计算梁与刚架位移两类叠加法的适用范围

wk (xk ) = wk+1 (xk )
(9)
2
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(6)中间支承(如图 2 的 C 点，设 x = xk +1 )
wk+1 (xk +1 ) = 0 wk+2 (xk+1 ) θ k +1 (xk+1 ) = θ k +2 (xk+1 )
=
0⎫ ⎬ ⎭
(10)
将解答式(3)与式(5)代入位移边界与连续条
祸效应。为此根据文献[3]，将方程(1)的解 写成单重积分形式
∫ w(x) =
x xs
(x
−
t)
M (t) EI
dt
+
C s1
x
+
Cs2
(2)
其中 Cs1 和 Cs2 是积分常数。一般工程中的
图 4 梁的挠曲轴 静定单梁或组合梁，可以根据载荷与支承情
况分为 n 段(如图 2(a)可分为 3 段)，使方程
于被刚化， EI → ∞ ，对应 wk0 = wk′0 = 0
(k ≠ k ∗ ) 。根据逐段变形效应叠加法，各梁
段的变形均被考虑并仅被计算一次。于是原
问题载荷列阵W 等于各分解问题载荷列阵 W k 之和
s
W = ∑W k
(12)
k =1
其中 s 是被分解问题数。于是由线性代数， 方程(11)在原问题中的解C 等于被分解问
(1)的右端项在每段都是连续函数，则各段的 挠度可以写为
wk (x) = wk0 (x) + Ck1x + Ck2 (k = 1,2,", n)
(3) 其中
∫ wk0 (x) =
x (x − t) M (t) dt
xk −1
EI
(4)
xk−1 (k = 1,2,", n) 为各段分界点坐标。各
梁段的转角为
对于线弹性材料，在小变形条件下梁的 挠曲轴近似微分方程为
d 2w = M (x)
(1)
dx 2 EI
如图 4 所示， w(x) 为梁的挠度， M (x) 为
梁的弯矩， EI 为梁的弯曲刚度，它也可以 是 x 的函数。在一般材料力学教材中，挠度
w(x) 由方程(1)右端的两重积分表达，但是
这样的解答不能反映各梁段弯曲变形的解
3
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用。 参考文献
1 铁摩辛柯 S，盖尔 J 著．材料力学．韩耀 新译．北京：科学出版社， 1990
2 单辉祖．材料力学．北京：高等教育出版
社，1999 3 斯米尔诺夫 ВИ 著．高等数学教程．第二
卷．第一分册．孙念增译．北京：人民教 育出版社，1958
4
a3
w3Dc
=
7FC 3EI
a3
−
4F 3EI
a 3 , w3Db
=
0
由
w3Db
+ w3Dc
=0得
FC
=
1F 2
，故
w3Da
=
w3Db
+ w3Dc
= − Fa3 6EI
。它表明将静不定结构
变换为静定的相当系统，逐段变形效应叠加 法可以用于求解静不定问题。可见逐段变形 效应叠加法在分析梁、杆系与刚架系统的位 移中有重要的实用价值。在另一方面，像弹 性力学平面问题、板壳力学问题及弹性力学 的三维问题，本质上都是静不定问题，不能 变换为静定的相当系统，逐段(部分)变形效 应叠加法不能应用，而载荷叠加法可以应
θ k (x) = wk′ 0 (x) + Ck1
(5)
方程(3)包含 2n 个待定常数。对于静定 系统，刚好有 2n 个位移边界与连续条件完 全确定这 2n 个待定常数。常见的位移边界
与连续条件如下：
(1)固支端(如图 2(a)的 A 点，设 x = 0 )
w1(0) = 0, θ1(0) = 0
题之解C k (k = 1,2,", n) 之和
s
C = ∑C k
(13)
k =1
对静定梁或静定组合梁，方法得证。 刚架可以作为方位不同的分段的梁处
理，将位移作为矢量处理，上述证明可以推 广到静定刚架。
静不定结构中内力与构件的刚度有关， 故所考虑梁段的弯矩随其余梁段的刚化而 改变，此梁段对结构的变形效应也随之改 变，逐段变形效应叠加法一般不再成立。例
用逐段变形效应叠加法计算位移正确。对于 图 3 中的三梁
w3Da
= − Fa3 6EI
,
w3Db = 0,
w3Dc
=
−F 13EI
a3
故 w3Da ≠ w3Db + w3Dc ，它表明这样运用逐段
变形效应叠加法是错误的。为什么这样分析 是错误的？逐段变形效应叠加法能否用于 求解静不定梁？下面将综合梁的小挠度理 论及线性常微分方程与线性代数方面的知 识进行深入研究。 2 梁的挠曲轴微分方程及求解
