磁力和磁力矩的计算

第6章 磁力的计算
由理论力学可知,体系在某一方向的力与力矩等于在该方向的能量梯度,可表达为:
i
i i W
T q W F θ∂∂=∂∂=
, (6-1) 式中,W —为体系的能量,i q —在i 方向的坐标,i F —i 方向的力,T —作用在θ方向的力矩,θ—旋转角。

1.吸引力的计算
1) 气隙能量有解的表达式:
22μg
g g L A B W =
或π
82
g
g g L A B W =
(6-2)
由上式得吸引力:
2
2μg
g A B F =
(6-3)
式中,F —吸引力()N ,g B —气隙磁密(
)2
m
Wb
,g
A —板面积()2
m ,0
μ—真空磁导率()m
H
7
10
4-⨯π
2) 如果气隙较大, g B 不均匀,能量表达式由(3)得引力应为:
π
82g
g A B F =
(6-4)
式中,F —吸引力()
yn d ,g B —G ,g A —2
cm 。

为了计算方便,将上式化为:
g g A B F 2
4965⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛= (6-5)
式中,F —kgf ,g B —G ,g A —2
cm 。

dV B W g ⎰⎰⎰=0
2
21
μ (6-6)
dV 为气隙体积元,积分在全部气隙中进行,如果1≠r μ时,0μ应改为0μ0r μ,此式由计算机
求出W ,再由
i
q W
∂∂求出i F 。

3) 也可不先求W ,直接按下式求出磁吸引力F
:
⎰⎰∇
=s d p F
(6-7)
F
——作用于磁体上的磁吸引力; s
——包围该物体的任意表面; p
——作用于该表面上的应力; p
的表达式为:
()n B B B n p 20
0211μμ-⋅= (6-8) n
——沿积分表面s 法线方向的单位矢量;
B
——磁感应强度矢量
4) 下面介绍05RC 与铁氧体之间的磁吸引力。

试验证明,在永磁体直径D 等于高度m L 时,吸引力最大。

故假定1=≠D L m ,此时,气隙磁密g B 可用下列公式(注:此法由磁核积分法导出)。

⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡
⎪⎭⎫ ⎝⎛+-
=2
11D L D L B B g g r g 在磁力试验中发现永磁体的C B H 也起作用,故将上式改为:
⎥⎥⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-
=2
11D L D L H B B g g C B r g (6-9) 例,求两个铁氧圆环之间的吸引力。

两环的磁特性与几何尺寸为:
G B r 3500= , e C B O H 2250= , cm d 0.5Φ＝外 , cm d 2.3Φ＝内
高度cm L m 5.1=
可把圆环瞧成就是直径()内外－d d D 2
1
=与高度m L 的圆柱绕z 轴旋转而成的,故可用(6)与(10)式联立求解。

试验结果与计算结果表面,当相对气隙5.0<D
L g
以前计算值与试验值相近。

2、 排斥力的计算
由库伦定律可知,排斥力在数值上与吸引力相等,
2
2104r Q Q F m m πμ= (6-10)
当1m Q 与2m Q 符号相同,为排斥力; 当1m Q 与2m Q 符号相反,为吸引力。

这个条件()
斥引＝F F 对于线性退磁曲线的铁氧体与稀土 铬永磁体,基本满足,而对于
o i C N A 1等的永磁体不满足。

这个条件即使对5O RC ,吸引力也稍大于排斥力。

这就是由于在排斥条件下,有一磁矩偏离原来的方向,从而使磁板厚度有所减小。

如果两个永磁体的退磁曲线与纵坐标的交角接近450
,则M 在退磁场中变化越微小。

例,利用磁荷积分法,求出吸引力与排斥力,将排斥力的计算值与试验值比较,可知:
1）当
5.0≈D
L g
时,计算值与试验值接近;
2）当g L 较小时,计算值大于试验值; 3）当g L 大时,计算值小于试验值。

故在利用排斥力的系统中,为了稳定,常使用中等气隙。

因为气隙太小时,排斥力与气隙的曲线太陡。

气隙稍有变化,排斥力变化太大,不利于稳定。

而气隙g L 太大,则排斥力太小,需要使用更多的永磁材料。

所以选择中等气隙较合适。

3. 力矩的计算
1) 永磁力矩电机的力矩。

Φ=NI C T e (6-11)
T ——力矩(m N ⋅,除以9、8九化为m kgf ⋅);
e C ——常数,决定于电机的具体结构; NI ——每板的总电流(A); Φ——每板的磁通量(Wb)、 2) 磁力传动器的力矩计算。

平面轴向磁力传动器。

静止时,永磁体的工作点在A,这就是低状态,转动时,主动体与被动体有一个角度差(或较相位差)θ,永磁体的工作点在C,这就是高状态,它的能量用下式计算:
()12218H H B V OAC W r m -=⎪⎭
⎫
⎝⎛=π面积 (6-12)
m V 为全部永磁体的体积,m m m L A V 2=
在A 点有:
()()()()
⎪⎩⎪⎨⎧==g
g k m g
g f m L H k L H A B k A B 111111 (6-13) 在C 点有:
()()()()()⎪⎩⎪⎨⎧+==22
222222θr L H k L H A B k A B g g r m
g g f m (6-14) 上两式各符号的意义与磁导法中相同。

