律可知：满足判断框内的条件，执行循环体，a ＝99×（﹣2）99，S ＝1+2×（﹣2）+3×（﹣2）2+…+1×（﹣2）99，i ＝1，此时，应该不满足判断框内的条件，退出循环，输出S 的值，所以判断框中的条件应是i ＜1． 故选：A ． 【点睛】本题考查了当型循环结构，当型循环是先判断后执行，满足条件执行循环，不满足条件时算法结束，属于基础题．7．已知i 是虚数单位，若z211i i=+-，则||z =（ ）A B ．2CD ．10【答案】C 【解析】 【分析】根据复数模的性质计算即可. 【详解】 因为z211i i=+-， 所以(1)(21)z i i =-+，|||1||21|z i i =-⋅+==，故选：C 【点睛】本题主要考查了复数模的定义及复数模的性质，属于容易题.8．已知双曲线2222:1x y C a b-=（0a >，0b >），以点P （,0b ）为圆心，a 为半径作圆P ，圆P 与双曲线C 的一条渐近线交于M ，N 两点，若90MPN ∠=︒，则C 的离心率为（ ）A BC D ．2【答案】A 【解析】 【分析】求出双曲线的一条渐近线方程，利用圆P 与双曲线C 的一条渐近线交于,M N 两点，且90MPN ∠=︒，则可根据圆心到渐近线距离为2a 列出方程，求解离心率． 【详解】不妨设双曲线C 的一条渐近线0bx ay -=与圆P 交于,M N ，因为90MPN ∠=︒，所以圆心P 到0bx ay -=222b c ==，即2222c a -=，因为1ce a=>，所以解得e = 故选A ． 【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查了转化思想以及计算能力，属于中档题．对于离心率求解问题，关键是建立关于,a c 的齐次方程，主要有两个思考方向，一方面，可以从几何的角度，结合曲线的几何性质以及题目中的几何关系建立方程；另一方面，可以从代数的角度，结合曲线方程的性质以及题目中的代数的关系建立方程.9．数列{a n }，满足对任意的n ∈N +，均有a n +a n+1+a n+2为定值.若a 7=2，a 9=3，a 98=4，则数列{a n }的前100项的和S 100=( ) A ．132 B ．299C ．68D ．99【答案】B 【解析】 【分析】由12n n n a a a ++++为定值，可得3n n a a +=，则{}n a 是以3为周期的数列，求出123,,a a a ，即求100S . 【详解】对任意的n ∈+N ，均有12n n n a a a ++++为定值，()()123120n n n n n n a a a a a a +++++∴++-++=，故3n n a a +=，{}n a ∴是以3为周期的数列，故17298392,4,3a a a a a a ======，()()()100123979899100123133S a a a a a a a a a a a ∴=+++++++=+++()332432299=+++=.故选：B .【点睛】本题考查周期数列求和，属于中档题.10．已知复数2(1)(1)i z a a =-+-（i 为虚数单位，1a >），则z 在复平面内对应的点所在的象限为（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B 【解析】 【分析】分别比较复数z 的实部、虚部与0的大小关系，可判断出z 在复平面内对应的点所在的象限. 【详解】因为1a >时，所以10a -<，210a ->，所以复数z 在复平面内对应的点位于第二象限. 故选：B. 【点睛】本题考查复数的几何意义，考查学生的计算求解能力，属于基础题.11．函数1()1x xe f x e+=-（其中e 是自然对数的底数）的大致图像为（ ） A ． B ． C ．D ．【答案】D 【解析】由题意得，函数点定义域为x ∈R 且0x ≠，所以定义域关于原点对称， 且()1111()1111xx x xx x e e e f x f x e e e ----+++-===-=----，所以函数为奇函数，图象关于原点对称， 故选D.12．已知函数ln(1),0()11,02x x f x x x +>⎧⎪=⎨+≤⎪⎩，若m n <,且 ()()f m f n =，则n m -的取值范围为（ ）A ．[32ln 2,2)-B ．[32ln 2,2]-C ．[1,2)e -D ．[1,2]e -【答案】A 【解析】分析：作出函数()f x 的图象，利用消元法转化为关于n 的函数，构造函数求得函数的导数，利用导数研究函数的单调性与最值，即可得到结论.详解：作出函数()f x 的图象，如图所示，若m n <，且()()f m f n =， 则当ln(1)1x +=时，得1x e +=，即1x e =-， 则满足01,20n e m <<--<≤，则1ln(1)12n m +=+，即ln(1)2m n =+-，则22ln(1)n m n n -=+-+， 设()22ln(1),01h n n n n e =+-+<≤-，则()21111n h n n n -=+=++'， 当()0h n '>，解得11n e <≤-，当()0h n '<，解得01n <<， 当1n =时，函数()h n 取得最小值()1122ln(11)32ln 2h =+-+=-， 当0n =时，()022ln12h =-=；当1n e =-时，()1122ln(11)12h e e e e -=-+--+=-<，所以32ln 2()2h n -<<，即n m -的取值范围是[32ln 2,2)-，故选A.点睛：本题主要考查了分段函数的应用，构造新函数，求解新函数的导数，利用导数研究新函数的单调性和最值是解答本题的关键，着重考查了转化与化归的数学思想方法，以及分析问题和解答问题的能力，试题有一定的难度，属于中档试题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021届重庆市主城区高三上学期适应性(一)数学试题(解析版)
2021届重庆市主城区高三上学期适应性（一）数学试题一、单选题1．已知集合()(){}225A x x x =+-<，(){}2log 1,B x x a a N =->∈，若A B =∅，则a 的可能取值组成的集合为（ ）A ．{}0B ．{}1C ．{}0,1D ．*N【答案】D【分析】解不等式确定集合,A B ，然后由交集的结果确定参数a 的取值范围． 【详解】()(){}{}22533A x x x x x =+-<=-<<，(){}{}2log 1,2,B x x a a N x x a a N =->∈=>+∈，因为AB =∅，所以23a +≥，1a ≥．又a N ∈，∴*a N ∈．故选：D ．【点睛】本题考查由集合交集的结果求参数范围，解题时可先确定两个集合中的元素，然后分析交集的结果得出结论．2．若复数312i z ai-=-为纯虚数，则实数a 的值为（ ）A ．1-B ．1C ．2-D ．2【答案】D【分析】先根据复数除法法则化简z ，再根据纯虚数概念列方程，解得结果.【详解】由32211(1)(2)222(2)22(2)(2)44i i i ai ai i a a a iz ai ai ai ai a a -+++++--++=====---+++为纯虚数， 可得2020a a -=⎧⎨+≠⎩，解得2a =，故选：D .3．设A 、B 、C 是半径为1的圆上三点，若AB =，则AB AC ⋅的最大值为（ ）A ．3+B ．32+C ．1+D 【答案】C【分析】设圆心为点O ，分析得出OA OB ⊥，再由平面向量的减法与数量积的运算性质得出1AB AC AB OC ⋅=⋅+，再利用AB 与OC 同向时可求得AB AC ⋅的最大值. 【详解】设圆心为点O ，则1OA OB ==，2AB =222AB OA OB ∴=+，则OA OB ⊥，()()()21AB AC OB OA OC OA OB OC OA OC OA OB OA OC ∴⋅=-⋅-=⋅-⋅+=-⋅+1cos ,11AB OC AB OC AB OC =⋅+=⋅<>+≤.当且仅当AB 与OC 方向相同时，等号成立，因此，AB AC ⋅的最大值为1+故选：C.【点睛】平面向量中有关最值问题的求解通常有两种思路：一是“形化”，即利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断；二是“数化”，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决．本题采用了“形化”，结合了平面向量数量积的定义，利用两个向量方向相同取得最值来求解.4．261(12)()x x x+-的展开式中，含2x 的项的系数是（ ） A ．40- B ．25-C ．25D ．55【答案】B【分析】写出二项式61()x x -的展开式中的通项，然后观察含2x 项有两种构成，一种是()212x +中的1与61()x x-中的二次项相乘得到，一种是()212x +中的22x 与61()x x-中的常数项相乘得到，将系数相加即可得出结果.【详解】二项式61()x x -的展开式中的通项662166()1C (1)C k k k k k kk T x x x--+=-=-，含2x 的项的系数为223366(1)2(1)25C C -+⨯-=- 故选B.【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．5．已知球面上A ，B ，C 三点，如果AB BC AC ===且球的体积为3，则球心到平面ABC 的距离为（ ）A ．1BCD ．2【答案】D【分析】由球的体积可以求出球的半径R ，利用AB BC AC ===ABC 外接圆的半径r ，在根据球心距OO '，球的半径R ，ABC 外接圆的半径r ，满足勾股定理即可求得球心到平面ABC 的距离.【详解】设球的半径R ：则343V R π==，所以R =设ABC 外接圆的半径r ，则由22r ==，所以1r =， 而()222R OO r '=+，即()251OO '=+，所以2OO '= 故选：D【点睛】本题主要考查空间中点、线、面之间距离的计算，其中球心距求半径，截面圆半径，满足勾股定理，属于中档题.6．已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别为1F 、2F ，圆2222+x y a b =+与双曲线在第一象限和第三象限的交点分别为A ，B ，四边形21AF BF的周长p 与面积S 满足p = ）A ．BC ．2D 【答案】C【分析】由双曲线的定义知122AF AF a -=，结合四边形的周长知122pAF AF +=，得到1AF ，2AF 的长度，从而得到矩形21AF BF 的面积，再利用p =借助勾股定理2221212AF AF F F +=得到,a c 关系，即可求得离心率.【详解】由双曲线的定义可知122AF AF a -=，又OA OB =，12OF OF =，可知四边形21AF BF 是平行四边形，所以122pAF AF +=联立解得14p AF a =+，24pAF a =-，又线段12F F 为圆的直径，由双曲线的对称性可知四边形21AF BF 为矩形，所以四边形21AF BF 的面积221216p S AF AF a =⋅=-，又p =232p S =，即2223216p p a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，解得2232p a =，由2221212AF AF F F +=，得222248p a c +=，即2232a c =，即e =故选：C.【点睛】关键点点睛：本题考查求双曲线的离心率，解题关键是找到关于,,a b c 的等量关系，考查了学生的运算求解能力，逻辑推理能力，属于中档题．7．设直线系M ：cos (2)sin 1(02)x y θθθπ+-=≤≤，则下列命题中是真命题的个数是（ ）①存在一个直线与所有直线相交；②M 中所有直线均经过一个定点；③对于任意实数(3)n n ≥，存在正n 边形，其所有边均在M 中的直线上；④M 中的直线所能围成的正三角形面积都相等. A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】B【分析】根据直线系方程，可得所有直线都为圆心为(0,2)，半径为1的圆的切线，逐一分析①②③④，即可得答案.【详解】根据直线系M ：cos (2)sin 1(02)x y θθθπ+-=≤≤，可得(0,2)到直线M 的距离1d ==，所以所有直线都为圆心为(0,2)，半径为1的圆的切线，对于①：因为直线系为圆的任意切线，所以不存在一个直线与所有直线相交，故①错误； 对于②：因为直线系为圆的任意切线，所以该直线系不过定点，故②错误；对于③：对于任意实数(3)n n ≥，作圆22(2)1x y +-=的外切正n 边形，其所有边都为圆的切线，即为直线系中的直线，故③正确； 对于④：如图所示：正ABC 和正ADE 面积不相等，故④错误； 故选：B【点睛】解题的关键是熟练掌握直线与圆的位置关系，点到直线距离公式等知识，考查分析推理，数形结合的思想，属中档题.8．若函数()lg[sin()sin(2)sin(3)sin(4)]f x x x x x =π⋅π⋅π⋅π的定义域与区间[0，1]的交集由n 个开区间组成，则n 的值为（ ） A ．4 B ．3C ．2D ．1【答案】A【分析】根据()f x 解析式，可得sin()sin(2)sin(3)sin(4)0x x x x π⋅π⋅π⋅π>，分别根据sin()sin(2)sin(3)sin(4)x x x x ππππ、、、的正负，求得对应的区间，可得()f x 的定义域，与区间[0,1]进行交集运算，即可得答案.【详解】要使原式有意义，则sin()sin(2)sin(3)sin(4)0x x x x π⋅π⋅π⋅π>， 当(0,1)x ∈时，(0,)x ππ∈，所以sin()0x π>恒成立， 所以sin(2)sin(3)sin(4)0x x x π⋅π⋅π>，若sin(2)0x π>，可得222,()k x k k Z ππππ<<+∈，解得1,()2k x k k Z <<+∈， 令0k =，可得102x <<， 若sin(2)0x π<，可得2222,()k x k k Z πππππ+<<+∈，解得11,()2k x k k Z +<<+∈， 令0k =，可得112x <<，所以只需sin(3)x π和sin(4)x π在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上同号，在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上异号即可，若sin(3)0x π>，可得232,()k x k k Z ππππ<<+∈，解得221,()333k k x k Z <<+∈， 令0k =，可得103x <<，令1k =，可得213x <<， 同理，若sin(3)0x π<，可得1233x <<，若sin(4)0x π>，可得242,()k x k k Z ππππ<<+∈，解得1,()224k k x k Z <<+∈， 令0k =，可得104x <<，令1k =，可得1324x <<， 同理若sin(4)0x π<，可得1142x <<或314x <<，综上，()f x 的定义域与区间[0，1]的交集为1111230,,,,,,1432234⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，共4个区间，所以n 的值为4. 故选：A【点睛】解题的关键是熟练掌握对数函数定义域、三角函数定义域的求法，并灵活应用，考查分类讨论，综合分析的思想，属中档题.二、多选题9．气象意义上从春季进入夏季的标志为：“连续5天每天日平均温度不低于22℃”．现有甲、乙、丙三地连续5天日平均温度的记录数据（数据都是正整数，单位℃）满足以下条件：甲地：5个数据的中位数是24，众数是22； 乙地：5个数据的中位数是27，平均数是24；丙地：5个数据有1个是32，平均数是26，方差是10.2 则下列说法正确的是（ ） A ．进入夏季的地区至少有2个 B ．丙地区肯定进入了夏季 C ．不能肯定乙地区进入夏季 D ．不能肯定甲地区进入夏季【答案】ABC【分析】根据所给数据，对甲地，乙地，丙地逐个分析判断，即可得解.【详解】甲地：5个数据由小到大排，则22，22，24，a ，b ，其中24a b <<，满足进入夏季的标志；乙地：将5个数据由小到大排，则a ，b ，27，c ，d ，其中27a b c d ≤≤≤≤， 则2781c d ++≥，而27120a b c d ++++=，故39a b +≤，其中必有一个小于22，故不满足一定进入夏季的标志；丙地：设5个数据为a ，b ，c ，d ，32，且,,,a b c d ∈Z ， 由方差公式可知：()()()()()2222226262626322610.2551a b c d -+-+-+-+-=⨯=，则()()()()222226262626159411a b c d -+-+-+-==+++， 不妨设263a -=，262b -=，26261c d -=-=， 则a ，b ，c ，d 均大于22，满足进入夏季标准． 综上，ABC 正确， 故选：ABC ．【点睛】本题考查了对统计量的理解辨析，考查了中位数、众数、平均数、方差等统计量，考查了对数据的理解辨析等处理能力，同时考查了计算能力，属于中档题.10．如果双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线上的点(M -关于另一条渐近线的对称点恰为右焦点F ，P 为双曲线上的动点，已知(3,1)A ，则12PA PF +的值可能为（ ） A ．