初中数学中的格点问题
天津中考数学格点技巧
天津中考数学格点技巧一、理解格点意义在解决数学问题时，我们经常遇到各种图形，其中格点图是一种常见的图形表示方式。
所谓格点，是指将图形画在方格纸上，每个交点称为格点。
理解格点的意义是掌握格点技巧的基础。
在格点图中，我们可以更加直观地观察图形的形状、大小和位置关系，从而更好地解决问题。
二、掌握基本图形在数学问题中，有许多基本的图形，如三角形、四边形、圆等。
掌握这些基本图形的性质和特点是解决格点问题的关键。
例如，直角三角形的斜边长度可以用勾股定理计算，而平行四边形的对角线可以互相平分等。
熟悉这些基本图形，可以帮助我们快速找到解题思路。
三、运用面积计算面积计算是解决格点问题的重要方法之一。
在格点图中，我们可以将复杂的图形划分为若干个基本图形，然后计算它们的面积。
在计算面积时，我们可以利用格点的位置关系，通过分割、填补、平移等方式将图形的面积转化为易于计算的形式。
四、解决图形问题在解决格点问题时，我们需要关注图形的形状、大小和位置关系。
通过观察格点图，我们可以发现图形的对称性、相似性等性质，从而更好地解决问题。
例如，我们可以利用图形的对称性找到对称轴，从而更好地理解图形的性质。
五、运用代数方程在解决格点问题时，我们经常需要建立代数方程。
通过设立代数方程，我们可以将实际问题转化为数学问题，从而更好地解决问题。
在建立代数方程时，我们需要根据题目的实际情况和已知条件设立变量和方程式，然后通过解方程找到未知数。
六、掌握特殊三角形在解决格点问题时，特殊三角形是一种常见的图形。
特殊三角形包括等腰三角形、等边三角形和直角三角形等。
掌握这些特殊三角形的性质和特点是解决格点问题的关键。
例如，等腰三角形的两腰相等，等边三角形的三个角都等于60度等。
熟悉这些特殊三角形，可以帮助我们更快地找到解题思路。
七、解决复杂图形问题对于一些复杂的图形问题，我们需要运用综合分析的方法来解决。
首先需要仔细审题，理解题目的要求和已知条件，然后通过观察和分析图形的形状、大小和位置关系，找到解题的突破口。
与格点相关的数学中考题
●
・ ９： ：９ ・
●
捞美蜘
◎徐 慧 （ 苏省 灌 云 县 四 队 中学 江 ２ ２３ ） ２ ２ ４
数
解析 （） 立 平 面 直 角 坐标 系如 图 ５所 示 ． １建
（ ）根 据 网格 的特 征 及 等 腰 角 形 的 有 关 知 识 易 得 ， ２ 以
利 于 数 学 知识 的 考查 ． 别 以 ， 分 曰为 圆心 ． 径都 为 、 １ 画 半 ／０
圆 ． 圆 的 交 点 即 为 所 求 的 点 ， 发 现 “ 藏 ” 的 坐 标 是 两 易 宝 点 （ ， ） （ ，２ ， 选 Ｃ ５ ２ 或 １一 ）故 ．
五、 与格 点 相 关 的 面 积 问题 例 ５ （ 龙 江 省 哈 尔 滨 市 ） ７、 ８、 ９ 是 三 张 形 状 、 黑 图 囹 图 大 小 完全 相 同 的 方格 纸 ， 格 纸 中 的每 个 小 正 方形 的边 长 均 方
图形 各 顶 点 必 须 与 方 格纸 中 的小 正 方 形 顶 点 重合 ． （ ） 一个 底 边 长 为 ４ 面 积 为 ８的 等腰 三 角 形 ； １画 ，
（ ）画 面 积 为 １ ２ ０的 等腰 直 角 三角 形 ；
Ｄ， 画 出 以 Ａ， Ｃ， 为 顶 点 的 四边 形 ， 其 为 轴 对 称 图形 并 Ｂ， Ｄ 使
Ａ． Ａ 点 Ｂ 点 Ｂ ．
所示两个标志点Ａ（，）Ｂ ４一 ）这两 ２ １ 、（ ，１， 一＿’ ｔ 。 ＋ ＿ 一’ ÷
个标 志 点 到 “ 宝藏 ” 的 距 离 都 是 ｘ ｍ ． 点 ／
则“ 宝藏 ” 的坐 标 是 （ ） 点 ．
， 则其旋转 中心 可能是 （ ） ．
一
初中数学中的格点问题ppt课件
1.“格点”是什么？
y
数学上把在平面直角坐标系中 横纵坐标均为整数的点称为格 点或整点。
·A
2 1
0 12
隐藏掉坐标轴后，左边便是 由水平线和垂直线组成的方 x 格，我们同样把水平线和垂 直线的交点称为“格点”。
2
2.“格点线段”、“格点三角形”、“格点多边形” 是什么？
A1 A2
A3
An A7 A6
(3)5
bcaΒιβλιοθήκη a2 b2 c2∴ c a2 b2 5
练习.已知网格中的每个小正方形的边长均为1，请画以格点
为顶点且三边长分别是 4、10、3 2 的△ABC
C
A
B
6
例2.如图所示，在网格中有一线段AB和点P，请你画出过 点P且平行线段AB的直线a，并说明理由。
练习：你还能画出过点P垂直线段AB的直线b吗？
形的边长为1. 以A、B、C为顶点的三角形为等腰三角形的所
有格点C的位置有 3
个；并在图中标出。
·C ·C
·C
13
例7.在6×6的正方形网格中，以点D、E为两个顶点作位置不 同的格点三角形，使所作的格点三角形与△ABC全等，这样
的格点三角形最多可以有 4 个
··
··
14
练习.如图，在长方形网格中，每个小长方形的长为2，宽为1， A、B两点在网格点上。若点C也在网格点上，以A、B、C为顶
9
练习.如图是一个经过改造的台球桌面的示意图。图中四个角 上的阴影部分分别表示四个入球孔，如果一个球按图中所示
的方向被击出（球可以经过多次反射），则该球最后将落入
的球袋是2号袋
光的反射规律
入射角 反射角
法线
平面镜
中考数学专题复习格点作图题
