2017年陕西省西安市西工大附中初中毕业数学学业考试模拟试题(含解析)

2017年陕西省西工大附中初中毕业数学学业考试
模拟试题
一、选择题(共10小题，每小题3分，计30分，每小题只有一个选项是符合题意的) 1．在数－3,0,1,3中，其中最小的是(A)
A．－3B．0
C．1D．3
2．如图是由长方体和正四棱锥组成的几何体，该几何体的俯视图是(C)
第1题图
3．计算(－2a2b3)4的结果是(A)
A．16a8b12B．8a8b12
C．－8a8b12D．－16a8b12
4．如图，直线a∥b，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，则∠1的度数是(C)
第4题图
A．22.5°B．36°
C．45°D．90°
【考查内容】平行线的性质．
【解析】∵△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，
∴∠B＝45°，
∵a∥b，∴∠1＝∠B＝45°.
5．正比例函数y＝(k－1)xk2－k－1的图象经过第二、四象限，那么k为(A)
A．k＝－1B．k＝2
C．k＝－1或k＝2D．不能确定
【考查内容】正比例函数图象的性质．
【解析】∵正比例函数y＝(k－1)xk2－k－1的图象经过第二、四象限，
∴k2－k－1＝1，且k－1＜0，
解得，k＝2(不合题意，舍去)，k＝－1.
6．如图所示，在△ABC中，AD⊥BC于D，CE⊥AB于E，且BE＝2AE，已知AD＝33，
tan∠BCE＝
3
3，那么CE等于(D)
第6题图
A．23B．23－2 C．52D．4 3 【考查内容】解直角三角形．
【解析】∵tan∠BCE＝
3
3，∴∠BCE＝30°，
∴∠B＝60°，
又∵在Rt△ABD中，AD＝33，∴BD＝3，AB＝6，
∵BE＝2AE，∴BE＝4，AE＝2，
在Rt△BEC中，BE＝4，∠BCE＝30°，
∴CE＝4 3.
7．如图，经过点B(－2,0)的直线y＝kx＋b与直线y＝4x＋2相交于点A(－1，－2)，则4x＋2＜kx＋b＜0的解集为(B)
第7题图
A．x＜－2 B．－2＜x＜－1
C．x＜－1 D．x＞－1
【考查内容】一次函数与一次不等式的关系．
【解析】∵经过点B(－2,0)的直线y＝kx＋b与直线y＝4x＋2相交于点A(－1，－2)，∴直线y＝kx＋b与直线y＝4x＋2的交点A的坐标为(－1，－2)，直线y＝kx＋b与x轴的交点坐标为B(－2,0)，
又∵当x＜－1时，4x＋2＜kx＋b，
当x＞－2时，kx＋b＜0，
∴不等式4x＋2＜kx＋b＜0的解集为－2＜x＜－1.
8．如图，AB∥CD，CE∥BF，A、E、F、D在同一直线上，BC与AD交于点O，且
OE ＝OF ，则图中有全等三角形的对数为( B )
第8题图
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
【考查内容】全等三角形的判定．
【解析】①∵CE ∥BF ，∴∠OEC ＝∠OFB ，
又∵OE ＝OF ，∠COE ＝∠BOF ，∴△OCE ≌△OBF ； ②∵△OCE ≌△OBF ，∴OC ＝OB ， ∵AB ∥CD ，∴∠ABO ＝∠DCO ，
又∵∠COD ＝∠AOB ，∴△AOB ≌△DOC ； ③∵△AOB ≌△DOC ，∴AB ＝CD ， ∵AB ∥CD ，CE ∥BF ，∴∠ABF ＝∠ECD ， 又∵CE ＝BF ，∴△CDE ≌△BAF . 故图中有全等三角形3对．
9．如图，圆O 中，AO ＝5，弦AB 长为8.C 为弦AB 所对优弧上的一点，求∠C 的正切值( D )
第9题图
A ．45
B ．35
C ．34
D ．43
【考查内容】圆周角定理．
【解析】过点O 作OD ⊥AB 于点D ， ∵OA ＝OB ，
∴∠AOD ＝12∠AOB ，AD ＝12AB ＝1
2×8＝4，
∴OD ＝OA 2－AD 2＝52－42＝3， ∵∠C ＝1
2
∠AOB ，∴∠C ＝∠AOD ，
∴tan ∠C ＝tan ∠AOD ＝AD OD ＝4
3
.