32B ．2C ．52D ．4【答案】CD【分析】根据双曲线的一条渐近线上的点(M -关于另一条渐近线的对称点恰为右焦点F ，可求得2c =，离心率2e =，右准线为12x =，根据双曲线的定义可求出12PA PF +52≥，结合四个选项可得答案.【详解】依题意可知点(M -在渐近线by x a =-上，所以b a =，即b =， 设(c,0)F，则0112ac bb c a =-⎪⎪---+=⨯，结合b =解得2c =，由222c a b =+，所以21a =，23b =，所以离心率2c e a ==，右准线为212a x c ==，设点P 到右准线12x =的距离为d ，则根据双曲线的定义可知2PFe d==，所以12PA PF PA +=+122d PA d ⨯=+132≥-52=. 根据四个选项可知，,C D 正确. 故选：CD【点睛】本题考查了双曲线的定义，考查了双曲线的渐近线，考查了双曲线的离心率，考查了双曲线的准线方程，考查了点关于直线对称问题，属于中档题.11．如图，已知四棱锥P ABCD -所有棱长均为4，点M 是侧棱PC 上的一个动点（不与点,P C 重合），若过点M 且垂直于PC 的截面将该四棱锥分成两部分，则下列结论正确的是（ ）A ．截面的形状可能为三角形、四边形、五边形B ．截面和底面ABCD 所成的锐二面角为4πC ．当1PM =时，截面的面积为52D ．当2PM =时，记被截面分成的两个几何体的体积分别为()1212,>V V V V ，则123=V V【答案】BCD【分析】点M 是侧棱PC 上的一个动点，根据其不同位置，对选项逐一进行判断即可. 【详解】A 选项中，如图，连接BD ，当M 是PC 中点时，2MC =，由题意知三角形PDC 与三角形PBC 都是边长为4的正三角形，所以DM PC ⊥,BM BC ⊥，又DM ，BM 在面MBD 内，且相交，所以PC ⊥平面PBD ，三角形MBD 即为过点M 且垂直于PC 的截面，此时是三角形，点M 向下移动时，2MC <，如图，仍是三角形；若点M 由中点位置向上移动，2MC >，在平面PDC 内作EM PC ⊥，交PD 于E ，在平面PBC 内作FM PC ⊥交PB 于F ，平面MEF 交平面P AD 于EG ，交P AB 于FH ，即交平面ABCD 于GH ，则五边形MEGHF 即为过点M 且垂直于PC 的截面，此时是五边形；故截面的形状可能为三角形、五边形，A 错误；B 选项中，因为截面总与PC 垂直，所以不同位置的截面均平行，截面与平面ABCD 所成的锐角为定值，不妨取M 是中点，连接AC ，BD ，MB ，MD ，设AC ，BD 交点是N ，连接PN ，由题意知，四边形ABCD 是边长为4的菱形，BD AC ⊥，因为MB =MD ，所以MN BD ⊥，故MNC ∠是截面与平面ABCD 所成的锐角，过点M 作MQ AC ⊥，垂足Q.在三角形P AC 中，MN =2，2MNQ 中，2cos 2NQ MNC MN ∠==，故4MNC π∠=，故B 正确；C 选项中，当PM =1时，M 是PC 中点，如图，五边形MEGHF 即为过点M 且垂直于PC的截面，依题意，直角三角形PME 中，2cos PMPE EPM==∠，故E 为PD 的中点，同理，F 是PB 的中点，则EF 是三角形PBD 的中位线，1222EF BD ==，G ，H 分别在,AD AB 的中点上，证明如下，当G ，H ，也是中点时，1//,2GH BD GH BD =，有//,22GH EF GH EF ==，四边形EFHG 是平行四边形.依题意，三角形P AC 中4,42PA PC AC ===，故PA PC ⊥，故PC GE ⊥，易见，正四棱锥中BD ⊥平面P AC ，故BD PC ⊥，GH PC ∴⊥，因为 ,GE GH 均在平面EFHG 内，且相交，所以PC ⊥平面EFHG ，故此时平面EFHG 和平面MEF 即同一平面.又BD ⊥平面P AC ，有GH ⊥面平面P AC ，GH GM ⊥，根据对称性有GH GE ⊥，四边形EFHG 是矩形. 即五边形MEGHF 即为过点M 且垂直于PC 的截面，平面图如下:依题意，22GH EF ==2EG FG ==，三角形高为()()22321h =-=，面积是122122⨯=22242=，故截面面积是52故C 正确；D 选项中，若PM =2，看B 选项中的图可知，21124M BCD P BCD P ABCD V V V V ---===，故剩余部分134P ABCD V V -= ，所以123=V V ，故D 正确. 故选：BCD.【点睛】本题考查了棱锥的截面问题，考查了二面角、体积等计算问题，属于难题. 12．设函数()f x 是定义在区间I 上的函数，若对区间I 中的任意两个实数12,x x ，都有1212()()(),22x x f x f x f ++≤则称()f x 为区间I 上的下凸函数.下列函数中是区间(1,3)上的下凸函数的是（ ）A ．()21f x x =-+B ．()2f x x =--C ．3()5f x x =+D ．21()1x f x x +=- 【答案】ACD【分析】根据函数的解析式，求得1212()()()22x x f x f x f ++=，可判定A 正确；根据特殊值法，可判定B 不正确；根据函数的图象变换，结合函数的图象，可判定C 、D 正确.【详解】对于A 中，任取12,(1,3)x x ∈且12x x ≠，则1212()()12x x f x x +=-++， 121212()()1(2121)()122f x f x x x x x +=-+-+=-++，可得1212()()()22x x f x f x f ++=，满足1212()()()22++≤x x f x f x f ，所以A 正确； 对于B 中，取1235,22x x ==，则1222x x +=， 可得351()()222f f ==-，所以12()()122f x f x +=-，12()(2)02x x f f +==， 此时1212()()()22x x f x f x f ++>，不符合题意，所以B 不正确； 对于C 中，函数3()5f x x =+，由幂函数3y x =的图象向上移动5个单位，得到函数3()5f x x =+的图象， 如图所示，取12,(1,3)x x ∈且12x x ≠，由图象可得12()2C x x f y +=，12()()2D f x f x y +=， 因为D C y y >，所以1212()()()22++≤x x f x f x f ，符合题意，所以是正确的；对于D 中，函数213()211x f x x x +==+-- 由函数3y x =的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位，得到21()1x f x x +=-的图象，如图所示，取12,(1,3)x x ∈且12x x ≠，由图象可得12()2C x x f y +=，12()()2D f x f x y +=，因为D C y y >，所以1212()()()22++≤x x f x f x f ，符合题意，所以是正确的；【点睛】本题主要考查了函数的新定义及其应用，其中解答中正确理解函数的新定义，以及结合函数的图象求解是解答的关键，着重考查了数形结合法，以及推理与运算能力，属于中档试题.三、填空题13．作家马伯庸小说《长安十二时辰》中，靖安司通过长安城内的望楼传递信息.同名改编电视剧中，望楼传递信息的方式有一种如下：如图所示，在九宫格中，每个小方格可以在白色和紫色（此处以阴影代表紫色）之间变换，从而一共可以有512种不同的颜色组合，即代表512种不同的信息.现要求每一行，每一列上至多有一个紫色小方格（如图所示即满足要求）.则一共可以传递______种信息.（用数字作答）【答案】34【分析】分类讨论紫色小方格的个数：（1）无紫色小方格；（2）有且只有1个紫色小方格；（3）：有且只有2个紫色小方格；（4）有且只有3个紫色小方格.分别利用排列、组合进行计算即可.【详解】显然，紫色小方格顶多有3个.分类讨论：（1）若无紫色小方格，则只有1种结果；（2）若有且只有1个紫色小方格，则有199C =种结果；（3）若有且只有2个紫色小方格，从行来看，先选出有紫色小方格的那两行，有233C =种选法，这两行的排法有11326C C =种， 此种情况下共有18种结果；（4）若有且只有3个紫色小方格，显然，这三行的排法有1113216C C C =种.综上，一共有34种结果，即一共可以传递34种信息. 故答案为：34【点睛】本题考查了排列、组合在实际生活中的应用，考查了分类与整合的思想，属于中档题.14．设ABC 的面积为S ，满足20S AC ⋅=.且||3BC =，若角B 不是最小角，则S 的取值范围是_________.【答案】⎛ ⎝⎭【分析】先利用20S AC ⋅=解得角A ，然后利用余弦定理及基本不等式解得bc 的取值范围，再根据1sin 2S bc A =求解S 的取值范围.【详解】由20S AC ⋅=得：sin cos 0bc A A =，即sin A A =0,解得：[]tan 0A A π=∈，，所以23A π=.又||BC a ==222222cos a b c bc A b c bc =+-=++ 所以223b c bc ++=，又B 不是最小角，所以22323b c bc bc bc bc =++>+=，得1bc <，故11sin 12224S bc A =<⨯⨯=，又0S >，所以04S <<.故答案为：30,4⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查解三角形中三角形面积最值的计算问题，难度一般. 一般地，在△ABC 中，已知一角及其对边求三角形面积最值及周长最值，都采用余弦定理，结合基本不等式得出另外两边之积或两边之和的最值即可得到答案.15．已知动点(,)P x y 满足22220x y x y +--=，O 为坐标原点，则22x y +的最大值为__. 【答案】22.【分析】由曲线的方程可得曲线关于x 轴、y 轴、原点都是对称的，故只需考虑第一象限内的情况即可，数形结合求得OP 的最大值.【详解】由曲线的方程22220x y x y +--=，可得曲线关于x 轴、y 轴、原点都是对称的，故只需考虑第一象限内的情况即可，如图：在第一象限内（含坐标轴），曲线方程为22220x y x y +--=， 转化为：22(1)(1)2x y -+-=，()0,0满足方程， 表示以(1,1)C 为圆心，半径为2的圆的一部分. 所以||OP 的最大值为圆的直径22=. 故答案为：22.【点睛】本题主要考查圆的标准方程，体现了转化、数形结合的数学思想，属于中档题， 16．在ABC 中，点D 在边BC 上，且满足AD =BD ，23tan 2tan 30B A -+=，则BDCD的取值范围为______.【答案】(]12，【分析】作出图形，由23tan 2tan 30B A -+=得出()23tan tan 12A B =+，利用正弦定理和三角恒等变换思想得出24tan 41133tan 2tan 33tan 2tan BD B CD B B B B=+=+-++-，然后利用不等式的性质和基本不等式可求得BDCD的取值范围. 【详解】23tan 2tan 30B A -+=，()23tan tan 12A B ∴=+， AD BD =，BAD B ∴∠=，CAD A B ∠=-，且B 为锐角，在ACD △中，()()sin sin sin cos cos sin sin sin sin cos cos sin A B BD AD CA B A B CD CD CAD A B A B A B ++====∠--()()22223tan 1tan tan tan 3tan 2tan 323tan tan 3tan 2tan 3tan 1tan 2B BA B B B A B B B B B +++++===--++- 24tan 113tan 2tan 3BB B =+>-+，又24tan 41133tan 2tan 33tan 2tan BD B CD B B B B=+=+-++- 12132tan 2tan B B≤+=⨯⋅-，当且仅当4B π=时，等号成立，因此，BDCD的取值范围是(]1,2. 故答案为：(]1,2.【点睛】本题考查三角形中边长比值的取值范围的计算，考查了正弦定理、两角和与差的正弦公式以及基本不等式的应用，考查计算能力，属于中等题.四、解答题17．已知各项均不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若59a =，且1a ，4a ，7S 成等比数列.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式n a 与n S ； （Ⅱ）设()()12nn n b S n =-+，求数列{}n b 的前20项和20T .【答案】（Ⅰ）21n a n =-，2n S n =；（Ⅱ）230【分析】（Ⅰ）根据题意，列出关于1a 和d 方程组，可求得11a =，2d =，计算即可求解通项公式和前n 项和公式； （Ⅱ）根据题意，可得()()()()21212nnn n b S n nn =-+=-+，列出和式，分组求和，即可求解.【详解】（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，则5149a a d =+=，由1a ，4a ，7S 成等比数列知2417147a a S a a =⋅=⨯，因40a ≠，得417a a =，于是12d a =，解得11a =，2d =，21n a n =-，()21212n n n S n +-==.（Ⅱ）因()()()()21212nnn n b S n nn =-+=-+，所以201220T b b b =++⋅⋅⋅+()()()()222212122232320220=-+⨯++⨯-+⨯+⋅⋅⋅++⨯ ()22222221432019210=-+-+⋅⋅⋅+-+⨯()()20120123202020210202302⨯+=+++⋅⋅⋅++=+=+=.【点睛】本题考查等差数列基本量的计算，考查分组（并项）求和法，考查计算能力，属于基础题.18．已知向量2(2sin cos ,2cos 1)a x x x =-，(cos ,sin )(0)b ϕϕϕπ=<<，且函数()f x a b =⋅的图象经过点31,42⎛⎫- ⎪⎝⎭π.（1）求()f x 的解析式及最小正周期； （2）若32125f απ⎛⎫-=⎪⎝⎭，,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求sin α的值.【答案】（1）()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，T π=；（2）410+. 【分析】（1）根据数量积公式及两角和的正弦公式，可得()sin(2)f x x ϕ=+，将点坐标代入，根据ϕ的范围，即可求导ϕ值，即可得答案.（2）根据（1）及题干条件，可得sin 6πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭、cos 6πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值，根据两角差的正弦公式，展开整理，即可得答案.【详解】（1）由()f x a b =⋅可得到()sin 2cos cos2sin sin(2)f x x x x ϕϕϕ=+=+，将31,42⎛⎫- ⎪⎝⎭π代入得13sin cos 22⎛⎫-=+=- ⎪⎝⎭πφφ，1cos 2ϕ∴=， 又(0,)ϕπ∈， 3πϕ∴=．所以()f x 的解析式为()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，最小正周期为T π= . （2）因为32125f απ⎛⎫-=⎪⎝⎭，,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，结合（1），3sin 65πα⎛⎫= ⎪⎝⎭∴+，且27,636πππα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，4cos 65πα⎛⎫∴+=- ⎪⎝⎭， sin sin sin cos cos sin 666666ππππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+-=+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦341552=⨯410+=【点睛】解题的关键是熟练掌握数量积公式、恒等变换公式等知识，并灵活应用，易错点在于需根据角度的范围，判断cos 6πα⎛⎫+⎪⎝⎭的正负，再求解. 19．如图所示，三棱柱111ABC A B C -中，90BCA ∠=︒，1AC ⊥平面1A BC ．（1）证明：平面ABC ⊥平面11ACC A ；（2）若2BC AC ==，11A A AC =，求点1B 到平面1A BC 的距离． 【答案】（1）见解析；（23【分析】（1）先由线面垂直得到1AC BC ⊥，再通过线线垂直得到BC ⊥平面11ACC A ，从而得到平面ABC ⊥平面11ACC A ；（2）取AC 的中点D ，证明1A D ⊥平面ABC ，再求出1A D 的值，求出三棱柱111ABC A B C -的体积，再求出与三棱柱111ABC A B C -同底同高的三棱锥1B ABC -的体积，然后进行等体积转化得到三棱锥11B A BC -的体积，求出1A BC 的面积，然后得到点1B 到平面1A BC 的距离. 