中考数学专题复习格点作图题学校:___________姓名：___________班级：___________考生__________评卷人得分一、解答题1．图①，图①，图①都是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1．在图①，图①中已画出线段AB，在图①中已画出点A．按下列要求画图：（1）在图①中，以格点为顶点，AB为一边画一个等腰三角形；（2）在图①中，以格点为顶点，AB为一边画一个正方形；（3）在图①中，以点A为一个顶点，另外三个顶点也在格点上，画一个面积最大的正方形．2．图①、图①、图①都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个小等边三角形的顶点称为格点．线段AB的端点在格点上．（1）在图①、图2中，以AB为边各画一个等腰三角形，且第三个顶点在格点上；（所画图形不全等）（2）在图①中，以AB为边画一个平行四边形，且另外两个顶点在格点上．3．图①、图①均是8×8的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段OM、ON 的端点均在格点上．在图①、图①给定的网格中以OM、ON为邻边各画一个四边形，使第四个顶点在格点上．要求：（1）所画的两个四边形均是轴对称图形．（2）所画的两个四边形不全等．4．如图是由边长为1的小正方形组成的8×4网格，每个小正方形的顶点叫做格点，点A，B，C，D均在格点上，在网格中将点D按下列步骤移动：第一步：点D绕点A顺时针旋转180°得到点D1；第二步：点D1绕点B顺时针旋转90°得到点D2；第三步：点D2绕点C顺时针旋转90°回到点D．（1）请用圆规画出点D→D1→D2→D经过的路径；（2）所画图形是什么对称图形；（3）求所画图形的周长（结果保留π）．5．图①、图②、图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点A B C D E F、、、、、均在格点上．在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法．（1）在图①中以线段AB为边画一个ABM∆，使其面积为6．（2）在图②中以线段CD为边画一个CDN∆，使其面积为6．（3）在图③中以线段EF为边画一个四边形EFGH，使其面积为9，且090EFG∠=．6．图①，图①均为44⨯的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．在图①中已画出线段AB ，在图①中已画出线段CD ，其中A B C D 、、、均为格点，按下列要求画图：①在图①中，以AB 为对角线画一个菱形AEBF ，且,E F 为格点；①在图①中，以CD 为对角线画一个对边不相等的四边形CGDH ，且,G H 为格点，090CGD CHD ∠=∠=.7．如图①、图①、图①都是33⨯的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．A ，B ，C 均为格点．在给定的网格中，按下列要求画图：（1）在图①中，画一条不与AB 重合的线段MN ，使MN 与AB 关于某条直线对称，且M ，N 为格点．（2）在图①中，画一条不与AC 重合的线段PQ ，使PQ 与AC 关于某条直线对称，且P ，Q 为格点．（3）在图①中，画一个DEF ∆，使DEF ∆与ABC ∆关于某条直线对称，且D ，E ，F 为格点．8．图①、图①、图①均是33⨯的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段AB的端点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求以AB为边画ABC．要求：（1）在图①中画一个钝角三角形，在图①中画一个直角三角形，在图①中画一个锐角三角形；（2）三个图中所画的三角形的面积均不相等；（3）点C在格点上．9．图①、图①、图①均是44⨯的正方形网格，每个小正方形的边长均为1．每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C均为格点，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中找一格点M，按下列要求作图：（1）在图①中，连结MA、MB，使MA MB=．（2）在图①中，连结MA、MB、MC，使MA MB MC==．（3）在图①中，连结MA、MC，使2AMC ABC∠=∠．10．图①、图2均是44的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点A，点B均在格点上，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上．（1）在图①中，以点A，B，C为顶点画一个等腰三角形；（2）在图①中，以点A，B，D，E为顶点画一个面积为3的平行四边形．参考答案：1．（1）作图见解析；（2）作图见解析；（3）作图见解析.【解析】【详解】试题分析：（1）根据勾股定理，结合网格结构，作出两边分别为5的等腰三角形即可；（2）根据勾股定理逆定理，结合网格结构，作出边长为5的正方形；（3）根据勾股定理逆定理，结合网格结构，作出最长的线段作为正方形的边长即可．试题解析：（1）如图①，符合条件的C点有5个：；（2）如图①，正方形ABCD即为满足条件的图形：；（3）如图①，边长为10的正方形ABCD的面积最大．．考点：作图—应用与设计作图．2．（1）见解析；（2）见解析．