件有关，不因某些梁段刚化而改变，故方阵
A 保持不变。列阵W 的元素由式(4)及其导
数构成。由于静定结构的内力直接从平衡方 程求出，与结构材料的性质无关，故式(4)
中弯矩 M (t) 也不因梁段刚化而改变。当单
独考虑梁段 k = k ∗ 的变形效应时，W 中的
元素
w k
∗
0
与
w′ k
∗
0
保持不变，而其余梁段由
件(6)～(10)，可以得到决定 2n 个待定常数
Ck1 和 Ck 2 (k = 1,2,", n) 的矩阵方程
AC =W
(11)
其中 A 是一个 2n × 2n 的常数方阵，C 是包
含 2n 个待定常数 Ck1 和 Ck 2 (k = 1,2,", n)
的列矩阵，W 为以式(4)及其导数在 2n 个边 界点与连接点之值为元素的 2n 阶列矩阵。
适用范围比载荷叠加法小得多，故有必要深 入讨论它的理论基础和适用范围。
见图 1～图 3 所给计算梁位移的例子，
其中除了图 3(a)中 AD 段弯曲刚度为 2EI 外，各梁弯曲刚度为 EI 。虚线表示挠曲轴
大致形状。三组图中(a)表示原问题，(b)，(c) 和(d)表示被分解的问题，其中黑色段表示
“刚化”，即设此段梁弹性模量 E → ∞ 。
(6)
(2)简支端(如图 3(a)的 C 点，设 x = 3a )
w2 (3a) = 0
(7)
(3)自由端 无位移边界条件
(4)载荷分界点(如图 1 的 B 点，设 x =
xk )
wk θk
( (
xk xk
) )
= =
θwkk++11((xxkk))⎭⎬⎫
(8)
(5)中间铰(如图 2 的 B 点，设 x = xk )
a3 , w1Dc
= − 5F a3 6EI
故有 w1Da = w1Db + w1Dc 。它表明应用载荷叠加
法计算位移正确。对于图 2 中的四梁
w2Da
=− F EI
a3,
w2Db
=
−F 3EI
a3
w2Dc
=
−F 3EI
a3,
w2Dd
=− F 3EI
a3
故有 w2Da = w2Db + w2Dc＋w2Dd ，它表明这样采
如图 3(a)中 CD 梁段承受弯矩，但刚化 AD 段后，图 3(b)中 CD 段弯矩为零，这就导致
叠加法的结果错误。
现在解除图 3(a)支座 C 并代以向上的
约束反力 FC ，得原梁的静定相当系统，再
应用逐段变形效应叠加法，得
w3Cc
= 13FC a3 − 7Fa3 3EI
, w3Cb
=
FC 3EI
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计算梁与刚架位移两类叠加法的适用范围
蒋持平 严鹏 (北京航空航天大学固体力学研究所，北京 100083) 摘要 结合梁的小挠度理论、线性常微分方程及线性代数有关知识，阐明了计算梁与刚架位 移的逐段变形效应叠加法的理论基础，指出它比另一类叠加法，即载荷叠加法的适用范围小。 采用逐段变形效应叠加法分析静不定结构时，必须先将此结构变换为静定的相当系统。 关键词 位移计算，载荷叠加法，逐段变形效应叠加法
图 1 计算梁位移的载荷叠加法
图 2 计算梁位移的逐段变形效应叠加法
图 3 计算梁位移逐段变形效应叠加法的错误应用
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为了检验这 3 组图中叠加法的应用是否
正确，计算各梁 D 点的位移进行比较。对于
图 1 中的三梁
w1Da
= − 17F 24EI
a3 , w1Db
=
F 8EI
1 问题的提出 叠加法是工程分析的重要方法。在梁与
刚架位移的计算中，有两类重要的叠加法， 即载荷叠加法和逐段变形效应叠加法[1,2]。 载荷叠加法的理论基础已被很好地阐明了。 但是对逐段变形效应叠加法却不是这样，据 作者所知，国内外材料力学教材只是一般性 地说明它是根据梁段局部变形与梁总体位 移的几何关系。由于逐段变形效应叠加法的
3 逐段变形效应至加法的证明及相关讨论 逐段变形效应叠加法可以叙述为：计算
静定的梁、刚架及其组合结构的位移可以先 分别计算各段的变形(其余部分刚化)在需求 位移处引起的位移，然后叠加(代数和或矢 量和)。
注意到上述表述中特别对结构作了静 定的限定。首先针对静定梁(包括静定组合
梁)进行证明。由方程(11)解的唯一性方阵 A 是满秩矩阵。同时 A 仅与位移边界和连续条