【详解】（1）证明：1AC ⊥平面1A BC ，1AC BC ∴⊥．90BCA ∠︒＝，BC AC ∴⊥，BC ∴⊥平面11ACC A ．又BC ⊂平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面11ACC A ．（2）解：取AC 的中点D ，连接1A D ．11A A AC =，1A D AC ∴⊥．又平面ABC ⊥平面11ACC A ，且交线为AC ，则1A D ⊥平面ABC ．1AC ⊥平面1A BC ，11AC AC ⊥∴，∴四边形11ACC A 为菱形，1AA AC ∴=．又11A A AC =，1A AC ∴是边长为2正三角形，13A D ∴1111223232ABC A B C V -∴=⨯⨯⨯=．111,AA BB AA ⊄面11BB C C ,1BB ⊂面11BB C C1AA ∴面11BB C C1111A B BC A B BC B ABC V V V ---∴==11112333ABC A B C V -==设点1B 到平面1A BC 的距离为h ．则11113B A BC A BC V h S -∆=⋅． 1AC BC ⊥，12AC AC BC === 11122A BC S BC A C ∆∴=⋅=，3h ∴=． 所以点1B 到平面1A BC 的距离为3．【点睛】本题考查线线垂直证明线面垂直，再证明面面垂直，通过线面平行和变化顶点和底对三棱锥进行等体积转化，属于中档题.20．已知椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>四个顶点中的三个是边长为23形的顶点.（1）求椭圆E 的方程：（2）设直线y kx m =+与圆O ：22223bx y +=相切且交椭圆E 于两点M ，N ，求线段MN 的最大值.【答案】（1）22193x y +=；（236. 【分析】（1）由题意可得3a b ，再根据边长为23,a b 的值便可解出椭圆的标准方程；（2）设()11,M x y ，()22,N x y ，先根据直线y kx m =+与圆22223bx y +=相切，利用点到线距离公式得到()2221m k =+，然后联立直线与椭圆方程，利用弦长公式得到MN 关于k 与m 的表达式，将()2221m k =+代入得到关于k 的表达式，然后设法求最值.【详解】解：（1）由题意，椭圆上下顶点与左右顶点其中的一个构成等边三角形， ∴3ab，b =∴ 3a =，b =E ：22193x y += （2）设()11,M x y ，()22,N x y ，因为圆O ：222x y +=，因为直线y kx m =+与圆O ：222x y +=相切， 所以点O 到直线y kx m =+=，即()2221m k =+.联立方程22193x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得()()222136330k x kmx m +++-=，设，则122613km x x k +=-+，()21223313m x x k-⋅=+，故MN ==()()222122712132k k k ⎡⎤+++⎣⎦=≤=+. 当且仅当222271k k +=+即215k =时等号成立.所以弦长MN . 【点睛】本题考查椭圆方程的求解，考查直线与椭圆相交时弦长的最值问题，难度较大.解答时，利用韦达定理表示弦长的表达式是关键，然后利用基本不等式、函数等方法求其最值.21．已知函数f (x )=()222log log 2x x -- （1）当x ∈[1，8]时，求该函数的最值； （2）若226()2mm f x --<对于任意x ∈[1，8]恒成立，求实数m 的取值范围．【答案】（1）最小值94-，最大值4；（2）4m >或2m <-；【分析】（1）根据()()222log log 2f x x x =--，令2log x t =，则函数化为[]22,0,3y t t t =--∈，利用二次函数的性质得到函数的最值；（2）利用不等式恒成立把问题转化，226()2m m f x --<[]226max ()2m m f x --⇒<22642m m --<⇒，即可求解 【详解】解：（1）根据()()222log log 2f x x x =--，令2log x t =，则函数化为[]22,0,3y t t t =--∈， 因此当12t =时，[]22,0,3y t t t =--∈取得最小值94- 当3t =时，[]22,0,3y t t t =--∈取得最大值4即当x =()f x 取得最小值94-；当8x =时，函数()f x 取得最大值4 （2）226()2m m f x --<对于任意x ∈[1，8]恒成立，即[]226max ()2m m f x --<，由（1）得，[]max ()4f x =，得22642m m --<， 所以，2262m m -->，化为(4)(2)0m m -+>，4m >或2m <-；【点睛】关键点睛：（1）通过换元，使问题转化为[]22,0,3y t t t =--∈，求y 的最值；（2）通过不等式恒成立问题，转化为226()2m m f x --<[]226max ()2m m f x --⇒<，本题难度属于中档题 22．某品牌商家入驻一家购物平台后，销售额大幅提升，为了答谢顾客并进一步提升销售额，该品牌商家每年都在“跨年夜”购物狂欢节进行该品牌商品的促销活动．促销活动规则如下：①“价由客定”，即所有参与该商品促销活动的人进行网络报价，每个人并不知晓其他人的报价，也不知道参与该商品促销活动的总人数；②报价时间截止后，系统根据当年“跨年夜”该商品数量配额，按照参与该商品促销活动人员的报价从高到低分配名额；③每人限购一件，且参与人员分配到名额时必须购买．某位顾客拟参加2020年“跨年夜”该商品促销活动，他为了预测该商品最低成交价，根据该购物平台的公告，统计了最近5年“跨年夜”参与该商品促销活动的人数(单位：十万)(见下表)（1）由收集数据的散点图发现，可用线性回归模型拟合参与人数y (十万)与年份编号t 之间的相关关系．请用最小二乘法求y 关于t 的线性回归方程：y bt a =+，并预测2020年“跨年夜”参与该商品促销活动的人数；（2）该购物平台调研部门对2000位拟参与2020年“跨年夜”该商品促销活动人员的报价进行抽样调查，得到如下的一份频数表：①求这2000位参与人员报价的平均值x 和样本方差2s (同一区间的报价可用该价格区间的中点值代替)；②假设所有参与该商品促销活动人员的报价X 可视为服从正态分布2(,)N μσ，且μ与2σ可分别由①中所求的样本平均值x 和样本方差2s 估值．若预计2020年“跨年夜”该商品最终销售量为31730件，请你合理预测(需说明理由)该商品的最低成交价．参考公式：①回归方程：ˆˆˆy bt a =+，其中1221ˆn i ii n i i t y nt y b tnt ==-=-∑∑，ˆˆa y bt=-； ②52155i i t==∑，5118.8i i i t y ==∑ 1.3≈； ③若随机变量Z 服从正态分布2(,)N μσ，则0().6827P Z μσμσ-<≤+=，2205().945P Z μσμσ-<≤+=，3309().973P Z μσμσ-<≤+=．【答案】（1）ˆ0.320.08yt =+，预测2020年跨年夜参与该商品促销活动的人数为20万；（2）①3.5，1.7；②该商品的最低成交价为4.8千元.【分析】（1）由题意计算可得,t y ，代入公式，求得b ，进而可得a ，即可得回归方程，代入t =6，即可预测2020年“跨年夜”参与该商品促销活动的人数；（2）①由表中的数据，代入公式，即可求得平均数x 和样本方差2s ；②由题意可得μ和σ，可得根据正态分布的性质，计算对应的概率值，结合题意，即可得最低成交价.【详解】解：（1）由题意可知123450.50.61 1.4 1.73, 1.0455t y ++++++++==== 所以218.853 1.04ˆˆ0.32, 1.040.3230.085553b a -⨯⨯===-⨯=-⨯， 所以归回方程为0.3208ˆ.0yt =+， 当t =6时，0.3260.082y =⨯+=.所以预测2020年跨年夜参与该商品促销活动的人数为20万（2）①由表中的数据，得平均数2006006003002001001.5 2.5 3.5 4.5 5.5 6.5 3.5200020002000200020002000x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= 样本方差222222200600300200100(2)(1)0123 1.720002000200020002000s =-⨯+-⨯++⨯+⨯+⨯=②由①可知~(3.5,1.7)X N ， 1.3σ=≈，又(3.5 1.3 3.5 1.3)0.6827P X -<≤+=， 则10.6827( 4.8)0.158652P X ->==，又317300.158********=， 所以该商品的最低成交价为4.8千元.。
2021年重庆市新高考数学模拟试卷及答案解析
第 1 页 共 19 页2021年重庆市新高考数学模拟试卷一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．（5分）已知集合A ＝{x ||x |＜3，x ∈Z }，B ＝{x ||x |＞1，x ∈Z }，则A ∩B ＝（ ）A ．∅B ．{﹣3，﹣2，2，3}C ．{﹣2，0，2}D ．{﹣2，2}2．（5分）设i 为虚数单位，复数z =2+3i i ，则z 的共轭复数是（ ） A ．3﹣2iB ．3+2iC ．﹣3﹣2iD ．﹣3+2i 3．（5分）已知sin(π3+α)=cos(π3−α)，则cos2α＝（ ）A ．0B ．1C ．√22D ．√324．（5分）已知△ABC 中，BC ＝5，AC ＝4，C =π6，则BC →•CA →=（ ）A ．10B ．−10√3C ．10√3D ．205．（5分）已知函数f （x ）是奇函数，当x ＜0时，f （x ）＝﹣2x 2+x ，则f （2）＝（ ）A ．﹣6B ．6C ．﹣10D ．10 6．（5分）已知双曲线x 2−y 2b 2=1（b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 是双曲线右支上一点，点A 是线段F 1F 2上一点，且∠F 1PF 2＝2∠F 1P A =2π3，|P A |=2√55，则该双曲线的离心率为（ ）A ．√5B ．2C ．2√53D ．√52 7．（5分）在二项式(x 1√x)n 的展开式中，各项系数的和为128，把展开式中各项重新排列，则有理项都互不相邻的概率为（ ）A ．435 B ．34 C ．314 D ．114 8．（5分）已知函数f （x ）=−13x 3−12x 2+ax ﹣b 的图象在x ＝0处的切线方程为2x ﹣y ﹣a ＝0，若关于x 的方程f （x 2）＝m 有四个不同的实数解，则m 的取值范围为（ ）A ．[﹣2，−56）B ．（﹣2，−56）C ．（−323，−56）D ．[−323，−56） 二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）9．（5分）CPI 是居民消费价格指数的简称，是一个反映居民家庭一般所购买的消费品和服务项目价格水平变动情况的宏观经济指标．同比一般情况下是今年第n 月与去年第n 月比；环比，表示连续2个统计周期（比如连续两月）内的量的变化比．如图是根据国家。
2021年高考数学一模试卷 (24)(含答案解析)
2021年高考数学一模试卷 (26)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设i是虚数单位，则复数4+3i3−4i=()A. 45+35i B. 425+325i C. −i D. i2.已知集合A={x|1≤x≤5}，B={x|3≤x≤6}，则A∩B=()A. [1,3]B. [3,5]C. [5,6]D. [1,6]3.函数y=3sin(2x+π6)的图象的一条对称轴是()A. x=0B. x=2π3C. x=−π6D. x=π34.若直线2x+my=2m−4与直线mx+2y=m−2平行，则m的值为()A. m=−2B. m=±2C. m=0D. m=25.从编号001，002，…，500个产品中用系统抽样的方法抽取一个样本，已知样本编号从小到大依次为007，032，…，则样本中最大的编号应该为()A. 483B. 482C. 481D. 4806.设a=log0.60.5，b=log2(log38)，则()A. a<1<bB. a<b<1C. b<1<aD. 1<b<a7.已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点M(−12,−√32)，则cos2α+sin(α−π3)的值为()A. −12B. √32C. 1D. 328.已知△ABC的三边a，b，c满足a2+b2=c2+ab，则△ABC的内角C为()A. 150°B. 120°C. 60°D. 30°9.如图，网络纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥最长的棱的大小是()A. 3B. 2√2C. √5D. 210. 如图，正方形ABCD 的边长为2，E 为BC 的中点，DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =2FC⃗⃗⃗⃗⃗ ，且AE 与BF 相交于点G ，则AG ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BF ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为( )A. 47 B. −47 C. 35 D. −3511. 已知向量m⃗⃗⃗ ，n ⃗ 分别是直线l 和l′的方向向量，若cos ⟨m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ ⟩=−12，则直线l 与l′所成的角为 ( ) A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°12. 如图，已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a,b >0)的左右焦点分别为F 1F 2，|F 1F 2|=2，P 是双曲线右支上的一点，PF 1⊥PF 2，F 2P 与y 轴交于点A ，△APF 1的内切圆半径为√22，则双曲线的离心率是( )A. √52B. √2C. √3D. 2√2二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 曲线y =f(x)=(x +1)e x 在点(0,1)处的切线方程为________． 14. 已知正数x ，y 满足x +y =1，则4x+1+9y+1的最小值是______．15. α，β∈(0,π4)，cos(2α−β)=√32，sin(α−2β)=−12，则cos(α+β)的值等于______ ．16.已知奇函数f(x)的图象关于直线x=1对称，当x∈[0,1]时，f(x)=log2(x+1)，则函数y=6f(x)−x在[−3,9]上的零点个数是．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知数列{a n}是单调递增的等差数列，首项a1=2，且a2，a4，S4−4成等比数列．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设数列{b n}满足b n=a n+(√2)a n，求数列{b n}的前n项和T n．18.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥底面ABCD，M，N分别是PA，BC的中点，且AD=2PD=2．(1)求证：MN//平面PCD；(2)求点N到平面PAB的距离．19.已知抛物线C：x2=2y，过点(−2,4)且斜率为k的直线l与抛物线C交于M，N两点．(1)若k=2，求|MN|的值；(2)记直线l1：x−y=0与直线l2：x+y−4=0的交点为A，求的值．20. 某公司近年来科研费用支出x 万元与公司所获得利润y 万元之间有如下的统计数据：(Ⅰ)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程y ^=b ^x +a ^； (Ⅱ)试根据(2)求出的线性回归方程，预测该公司科研费用支出为10万元时公司所获得的利润． 参考公式：若变量x 和y 用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程为：y ^=b ^x +a^，其中：b ̂=i n i=1i −nxy∑x 2n −n(x)2，a ^=y −b ^x ，参考数值：2×18+3×27+4×32+5×35=420．21. 设函数f(x)=lnx −x +1．(1)讨论f(x)的单调性；(2)证明当x ∈(1,+∞)时，lnx <x −1<xlnx ．22.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程是{x=14+12cosα,y=√34+12sinα(α是参数)，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C的极坐标方程；(2)在曲线C上取一点M，直线OM绕原点O逆时针旋转π3，交曲线C于点N，求|OM|·|ON|的最大值．