【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的定义作图可得；（2）根据平行四边形的判定作图可得．【详解】（1）如图①、①所示，①ABC和①ABD即为所求；（2）如图①所示，①ABCD即为所求．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定、等边三角形的性质、平行四边形的判定，正确分析网格特点是解题的关键．3．作图见解析.【解析】【详解】【分析】结合网格特点以及轴对称图形的定义进行作图，然后用全等四边形的定义判断即可得符合题意的图形．【详解】如图所示：【点睛】本题考查了作图﹣轴对称变换，以及全等形的判定，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．4．（1）点D→D1→D2→D经过的路径如图所示见解析；（2）轴对称；（3）周长为8π．【解析】【分析】(1)利用旋转变换的性质画出图象即可；(2)根据轴对称图形的定义即可判断；(3)利用弧长公式计算即可.【详解】解：(1)点D→D1→D2→D经过的路径如图所示：(2)观察图象可知图象是轴对称图形，(3)周长=4×904180π⨯⨯=8π．故答案为(1)点D→D1→D2→D经过的路径如图所示见解析；(2)轴对称；(3)8π．【点睛】本题考查作图——旋转变换、轴对称图形等知识，解题的关键是理解题意，正确画出图形. 5．（1）详见解析；（2）详见解析；（3）详见解析.【解析】【分析】（1）直接利用三角形的面积的计算方法得出符合题意的图形；（2）直接利用三角形面积求法得出答案；（3）根据矩形函数三角形的面积的求法进而得出答案．【详解】解：（1）如图①所示，ABM∆即为所求；（2）如图①所示，CDN∆即为所求；（3）如图①所示，四边形EFGH即为所求；【点睛】考核知识点：作三角形和四边形.利用三角形面积公式求解是关键.6．（1）见解析；（2）见解析.【解析】【分析】（1）根据菱形的定义画出图形即可（答案不唯一）．（2）利用数形结合的思想解决问题即可．【详解】解：（1）如图，菱形AEBF即为所求．（2）如图，四边形CGDH即为所求．【点睛】本题考查作图-应用与设计，菱形的判定和性质，直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．7．（1）图见解析；（2）图见解析；（3）图见解析．【解析】【分析】⨯的正方形网格的对称轴，根据对称性即可在图①中，描出点AB的对（1）先画出一条33称点MN，它们一定在格点上，再连接MN即可．（2）同（1）方法可解；（3）同（1）方法可解；【详解】⨯的正方形网格的对称轴l，描出点AB关于直线l的对称点MN，连解：（1）如图①，33接MN即为所求；（2）如图①，同理（1）可得，PQ即为所求；（3）如图①，同理（1）可得，DEF∆即为所求．【点睛】本题考查了作图-轴对称变换，解决本题的关键是找到图形对称轴的位置．8．见详解（答案不唯一）【解析】【分析】因为点C在格点上，故可将直尺的一角与线段AB点A重合，直尺边长所在直线经过33⨯正方形网格左上角第一个格点，继而以点A为旋转中心，逆时针旋转直尺，当直尺边长所在直线与正方形格点相交时，确定点C的可能位置，顺次连接A、B、C三点，按照题目要求排除不符合条件的C点，作图完毕后可根据三角形面积公式判断其面积是否相等．【详解】经计算可得下图中：图①面积为12；图①面积为1；图①面积为32，面积不等符合题目要求（2），且符合题目要求（1）以及要求（3）．故本题答案如下：【点睛】本题考查三角形的分类及其作图，难度较低，按照题目要求作图即可．9．（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【解析】【分析】（1）由勾股定理可求得AM=BM=5，即可得点M的位置；（2）由勾股定理可求得AB=BC=10，AC=25，即可得22220AB BC AC+==，再由勾股定理的逆定理可判定①ABC为等腰直角三角形，点M即为斜边AC的中点，由此可得点M的位置；（3）作出AB、AC的垂直平分线，交点即为M，M即为①ABC外接圆的圆心，连接AM，CM，根据圆周角定理可得2AMC ABC∠=∠，由此即可确定点M的位置．【详解】（1）如图①所示，点M即为所求．（2）如图①所示，点M即为所求．（3）如图①所示，点M即为所求．【点睛】本题考查了基本作图，解决第（3）题时，确定①ABC外接圆的圆心是解决问题的关键．10．（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的定义画出图形即可：如以B为顶点，AC为底边，即可做出等腰三角形；（2）作底为1，高为3的平行四边形即可．【详解】解：（1）如图①中，此时以B为顶点，AC为底边，该ABC即为所求（答案不唯一）．（2）如图①中，此时底1AE=，高3h=，因此四边形ABDE即为所求．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和平行四边形的性质，解题的关键掌握等腰三角形和平行四边形的基本性质．。
中考数学复习专题之格点问题
A．
B．
C．
D．
解析： 该题考查相似三角形的判断定理，利用网格长度和 勾股定理计算出各条边的长度，再利用对应边成比 例达到判断相似的目的。
【例5】三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则 sinα的值是( ).
3 4
A.