10．二次函数y ＝a (x －3)2＋4(a ≠0)的图象在1＜x ＜2这一段位于x 轴的上方，在5＜x ＜6这一段位于x 轴的下方，则a 的值为( B )
A ．1
B ．－1
C ．2
D ．－2
【考查内容】二次函数的性质． 【解析】∵y ＝a (x －3)2＋4(a ≠0)， ∴抛物线的对称轴为x ＝3.
又∵当1＜x ＜2时，函数图象位于x 轴的上方， ∴当4＜x ＜5时，函数图象位于x 轴的上方． 又∵当5＜x ＜6时，函数图象位于x 轴的下方， ∴当x ＝5时，y ＝0.∴4a ＋4＝0. ∴a ＝－1.
二、填空题(共4小题，每小题3分，计12分) 11．不等式－2x ＋4＜x －8的解集是 x ＞4 . 【考查内容】解一元一次不等式． 【解析】移项得：－2x －x ＜－8－4， 合并同类项得：－3x ＜－12， 系数化为1得：x ＞4.
12．请从以下两个小题中任选一个作答，若多选，则按所选的第一题计分．
A ．一个多边形从一个顶点向其余各顶点连接，对角线有27条，则这个多边形的边数为__30__.
【考查内容】多边形的对角线． 【解析】设多边形的边数为n . 根据题意得：n －3＝27.解得：n ＝30.
B ．用科学计算器计算：(结果保留三位有效数字)：847－5sin20°＝__53.1__. 【考查内容】科学计算器的使用． 【解析】847－5sin20°≈53.1.
13．如图，直线y ＝kx ＋1与反比例函数y ＝9
x 在第一象限交于点A ，过点A 作x 轴，y
轴的垂线，垂足为B ，C ，OBAC 是正方形，则一次函数与x 轴交点坐标是 (－3
2
，0) .
第13题图
【考查内容】反比例函数与一次函数的交点问题． 【解析】∵四边形ABOC 为正方形， ∴AB ＝AC ，
设A 点坐标为(a ，a )， 把A (a ，a )代入y ＝9
x 得a 2＝9，
解得a 1＝3，a 2＝－3(舍去)， ∴A 点坐标为(3,3)，
把A (3,3)代入y ＝kx ＋1得3k ＋1＝3，解得k ＝2
3，
∴直线的解析式为y ＝2
3x ＋1，
把y ＝0代入得23x ＋1＝0，解得x ＝－3
2.
∴一次函数与x 轴交点坐标为(－3
2
，0)．
14．如图，长方形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝4，在长方形的内部以CD 边为斜边任意作Rt △CDE ，连接AE ，则线段AE 长的最小值是__2__.
第14题图 第14题答图
【考查内容】矩形的性质，最值问题．
【解析】如答图，取CD 的中点F ，连接AF ，当EF 最长时则AE 最短，则DF ＝1
2×6
＝3.
在长方形ABCD 中，AD ＝BC ＝4，
由勾股定理得：AF ＝AD 2＋DF 2＝42＋32＝5， ∵F 是Rt △CDE 斜边CD 的中点， ∴EF ＝12CD ＝1
2
×6＝3，
∴AE ＝AF －EF ＝5－3＝2，即线段AE 长的最小值是2.
三、解答题(共11小题，计78分，解答应写出过程) 15．(本题满分5分)计算：(12)－
1＋|1－2|－27tan30°.
【考查内容】实数的运算． 【解析】(12)－
1＋|1－2|－27tan30°
＝2＋2－1－33×33
＝1＋2－3 ＝2－2.
(5分)
16．(本题满分5分)解方程：1
x －2＋3＝1－x 2－x .