23.已知函数f(x)=|x−1|+|2x+4|．(1)求不等式f(x)≥5的解集；(2)若m>1，n>1，求证：f(mn)−|2mn+4|>|n−m|．【答案与解析】1.答案：D解析：解：化简可得4+3i3−4i =(4+3i)(3+4i) (3−4i)(3+4i)=12+12i2+16i+9i9−16i2=25i25=i故选：D．分子分母同乘以分母的共轭复数3+4i，化简可得．本题考查复数的代数形式的乘除运算，属基础题．2.答案：B解析：解：∵A={x|1≤x≤5}，B={x|3≤x≤6}；∴A∩B=[3,5]．故选：B．进行交集的运算即可．考查描述法、区间的定义，以及交集的运算．3.答案：B解析：本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象的对称性，属于基础题．令2x+π6=kπ+π2，k∈Z，结合选项解出答案．解：令2x+π6=kπ+π2，则x=kπ2+π6，k∈Z，当k=1时，，则f(x)图象的一条对称轴为．故选B．4.答案：A解析：本题考查直线方程的一般式和直线的平行关系，属基础题．由斜率相等可得m的方程，解之可得m的值，验证排除直线重合的情形即可．解：由题意可得两直线的斜率分别为：−2m ，−m2，由于两直线平行，故−2m =−m2，解之可得m=2，或m=−2，验证可得当m=2时，直线的方程均可化为x+y=0，直线重合，故可得m=−2，故选：A．5.答案：B解析：解：样本间隔为32−7=25，则样本容量为500÷25=20，则最大的编号为7+25×19=482，故选：B根据条件求出样本间隔和样本容量即可得到结论．本题主要考查系统采用的应用，求出样本间隔和样本容量是解决本题的关键．6.答案：C解析：解：∵a=log0.60.5>log0.60.6=1，b=log2(log38)<log2(log39)=log22=1，∴a>1>b．故选：C．利用对数的运算法则、对数函数的单调性即可得出．本题考查了对数的运算法则、对数函数的单调性，属于基础题．7.答案：A解析：根据函数的定义，求出sinα=−√32，cosα=−12，把cos2α+sin(α−π3)化简，代入即可．考查二倍角公式，两角和与差的公式的应用，中档题．解：根据题意sinα=−√32，cosα=−12，则cos2α+sin(α−π3)=2cos2α−1+sinαcosπ3−cosαsinπ3=12−1+12sinα−√32cosα=−12+12×(−√32)−√32×(−12)=−12，故选：A．8.答案：C解析：根据余弦定理，求出cos C的值，即可得出角C的大小．解：△ABC中，a2+b2=c2+ab，∴a2+b2−c2=ab，∴cosC=a2+b2−c22ab =ab2ab=12．又C∈(0°,180°)，∴C=60°．故选C．9.答案：A解析：本题考查了由几何体的三视图求几何体的棱长，判断直观图是解题的关键，属于基础题．解：由三视图画出该几何体的直观图为三棱锥A1−DEC1如图所示：由已知可得A 1D =A 1C 1=DC 1=2√2,A 1E =ED =√5,EC 1=3所以最长棱为EC 1=3， 故选A ．10.答案：A解析：解：建立如图所示的平面直角坐标系，如图： 正方形ABCD 的边长为2，E 为BC 的中点，E(2,1)， DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =2FC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，F(43,0)， 且AE 与BF 相交于点G ，AE 的方程为：y −2=−12x 即x +2y −4=0，BF 的方程为：y −2=3(x −2)，即3x −y −4=0， {x +2y −4=03x −y −4=0，可得G(127,87)， AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =(127,−67)， BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−23,−2)，则AG ⃗⃗⃗⃗⃗⋅BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =−87+127=47． 故选：A ．建立坐标系，求出相关的坐标，利用向量的数量积的运算法则求解即可． 本题考查向量的数量积的应用，解析法的应用，是基本知识的考查．11.答案：B解析：【试题解析】本题考查两直线的夹角的求法，考查向量夹角公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．由cos<m⃗⃗⃗ ，n⃗>=−12和两直线夹角的范围即可得出．解：由于cos<m⃗⃗⃗ ，n⃗>=−12，所以<m⃗⃗⃗ ，n⃗>=120∘，所以直线l与l′所成的角为60∘，故选B．12.答案：B解析：解：由题意，直角三角形的内切圆半径r=|PA|+|PF1|−|AF1|2=|PF1|−|PF2|2=√22，∴|PF1|−|PF2|=√2=2a，∵|F1F2|=2=2c，∴双曲线的离心率是e=ca =2=√2．故选：B．直角三角形的内切圆半径r=|PA|+|PF1|−|AF1|2=|PF1|−|PF2|2=√22，可得|PF1|−|PF2|=√2=2a，结合|F1F2|=2=2c，即可求出双曲线的离心率．本题考查双曲线的离心率，考查直角三角形内切圆的性质，考查学生的计算能力，属于基础题．13.答案：y=2x+1解析：本题考查利用导数求曲线的切线问题，属基础题．求出f(0)，f′，0)，利用点斜式可得切线方程．解：因为f(x)=(x +1)e x,得f′′(x)=(x +2)e x ，f(0)=1，所以f′′(0)=2，所以切线方程为y −1=2x ，即y =2x +1．14.答案：253解析：本题考查了基本不等式及其应用，关键掌握“1“的代换，属基础题．由条件可得4x+1+9y+1=13(4x+1+9y+1)(x +1+y +1)，化简后利用基本不等式可得最大值． 解：∵正数x ，y 满足x +y =1，∴4x +1+9y +1=13(4x +1+9y +1)(x +1+y +1) =13[13+4(y +1)x +1+9(x +1)y +1] ≥13[13+2√4(y +1)x +1⋅9(x +1)y +1] =253，当且仅当4(y+1)x+1=9(x+1)y+1，即x =15,y =45时取等号， ∴4x+1+9y+1的最小值为253． 故答案为：253． 15.答案：12解析：解：∵α，β∈(0,π4)，∴2α−β∈(−π4,π2)，α−2β∈(−π2,π4)，∵cos(2α−β)=√32，sin(α−2β)=−12，∴{α−2β=−π62α−β=π6或{α−2β=−π62α−β=−π6，求得α=β=π6或α=−π18，β=π18(舍)，∴cos(α+β)=cosπ3=12，故答案为：12根据已知条件列出关于α和β的方程组求得α和β，最后代入cos(α+β)即可．本题主要考查了特殊三角函数值的应用．也可以采用两角和与差的余弦函数公式求得答案．16.答案：5解析：本题考查了函数的奇偶性、函数的周期性和函数的零点与方程根的关系，函数y=6f(x)−x在[−3,9]上的零点个数即为y=f(x)与y=x6的函数图象的交点的个数，由图象可知结论．解：由奇函数f(x)的图象关于直线x=1对称，可知f(x)为周期函数，周期为4，作出函数，x∈[0,1]的图象，再根据周期为4，作出x∈[−3,9]上的图象，函数y=6f(x)−x在[−3,9]上的零点个数即为y=f(x)与y=x6的函数图象的交点的个数，由图象可知在x∈[−3,9]一共5个交点，所以函数y=6f(x)−x在[−3,9]上的零点个数是5，故答案为5．17.答案：解：(1)由题意，得：a42=a2⋅(S4−4)，即(2+3d)2=(d+2)⋅(6d+4)化简，得：3d2−4d−4=0，解得：d=2或d=−23∵数列{a n}是单调递增的等差数列∴d>0，∴d=2∴a n=2+(n−1)×2=2n；(2)由(1)得，b n=2n+2n∴T n=(2+21)+(4+22)+(6+23)+⋯+(2n+2n)=(2+4+6+⋯+2n)+(21+22+23+⋯+2n)=n2+n+2(1−2n) 1−2=n2+n+2n+1−2∴T n=n2+n+2n+1−2.解析：本题考查等差数列以及等比数列的综合应用，数列求和的方法，考查计算能力．(1)利用已知条件，列出方程，求出数列的公差，然后求解通项公式．(2)化简数列的通项公式，利用拆项法，通过等差数列以及等比数列求和求解即可．18.答案：证明：(1)取AD中点E，连接ME，NE，因为M，N是PA，BC的中点，在△PAD与正方形ABCD中，ME//PD，NE//CD，ME不在面PCD内，NE不在面PCD内，且ME∩NE=E,PD∩DC=D，ME//平面PCD，NE//平面PCD，所以平面MNE//平面PCD，MN⊂面MNE，所以MN//平面PCD．解：(2)设点N到平面PAB的距离为h，∵V N−PAB=V P−NAB，∴13S△PABℎ=13S△NAB PD．∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥BA．∵BA⊥DA，∴BA⊥平面PAD，∴BA⊥PA，PA=√22+12=√5，∴S△PAB=12√5⋅2=√5．又∵S△NAB=14S正方形ABCD=1，PD=1，∴V P−NAB=13×1×1=13，∴13√5ℎ=13，∴ℎ=√55．∴点N到平面PAB的距离为√55．解析：(1)取AD 中点E ，连接ME ，NE ，推导出ME//平面PCD ，NE//平面PCD ，从而平面MNE//平面PCD ，由此能证明MN//平面PCD ．(2)设点N 到平面PAB 的距离为h ，由V N−PAB =V P−NAB ，能求出点N 到平面PAB 的距离．本题考查线面平行的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．19.答案：解：(1)依题意，直线l ：y =2x +8，联立抛物线C ：x 2=2y ，可得x 2−4x −16=0，设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，则x 1+x 2=4，x 1x 2=−16，故|MN|=2|x 1−x 2|=√1+k 2·√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√1+4×√16+4×16=20；(2)联立{x −y =0x +y −4=0，解得x =y =2，故A (2,2)， 设直线l 的方程为：y −4=k(x +2)，联立抛物线C ：x 2=2y ，可得x 2−2kx −4k −8=0，设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，可得x 1+x 2=2k ，x 1x 2=−4k −8，则k AM =y 1−2x 1−2=k(x 1+2)+2x 1−2，k AN =y 2−2x 2−2=k(x 2+2)+2x 2−2，k AM ·k AN =[k(x 1+2)+2][k(x 2+2)+2](x 1−2)(x 2−2)=k 2[x 1x 2+2(x 1+x 2)+4]+2k(x 1+x 2+4)+4x 1x 2−2(x 1+x 2)+4=k 2(−4k−8+4k+4)+2k(2k+4)+4−4k−8−4k+4=−1．解析：本题考查直线和抛物线的位置关系，考查韦达定理和弦长公式、直线的斜率公式，考查方程思想和运算能力，属于中档题．(1)求得直线l 的方程，联立抛物线方程，运用韦达定理和弦长公式，计算可得所求值；(2)求得交点A(2,2)，设直线l 的方程为：y −4=k(x +2)，联立抛物线C ：x 2=2y ，运用韦达定理和斜率公式，化简整理即可得到所求值．20.答案：解：(Ⅰ)x =2+3+4+54=3.5，y =18+27+32+354=28，∑x i 4i=1y i =2×18+3×27+4×32+5×35=420，∑x 24i=1=22+32+42+52=54，b ̂=i ni=1i −nxy ∑x 2n −n(x)2=420−4×3.5×2854−4×3.52=5.6． â=y −b ̂x =28−5.6×3.5=8.4 所求线性回归方程为：y ̂=5.6x +8.4． (Ⅱ)当x =10时，ŷ=5.6×10+8.4=64.4(万元)， 故预测该公司科研费用支出为10万元时公司所获得的利润为64.4万元．解析：(Ⅰ)根据表中所给的数据，求出利用最小二乘法所用的四个量，利用最小二乘法求出线性回归方程的系数，写出线性回归方程．(Ⅱ)把所给的x 的值，代入上一问求出的线性回归方程中，求出对应的y 的值，这是一个估计值，预报值． 本题考查线性回归方程的求法和应用，解题的关键是细心地求出线性回归方程要用的系数． 21.答案：解：(1)函数f(x)=lnx −x +1的导数为f′(x)=1x −1，由f′(x)>0，可得0<x <1；由f′(x)<0，可得x >1．即有f(x)的增区间为(0,1)；减区间为(1,+∞)；(2)证明：当x ∈(1,+∞)时，由(1)可得f(x)=lnx −x +1在(1,+∞)递减，可得f(x)<f(1)=0，即有lnx <x −1；设F(x)=xlnx −x +1，x >1，F′(x)=1+lnx −1=lnx ，当x >1时，F′(x)>0，可得F(x)递增，即有F(x)>F(1)=0，即有xlnx >x −1，则原不等式成立；解析：(1)求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；(2)由(1)求出lnx <x −1，设F(x)=xlnx −x +1，x >1，根据函数的单调性求出F(x)>0，证明结论即可．本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，是一道中档题．22.答案：解：(1)由曲线C 的参数方程是{x =14+12cosα,y =√34+12sinα(α是参数)，消去α得曲线C 的普通方程为x 2+y 2−12x −√32y =0．所以C 的极坐标方程为ρ2=√32ρsinθ+12ρcosθ， 即ρ=√32sinθ+12cosθ，即ρ=sin(θ+π6). (2)不妨设M(ρ1,θ)，N(ρ2,θ+π3)，则|OM|⋅|ON|=sin(θ+π6)sin(θ+π6+π3)=(√32sinθ+12cosθ)cosθ =√32sinθcosθ+12cos 2θ=√34sin2θ+1+cos2θ4=12sin(2θ+π6)+14．当θ=π6时，取得最大值，最大值为34．解析：本题考查参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．(1)直接利用和转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的进行转换．(2)利用极径的应用和三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数性质的应用求出结果．23.答案：解：(1)|x −1|+|2x +4|≥5等价于{x <−21−x −2x −4≥5或{−2≤x ≤11−x +2x +4≥5或{x >1x −1+2x +4≥5， 解得x ≤−83或0≤x ≤1或x >1，所以原不等式的解集为(−∞,−83]∪[0,+∞)．(2)要证：f(mn)−|2mn +4|>|n −m|，只要证|mn −1|>|n −m|，只需证(mn −1)2>(n −m)2，而(mn −1)2−(n −m)2=m 2n 2−m 2−n 2+1=(m 2−1)(n 2−1)>0，从而原不等式成立．解析：考查绝对值不等式的解法，分类讨论思想，中档题．(1)分类讨论求出即可；(2)运用分析法证明结果．。
重庆市渝中区2021届新高考数学考前模拟卷(3)含解析