4
3
B. D.
3
4 5
．
C. 5
解析: 该题在网格中考查锐角的 正弦的意义，首先要用勾 股定理计算直角三角形斜 边的长．
解析该题一道人性化的操作型开放题只要理解了轴对称图形的意义选取一条适当的直线作对称轴就可以画出符合题意的图2006年江西中考题请在由边长为正三角形组成的虚线网格中画出一个所有顶点均在格点上且至少有一条边长为无理数的等腰三角形该题画法很多只要利用等腰三角形的轴对称性结合网格特点再考虑到题目中的条件即可
解析: 从题目的语气看，似乎要画直线AB与CD 夹 角的平分线，但是网格中没有画出直线AB与 CD 的夹角，图形的特殊性就在于AC//BD， 又已知AB=CD，因此四边形ABDC是等腰梯 形，线段BD的垂直平分线就是这个等腰梯形 的对称轴．如图，M、N分别为BD、AC的中 点，直线MN上的点到直线AB、CD的距离相 等．恰好点M是格点，以MB为斜边的直角三 角形的直角边长为3和1，这样，斜边在直线 MN上，直角边为3和1的格点直角三角形有3 个，符合题意的点有4个．选C．
C1 C2 C3
B
【例17】已知Rt△OAB在直角坐标系中的位置如图所 示，P（3，4）为OB的中点，点C为折线OAB上的动点， 线段PC把Rt△OAB分割成两部分． 问：点C在什么位置时，分割得到的三角形与Rt△OAB 相似？ （注：在图上画出所有符合要求的线段PC，并求出相 y 应的点C的坐标）
初中网格中的数学问题赏析
初中网格中的数学问题赏析在正方形的网格中，每个小正方形的边长都是相等的，每个小正方形的顶点叫做格点，我们把以格点的连线为边的图形叫格点图形.近年来，各地的中考试卷中频频出现这类与格点有关的数学问题，由于这类与网格有关的中考题大部分具有开放性，设计又新颖，能很好地考查学生的思维水平和思维能力，故很受命题者的青睐.但课本、作业本中这类问题的例题和习题却并不多见，在此，特作梳理，与大家一起赏析.一、网格中的三角形1. （2010·湖南）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数是（）.A． 6 B． 7 C． 8 D． 9分析根据题意，结合图形，分两种情况讨论（如下图）：① AB为等腰△ABC 底边，符合条件的C点有4个；② AB为等腰△ABC其中的一条腰，符合条件的C点有4个.故选C.本题考查了等腰三角形的判定，解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，再利用数学知识来求解.数形结合的思想是数学解题中很重要的解题思想.本题是利用网格提供的相等线段来构图.2. 在如图的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，点A、B是方格纸中的两个格点（即正方形的顶点），在这个5×5的方格纸中，找出格点C使△ABC 的面积为2个平方单位，则满足条件的格点C的个数是（）.A. 5B. 4C. 3D. 2分析 A、B两点的垂直距离为2，那么，只要保证水平距离为2即可使△ABC的面积为2个平方单位；A、B两点的水平距离为1，那么，只要保证垂直距离为4，即可使△ABC的面积为2个平方单位.符合条件的点坐标分别为：C（3，1），C（0，3），C（4，3），C（1，5）.本题考查三角形面积的求法，注意分水平距离和垂直距离两种情况，数学分类思想是一种重要的数学思想.二、网格与三角函数1. （2010·贵州）在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则cos∠B的值为 .分析过点C向上作垂线与AB相交于点D，则∠B是Rt△BCD的一个内角，邻边和斜边均由图可知，所以很容易求出cos∠B的值.或是过点A作垂线交BC的延长线于D，也可求出.本题主要考查了余弦函数的定义，正确理解定义是解题的关键.本题是利用网格提供的垂线，构建直角三角形.2. （2010·四川）如图，∠D的正切值等于 .分析根据同弧所对的圆周角相等，可以把求三角函数的问题，转化为直角三角形边的比的问题.先利用同弧所对圆周角相等，得出∠D=∠A，然后利用正切等于对边比上邻边即可求出.本题考查圆周角的性质及锐角三角函数的概念：在直角三角形中，正弦等于对边比斜边；余弦等于邻边比斜边；正切等于对边比邻边.从网格中很容易找到相关的直角三角形.三、网格与面积1. （2006·苏州）如图，直角坐标系中，△ABC的顶点都在网格点上，其中A点坐标为（2，－1），则△ABC的面积为平方单位.分析根据图形，可以直接写出点A的坐标是（2，-1）.分别过A、B、C三点作垂线，形成一个大矩形，求出大矩形的面积，用大矩形的面积减去三个直角三角形的面积，剩余的面积即为△ABC的面积.此类题要求学生要能够把不规则图形的面积转化为规则图形的面积.有关面积的割补法是解决不规则图形面积的常用方法.本题充分利用网格的特点，构建规则图形.2. （2009·吉林）如图，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得△ABC，则AC边上的高是 .分析先用大正方形的面积减去三个直角三角形的面积得到△ABC的面积，△ABC的面积又等于AC乘以AC边上的高的一半，按这一等量关系列出方程，解出方程即可得出AC边上的高.四、网格与相似如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，△ABC和△DEF的顶点都在方格纸的格点上.（1）?摇判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由；（2）?摇P，P，P，P，P，D，F是△DEF边上的7个格点，请在这7个格点中选取3个点作为三角形的顶点，使构成的三角形与△ABC相似（要求写出2个符合条件的三角形，并在图中连结相应线段，不必说明理由）.分析答案为：△DPP、△DPP、△DPP.本题主要考查学生识图、构图能力和对三角形相似判定知识的理解，对学生的观察力有一定的挑战性.