【考查内容】解分式方程．
【解析】去分母得：1＋3x －6＝x －1， 解得：x ＝2，
经检验x ＝2是增根，故分式方程无解．
(5分)
17．(本题满分5分)在圆上作出所有的点C ，使△ABC 为等腰三角形．(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)
第17题图
【考查内容】尺规作图 【解析】如答图所示：
(5分)
第17题答图
18．(本题满分5分)某市“创城办”为了解该市市民参加社会公益活动情况，随机抽查了部分市民一个月参加社会公益活动的天数，并用得到的数据绘制了两幅统计图，下面给出了两幅不完整的统计图：
第18题图
请根据图中提供的信息，回答下列问题：
(1)求a的值，并补全条形统计图；
(2)请直接写出在这次抽样调查中，众数和中位数分别是多少？
(3)如果该市市民约有200000人，请你估计参加“公益活动时间不少于7天”的市民有多少人．
【考查内容】统计图的认识．
【解析】(1)扇形统计图中a＝1－40%－20%－25%－5%＝10%，
被调查的总人数＝240÷40%＝600(人)，所以8天的人数＝600×10%＝60(人)；
补全条形统计图如答图所示：(2分)
第18题答图
(2)众数是5，中位数是6；(3分)
(3)200000×(25%＋10%＋5%)＝80000(人)．
所以估计参加“公益活动时间不少于7天”的市民有80000人．(5分) 19．(本题满分7分)如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90°，D为AB边上一点．
第19题图
求证：AE＝BD.
【考查内容】全等三角形的判定与性质．
【解析】∵△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90°，
∴EC＝CD，AC＝CB，∠ACB－∠ACD＝∠ECD－∠ACD.
∴∠ACE＝∠BCD. (3分)
∴△ACE≌△BCD. (4分)
∴AE＝BD. (7分)
20．(本题满分7分)如图所示，小明为测量一棵树CD的高度，他在距树24m处立了一根高为2m的标杆EF，然后小明前后调整自己的位置，当他与树相距27m时，他的眼睛、
标杆的顶端和树顶端在同一直线上．已知小明身高1.6m ，求树的高度．
第20题图
【考查内容】相似三角形的应用．
【解析】过点A 作AN ∥BD 交CD 于N ，交EF 于M ，如答图，
第20题答图
∵人、标杆、树都垂直于地面，∴∠ABF ＝∠EFD ＝∠CDF ＝90°， (2分)
∴AB ∥EF ∥CD ，∴∠EMA ＝∠CNA ， ∵∠EAM ＝∠CAN ，∴△AEM ∽△ACN ， (4分) ∴
EM CN ＝AM
AN
，∵AB ＝1.6m ；EF ＝2m ， BD ＝27m ，FD ＝24m ，
∴2－1.6CN ＝27－2427，解得：CN ＝3.6m ，
则树的高度为3.6＋1.6＝5.2m.
(7分)
21．(本题满分7分)某校组织部分学生分别到A 、B 两公园参加植树活动，已知到A 公园每人需往返车费2元．平均每人植树5棵，到B 公园每人需往返车费3元，平均每人植树3棵，且到A 公园的学生比到B 公园的学生多5人．设到A 公园的学生x 人，在公园共植树y 棵．
(1)求y 与x 之间的函数关系；
(2)若往返车费总和不超过300元，求y 的最大值？ 【考查内容】一次函数的运用． 【解析】(1)由题意，得 y ＝5x ＋3(x －5)， y ＝8x －15；
(3分)
(2)设往返车费的总和为w 元，由题意，得 w ＝2x ＋3(x －5)＝5x －15.
∵w ≤300，∴5x －15≤300，∴x ≤63.
(4分)
∵y ＝8x －15，k ＝8＞0，
∴y 随x 的增大而增大，∴当x ＝63时，y 最大＝489， ∴y 的最大值为489.
(7分)
22．(本题满分7分)某电脑公司现有A ，B ，C 三种型号的电脑和D ，E 两种型号的打印机．某校要从其中选购一台电脑和一台打印机送给山区小学．
(1)写出所有选购方案(利用树状图或列表法表示)；
(2)已知A 、D 是甲厂生产的产品，B 、C 、E 是乙厂生产的产品．如果(1)中各种选购方案被选中的可能性相同，那么选中全套甲厂生产的产品的概率是多少？
【考查内容】列表法或树状图法求概率． 【解析】(1)画树状图，如答图：
第22题答图
有6种可能结果：(A ，D )，(A ，E )，(B ，D )，(B ，E )，(C ，D )，(C ，E )．
(4分)
(2)∵根据树状图可知所有情况数为6种，选中全套甲厂生产的产品A ，D 的情况为1种，∴P (选中A ，D )＝1
6
.
(7分)
23．(本题满分8分)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，以AC 为直径的⊙O 与AB 边交于点D ，过点D 作⊙O 的切线，交BC 于E .
