人教B版选修22高中数学211《合情推理》同步练习2

推理与证明知识回顾
对于数学的学习，应具备“能力”，其中本章的“推理与证明”就是一种重要的“逻辑思维”能力。

通过本章的复习，培养推理、论证能力，以增强对问题的敏锐的观察，深刻的理解、领悟能力。

一、推理部分
1.知识结构框图：
2.合情推理：＿＿＿＿与＿＿＿＿统称为合情推理。

①归纳推理:＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.
②类比推理:＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.
定义特点：归纳推理是由特殊到一般、由具体到抽象的推理;而类比推理是由特殊到特殊的推理；两者都能由已知推测、猜想未知,从而推出结论。

但是结论的可靠性有待证明.
③推理过程：
从具体问题出发→＿＿＿＿＿＿→归纳类比→＿＿＿＿＿＿.
3.演绎推理:＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。

①定义特点:演绎推理是由一般到特殊的推理;
②学习要点:演绎推理是数学中证明的基本推理形式；
推理模式:“三段论”：
ⅰ大前提:＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿;
ⅱ小前提:＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；
ⅲ结论:＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.
集合简述：
ⅰ大前提:x M
∈且x具有性质P；
ⅱ小前提：y S
⊆;
∈且S M
ⅲ结论:y也具有性质P;
４。

合情推理与演绎推理的关系：
①合情推理中的归纳推理是由特殊到一般的推理，演绎推理是由一般到特殊的推理；
②它们又是相辅相成的，前者是后者的前提,后者论证前者的可靠性；
二、证明部分
１。

知识结构框图
２.综合法与分析法
①综合法：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.
②分析法：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。

学习要点：在解决问题时,经常把综合法与分析法合起来使用；使用分析法寻找成立的条件,再用综合法写出证明过程。

③反证法:＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.
学习要点:反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾,这个矛盾可以是与＿＿＿＿＿＿，＿＿＿＿＿＿或＿＿＿＿＿＿等矛盾。

3。

数学归纳法
一般地,证明一个与正整数ｎ有关的命题的步骤如下:
(1）(归纳奠基）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；
(2）(归纳递推)＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.其证明的方法叫做数学归纳法. 学习要点：理解第一步是推理的基础，第二步是推理的依据，两者缺一不可.特别地，在证明第二步1n k =+时命题成立，一定要用上归纳假设n k =时命题成立;另外在证明第二步时首先要有明确的目标式，即确定证题方向；数学归纳法常和合情推理综合应用，特别常以归纳推理为前提.
三、考查要求
“合情推理”是一种重要的归纳、猜想的推理，它是发现问题和继续推理的基础。

逻辑思维能力主要体现为对演绎推理的考查.试卷中考查演绎推理的试题的比例比较大,命题时既考虑使用选择题、填空题的形式进行考查,又考虑如何使用解答题(以证明题的形式)突出进行考查,立体几何是考查演绎推理的最好素材。

数学归纳法很少单独考查，由于数列是和自然数有关的，因此，经常和数列一起考查，常与归纳猜想相结合进行综合考查.
推理与证明复习指导
对于数学的学习，应具备“能力"，其中本章的“推理与证明”就是一种重要的
“逻辑思维”能力形式。

通过本章的复习，要有着扎实的推理、论证能力，以增强对问题的敏锐的观察,深刻的理解、领悟能力.
一。

推理部分
1。

知识结构：
推理
归纳
和情推理
类比
2。

和情推理:归纳推理与类比推理统称为和情推理.
①归纳推理:由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象
都具有这些特征的推理，或有个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理。

②类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征,
推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理.
③定义特点；归纳推理是由特殊到一般、由部分到整体的推理;而类比推理是
由特殊到特殊的推理;都能由已知推测、猜想未知,从而推理结论。

但是结论的可靠性有待证明.
例如：已知2()53f n n n =-+-,可以(1)10f =>，(2)30,f => (3)30,(4)10f f =>=>,于是推出:对入任何n N *∈，都有()0f n >；而
这个结论是错误的,显然有当5n =时，(5)30f =-<。