网格中的相等线段以及相等的角对构图起到关键性的作用.五、网格与圆1. （2010· 河北）如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A、B、C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是 .分析连接BC，弦AB、BC垂直平分线的交点即为圆心.本题主要考察学生对垂径定理的理解，和残圆确定圆心的方法.本题是由网格特点直接看出线段的垂直平分线.2. （2010·江苏）．如图，在4×4的方格纸中（共有16个小方格），每个小方格都是边长为1的正方形.O、A、B分别是小正方形的顶点，则扇形OAB的弧长等于（结果保留根号及π）.分析连接AB、AC，分别作它们的垂直平分线，两线交点即为圆心.利用勾股定理求出圆的半径，由图可知扇形OAB圆心角为90°，利用弧长公式即可求出弧长.本题考查了勾股定理及弧长公式的应用.解题的关键是正确地求出扇形的圆心角及半径.3. 如图所示，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（-1,3）、B（-2,-2）、C（4,-2），则△ABC外接圆半径的长度为 .分析先求出线段AB、 AC、 BC的长度，再利用余弦定理求角A的余弦值，从而得到角A的正弦值.再利用正弦定理，即可求得直径.半径为2.连接OC因为C（4，-2），利用勾股定理得半径的长等于根号下，等于，化简为2.六、网格中的运动（2010·江苏）如图在网格图中，⊙A的半径为2个单位长度，⊙B的半径为1个单位长度，要使运动的⊙B与静止的⊙A相内切，应将⊙B由图示位置向左平移个单位长度.分析⊙B与⊙A可以在右边相内切，也可以在左边相内切.当⊙B与⊙A在右边相内切，移动距离为4个单位长度，当⊙B与⊙A在左边相内切，移动距离为6个单位长度.故答案为：4或6.本题主要通过圆的移动来考查圆与圆的位置关系；题目中小圆向左移动，通过观察，可知两圆内切的两种情况，分别求出移动的距离.七、网格与图形的变换1. （2010·辽宁）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点均在格点上，请按要求完成下列各题：（1）以直线BC为对称轴作△ABC的轴对称图形，得到△ABC，再将△ABC绕着点B逆时针旋转90°得到△ABC，请依此画出△ABC、△ABC；（2）求线段BC旋转到BC过程中所扫过的面积（计算结果用π表示）；（3）求点C旋转过程所经过的路径长.分析（1）根据对称的性质，画出图形；（2）BC旋转到BC的过程中，旋转角为90°，半径为4，由弧长公式计算即可.所以B点所经过的路线长度是2π.本题考查了学生画一个图形的对称图形以及弧长公式的应用的能力.2. （2010·湖北）如图，在方格纸上△DEF是由△ABC绕定点P顺时针旋转得到的.如果用（2，1）表示方格纸上A点的位置，（1，2）表示B点的位置，那么点P的位置为（）.A. （5，2）B. （2，5）C. （2，1）D. （1，2）分析连接AD、CF，再做这两线段的垂直平分线，交点就是点P.根据点A、点B 的坐标建立平面直角坐标系，然后写出点P的坐标.此题属于中等难度题，主要考查的知识点是旋转及其相关的性质，旋转的中心在连接对应点的垂直平分线上，做出两条垂直平分线，它们的交点就是旋转的中心点.3. （2010· 甘肃）如图均为7×6的正方形网格，点A、B、C在格点（小正方形的顶点）上.（1）在图中确定格点D，并画出一个以A、B、C、D为顶点的四边形，使其为轴对称图形；（2）在图中确定格点E，并画出一个以A、B、C、E为顶点的四边形，使其为中心对称图形.分析第（1）题可以将点A向下平移四格得到点D，或是将点A向右平移两格得到点D.第（2）题可以将点A向右平移一格得到点E，两题方法均不唯一，此题比较灵活地考查了等腰梯形、平行四边形、矩形的对称性，是道好题.八、网格与概率一只蚂蚁在如图所示的图案内任意爬动一段时间后停下，蚂蚁停在阴影内的概率为 .分析先确定黑色区域的面积与总面积的比值，此比值即为所求的概率.本题主要考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率.网格对化不规则图形为规则图形提供了帮助，方便学生求出阴影部分的面积.九、网格与规律（2006·温州）在边长为l的正方形网格中，按下列方式得到“L”形图形，第1个“L”形图形的周长是8，第2个“L”形图形的周长是，第三个“L”形图形的周长是，则第n个“L”形图形的周长是 .分析第1个“L”形图形的周长是8＝4＋4，第2个“L”形图形的周长是12＝4＋2×4，第3个“L”形图形的周长是16＝4＋3×4，……，第n个“L”形图形的周长是4＋n×4，即4n＋4．本题也可以这样来分析：平移“L”形的上面和右下的两边，第1个“L”形图形周长变成一个正方形周长加上4，即4＋4，第2个“L”形图形周长为4＋2×4，第3个“L”形图形周长为4＋3×4，第n个“L”形图形的周长是4＋n×4.用整式描述几何图形的规律在近几年的中考题中经常出现，这类题目把几何和整式结合起来考查，使试题难度增大.它既考查学生的识图能力，又考查学生的判断推理能力.通过以上分析，我们不难发现：网格中的数学问题，往往是把网格的特点与数学问题有机结合起来.网格可以提供相等的线段、相等的角、垂线、平行线、化不规则图形为规则图形等.还能够很方便地进行图形的翻折、平移、旋转等.同学们在解决这类问题时，既要有札实的数学基础，灵活运用相关数学知识，还要注意结合网格的特点来分析和解决问题.。
三角形中的格点数量问题
三角形中的格点数量问题在数学的世界里，有许多有趣和复杂的问题，其中之一就是三角形中的格点数量问题。
这个问题看似简单，却蕴含着丰富的数学内涵，同时也有着广泛的应用。
三角形中的格点数量问题，即求解一个给定三角形内部整点的个数。
在这里，我们所说的整点，是指坐标均为整数的点。
为了更好地理解这个问题，我们先来看一些关于格点的基础知识。