重庆市渝中区2021届新高考数学考前模拟卷（3）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知()21,+=-∈a i bi a b R ，其中i 是虚数单位，则z a bi =-对应的点的坐标为（ ） A ．()12,- B ．()21,-C ．()1,2D ．()2,1【答案】C 【解析】 【分析】利用复数相等的条件求得a ，b ，则答案可求． 【详解】由21a i bi +=-，得1a =，2b =-．z a bi ∴=-对应的点的坐标为(a ，)(1b -=，2)．故选：C ． 【点睛】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数相等的条件，是基础题．2．已知双曲线2222:10,0()x y C a b a b-=>>的左、右顶点分别为12A A 、，点P 是双曲线C 上与12A A 、不重合的动点，若123PA PA k k =， 则双曲线的离心率为( )A BC ．4D ．2【答案】D 【解析】 【分析】设()00,P x y ，()1,0A a -，()2,0A a ，根据123PA PA k k =可得22233y x a =-①，再根据又2200221x y a b -=②，由①②可得()()222222033b a xa b a -=-，化简可得2c a =，即可求出离心率．【详解】解：设()00,P x y ，()1,0A a -，()2,0A a ， ∵123PA PA k k =，∴00·3y y x a x a=+-，即2220033y x a =-，①又2200221x y a b-=，②， 由①②可得()()222222033b a xa b a -=-，∵0x a ≠±， ∴2230b a -=，∴22223b a c a ==-， ∴2c a =， 即2e =， 故选：D ．【点睛】本题考查双曲线的方程和性质，考查了斜率的计算，离心率的求法，属于基础题和易错题．3．已知双曲线2222x y 1(a 0,b 0)a b-=>>，过原点作一条倾斜角为π3直线分别交双曲线左、右两支P ，Q两点，以线段PQ 为直径的圆过右焦点F ，则双曲线离心率为( ) A 21 B 31C ．2D 5【答案】B 【解析】 【分析】求得直线PQ 的方程，联立直线的方程和双曲线的方程，求得,P Q 两点坐标的关系，根据FQ FP ⊥列方程，化简后求得离心率. 【详解】设()()1122,,,P x y Q x y ，依题意直线PQ 的方程为3y x =，代入双曲线方程并化简得222222222223,333a b a b x y x b a b a ===--，故221212220,,3a b x x x x b a -+=⋅=- 12y y ⋅= 221222333a b x x b a -⋅=-，设即21240x x c +=，即4224630b a b a --=，两边除以4a 得42630b b a a ⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得23b a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭故1e ===，故选B.【点睛】本小题主要考查直线和双曲线的交点，考查圆的直径有关的几何性质，考查运算求解能力，属于中档题. 4．甲、乙、丙三人参加某公司的面试，最终只有一人能够被该公司录用，得到面试结果以后甲说：丙被录用了；乙说：甲被录用了；丙说：我没被录用.若这三人中仅有一人说法错误，则下列结论正确的是（ ） A ．丙被录用了 B ．乙被录用了C ．甲被录用了D ．无法确定谁被录用了【答案】C 【解析】 【分析】假设若甲被录用了，若乙被录用了，若丙被录用了，再逐一判断即可. 【详解】解：若甲被录用了，则甲的说法错误，乙，丙的说法正确，满足题意， 若乙被录用了，则甲、乙的说法错误，丙的说法正确，不符合题意， 若丙被录用了，则乙、丙的说法错误，甲的说法正确，不符合题意， 综上可得甲被录用了， 故选：C. 【点睛】本题考查了逻辑推理能力，属基础题.5．已知集合{|A x y ==，{}2|log 1B x x =>则全集U =R 则下列结论正确的是( ) A ．AB A =B ．A B B ⋃=C ．()UA B =∅ D ．UB A ⊆【答案】D 【解析】 【分析】化简集合A ，根据对数函数的性质，化简集合B ，按照集合交集、并集、补集定义，逐项判断，即可求出结论. 【详解】由2230,(23)(1)0x x x x -++≥-+≤， 33由2log 1x >知，(2,)B =+∞，因此AB =∅，31,(2,)2A B ⎡⎤⋃=-⋃+∞⎢⎥⎣⎦，()U(2,)A B ⋂=+∞，3(2,)(,1),2⎛⎫+∞⊆-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭，故选:D 【点睛】本题考查集合运算以及集合间的关系，求解不等式是解题的关键，属于基础题.6．过抛物线22(0)y px p =>的焦点作直线交抛物线于A B ，两点，若线段AB 中点的横坐标为3，且8AB =，则抛物线的方程是( )A ．22y x =B ．24y x =C ．28y x =D ．210y x =【答案】B 【解析】 【分析】利用抛物线的定义可得,12||||||22p pAB AF BF x x =+=+++,把线段AB 中点的横坐标为3,||8AB =代入可得p 值,然后可得出抛物线的方程. 【详解】设抛物线22(0)y px p =>的焦点为F,设点()()1122,,,A x y B x y ，由抛物线的定义可知()1212||||||22p pAB AF BF x x x x p =+=+++=++， 线段AB 中点的横坐标为3，又||8AB =，86p ∴=+，可得2p =， 所以抛物线方程为24y x =. 故选：B. 【点睛】本题考查抛物线的定义、标准方程,以及简单性质的应用,利用抛物线的定义是解题的关键.7．已知点A 是抛物线24x y =的对称轴与准线的交点，点F 为抛物线的焦点，点P 在抛物线上且满足PA m PF =，若m 取得最大值时，点P 恰好在以,A F 为焦点的椭圆上，则椭圆的离心率为（ ）A 1B 1C D ．12设(),P x y ，利用两点间的距离公式求出m 的表达式，结合基本不等式的性质求出m 的最大值时的P 点坐标，结合椭圆的定义以及椭圆的离心率公式求解即可. 【详解】设(),P x y ，因为A 是抛物线24x y =的对称轴与准线的交点，点F 为抛物线的焦点，所以()()0,1,0,1A F -， 则PA m PF==== 当0y =时，1m =，当0y >时，m ==≤= 当且仅当1y =时取等号，∴此时()2,1P ±，2PA PF ==，点P 在以,A F 为焦点的椭圆上，22c AF ==，∴由椭圆的定义得22a PA PF =+=，所以椭圆的离心率212c c e a a ====，故选B. 【点睛】本题主要考查椭圆的定义及离心率，属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出,a c ，从而求出e ;②构造,a c 的齐次式，求出e ;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解．8．设平面α与平面β相交于直线m ，直线a 在平面α内，直线b 在平面β内，且b m ⊥则“αβ⊥”是“a b ⊥”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．即不充分不必要条件【答案】A试题分析：α⊥β， b ⊥m 又直线a 在平面α内，所以a ⊥b ，但直线不一定相交，所以“α⊥β”是“a ⊥b”的充分不必要条件，故选A. 考点：充分条件、必要条件.9．设()()2141A B -，，，，则以线段AB 为直径的圆的方程是（ ）A ．22(3)2x y -+=B ．22(3)8x y -+=C ．22(3)2x y ++=D ．22(3)8x y ++=【答案】A 【解析】 【分析】计算AB 的中点坐标为()3,0，圆半径为2r =.【详解】AB 的中点坐标为：()3,0，圆半径为2222222ABr +===， 圆方程为22(3)2x y -+=. 故选：A . 【点睛】本题考查了圆的标准方程，意在考查学生的计算能力. 10．若0,0ab >>，则“4a b +≤”是 “4ab ≤”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】本题根据基本不等式，结合选项，判断得出充分性成立，利用“特殊值法”，通过特取,a b 的值，推出矛盾，确定必要性不成立.题目有一定难度，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查. 【详解】当0, 0a >b >时，2a b ab +≥，则当4a b +≤时，有24ab a b ≤+≤，解得4ab ≤，充分性成立；当=1, =4a b 时，满足4ab ≤，但此时=5>4a+b ，必要性不成立，综上所述，“4a b +≤”是“4ab ≤”易出现的错误有，一是基本不等式掌握不熟，导致判断失误；二是不能灵活的应用“赋值法”，通过特取,a b 的值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果.11．已知双曲线2222:1(0,0)x y a b a bΓ-=>>的右焦点为F ，过原点的直线l 与双曲线Γ的左、右两支分别交于,A B 两点，延长BF 交右支于C 点，若,||3||AF FB CF FB ⊥=，则双曲线Γ的离心率是（ ）A ．17B ．32C ．53D ．10 【答案】D 【解析】 【分析】设双曲线的左焦点为'F ，连接'BF ，'AF ，'CF ，设BF x =，则3CF x =，'2BF a x =+，'32CF x a =+，'Rt CBF ∆和'Rt FBF ∆中，利用勾股定理计算得到答案.【详解】设双曲线的左焦点为'F ，连接'BF ，'AF ，'CF ， 设BF x =，则3CF x =，'2BF a x =+，'32CF x a =+，AF FB ⊥，根据对称性知四边形'AFBF 为矩形，'Rt CBF ∆中：222''CF CB BF =+，即()()()2223242x a x a x +=++，解得x a =； 'Rt FBF ∆中：222''FF BF BF =+，即()()22223c a a =+，故2252c a =，故10e =. 故选：D .本题考查了双曲线离心率，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.12．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2550S =，则1115a a +=（ ） A ．4 B ．8C ．16D ．2【答案】A 【解析】 【分析】利用等差的求和公式和等差数列的性质即可求得. 【详解】()1252512511152550442a a S a a a a +==⇒+=⇒+=.故选:A . 【点睛】本题考查等差数列的求和公式和等差数列的性质,考查基本量的计算,难度容易. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021届重庆市高三上学期第一次联合诊断检测数学试题(解析版)
2021届重庆市高三上学期第一次联合诊断检测数学试题一、单选题1．设集合A ＝{x |-1≤x ≤4}，B ＝{x |x 2＜4}，则A ∩B ＝（ ） A ．{x |-2＜x ≤4} B ．{x |-1＜x ＜2}C ．{x |-2＜x ＜2}D ．{x |-1≤x ＜2}【答案】D【分析】化简集合B ，即得解. 【详解】由题得B ＝{x |22x -<<}， 所以A ∩B ＝{x |-1≤x ＜2}. 故选：D2．设复数z 满足(1)2z i i -=，则z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【分析】首先根据题意得到21iz i=-，从而得到z 在复平面内对应点为()1,1-，即可得到答案.【详解】因为()()()22122222111112i i i i i z i i i i i +-+-+=====-+-+--， 所以z 在复平面内对应点为()1,1-，位于第二象限. 故选：B.3．命题p ：∀x ∈N ，|x +2|≥3的否定为（ ）A ．∀x ∈N ，|x +2|＜3B ．∀x ∉N ，|x +2|＜3C ．∃x ∈N ，|x +2|≥3D ．∃x ∈N ，|x +2|＜3 【答案】D【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可. 【详解】因为命题p ：∀x ∈N ，|x +2|≥3是全称命题， 所以其否定是特称命题，所以命题p ：“∀x ∈N ，|x +2|≥3”的否定为：∃x ∈N ，|x +2|＜3. 故选：D .【点睛】本题主要考查含有一个量词的命题的否定，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.4．为打赢新冠肺炎疫情阻击战，防止境外输入病例，中国国际航空公司在重庆江北机场设定了3个国际航班定点隔离酒店，重庆某医院呼吸科从5名男医生和3名女医生中选派3人前往3个隔离酒店进行核酸检测采样工作，则选派的3名医生中至少有1名女医生的概率是（ ） A ．2328B ．514C ．1556D ．27【答案】A【分析】利用组合计数原理、古典概型以及对立事件的概率公式可求得所求事件的概率.【详解】由题意可知，所求概率为35381023115628C P C =-=-=. 故选：A.5．直线y ＝x ＋1与圆x 2＋y 2-4x -2y -4＝0交于A ，B 两点，则|AB |＝（ ） A．B ．4C ．6D．【答案】D【分析】直线与圆相交，弦心距、半弦长、半径构成直角三角形，利用勾股定理即可求解.【详解】圆x 2＋y 2-4x -2y -4＝0的圆心为(2,1)3= ，圆心到直线y ＝x ＋1=，=，则AB = . 故选：D【点睛】抓住直线和圆相交以后的几何特征，直角三角形，勾股定理解题. 6．已知,0a b >，8ab a b =++，则ab 的最小值为（ ） A ．4 B ．8C ．12D ．16【答案】D【分析】由基本不等式，得到88ab a b =++≥，结合不等式的解法，即可求解.【详解】由基本不等式，可得a b +≥a b =时等号成立，则88ab a b =++≥，即2)0≥，解得16ab ≥，当且仅当4a b ==时，ab 取到最小值16． 故选: D.7．庄严美丽的国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征．五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系．在如图所示的五角星中，以A ，B ，C ，D ，E 为顶点的多边形为正五边形，且||512||PT AT -=．若ES AP BQ λ-=（λ∈R ），则λ＝（ ）A ．51+ B 51- C ．51+ D 15-【答案】D【分析】根据图象的对称性和向量的运算法则，化简得到512RQ QB -=，即可求解. 【详解】根据图形的对称性，可得ES RC =，AP QC =，由和向量的运算法则，可得ES AP RC QC RC CQ RQ -=-=+=， 又由RQ PT =，||||BQ AT =，故512RQ QB -=，所以15λ-=． 故选：D.8．已知定义在R 上的可导函数()f x 的导函数为()f x '，()()f x f x =-，当0x >时，()2'>f x x ，则关于x 的不等式()()244f x f x x -->-的解集为（ ）A ．（-∞，-1）∪（1，＋∞）B ．（-1，＋∞）C ．（-∞，1）D ．（-1，1）【答案】C【分析】根据已知条件构造函数()()2g x f x x =-，结合()g x 的单调性与奇偶性，得到不等式2x x ->，解不等式即可.【详解】当0x >时，()2'>f x x ，即()20f x x '->⇒()()20f x x '->，令()()2g x f x x =-，则函数()g x 在（0，＋∞）上单调递增，又()()()()()22g x f x x f x x g x -=---=-=，故()g x 为偶函数，()()244f x f x x -->-⇔()()()2222f x x f x x --->-，即()()2g x g x ->，∴2x x ->，解得1x <． 故选：C.【点睛】构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.二、多选题9．下表是某生活超市2020年第四季度各区域营业收入占比和净利润占比统计表：该生活超市本季度的总营业利润率为32.5%（营业利润率是净利润占营业收入的百分比），则（ ）A ．本季度此生活超市营业收入最低的是熟食区B ．本季度此生活超市的营业净利润超过一半来自生鲜区C ．本季度此生活超市营业利润率最高的是日用品区D ．本季度此生活超市生鲜区的营业利润率超过50% 【答案】BC【分析】根据表中数据以及营业利润率的概念逐项进行分析并判断. 【详解】由题中数据知，营业收入最低的是其它类，A 错； 生鲜区的净利润占比65.8%50%>，故B 正确；生鲜区的营业利润率为65.8%32.5%50%48.6%⨯<，故D 错；同理可计算其他各区的营业利润率，显然日用品区为20.2%32.5%10.8%⨯，最高，故C 正确．故选：BC.10．已知函数()cos cos f x x x =+，则下列结论正确的是（ ） A ．()f x 是周期函数 B ．()f x 在[0,]π上单调递减 C ．()f x 奇函数 D ．()f x 的图象关于直线x π=对称【答案】AD【分析】根据函数周期性的定义，可判定A 正确；由()()02f f ππ==，可判定B 不正确；由(0)0f ≠，可判定C 不正确；根据函数对称性的定义，可判定D 正确. 【详解】当20x π+≥时，cos 2cos(2)cos cos x x x x ππ+=+==， 当20x π+<时cos 2cos(2)cos()cos x x x x ππ+=--=-=， 又由cos(2)cos x x π+=，所以()()2f x f x π+=， 即2π为()f x 的周期，所以A 正确； 由()coscos0222f πππ=+=，()cos cos 0f πππ=+=，所以函数()f x 在[0,]π上不是单调递减函数，所以B 不正确；由(0)cos0cos 020f =+=≠，所以()f x 不是奇函数，所以C 不正确； 当20x π-≥时，cos 2cos(2)cos cos x x x x ππ-=-==， 当20x π-<时，cos 2cos(2)cos cos x x x x ππ-=-==， 又由cos(2)cos x x π-=，所以()(2)f x f x π-=， 所以函数()f x 的图象关于直线x π=对称，所以D 正确. 故选：AD.11．已知,,a b c ∈R ，且0b >，若1e ln ab c==，则,,a b c 的大小关系可以是（ ）A ．a b c <<B ．