第23题图
(1)求证：点E 是边BC 的中点； (2)求证：BC 2＝BD ·BA .
【考查内容】切线的性质，相似三角形的判定与性质． 【解析】(1)连接OD .∵DE 为切线， ∴∠EDC ＋∠ODC ＝90°；
∵∠ACB ＝90°，∴∠ECD ＋∠OCD ＝90°. (2分)
又∵OD ＝OC ，∴∠ODC ＝∠OCD ， ∴∠EDC ＝∠ECD ，∴ED ＝EC ； ∵AC 为直径，∴∠ADC ＝90°，
∴∠BDE ＋∠EDC ＝90°，∠B ＋∠ECD ＝90°， ∴∠B ＝∠BDE ， ∴ED ＝BE .
∴EB ＝EC ，即点E 为边BC 的中点；
(4分) (2)∵AC 为直径，
∴∠ADC ＝∠ACB ＝∠BDC ＝90°， (6分)
又∵∠ABC ＝∠CBD ， ∴△ABC ∽△CBD ， ∴
AB BC ＝BC
BD
，∴BC 2＝BD ·BA . (8分)
24．(本题满分10分)已知：关于x 的二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 经过点(－1,0)和(2,6)． (1)求b 和c 的值．
(2)若点A (n ，y 1)，B (n ＋1，y 2)，C (n ＋2，y 3)都在这个二次函数的图象上，问是否存在整数n ，使1y 1＋1y 2＋1y 3＝3
10
，若存在，请求出n ；若不存在，请说明理由．
(3)若点P 是二次函数图象在y 轴左侧部分上的一个动点，将直线y ＝－2x 沿y 轴向下平移，分别交x 轴、y 轴于C 、D 两点，若以CD 为直角边的△PCD 与△OCD 相似，请求出所有符合条件点P 的坐标．
【考查内容】二次函数综合探究．
【解析】(1)把(－1,0)和(2,6)代入y ＝x 2＋bx ＋c 中，
得⎩⎪⎨⎪⎧ 1－b ＋c ＝0，4＋2b ＋c ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧
b ＝1，
c ＝0.
(2分)
(2)假设存在，由题意：y 1＝n 2＋n ，y 2＝(n ＋1)2＋(n ＋1)，y 3＝(n ＋2)2＋(n ＋2)， ∵1y 1＋1y 2＋1y 3＝310. ∴
1n (n ＋1)＋1(n ＋1)(n ＋2)＋1(n ＋2)(n ＋3)＝3
10
，
∴1n －1n ＋1＋1n ＋1－1n ＋2＋1n ＋2－1n ＋3＝310. ∴1n －1n ＋3＝310
.
第24题答图
整理得n 2＋3n －10＝0， 解得n ＝2或－5.
经过检验n ＝2和－5是分式方程的解． ∴存在n ＝2或－5使1y 1＋1y 2＋1y 3＝3
10
成立．
(5分)
(3)如答图，当D 为直角顶点时，由图象可知不存在点P ，使得△PCD 为直角三角形，
当C 为直角顶点，CD 为直角边时，作PE ⊥OC 于E .
设直线y ＝－2x 向下平移m 个单位，则直线CD 解析式为y ＝－2x －m ， ∴点D 坐标(0，－m )，点C 坐标(－m
2，0)，
∴OD ＝m ，OC ＝m
2，∴OD ＝2OC ，
∵△PCD 与△COD 相似， ∴CD ＝2PC 或PC ＝2CD .