格点是平面上坐标为整数的点，通常用(x, y)表示，其中x和y都是整数。
在平面上，我们可以将整个区域分成许多小正方形，每个小正方形的一个顶点为一个格点。
这些小正方形被称为单位正方形，它们是格点的基本单位。
对于给定的三角形，我们可以通过单位正方形的个数来估计三角形内部的格点数量。
接下来，我们来探讨三角形中格点数量问题的一些基本情况。
首先，我们考虑由x、y轴以及一般的斜线所构成的三角形。
对于这样的三角形，我们可以通过坐标轴上的格点、横坐标在某一整数范围内的点以及纵坐标在某一整数范围内的点来计算三角形内部格点的数量。
其次，我们考虑更为一般的情况，即一般的三角形内部的格点数量。
对于这样的三角形，我们可以通过许多方法来求解。
其中一种方法是通过数学的思维和技巧来计算。
通过将三角形内部的整点进行分类，我们可以得到更简洁有效的计算方式。
这种方法需要运用大量的数学知识，包括数论、代数、几何等领域的知识。
另一种方法是通过计算机的辅助来求解。
由于三角形内部的格点数量问题计算过程繁琐，需要大量的计算，因此借助计算机的算法和计算能力可以更快地得到结果。
通过编写程序，我们可以通过循环、递归等方式来穷举三角形内部的整点，并最终得到格点的数量。
除了上述的两种方法外，我们还可以利用组合数学和概率论的知识来求解三角形中格点的数量。
通过建立数学模型，我们可以把三角形内部的问题转化为一些有关排列组合的问题，并通过概率论的方法来估计格点的数量。
这种方法在理论分析和实际应用中都有着重要的意义。
在实际应用中，三角形中格点数量问题也有着广泛的用途。
一文搞定初中数学网格问题
一、网格题型在中考数学中的10大考点梳理网格问题，近年来在一些省市的中考试卷中频频出现，这类问题虽然出现在小网格中，却隐藏着大智慧，从中可以开发智力，发展思维．笔者以中考试题为例，说明小网格中的大智慧．一、正方形网格（一）全网格形全网格形是指有完整的网格的题型．1．网格中求坐标例1：如图1，在一单位为1的方格纸上，△A1A2A3，△A3A4A5，△A5A6A7，…都是斜边在x轴上、斜边长分别为2，4，6，…的等腰直角三角形．若△A1A2A3的顶点坐标分别为A t(2，0)，A2（1，－1），A3(0，0)，则依图中所示规律，A2012的坐标为________．分析：由于2012是4的倍数，故A1~A4；A5～A8；…每4个为一组，可见，A2012在x轴上方，横坐标为2，再根据纵坐标变化找到规律即求得纵坐标为1006．答案：(2，1006)2．网格与等腰三角形例2：如图2所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点°已知A、B是两格点，如果C 也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点G的个数是()(A)6(B)7(C)8(D)9分析：有两种情况：①AB为等腰△ABC底边，C在A B的中垂线上，因此，符合条件的C点有4个；②AB为等腰ABC其中的一条腰，符合条件的C点有4个，应选C．本题考查了等腰三角形的判定，解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形．3．网格与直角三角形例3：如图3，在网格中有一个直角三角形（网格中的每个小正方形的边长均为1个单位长度）．若以该三角形一边为公共边画一个新三角形与原来的直角三角形一起组成一个等腰三角形，要求新三角形与原来的直角三角形除了有一条公共边外，没有其它的公共点，新三角形的顶点不一定在格点上．那么符合要求的新三角形有()(A)4个(B)6个(C)7个(D)9个分析：根据题意可知：如图4，以原三角形AB边为公共边的三角形有4个，分别如图上D1，D2，D3，D4；以原三角形BC边为公共边的三角形有2个，分别如图上D5，D6；以原三角形AC边为公共边的三角形只有1个，如图上D．符合要求新三角形有7个，选C例4：如图5是5×5的正方形网格，△ABC的顶点都在小正方形的顶点上，像△ABC这样的三角形叫格点三角形．画与△ABC有一条公共边且全等的格点三角形，这样的格点三角形最多可以画出_______个．分析：如图6，以BC为公共边可画出△BDC，△BEC，△BFC三个三角形和原三角形全等；以AB为公共边可画出三个三角形△ABC、△ABM、△AB H和原三角形全等，所以可画出6个．5．网格与相似例5：图7所示4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是()[来源学*科*网][来源学科网Z XX K]分析：根据勾股定理，得BC＝，AB，AC；根据勾股定理的逆定理可判断△ABC为直角三角形，∠ABC＝90°，BC：AB＝1：2．在四个图形中，显然答案B中的三角形为直角三角形且两条直角边的比为1：2，选B．例6：如图8，在3×5的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，求图中点A到P Q的距离A H的长．分析：连结A P，AQ组成一个三角形．你可以用长方形面积减去三个直角三角形求得[来源学科网]出△A P Q的面积，而S△A P Q＝12P Q×A H，P Q的长用勾股定理计算，求得答案为755．7．网格中求三角函数[来源:Z xx k.C o m]例7：如图9，在正方形网格中有△ABC，则s i n∠ABC的值等于()（A）31010（B）1010（C）13（D）10分析：首先利用勾股定理分别算出AB、BC、AC的长度，再利用勾股定理的逆定理得出∠ACB＝90°，最后根据锐角三角函数的定义求出s i n∠ABC的值，选B．8．网格与圆例8：如图10，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O 的圆心O 在格点上，点A 、B 、C 、E 也都在格点上，CB 与⊙O 相交于点D ，连结ED ，则∠AED 的正切值等于_______．分析：本题是锐角三角函数的定义和圆周角的运用，解答本题的关键是利用同弧所对的圆周角相等把求∠AED 的正切值转化成求∠ACB 的正切值．