b c a <<C ．c a b <<D ．a c b <<【答案】ACD【分析】在同一坐标系中画出函数y ＝e x ，y ＝lnx ，1y x=的图象，然后观察y m =与他们的交点即可得到答案.【详解】如图，在同一坐标系中画出函数y ＝e x ，y ＝lnx ，1y x=的图象，当直线y m =与三者都相交时，交点的横坐标即为,,a b c 的值，由图知，当m 从大变到小时，依次出现c ＜a ＜b 、a ＜c ＜b 、a ＜b ＜c ．故选：ACD.12．已知数列{}n a 和各项均为正数的等比数列{}n b 满足：()122nini a i b=+=-∑，12b =，23b b +是3b 与4b 的等差中项，数列{}n a 的前n 项和为n S ，则下列结论正确的是（ ）A ．数列{}n n a b -是等差数列B ．()11222n n n n S ++-=-C ．数列{}n a 是递增数列D ．11121ni i n a b =⎛⎫<- ⎪⎝⎭∑ 【答案】ABC【分析】设等比数列{}n b 的公比为q ，求出q 的值，可求得数列{}n b 的通项公式，根据已知条件可求得n S ，利用n a 与n S 的关系可求得数列{}n a 的通项公式，进而可判断各选项的正误.【详解】设等比数列{}n b 的公比为q ，由题意可知，()23342b b b b +=+，即43220b b b --=，即222220b q b q b --=，因为20b ≠，故220q q --=，解得2q或1q =-（舍），所以，112n n n b b q-==，因为()()11122222nn i n n i n n a i S b +=++=+=-=-∑，故()11222n n n n S ++=--，B 选项正确；当1n =时，2112121a S ==--=. 当2n ≥时，()()11112222222n n n n n n n n n n a S S n +-+-⎡⎤⎡⎤=-=-----=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦. 11a =满足2n n a n =-，所以，对任意的n *∈N ，2n n a n =-.所以，22n nn n a b n n -=--=-，故数列{}n n a b -是等差数列，A 选项正确； ()()11212210n n nn n a a n n ++⎡⎤-=-+--=->⎣⎦，故数列{}n a 为单调递增数列，C 选项正确；当1n =时，111a ，11211b ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，矛盾，D 选项错误. 故选：ABC.【点睛】思路点睛：已知数列{}n a 的前n 项和n S ，求通项公式n a 的步骤： （1）当1n =时，11a S =；（2）当2n ≥时，根据n S 可得出1n S -，化简得出1n n n a S S -=-；（3）如果1a 满足当2n ≥时1n n n a S S -=-的通项公式，那么数列{}n a 的通项公式为1n n n a S S -=-；如果1a 不满足当2n ≥时1n n n a S S -=-的通项公式，那么数列{}n a 的通项公式要分段表示为11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩.三、填空题13．若直线2x ＋y ＋4＝0经过抛物线y 2＝ax 的焦点，则实数a ＝________． 【答案】8-【分析】求出直线与x 轴的交点，由抛物线的焦点坐标即可求解.【详解】由抛物线y 2＝ax 的焦点在x 轴上，又直线2x ＋y ＋4＝0与x 轴的交点为()20-，， 所以抛物线y 2＝ax 的焦点为()20-，， 又抛物线y 2＝ax 的焦点为,04a ⎛⎫⎪⎝⎭， 所以24a=-，则8a =-. 故答案为：8-.14．7(x的展开式中x 的系数为________．【答案】560【分析】求得二项展开式的通项，结合通项求得r 的值，代入即可求解. 【详解】由题意，二项式7(x-的展开式的通项为3772177((2)r r rr r rr T C xC x --+==-⋅，令4r =，可得4457(2)560T C x x =-⋅=，即x 的系数为560. 故答案为：560.15．已知△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，b ＝2，c ＝3，A ＝2B ，则a ＝________．【分析】由A ＝2B ，得sin sin 2A B =，结合正弦二倍角公式与正余弦定理即可求解． 【详解】由A ＝2B ，得sin sin 2A B =，所以sin 2sin cos A B B = 由正弦定理得2cos a b B =，又由余弦定理得22222a c b a b ac+-=⋅，代入b ＝2，c ＝3得a 2＝10，故a =16．在四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AA 1⊥平面ABCD ，AB ∥CD ，AB ＝4，BC ＝CD ＝DA ＝AA 1＝2，以CD 中点O 为球心、OD 1为半径的球O 截侧面ABB 1A 1所得图形的面积为________． 【答案】π【分析】取AB 的中点1O ，则1OO AB ⊥，可得1OO ⊥平面11ABB A ，得到O 到侧面11ABB A 的距离为1OO =求得球O 截侧面11ABB A 所得的圆的半径为r =进而求得截面的面积.【详解】由题意，四棱柱1111ABCD A BC D -为直四棱柱，且底面ABCD 为等腰梯形，因为112,2DD AA CD ===，且O 为CD 的中点，所以1OD 取AB 的中点1O ，则1OO AB ⊥，可得1OO ⊥平面11ABB A ，又由O 到侧面11ABB A 的距离为1OO ==所以球O 截侧面11ABB A 所得的圆的半径为532r =-=，即球O 截侧面11ABB A 所得的图形是以1O 为圆心，半径为2的半圆， 所以截面的面积为21(2)2S ππ=⋅=. 故答案为：π.四、解答题17．已知△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，有下列四个条件： ①4a =；②△ABC 的面积是272222322a bc c b +=+；④2b c=或12．请选择其中三个作为条件，余下一个作为结论，写出一个“若________，则________”形式的命题（用序号填写即可），判断该命题的真假并说明理由． 【答案】答案见解析【分析】若①②③，则④：根据余弦定理以及三角形面积公式先求解出bc 、22b c +的值，再根据22b c bc+的结果进行判断；若①②④，则③：根据余弦定理以及三角形面积公式求解出bc 的值，再根据22,,a bc b c +的值进行判断；若①③④，则②：根据余弦定理求解出,sin bc A 的值，然后根据三角形面积公式求解出面积并进行判断；若②③④，则①：根据余弦定理以及三角形面积公式求解出sin ,A bc 的值，然后再利用余弦定理求解出a 的值并进行判断.【详解】解：若①②③，则④．此为真命题，理由如下：②sinbc A ⇒=③2223cos sin24b c aA Abc+-⇒==⇒==，故16bc=，222216340324b cb c+-=⇒+=，所以22405162b c b cbc c b+=+==，即2bc=或12；若①②④，则③．此为假命题，理由如下：②sinbc A⇒=④2252b c b cbc c b+⇒=+=，即2252b c bc+=，因为222516582cos224bcb c aAbc bc bc-+-===-，sin Abc=，且22sin cos1A A+=，所以225814bc⎛⎫-+=⎪⎝⎭⎝⎭，解得16bc=或1769，当16bc=时，()222580b c bc+==，223324880a bc+=+=，所以2222322a bc c b+=+成立，当1769bc=时，()22880259b c bc+==，21762728802332339a bc+=+=≠，所以2222322a bc c b+=+不成立；若①③④，则②．此为真命题，理由如下：③2223cos sin24b c aA Abc+-⇒==⇒==，④2252b c b cbc c b+⇒=+=，即2252b c bc+=，又因为222324b c abc+-=，所以5163224bcbc-=，所以16bc=，所以11sin16224ABCS bc A==⨯⨯=若②③④，则①．此为真命题，理由如下：②sinbc A⇒=③2223cos sin24b c aA Abc+-⇒==⇒==，故16bc=，④2252b c b c bc c b +⇒=+=，即225402b c bc +==，所以22232cos 4032164a b c bc A =+-=-⨯=，所以4a =. 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键在于对条件的化简以及条件的结合使用，对于公式的熟练运用有一定要求，如③可用来求解A 的余弦值和正弦值，搭配②使用亦可求解出bc 的值.18．已知向量a ＝（sin x ，cos x ），π(cos()sin ,cos )6b x x x =++，函数()f x a b =⋅．（1）求f （x ）的单调递增区间； （2）若π1cos()63α-=，求f （α）．【答案】（1）(,)36k k k Z πππ-π+∈；（2）1336. 【分析】（1）先利用二倍角公式将函数化简，然后利用正弦函数单调性求解即可；（2）利用诱导公式将函数用πcos()6α-表示，然后代入数值即可求解.【详解】解：（1）1113()sin sin )12(cos 21)1sin(2)24264f x x x x x x x π=-+=+-+=++22226236k x k k x k k πππππππππ-<+<+⇒-<<+∈Z ，，∴f （x ）的单增区间为,36k k k ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z ，； （2）21313131113()sin(2)cos(2)cos ()2642346249436f ααααπππ=++=-+=--+=+=．【点睛】易错点睛：第二问关键是得想到()f α用 πcos()6α-表示，通常思路为将π6α-乘以2，然后和26πα+找关系，一般会用到诱导公式转换.19．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，49S a =，6321a a =+． （1）求n a ； （2）设1n n b S n =+，数列{}n b 的前n 项和为n T ，试比较n T 与1n n a a +的大小，并说明理由．【答案】（1）31n a n =-；（2）1nn n a T a +<，理由见解析. 【分析】（1）将条件用1,a d 表示，然后解方程即可求出通项； （2）先求n T ，再用作差法比较大小.【详解】解：（1）4911146832S a a d a d a d =⇒+=+⇒=，631211a a d a =+⇒=+，∴12,3a d ==，∴23(1)31n a n n =+-=-； （2）由题知223131222n n S n n n +-=⋅=+，221211()331n b n n n n =⋅=-++ ∴211111212(1)(1)32231313(1)n nT n n n n =-+-++-=-=+++， 13132n n a n a n +-=+， 2132303(1)(32)n n n a n n T a n n +--+-=<++，故1nn n a T a +<． 20．2020年11月16日召开的经济形势专家和企业家座谈会全面分析了当前经济形势，并指出“注重开拓下沉市场特别是县乡市场，满足量大面广的基层需求，提升民生品质”等发展方向．某生产企业积极响应号召，决定将一批刚研发的新产品投入到县乡市场，为了解产品的销售量y （单位：件）与售价x （单位：元/件）之间的关系，现对该产品进行试销，得到售价x i 和销售量y i （i ＝1，2，…，6）的对应数据如下表所示．（1）若y 与x 之间具有线性相关关系，求y 关于x 的回归直线方程y bx a =+； （2）若该产品每件成本为5元，试依据（1）中的回归方程，确定产品售价为多少元/件时，企业可获得最大利润？（结果取整数）参考公式：1221ni ii nii x y nx yb xnx==-=-∑∑，a y bx =-．【答案】（1）ˆ4106y x =-+；（2）每件售价定为16元．【分析】（1）结合数据利用公式分别求出ˆa，ˆb 即可求出回归方程； （2）列出函数表达式后再求取得最值的条件即可. 【详解】解：（1）由题知 6.5x =，80y =，2360420498560600126 6.580ˆ41625364964816 6.5b+++++-⨯⨯==-+++++-⨯， ˆ80(4) 6.5106a=--⨯=， 故所求回归方程为ˆ4106yx =-+； （2）由题知，当每件售价定为x 元时，企业获利2(5)(4106)4126530z x x x x =--+=-+-，对称轴为x ＝15.75，故当x ＝16时，z 最大，即每件售价定为16元．21．已知函数()()211f x x a x x=+++，a ∈Z ． （1）当a ＝-1时，求函数f （x ）的单调区间；（2）若函数f （x ）在区间（0，＋∞）上无零点，求a 的最小值． 【答案】（1）f（x ）在（-∞，0）和上单减，在)+∞上单增；（2）2- . 【分析】（1）利用导函数的正负判断原函数的增减，先求函数的导函数，再求出导函数大于0和小于0的区间，即是原函数的增减区间； （2）将函数无零点的问题转化为y a =与21()1g x x x=---没有交点，求出函数()g x 的值域()g x g ≤，估计32g -<<-，且a Z ∈，从而求出a 的最小值为2-.【详解】解：（1）21()f x x x =+，3'22121()2x f x x x x-=-=，'()0f x x >⇒>， 故f（x ）在（-∞，0）和上单减，在)+∞上单增； （2）21()01f x a x x =⇔=---，令21()1g x x x =---（x ＞0），则3'3322()1x g x x x-=-+=，'()00g x x >⇒<<，故g （x）在上单增，在)+∞上单减，x →0时g （x ）→-∞，11g =-=， x →＋∞时g （x ）→-∞，故f （x）无零点只需a g >，又3464()2327=>，故413<<，∴322<<，∴32g -<<-， ∴整数a 的最小值为-2．【点睛】理解原函数和导函数之间的关系，会将零点问题转化为函数图像交点个数问题，特别注意a Z ∈ .22．已知椭圆C ：22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的四个顶点所围成的菱形边长为2，面积为（1）求椭圆C 的方程；（2）过椭圆C 的下顶点作两条斜率之和为2的直线l 1，l 2，直线l 1，l 2与椭圆C 的另一交点分别为M ，N ，求点A （-1，0）到直线MN 的距离的最大值．【答案】（1）2213x y +=；（2【分析】（1）利用菱形的边长、面积与a ，b 的关系列出a 和b 的方程，求解即可得到答案；（2）当直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为()1y kx m m =+≠±，联立直线与椭圆的方程，得到韦达定理结合两条斜率之和为2，求出k 与m 的关系，从而得到直线恒过定点()1,1，再求解直线MN 的斜率不存在时也过该定点，从而分析点A 到直线MN 距离的最大值即可．【详解】（1）由题知2242a b ab ⎧+=⎪⎨=⎪⎩解得a =b ＝1，所以椭圆C 的方程为2213x y +=；（2）椭圆C 的下顶点为（0，-1），由题知M ，N 均不是椭圆的上下顶点，当直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为y ＝kx ＋m （m ≠±1），点M （x 1，y 1），N（x 2，y 2），由()2222231633013y kx m k x kmx m x y =+⎧⎪⇒+++-=⎨+=⎪⎩， Δ＝12（3k 2-m 2＋1）＞0，且122631km x x k +=-+，21223331m x x k -=+，①由题知1212112y y x x +++=，即1212112kx m kx m x x +++++=，即12122(1)2x x k m x x +++=， 将①式代入得262(1)233km k m m -++=-，整理得11k m -=-，即k ＋m ＝1， 所以直线MN 过点（1，1）当直线MN 的斜率不存在时，设M （x 0，y 0），N （x 0，-y 0）， 则0000112y y x x +-++=即x 0＝1， 综上，直线MN 恒过定点P （1，1）．当AP ⊥MN 时，点A 到直线MN的距离最远，即为||AP = 此时2k =-，m ＝3，Δ＝12（12-9＋1）＞0，这样的直线MN 存在， 故点A 到直线MN【点睛】关键点点睛：设直线MN 的方程为y kx m =+，得出直线过定点()1,1P ，从而当AP ⊥MN 时，点A 到直线MN 的距离最远是解题的关键.。
重庆市渝中区巴蜀中学2021届高三数学“一诊”模拟测试题 文(含解析)
【解析】
【分析】
利用复数乘法、除法运算化简 ，由此求得 的共轭复数 ，进而求得 的虚部.