(7分)
①当CD ＝2PC 时， ∵∠PCD ＝90°，
∴∠PCE ＋∠DCO ＝90°，∠DCO ＋∠CDO ＝90°， ∴∠PCE ＝∠CDO ，∵∠PEC ＝∠COD ＝90°， ∴△COD ∽△PEC . ∴
CD PC ＝OD EC ＝CO PE ＝2，∴EC ＝m 2，PE ＝m
4
， ∴点P 坐标(－m ，－m
4)，代入y ＝x 2＋x ，
得－m 4＝m 2－m ，解得m ＝3
4或m ＝0(舍去)，
∴点P 坐标为(－34，－316
)．
(8分)
②PC ＝2CD 时，由CD PC ＝OD EC ＝CO PE ＝1
2，
∴EC ＝2m ，PE ＝m ，
∴点P 坐标(－5
2m ，－m )，代入y ＝x 2＋x ，
得－m ＝254m 2－52m ，解得m ＝6
25或m ＝0(0舍去)，
∴点P 坐标为(－35，－6
25
)．
综上点P 为(－34，－316)或P 为(－35，－6
25
)．
(10分)
25．(本题满分12分)(1)如图1，边长为4的等边△OAB 位于平面直角坐标系中，将△OAB 折叠，使点B 落在OA 的中点处，则折痕长为__2__；
(2)如图2，矩形OABC 位于平面直角坐标系中，其中OA ＝8，AB ＝6，将矩形沿线段MN 折叠，点B 落在x 轴上，其中AN ＝1
3
AB ，求折痕MN 的长；
问题解决：
(3)如图3，四边形OABC 位于平面直角坐标系中，其中OA ＝AB ＝6，CB ＝4，BC ∥OA ，
AB ⊥OA 于点A ，点Q (4,3)为四边形内部一点，将四边形折叠，使点B 落在x 轴上，问是否存在过点Q 的折痕，若存在，求出折痕长，若不存在，请说明理由．
图1 图2 图3
第25题图
【考查内容】四边形的综合．
第25题答图1
【解析】(1)如答图1中，B 的对称点B ′，折痕为MN ，MN 交BB ′于H . ∵△ABO 是等边三角形，OB ′＝B ′A ， ∴BB ′⊥OA ，又∵BB ′⊥MN ， ∴MN ∥OA ，∵BH ＝HB ′， ∴BM ＝OM ，BN ＝NA ，
∴MN 是△ABC 的中位线，∴MN ＝1
2
OA ＝2；
(3分)
(2)如答图2中，B 的对称点B ′，折痕为MN ，MN 交BB ′于H . ∵AN ＝1
3AB ＝2，∴NB ＝NB ′＝4，
在Rt △ANB ′中，AB ′＝42－22＝23， ∴OB ′＝8－23，∴点B ′(8－23，0)，
∵B (8,6)，∴BB ′中点H (8－3，3)，∵点N 坐标(8,2)，
设直线NH 的解析式为y ＝kx ＋b ，则有⎩⎨
⎧
8k ＋b ＝2，
(8－3)k ＋b ＝3，
解得⎩⎨
⎧
k ＝－33，
b ＝2＋833
.
∴直线NH 解析式为y ＝－33x ＋2＋833
， (6分)
图2 图3
第25题答图 ∴点M 坐标(0,2＋83
3)，
∴MN ＝82＋(833)2＝1633
，
(7分)
(3)存在．
理由：如答图3中，延长BQ 交OA 于B ″，连接AQ ，过点Q 作MN ∥OA ，交OC 于M ，交AB 于N .
∵Q (4,3)，∴N (6,3)， ∴BN ＝AN ，QB ＝QB ″，
(8分)
作BB ″的垂直平分线PF ，交OC 于P ，交AB 于F ，此时B 、B ″关于直线PF 对称，满足条件，
在Rt △ABB ″中，∵∠BAB ″＝90°，BQ ＝QB ″，∴AQ ＝QB ， ∴此时B 、A (B ′)关于直线MN 对称，满足条件． ∵C (2,6)，∴直线OC 解析式为y ＝3x ， ∵NM ∥OA ，BN ＝NA ，∴CM ＝OM ， ∴点M (1,3)，∴MN ＝5， 由题知△QFN ∽△BB ″A ， ∴
QN BA ＝NF
B ″A
， 又∵QN ＝2，BA ＝6，B ″A ＝4， ∴NF ＝43，∴F A ＝3－43＝5
3，
∴F (6，5
3
)，Q (4,3)，
设直线PF 的解析式为y ＝kx ＋b ，代入F 、Q 点得⎩⎪⎨
⎪⎧
53＝6k ＋b ，
3＝4k ＋b ，解得⎩⎨⎧
k ＝－23
，
b ＝17
3，
∴直线PF 的解析式为y ＝－23x ＋17
3，
(10分)
由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝－23x ＋173，
y ＝3x ， 解得⎩⎨⎧
x ＝17
11，y ＝5111.
∴点P (1711，5111)，F (6，5
3
)，
∴PF ＝
(1711－6)2＋(5111－53)2＝491333
， 综上所述，折痕的长为5或4913
33
. (12分)。