tan ∠AED ＝tan ∠ABC ＝12AC AB ．（二）局部网格形局部网格形指是网格图案的一部分，需要通过添线补全网格的题型．例9：如图11(1)，每个小正方形的边长为1，A 、B 、C 是小正方形的顶点，则∠ABC 的度数为()(A )90°(B )60°(C )45°(D )30°分析：先把局部网格补全成如图11(2)所示，易见△ACD 与△CBE 全等，可得出AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，所以∠ABC ＝45°．选C ．二、长方形网格例10：如图12，在长方形网格中，每个小长方形的长为2，宽为1，A、B两点在网格格点上，若点C也在网格格点上，以A、B、C为顶点的三角形面积为2，则满足条件的点C 个数是()(A)2(B)3(C)4(D)5[来源学科网]分析：底和高分别是4和1的有两个，底和高分别是2和2的有两个，选C．二、中考网格型试题赏析近几年中考中，网格型试题可谓大放异彩，这类试题构思精巧、形式活泼，能很好地考查图形变换、勾股定理、相似等数学知识，体现分类讨论、数形结合等重要的数学思想，当网格作为背景与双曲线、抛物线、圆、三角形结合时，更会出现许多让人意想不到的思路、方法，使我们在解题中感受到无穷的乐趣，本文撷取其中的几例进行解析，供参考．一、网格与双曲线结合例1：在边长为1的4×4方格上建立直角坐标系（如图1），在第一象限内画出反比例函数16y x =、6y x =、4y x=的图象，它们分别经过方格中的一个格点、二个格点、三个格点；在边长为1的10×10方格上建立直角坐标系（如图2），在第一象限内画出反比例函数的图象，使它们经过方格中的三个或四个格点，则最多可画出()条．(A )12(B )13(C )25(D )50分析：易知系数k 为合数，且能分解成两个均不超过10的正整数的乘积的形式．如4＝1×4＝2×2，则反比例函数4y x=的图象经过以下3个格点：(1，4)，(2，2)，(4，1)．6＝1×6＝2×3，则反比例函数6y x =的图象经过以下4个格点：(1，6)，(2，3)，(3，2)，(6，1)．经过尝试，符合条件的k 值共有13个，分别为：4，6，8，9，10，12，16，18，20，24，30，36，40．所以，经过方格中的三个或四个格点的反比例函数的图象最多可以画出13条．故选B ．二、网格与抛物线结合例2：已知图3中的每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点，请你在图中任意画一条抛物线，问所画的抛物线最多能经过81个格点中的多少个？()(A )6(B )7(C )8(D )9分析：我们先解决如下问题：对于抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c ，当a 、b 、c 满足什么条件时，当x 取任意整数时，函数值y 都是整数？（为叙述方便，不妨假设抛物线开口向上．）当x ＝0时，y ＝c ；当x ＝l 时，y ＝a ＋b ＋c ．∴c 为整数，a ＋b ＋c 为整数，∴a ＋b 必为整数，又∵当x ＝2时，y ＝4a ＋2b ＋c ＝2a ＋2(a ＋b )＋c 是整数，∴2a 必为整数，∴a 应为12的整数倍，即a ＝12，1，32，2，…从对称的角度考虑，建立如图4所示的平面直角坐标系．(1)若抛物线的顶点在格点上，要使抛物线尽可能多地经过格点，显然应使抛物线过原点．所画抛物线y ＝ax 2（n ＝12，1，32，2，…）最多能经过5个格点．(2)若抛物线的顶点不在格点上，要使抛物线尽可能多地经过格点，显然应使抛物线），＝ax 2＋bx ＋c 过原点和(1，0)．所画抛物线y ＝ax (x －1)（a ＝12，1，32，2，…）最多能经过8个格点．此时a ＝12，这8个格点分别为：(－3，6)，（－2，3），（－1，1），(0，0)，(1，0)，(2，1)，(3，3)，(4，6)．[来源学&科&网Z&X &X &K]综上所述，抛物线最多能经过81个格点中的8个，故选C ．三、网格与圆结合例3：请你在12×12的网格图形中任意画一个圆，则所画的圆最多能经过169个格点中的____个格点．分析：从对称的角度考虑，建立如图5所示的平面直角坐标系．(1)如图5，若圆心在格点上，要使圆尽可能多地经过格点，显然应使圆心过原点，所画圆最多能经过12个格点，此时圆的半径为5．这12个格点分别为：(0，5)，(3，4)，(4，3)，(5，0)，[来源学§科§网](4，－3)，（3，－4），（0，－5），（－3，－4），(－4，－3)，（－5，0），（－4，3），（－3，4）．(2)如图6，若圆心不在格点上，要使圆尽可能多地经过格点，显然应使圆心过（12，12），所画圆最多能经过16个格点，此时圆的半径为2，这16个格点分别为：(2，6)，(4，5)，(5，4)，(6，2)，（6，－1），（5，－3），（4，－4），（2，－5），（－1，－5），（－3，－4），（－4，－3），(－5，－1)，（－5，2），（－4，4），（－3，5），（－1，6）．综上所述，所画的圆最多能经过169个格点中的16个格点．四、网格与三角形结合例4：如图7，将△ABC 放在每个小正方形的边长为1网格中，点A 、B 、C 均落在格点上．(1)△ABC 的面积等于____；(2)若四边形DEF G 是△ABC 中所能包含的面积最大的正方形，请你在如图7所示的网格中，用直尺和三角尺画出该正方形，并简要说明画图的方法．分析：(1)S △ABC ＝12×4×3＝6；(2)如果正方形的一边落在三角形的一边上，其余两个顶点分别在三角形的另外两条边上，则这样的正方形面积是最大的．如图8，在△ABC 中，AB ＝c ，AB 边上的高CN ＝h c ，△ABC 的面积为S ，正方形的一边DE 落在AB 上，其余两个顶点F 、G 分别在BC 、AC 上．设正方形DEF G 的边长是x．