【详解】依题意 ，故 ，其虚部为1.
故选B.
【点睛】本小题主要考查复数乘法、除法的运算，考查共轭复数的概念，考查复数虚部，属于基础题.
2.已知集合 ，集合 ，则 （）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
解分式不等式求得集合 ，求函数定义求得集合 ，由此求得两个集合的交集.
【详解】由 解得 ，由 解得 ，故 ，
故选C.
【点睛】本小题主要考查交集的概念和运算，考查分式不等式的解法，考查对数函数(duì shù hán shù)的定义域，属于基础题.
3.已知等差数列(děnɡ chā shù liè){an}满足(mǎnzú)4a3＝3a2，则{an}中一定(yīdìng)为零的项是（）
A.a6B.a7C.a8D.a9
【答案(dá àn)】A
【解析】
【分析】
利用等差数列的通项公式即可得到结果.
【详解】由4a3＝3a2得，4(a1+2d)=3(a1+d)，解得：a1+5d=0，所以，a6=a1+5d=0.
故选：A.
【点睛】本题考查等差数列的通项公式，考查计算能力，属基础题.
4.新高考方案规定，普通高中学业水平考试分为合格性考试（合格考）和选择性考试（选择考）.其中“选择考”成绩将计入高考总成绩，即“选择考”成绩根据学生考试时的原始卷面分数，由高到低进行排序，评定为 、 、 、 、 五个等级.某试点高中2021年参加“选择考”总人数是202X年参加“选择考”总人数的2倍，为了更好地分析该校学生“选择考”的水平情况，统计了该校202X年和2021年“选择考”成绩等级结果，得到如下图表：
重庆市渝中区2021届新高考数学第一次押题试卷含解析
重庆市渝中区2021届新高考数学第一次押题试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数()12x f x e -=，()ln 12xg x =+，若()()f m g n =成立，则n m -的最小值为（ ）A ．0B ．4C ．132e -D ．5+ln 62【答案】A 【解析】 【分析】令()()f m g n t ==，进而求得122ln 2t n m e t --=--，再转化为函数的最值问题即可求解. 【详解】∵()()f m g n t ==∴12ln12m ne t -=+=（0t >），∴122ln 2t n m e t --=--， 令：()122ln 2t h t et -=--，()122t h t e t-'=-，()h t '在()0,∞+上增，且()10h '=，所以()h t 在()0,1上减，在()1,+∞上增，所以()()min 1220h t h ==-=，所以n m -的最小值为0.故选：A 【点睛】本题主要考查了导数在研究函数最值中的应用，考查了转化的数学思想，恰当的用一个未知数来表示n 和m 是本题的关键，属于中档题.2．二项式52x ⎫-⎪⎭的展开式中，常数项为（ ）A ．80-B ．80C ．160-D ．160【答案】A 【解析】 【分析】求出二项式52x ⎫-⎪⎭的展开式的通式，再令x 的次数为零，可得结果.【详解】解：二项式52x ⎫-⎪⎭展开式的通式为()()55225215512rrr rrr rrr T C x C x---+-+=-=-，令5202rr --+=，解得1r =， 则常数项为()11451280C -=-.故选：A. 【点睛】本题考查二项式定理指定项的求解，关键是熟练应用二项展开式的通式，是基础题. 3．已知集合{}1,3,5,7A =，{}2,3,4,5B =，则A B =A ．{}3B ．{}5C ．{}3,5D ．{}1,2,3,4,5,7【答案】C 【解析】分析：根据集合{}{}1,3,5,7,2,3,4,5A B ==可直接求解{3,5}AB =.详解：{}{}1,3,5,7,2,3,4,5A B ==,{}3,5A B ∴⋂=,故选C点睛：集合题也是每年高考的必考内容，一般以客观题形式出现，一般解决此类问题时要先将参与运算的集合化为最简形式，如果是“离散型”集合可采用Venn 图法解决，若是“连续型”集合则可借助不等式进行运算.4．如图，四面体ABCD 中，面ABD 和面BCD 都是等腰直角三角形，2AB =，2BAD CBD π∠=∠=，且二面角A BD C --的大小为23π，若四面体ABCD 的顶点都在球O 上，则球O 的表面积为（ ）A ．223πB ．283πC ．2π D ．23π 【答案】B 【解析】 【分析】分别取BD 、CD 的中点M 、N ，连接AM 、MN 、AN ，利用二面角的定义转化二面角A BD C --的平面角为23AMN π∠=，然后分别过点M 作平面ABD 的垂线与过点N 作平面BCD 的垂线交于点O ，在Rt OMN ∆中计算出OM ，再利用勾股定理计算出OA ，即可得出球O 的半径，最后利用球体的表面积公式可得出答案． 【详解】如下图所示，分别取BD 、CD 的中点M 、N ，连接AM 、MN 、AN ，由于ABD ∆是以BAD ∠为直角等腰直角三角形，M 为BD 的中点，AM BD ∴⊥，2CBD π∠=，且M 、N 分别为BD 、CD 的中点，所以，//MN BC ，所以，MN BD ⊥，所以二面角A BD C --的平面角为23AMN π∠=， 2AB AD ==，则222BD AB AD =+=，且2BC =，所以，112AM BD ==，112MN BC ==， ABD ∆是以BAD ∠为直角的等腰直角三角形，所以，ABD ∆的外心为点M ，同理可知，BCD ∆的外心为点N ，分别过点M 作平面ABD 的垂线与过点N 作平面BCD 的垂线交于点O ，则点O 在平面AMN 内，如下图所示，由图形可知，2326OMN AMN AMO πππ∠=∠-∠=-=， 在Rt OMN ∆中，3cos 2MN OMN OM =∠=，233OM ∴==所以，2221OA OM AM =+=， 所以，球O 的半径为213R =，因此，球O 的表面积为222128443R πππ=⨯=⎝⎭. 故选：B. 【点睛】本题考查球体的表面积，考查二面角的定义，解决本题的关键在于找出球心的位置，同时考查了计算能力，属于中等题．5．已知函数()f x 的定义域为()0,∞+，且()()2224m f m f f n n ⎛⎫⎪⎝⎭⋅=，当01x <<时，()0f x <.若()42f =，则函数()f x 在[]1,16上的最大值为（ ） A ．4 B ．6C ．3D ．8【答案】A 【解析】 【分析】根据所给函数解析式满足的等量关系及指数幂运算，可得()()m f f n f m n ⎛⎫+=⎪⎝⎭；利用定义可证明函数()f x 的单调性，由赋值法即可求得函数()f x 在[]1,16上的最大值.【详解】函数()f x 的定义域为()0,∞+，且()()2224m f m f f n n ⎛⎫⎪⎝⎭⋅=，则()()m f f n f m n ⎛⎫+=⎪⎝⎭； 任取()12,0,x x ∈+∞，且12x x <，则1201x x <<， 故120x f x ⎛⎫<⎪⎝⎭， 令1mx ，2n x =，则()()1212x f f x f x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即()()11220x f x f x f x ⎛⎫-=<⎪⎝⎭， 故函数()f x 在()0,∞+上单调递增， 故()()max 16f x f =， 令16m =，4n =，故()()()44164f f f +==， 故函数()f x 在[]1,16上的最大值为4. 故选：A. 【点睛】本题考查了指数幂的运算及化简，利用定义证明抽象函数的单调性，赋值法在抽象函数求值中的应用，属于中档题.6．已知函数()()()2cos 0,0f x x ωϕωϕπ=+><≤的图象如图所示，则下列说法错误的是（ ）A ．函数()f x 在1711,1212ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减 B ．函数()f x 在3,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增C ．函数()f x 的对称中心是(),026k k Z ππ⎛⎫-∈⎪⎝⎭D ．函数()f x 的对称轴是()5212k x k Z ππ=-∈ 【答案】B 【解析】 【分析】根据图象求得函数()y f x =的解析式，结合余弦函数的单调性与对称性逐项判断即可. 【详解】由图象可得，函数的周期5263T πππ⎛⎫=⨯-=⎪⎝⎭，所以22T πω==. 将点,03π⎛⎫⎪⎝⎭代入()()2cos 2f x x ϕ=+中，得()2232k k Z ππϕπ⨯+=-∈，解得()726k k Z πϕπ=-∈，由0ϕπ<≤，可得56πϕ=，所以()52cos 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭. 令()52226k x k k Z ππππ≤+≤+∈，得()51212k x k k πππ-≤≤π+∈Z ， 故函数()y f x =在()5,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦上单调递减，当1k =-时，函数()y f x =在1711,1212ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减，故A 正确；令()52226k x k k Z ππππ-≤+≤∈，得()1151212k x k k Z ππππ-≤≤-∈， 故函数()y f x =在()115,1212k k k Z ππππ⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦上单调递增. 当2k =时，函数()y f x =在1319,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，故B 错误； 令()5262x k k Z πππ+=+∈，得()26k x k Z ππ=-∈，故函数()y f x =的对称中心是,026k ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭()k Z ∈，故C 正确； 令526x k ππ+=()k Z ∈，得5212k x ππ=-()k Z ∈，故函数()y f x =的对称轴是5212k x ππ=-()k Z ∈，故D 正确. 故选：B. 【点睛】本题考查由图象求余弦型函数的解析式，同时也考查了余弦型函数的单调性与对称性的判断，考查推理能力与计算能力，属于中等题.7．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．24π+B ．24π-C ．242π-D ．243π-【答案】B【解析】 【分析】由题意首先确定几何体的空间结构特征，然后结合空间结构特征即可求得其表面积. 【详解】由三视图可知，该几何体为边长为2正方体ABCD A B C D ''''-挖去一个以B 为球心以2为半径球体的18， 如图，故其表面积为2124342248πππ-+⨯⨯⨯=-， 故选：B.【点睛】(1)以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系．(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积应注意重合部分的处理．(3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．8．已知复数(1)(3)(z i i i =+-为虚数单位） ，则z 的虚部为（ ） A ．2 B ．2iC ．4D ．4i【答案】A 【解析】 【分析】对复数z 进行乘法运算，并计算得到42z i =+，从而得到虚部为2. 【详解】因为(1)(3)42z i i i =+-=+，所以z 的虚部为2. 【点睛】本题考查复数的四则运算及虚部的概念，计算过程要注意21i =-.9．在ABC ∆中，内角A 的平分线交BC 边于点D ，4AB =，8AC =，2BD =，则ABD ∆的面积是（ ）A ．B ．C ．3D ．【答案】B 【解析】 【分析】利用正弦定理求出CD ，可得出BC ，然后利用余弦定理求出cos B ，进而求出sin B ，然后利用三角形的面积公式可计算出ABD ∆的面积. 【详解】AD 为BAC ∠的角平分线，则BAD CAD ∠=∠.ADB ADC π∠+∠=，则ADC ADB π∠=-∠，()sin sin sin ADC ADB ADB π∴∠=-∠=∠，在ABD ∆中，由正弦定理得sin sin AB BDADB BAD =∠∠，即42sin sin ADB BAD =∠∠，①在ACD ∆中，由正弦定理得sin sin AC CD ADC ADC =∠∠，即8sin sin CDADC CAD=∠∠，②①÷②得212CD =，解得4CD =，6BC BD CD ∴=+=，由余弦定理得2221cos 24AB BC AC B AB BC +-==-⋅，sin 4B ∴==因此，ABD ∆的面积为1sin 2ABD S AB BD B ∆=⋅=故选：B. 【点睛】本题考查三角形面积的计算，涉及正弦定理和余弦定理以及三角形面积公式的应用，考查计算能力，属于中等题.10．已知点P 在椭圆τ：2222x y a b+=1(a>b>0)上，点P 在第一象限，点P 关于原点O 的对称点为A ，点P关于x 轴的对称点为Q ，设34PD PQ =，直线AD 与椭圆τ的另一个交点为B ，若PA ⊥PB ，则椭圆τ的离心率e=（ ）A ．12B ．2C D 【答案】C 【解析】 【分析】设()11,P x y ，则()11,A x y --，()11,Q x y -，11,2y D x ⎛⎫-⎪⎝⎭，设()22,B x y ，根据PA PB ⊥化简得到2234a c =，得到答案.【详解】设()11,P x y ，则()11,A x y --，()11,Q x y -，34PD PQ =，则11,2y D x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，设()22,B x y ，则22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得到：()()()()1212121222x x x x y y y y a b +-+-=-，2121221212PBy y x x b k x x a y y -+==-⋅-+，AD AB k k =，即1121124y y y x x x +=+，()1211124PA y y y k x x x +==+， PA PB ⊥，故1PA PBk k ⋅=-，即2241b a -=-，故2234a c =，故e =故选：C . 【点睛】本题考查了椭圆的离心率，意在考查学生的计算能力和转化能力.11．设正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若23S =，3412a a +=，则公比q =（ ） A ．4± B ．4C ．2±D ．2【答案】D 【解析】 【分析】由23S =得123a a +=，又23412()12a a a a q +=+=，两式相除即可解出q ．【详解】解：由23S =得123a a +=，又23412()12a a a a q +=+=，∴24q =，∴2q =-，或2q，又正项等比数列{}n a 得0q >， ∴2q，故选：D ． 【点睛】本题主要考查等比数列的性质的应用，属于基础题．12．已知函数()sin f x a x x =的图像的一条对称轴为直线56x π=，且12()()4f x f x ⋅=-，则12x x +的最小值为( )A ．3π-B ．0C ．3π D ．23π 【答案】D 【解析】 【分析】运用辅助角公式，化简函数()f x 的解析式，由对称轴的方程，求得a 的值，得出函数()f x 的解析式，集合正弦函数的最值，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，函数()sin )(f x a x x x θθ==+为辅助角)， 由于函数的对称轴的方程为56x π=，且53()622a f π=+，即322a +=1a =，所以()2sin()3f x x π=-， 又由12()()4f x f x ⋅=-，所以函数必须取得最大值和最小值，所以可设11152,6x k k Z ππ=+∈，2222,6x k k Z ππ=-∈， 所以1212222,3x x k k k Z πππ+=++∈， 当120k k ==时，12x x +的最小值23π，故选D.【点睛】本题主要考查了正弦函数的图象与性质，其中解答中利用三角恒等变换的公式，化简函数的解析式，合理利用正弦函数的对称性与最值是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