角标1对应A 点,角标2对应C 点。

假定,m g A A = (忽略漏磁),
()()()()
2211,g
g g g H B H B == 上面条件在空气与真空中成立,在A1,C u ,无磁不锈钢中也基本成立,得:
()()
()()
()
2
222221111θr L L H k k B L L H k k B g m r f g m r f +=
= (6-15)
利用B H B r =-μ的关系,求出
()
()(
)
()
()()()
()⎪⎭
⎫
⎝
⎛++=
+=2222211111θr L L k k B H L L k k B H g m
r f r
g m r f r
(6-16)
于就是得到能量表达式:
()()()
()
()()
(
)
()⎥⎥⎥
⎦
⎤⎢⎢
⎢⎣
⎡
+-
⎪
⎭
⎫ ⎝⎛
++=g m r f g
m r f r m L L k k r L L k k B V W 112
2
22211
11821θπ (6-17) 进一步计算力矩:
()
()()[]
()()()()2
222223
2
2
2221821⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎣⎡+++=∂∂=θθθπθr L L k k r r r L L k k B V W T g m r
f g
m r f
r m (6-18) 令,
()
ϕθcos 2
2=+r R L g
g
()
ϕθθsin 2
2=+r L r g
代入(23)式,得:
()
()()()22222222cos 1cos sin 821⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛+=g m r f g m r f r m L L k k L rL k k B V T ϕϕϕπ (6-19) 当()
()22r f
k k ＝1时,欲得到最大力矩m ax T ,由式(24)确定条件就是:
3,4.500==g m L L ϕ 代入式(24)中,得,
()cm d r A B T yn m r ⋅⨯⨯=-22max 1032.1
式中,r B ——G;
m A ——2
cm ,永磁体的面积; r ——cm ,永磁体的半径。

注意:
(a) 当()()22r f k k 与g m L L 的值变化时,ϕ的最佳值也要变化;
(b) 在g L 较大的场合,()()22r f k k ＝1与3=g m L L 这两个条件不能试验,这时得到的力矩明显小于m ax T 。

m ax T 时理想设计的最大值,在g L 较小时,能接近m ax T 。

(c) 实际计算时应考虑气隙磁密分布的状态(它与极数有关)。

系数η,当气隙磁密时理想的矩形波时,η为1、0;当气隙磁密分布时理想的正方形波时,η为0、5。

当气隙磁密在两者之间,η在0、5与1、0之间取值。

为设计留有余量,一般取η＝0、5。

(d) 由气隙磁能求力与力矩
气隙磁电W g 可通过气隙磁通g φ,气隙磁压降g ℑ,与气隙磁导P g 来表示:
g g g g g g g p p W 222
12121ℑ==ℑ=φφ (6-20)
按理论力学求力与力矩的法则,在x 方向的力,
()()()
x
p x p x x W F g
g g g g g g
x ∂ℑ∂=∂∂=∂ℑ∂=∂∂=22212121φφ (6-21)
θ方向的力矩,
()()()
θ
φθφθφθ∂ℑ∂=∂∂=∂ℑ∂=∂∂=g
g g g g g g
p p W T 2
2212121 (6-22)
例, 求两平行磁极之间的吸引力。

气隙截面g A ,间隙g L ,
g
g
g L A p 0μ=
, g g g L H =ℑ , g g g A B =φ
()g g g g g g g g g g A L H L A L H p W 200222
112121μμ=+=ℑ=
或()
()g g g g g g g g g A L B A L A B p 20
022212121μμφ===
或g g g g g g A L H B 2
1
21=ℑ=
φ 轴向吸引力x F ,
g g g g g g g g
g g x A H B A B A H L W x
W F 2
12121202
0===
∂∂=
∂∂=
μμ 这三个式子就是等价的,因为,
g g H B 0μ=
式中,()()()
()m H N F m A m A H m Wb B g g g 7
02
2
10
4,,,,-⨯=πμ
例2, 同轴圆柱表面由径向磁通引起的轴向力。

同轴圆柱表面的径向气隙g L ,可动小圆柱的半径1r ,深入大圆筒内的深度为l ,欲求小圆柱所受的轴向力z F 。

解:径向气隙中的磁导g p ,
()
g
g g L L r p 2210+=
πμ
()2
102221g g
g g g z L L r l p F ℑ+=∂∂ℑ=
πμ 或()2
2
1024g
g g
l L r L φπμ-+=
例3, 求同轴圆柱面之间的力矩。

转子半径为1r ,定子的单边气隙为g L ,转子离开平衡位置的转角为θ(单位为弧度)。

气隙磁导g p ,
()g
g g L L L r p 2210θ
μ+=
()g
g g L L
L r p 2210+=
∂∂μθ
力矩()2
1024221g g g g g L L L r p T ℑ+=∂∂ℑ=μθ ,或()2
1022θ
μφL L r g g +=。