因此，归纳法得到的结论有待证明.
例如:“在平面内与同一条直线垂直的两条直线平行”;
类比线与线得到：“在空间与同一条直线垂直的两条直线平行“;显然此结论
演绎推理
是错误的”.
类比线与面得到:在空间与同一个平面垂直的两个平面平行;显然此结论是
错误的.
④推理过程： 从具体问题出发 观察、分析、比较、联想 归纳、类比 猜想。

3.演绎推理：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论,这种推理称为
演绎推理（逻辑推理）。

①定义特点：演绎推理是由一般到特殊的推理；
②数学应用:演绎推理是数学中证明的基本推理形式;
推理模式：“三段论”:
ⅰ大前提：已知的一般原理(M 是P ）；
ⅱ小前提:所研究的特殊情况（S 是M )；
ⅲ结论:由一般原理对特殊情况作出判断（S 是P );
集合简述：
ⅰ大前提:x ∈M 且x 具有性质P ;
ⅱ小前提：y ∈S 且S ⊆M ;
ⅲ结论： y 也具有性质P ;
例题1.若定义在区间D 上的函数()f x 对于D 上的n 个值12,,
n x x x ,总满足[]12121()()()()n n x x x f x f x f x f n n ++
++++≤，称函数()f x 为D 上
的凸函数;现已知()sin f x x =在(0,)π上是凸函数,则ABC
∆中,sin sin sin A B C ++的最大值是 .
解答:由[]12121()()()()n n x x x f x f x f x f n n ++
++++≤(大前提)
因为()sin f x x =在(0,)π上是凸函数 (小前提）
得()()()3()3
A B C f A f B f C f ++++≤ (结论） 即33sin sin sin 3sin 3A B C π
++≤= 因此，sin sin sin A B C ++的最大值是
332 注：此题是一典型的演绎推理“三段论”题型
４.和情推理与演绎推理的关系：
①和情推理是由特殊到一般的推理,演绎推理是由一般到特殊的推理；
②它们又是相辅相成的,前者是后者的前提，后者论证前者的可靠性;
例２。

设()2x x a a f x -+=，()2
x x
a a g x --=(其中0a >且1a ≠） (1)５＝２＋３请你推测(5)g 能否用(2),(3),(2),(3)f f g g 来表示;
(2)如果（1)中获得了一个结论,请你推测能否将其推广、
解答:（1)由(3)(2)(3)(2)f g g f + ＝332a a -+222a a --＋332a a --222
a a -+＝55
2a a -- 又(5)g ＝55
2
a a -- 因此，(5)g ＝(3)(2)(3)(2)f g g f +
(2）由(5)g ＝(3)(2)(3)(2)f g g f +
即(23)g +＝(3)(2)(3)(2)f g g f +
于是推测()g x y +＝()()()()f x g y g x f y +
证明:因为:()2x x a a f x -+=，()2
x x
a a g x --=（大前提） 所以()g x y +＝2
x y x y
a a ++-， ()g y ＝2y y a a --，()f y ＝2
y y
a a -+，（小前提及结论） 所以()()()()f x g y g x f y + ＝2x x a a -+2y y a a --＋2x x a a --2
y y
a a -+ ＝2
x y x y
a a ++-＝()g x y + 解题评注：此题是一典型的由特殊到一般的推理,构造(23)g +＝
(3)(2)(3)(2)f g g f +是此题的一大难点，要经过观察、分析、比较、联想而
得到；从而归纳推出一般结论()g x y +＝()()()()f x g y g x f y +.
二.证明部分１。

知识结构
２.分析法
①综合法；利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等出发，经过一系列推理论证，推导出所要证明的结论成立.
②分析法：从要证明的结论出发逐步寻求使它成立的充分条件，直至把要证明的结论归结为判别一个明显成立的条件为止。

③综合应用：在解决问题时,经常把综合法与分析法和起来使用;使用分析法寻找成立的条件,再用综合法写出证明过程.
例３。

已知：0
a b
>>,求证：
22
()()
828
a b a b a b
a b
-+-
<<
证明：因为0
a b
>>
所以
22
()()
828
a b a b a b
a b
-+-
<-<
⇔
22
2
()()
44
a b a b
a b
--
<<
⇔|<<
⇔2
<<
⇔121
<
⇔1
<<
又由已知0
a b
>>，因此1<成立。