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重庆市渝中区2021届新高考第一次模拟数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有一点(3,4)P -，则sin 2α=（ ）． A ．1225-B ．2425-C ．165D ．85【答案】B 【解析】 【分析】根据角终边上的点坐标，求得sin ,cos αα，代入二倍角公式即可求得sin 2α的值. 【详解】因为终边上有一点(3,4)P -，所以43sin ,cos 55αα==-， 4324sin 22sin cos 25525ααα⎛⎫∴==⨯⨯-=- ⎪⎝⎭故选：B 【点睛】此题考查二倍角公式，熟练记忆公式即可解决，属于简单题目. 2．已知向量0,2a ，()23,b x =，且a 与b 的夹角为3π，则x=（ ）A ．-2B ．2C ．1D ．-1【答案】B 【解析】 【分析】 由题意cos 3a b a bπ⋅=，代入解方程即可得解.【详解】 由题意21cos322a b a bx π⋅===，所以0x >，且2x =2x =.故选：B. 【点睛】本题考查了利用向量的数量积求向量的夹角，属于基础题.3．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足：(2)()f x e f x +=-（其中 2.71828e =），且在区间[,2]e e 上是减函数，令ln 22a =，ln33b =，ln 55c =，则()f a ，()f b ，()f c 的大小关系（用不等号连接）为（ ）A ．()()()f b f a f c >>B ．()()()f b f c f a >>C ．()()()f a f b f c >>D ．()()()f a f c f b >>【答案】A 【解析】因为()()2f x e f x +=-，所以()()f x e f x +=４，即周期为４，因为()f x 为奇函数，所以可作一个周期[-2e,2e]示意图，如图()f x 在（０，１）单调递增，因为1111253253225252,232301c a b <∴<<∴<∴<<<<，因此()()()f b f a f c >>，选Ａ．点睛：函数对称性代数表示（1）函数()f x 为奇函数()()f x f x ⇔=-- ，函数()f x 为偶函数()()f x f x ⇔=-（定义域关于原点对称）；（2）函数()f x 关于点(,)a b 对称()(2)2f x f x a b ⇔+-+=，函数()f x 关于直线x m =对称()(2)f x f x m ⇔=-+，（3）函数周期为T,则()()f x f x T =+4．若集合{}A=|2x x x R ≤∈，，{}2B=|y y x x R =-∈，，则A B ⋂=（ ） A ．{}|02x x ≤≤ B ．{}2|x x ≤ C ．{}2|0x x -≤≤ D ．∅【答案】C 【解析】试题分析：化简集合故选C ．考点：集合的运算．5．设()'f x 函数()()0f x x >的导函数，且满足()()2'f x f x x>，若在ABC ∆中，34A π∠=，则（ ）A ．()()22sin sin sin sin f A B f B A <B ．()()22sinC sin sin sin f B f B C<C ．()()22cos sin sin cos f A B f B A>D ．()()22cosC sin sin cos f B f B C >【答案】D 【解析】 【分析】 根据()()2'f x f x x >的结构形式，设()()2f x g x x =，求导()()()32xf x f x g x x'-'=，则()0g x '>，()g x 在()0,∞+上是增函数，再根据在ABC ∆中，34A π∠=，得到04π<∠<B ，04π<∠<C ，利用余弦函数的单调性，得到cos sin ∠>∠C B ，再利用()g x 的单调性求解. 【详解】 设()()2f xg x x =， 所以 ()()()32xf x f x g xx'-'=，因为当0x >时，()()2'f x f x x>， 即()()20xf x f x x'->，所以()0g x '>，()g x 在()0,∞+上是增函数， 在ABC ∆中，因为34A π∠=，所以04π<∠<B ，04π<∠<C ， 因为cos sin 4π⎛⎫∠=+∠⎪⎝⎭C B ，且042ππ<∠<+∠<B B ，所以sin sin 4π⎛⎫∠<+∠⎪⎝⎭B B ， 即cos sin ∠>∠C B ， 所以()()22cos sin s sin f C f B co CB>，即()()22cosC sin sin cos f B f B C > 故选：D 【点睛】本题主要考查导数与函数的单调性，还考查了运算求解的能力，属于中档题.6．在直角梯形ABCD 中，0AB AD ⋅=，30B ∠=︒，AB =2BC =，点E 为BC 上一点，且AE xAB y AD =+，当xy 的值最大时，||AE =( )A B ．2C D ．【答案】B 【解析】 【分析】由题，可求出1,AD CD ==2AB DC =，根据共线定理，设(01)BE BC λλ=，利用向量三角形法则求出12AE AB AD λλ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，结合题给AE xAB y AD =+，得出1,2x y λλ=-=，进而得出12xy λλ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，最后利用二次函数求出xy 的最大值，即可求出||AE =.【详解】由题意，直角梯形ABCD 中，0AB AD ⋅=，30B ∠=︒，AB =2BC =，可求得1,AD CD ==2AB DC =·∵点E 在线段BC 上， 设(01)BE BC λλ= ， 则()AE AB BE AB BC AB BA AD DC λλ=+=+=+++(1)12AB AD DC AB AD λλλλλ⎛⎫=-++=-+ ⎪⎝⎭，即12AE AB AD λλ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，又因为AE xAB y AD =+ 所以1,2x y λλ=-=，所以2211111(1)1(1)22222xy λλλλ⎛⎫⎡⎤=-=---=--+ ⎪⎣⎦⎝⎭， 当1λ=时，等号成立. 所以1||||22AE AB AD =+=. 故选：B. 【点睛】本题考查平面向量线性运算中的加法运算、向量共线定理，以及运用二次函数求最值，考查转化思想和解题能力.7．已知下列命题：①“2,56x R x x ∀∈+>”的否定是“2,56x R x x ∃∈+≤”；②已知,p q 为两个命题，若“p q ∨”为假命题，则“()()p q ⌝∧⌝”为真命题； ③“2019a >”是“2020a >”的充分不必要条件； ④“若0xy =，则0x =且0y =”的逆否命题为真命题. 其中真命题的序号为（ ） A ．③④ B ．①② C ．①③ D ．②④【答案】B 【解析】 【分析】由命题的否定，复合命题的真假，充分必要条件，四种命题的关系对每个命题进行判断． 【详解】“2,56x R x x ∀∈+>”的否定是“2,56x R x x ∃∈+≤”，正确；已知为两个命题，若“p q ∨”为假命题，则“()()p q ⌝∧⌝”为真命题，正确； “2019a >”是“2020a >”的必要不充分条件,错误；“若0xy =，则0x =且0y =”是假命题，则它的逆否命题为假命题，错误. 故选：B ． 【点睛】本题考查命题真假判断，掌握四种命题的关系，复合命题的真假判断，充分必要条件等概念是解题基础． 8．从5名学生中选出4名分别参加数学，物理，化学，生物四科竞赛，其中甲不能参加生物竞赛，则不同的参赛方案种数为 A ．48 B ．72 C ．90 D ．96【答案】D 【解析】因甲不参加生物竞赛，则安排甲参加另外3场比赛或甲学生不参加任何比赛①当甲参加另外3场比赛时，共有13C •34A =72种选择方案；②当甲学生不参加任何比赛时，共有44A =24种选择方案．综上所述，所有参赛方案有72+24=96种 故答案为：96点睛：本题以选择学生参加比赛为载体，考查了分类计数原理、排列数与组合数公式等知识，属于基础题． 9．泰山有“五岳之首”“天下第一山”之称，登泰山的路线有四条：红门盘道徒步线路，桃花峪登山线路，天外村汽车登山线路，天烛峰登山线路.甲、乙、丙三人在聊起自己登泰山的线路时，发现三人走的线路均不同，且均没有走天外村汽车登山线路，三人向其他旅友进行如下陈述： 甲：我走红门盘道徒步线路，乙走桃花峪登山线路； 乙：甲走桃花峪登山线路，丙走红门盘道徒步线路； 丙：甲走天烛峰登山线路，乙走红门盘道徒步线路；事实上，甲、乙、丙三人的陈述都只对一半，根据以上信息，可判断下面说法正确的是（ ） A ．甲走桃花峪登山线路 B ．乙走红门盘道徒步线路 C ．丙走桃花峪登山线路 D ．甲走天烛峰登山线路【答案】D 【解析】 【分析】甲乙丙三人陈述中都提到了甲的路线,由题意知这三句中一定有一个是正确另外两个错误的,再分情况讨论即可. 【详解】若甲走的红门盘道徒步线路,则乙,丙描述中的甲的去向均错误,又三人的陈述都只对一半,则乙丙的另外两句话“丙走红门盘道徒步线路”,“乙走红门盘道徒步线路”正确,与“三人走的线路均不同”矛盾.故甲的另一句“乙走桃花峪登山线路”正确,故丙的“乙走红门盘道徒步线路”错误,“甲走天烛峰登山线路”正确.乙的话中“甲走桃花峪登山线路”错误,“丙走红门盘道徒步线路”正确. 综上所述,甲走天烛峰登山线路,乙走桃花峪登山线路, 丙走红门盘道徒步线路 故选：D 【点睛】本题主要考查了判断与推理的问题,重点是找到三人中都提到的内容进行分类讨论,属于基础题型.10．已知12,F F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点，过1F 的直线与双曲线的两支分别交于,A B 两点（A 在右支，B 在左支）若2ABF ∆为等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）A B ．CD【答案】D 【解析】 【分析】根据双曲线的定义可得2ABF ∆的边长为4a ，然后在12AF F ∆中应用余弦定理得,a c 的等式，从而求得离心率． 【详解】由题意122AF AF a -=，212BFBF a -=，又22AF BF AB ==，∴114AF BF AB a -==，∴12BF a =， 在12AF F ∆中2221212122cos60F F AF AF AF AF =+-︒，即22214(6)(4)2642c a a a a =+-⨯⨯⨯228a =，∴． 故选：D ． 【点睛】本题考查求双曲线的离心率，解题关键是应用双曲线的定义把A 到两焦点距离用a 表示，然后用余弦定理建立关系式．11．在ABC 中，已知9AB AC ⋅=，sin cos sin B A C =，6ABCS=，P 为线段AB 上的一点，且CA CB CP x y CACB=⋅+⋅，则11x y+的最小值为（ ） A ．712+B ．12C ．43D ．512+【答案】A 【解析】 【分析】在ABC 中，设AB c =，BC a =，AC b =，结合三角形的内角和及和角的正弦公式化简可求cos 0C =，可得2C π=，再由已知条件求得4a =，3b =，5c =，考虑建立以AC 所在的直线为x 轴，以BC 所在的直线为y 轴建立直角坐标系，根据已知条件结合向量的坐标运算求得4312x y +=，然后利用基本不等式可求得11x y+的最小值.【详解】在ABC 中，设AB c =，BC a =，AC b =，sin cos sin B A C =，即()sin cos sin A C A C +=，即sin cos cos sin cos sin A C A C A C +=，sin cos 0A C ∴=，0A π<<，sin 0A ∴>，cos 0C ∴=，0C π<<，2C π∴=，9AB AC ⋅=，即cos 9cb A =，又1sin 62ABCSbc A ==，sin 4tan cos 3bc A a A bc A b∴===， 162ABCSab ==，则12ab =，所以，4312a b ab ⎧=⎪⎨⎪=⎩，解得43a b =⎧⎨=⎩，5c ∴==. 以AC 所在的直线为x 轴，以BC 所在的直线为y 轴建立如下图所示的平面直角坐标系，则()0,0C 、()3,0A 、()0,4B ，P 为线段AB 上的一点，则存在实数λ使得()()()3,43,401AP AB λλλλλ==-=-≤≤，()33,4CP CA CB λλ∴=+=-，设1CA e CA=，1C e B CB=，则121e e ==，()11,0e ∴=，()20,1e =，()12,CA CBCP x y xe ye x y CACB =⋅+⋅=+=，334x y λλ=-⎧∴⎨=⎩，消去λ得4312x y +=，134x y ∴+=， 所以，1177372343412341231211x y x y x y x x y y x y y x ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥⋅=+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当32x y =时，等号成立， 因此，11x y +的最小值为37312+. 故选：A. 【点睛】本题是一道构思非常巧妙的试题，综合考查了三角形的内角和定理、两角和的正弦公式及基本不等式求解最值问题，解题的关键是理解CA CA是一个单位向量，从而可用x 、y 表示CP ，建立x 、y 与参数的关系，解决本题的第二个关键点在于由33x λ=-，4y λ=发现4312x y +=为定值，从而考虑利用基本不等式求解最小值，考查计算能力，属于难题. 12．将函数()sin(2)3f x x π=-()x R ∈的图象分别向右平移3π个单位长度与向左平移n (n >0)个单位长度，若所得到的两个图象重合，则n 的最小值为( ) A ．3π B ．23π C ．2π D ．π【答案】B 【解析】 【分析】首先根据函数()f x 的图象分别向左与向右平移m,n 个单位长度后，所得的两个图像重合，那么m n k T +=⋅，利用()f x 的最小正周期为π，从而求得结果. 【详解】()f x 的最小正周期为π，那么3n k ππ+=(k ∈Z )，于是3n k ππ=-，于是当1k =时，n 最小值为23π， 故选B. 【点睛】该题考查的是有关三角函数的周期与函数图象平移之间的关系，属于简单题目. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。