由于以上分析步步等价，因此步步可逆。

故结论成立。

解题评注:（1)以上解答采用恒等变形,其实质从上往下属于分析法，反之属于综合法。

（2)这里表示了1b a a b <<,(0a b >>)是结论成立的充要条件，当然找到了结论成立的充分条件就可以了、
例4、求证抛物线2
2(0)y px p =>,以过焦点的弦为直径的圆必与2
p x =-相切、 证明：(如图)作AA ／、BB ／垂直 准线,取AB 的中点M,作MM ／垂直
准线、
要证明以AB 为
直径的圆与准线相切
只需证｜MM ／｜＝12|AB ｜ 由抛物线的定义：
｜AA ／｜＝｜AF|，｜BB ／｜＝｜BF ｜
所以|AB|＝｜AA ／｜＋|BB ／｜
因此只需证｜MM ／|＝12
（｜AA ／｜＋｜BB ／｜） 根据梯形的中位线定理可知上式是成立的、 所以以过焦点的弦为直径的圆必与2p x =-
相切、 以上解法同学们不难以综合法作出解答、
解题评注:分析法是从结论出发寻找证题思路的一种重要的思维方法，
特别是题设和结论相结合,即综合法与分析法相结合，可使很多较为复杂
的问题得到解决、
3、数学归纳法
一般地,证明一个与正整数ｎ有关的命题的步骤如下：
（1）（归纳奠基）证明当ｎ取第一个值ｎ0时命题成立;
(2）(归纳递推)假设ｎ＝k (0(,)k n k n ≥∈*时命题成立，证明当1n k =+
时命题也成立.就可以断定对从ｎ0开始的所有正整数ｎ都成立.其证明
的方法叫数学归纳法。

(3)学习要点:理解第一步是推理的基础,第二步是推理的依据，两者缺
一不可.特别地，在证明第二步1n k =+时命题成立，一定要用上归纳
假设ｎ＝k 时命题成立;另外在证明第二步时首先要有明确的目标式,即
确定证题方向；
数学归纳法常和和情推理综合应用，特别常以归纳推理为前提. 例５.已知数列{}n a 的前n 和为n S ,其中(21)n n S a n n =
-且113
a = (1)求23,a a o A B M B ／ M ／ A
／ y F
(2)猜想数列{}n a 的通项公式，并用数学归纳法加以证明。

解答:（1）21222(221)6S a a a +=
=⨯- 又113a =，则2115a =，类似地求得3135
a = (2)由1113a =⨯，2135a =⨯，3157
a =⨯… 猜得:1(21)(21)
n a n n =-+ 以数学归纳法证明如下：
①当1n =时,由（1）可知等式成立;
②假设当n k =时猜想成立,即1(21)(21)
k a k k =-+ 那么,当1n k =+时，由题设(21)
n n S a n n =-得 (21)k k S a k k =-，11(1)(21)
k k S a k k ++=++ 所以(21)k S k k =-k a ＝(21)
k k -1(21)(21)k k -+＝21k k + 11(1)(21)k k S k k a ++=++
11k K K a S S ++=-=1(1)(21)k k k a +++－
21k k + 因此,1(23)21k k k k a k ++=
+ 所以11(21)(23)k a k k +=++1[2(1)1][2(1)1]
k k =+-++ 这就证明了当1n k =+时命题成立、
由①、②可知命题对任何n N *∈都成立、
解题评注：（1)本题首先采用了归纳推理，即由特殊到一般的推理；
（2）解题时注意已知式(21)
n n S a n n =-对任何n N *∈都成立，因此要注意其变形应用；归纳假设已用上，在上面的横线处，是解题关键的一
步、
三.高考要求
高考强调对数学思维能力的考查,“和情推理"是一种重要的归纳、猜想推理，它是发现问题和继续推理的基础、逻辑思维能力主要体现在对演绎推理的考察、试卷中考查演绎推理的试题的比例比较大，命题时既考虑使用选择题、填空题的形式进行考察,又考虑如何使用解答题型，以证明题的形式突出进行考察,立体几何是考察演绎推理的最好教材、近几年数学归纳法很少单独考察,由于数列是和自然数有关的,因此，经常和数列一起考察,常与归纳猜想相结合进行综合考察、。