所以，图8中正方形一边落在AB 边上，另两个顶点落在其他两边上时，121212744x ==+；图8中正方形一边落在BC边上，另两个顶点落在其他两边上时，图8中正方形一边落在AC 边上，另两个顶点落在其他两边上时，[来源学科网Z|X X|K]∴当正方形一边落在BC边上时，正方形DEF G的面积最大．画法一：如图9，在AB上任取一点P，作P Q⊥BC于点Q，以P Q为一边在△ABC内部画正方形P QMN；作射线BN交AC于点D，过点D作D G⊥BC于点G，作DE⊥D G交AB 于点E，过点E作EF⊥BC于点F，则四边形DEF G即为所求．证明：由画图过程易得四边形DEF G为矩形，∵D G⊥BC，NM⊥BC，∴D G//NM，画法二：如图10，取格点P，连结P C，过点A画P C的平行线，与BC交于点Q，连结P Q 与AC相交得点D；过点D画CB的平行线，与AB相交得点E，分别过点D、E画P C的平行线，与CB相交得点G、F，则四边形DEF G即为所求．证明：由画图过程易得四边形DEF G为平行四边形，[来源学科网]由格点P的位置易判断P C＝CB，且P C⊥CB，∴D G⊥CB，∴平行四边形DEF G为矩形。
初三数学 格点问题资料
初三数学格点问题一、网格中的图形变换1.如图，正方形网格图中每个小正方形边长都为1，每格的顶点叫做格点。
（1）以格点为顶点画出三边长分别为23104、、的ABC∆，并求出三角形的面积；（2）画出ABC∆的外接圆的圆心O，并求出这个外接圆的面积。
（π取14.3）二、网格中的计算问题2.图2是由边长为1m的正方形地砖铺设的地面示意图，小明沿图中所示的折线从A→B→C所走的路程为________m．（结果保留根号）图2 图3 图4 图53.如图3，在边长为1的正方形网格中，•按下列方式得到“L”形图形．第1个“L”形图形的周长是8，第2•个“L•”形图形的周长是12，则第n个“L”形图形的周长是______．4.如图4，直角坐标系中，△ABC•的顶点都在网格点上，其中，A点坐标为（2，-1），则△ABC的面积为________平方单位.5.如图，在6×6的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，其中A、B、C为格点．作△ABC的外接圆⊙O，则弧AC的长等于三、网格中的计数问题6.如图6，在长方形网格中，每个小长方形的长为2，宽为1，A．B两点在网格格点上，若点C也在网格格点上，以A．B．C为顶点的三角形面积为2，则满足条件的点C个数是个.第6题第7题第7题A BCC’B’7.如图7，A 、B 、C 三点在正方形网格线的交点处，若将△ACB 绕着点A 逆时针旋转得到△AC ’B ’，则tanB ’的值为8.如第8题图，1∠的正切值等于 。
四、网格中的相似图形1. 如图2，若A 、B 、C 、P 、Q 、甲、乙、丙、丁都是方格纸中的格点，为使△ABC ∽△PQR ，则点R 应是甲、乙、丙、丁四点中的A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁2．有一张足够大的网格图，每一小格都是边长为a 正方形，每格的顶点叫做格点。
网格上有如右图的D C B A ,,,四点，连接AD BC AC AB 、、、。
（１）请问在网格上可以找到几个格点（记这个点为E ）使得以点E D A 、、为顶点的ADE ∆与ACD ∆相似；选择其中的一点，来说明ADE ∆与ACD ∆相似。
浅谈初中数学中的格点问题
浅谈初中数学中的格点问题我国新一轮数学课程改革确立了崭新的理念，在课程目标上突出体现基础性、普及性和发展性；在数学学习的内容强调现实的、有意义的和富有挑战性的；学生成为数学学习的主人，教师成为数学学习的组织者、引导者与合作者。
初中数学中的格点问题就为体现这个理念而成为一个很好的素材。
“格点问题”能够加强学生基础知识，提高基本技能同时能够逐步培养学生的运算能力、空间想象能力、逻辑推理能力。
“格点问题”突出了“数形结合”的数学思想方法，考查了学生对图形的观察力和对数学规律的发现探究能力，还考查了学生的创新意识、决策意识和实践能力。
“格点问题”现已成为中考中的热点题型，其题型多样，涉及的知识点十分广泛，综合性很强。
一、格点的含义在平面直角坐标系中,纵横坐标都是整数的点称为格点(也称为整点)。
数学上把在平面直角坐标系中横纵坐标均为整数的点称为格点或整点。
二、面积的计算问题1.任何一个格点多边形的面积都是可以用割补法来计算的，当然有时也有特殊的方法。
例如.我们很容易用割补法求下列各个格点多边形的面积.。
2.勾股定理的发现与证明就充分显示了格点图的魅力我国早在三千多年前，就发现并证明了勾股定理。
分别计算三个正方形的面积，并比较它们的大小关系就能得到直角三角形中：两边的平方和等于第三边的平方，即AB2=AC2+BC2。
我国历代数学家关于勾股定理的论证方法有多种，为勾股定理作的图注也不少，其中较早的是赵爽（即赵君卿）在他附于《周髀算经》之中的论文《勾股圆方图注》中的证明。
采用的是割补法：图中的四个直角三角形涂上朱色，把中间小正方形涂上黄色，叫做中黄实，以弦为边的正方形称为弦实，然后经过拼补搭配，“令出入相补，各从其类”，他肯定了勾股弦三者的关系是符合勾股定理的。
即“勾股各自乘，并之为弦实，开方除之，即弦也”。
赵爽对勾股定理的证明，显示了我国数学家高超的证题思想，较为简明、直观。
三、三角形相互关系问题1.格点三角形的全等问题例：以5×5的正方形网络，以点D、E为两个顶点作位置不同的格点三角形，使所作的格点三角形与△ABC全等，这样的格点三角形最多可以画出多少个？容易得到四个这样的格点三角形，如图3。
角格点问题八种方法
角格点问题八种方法解决角格点问题的八种方法角格点问题是指在给定的坐标系中，寻找或判断一个点是否处于角或格点上的问题。
这个问题在数学和计算机科学领域中经常出现，可以应用于图像处理、地理信息系统等领域。
下面介绍八种常用的解决角格点问题的方法。
1. 暴力搜索法：该方法简单粗暴，依次判断每个点是否处于角或格点上。
但是，由于计算量较大，对于大规模的数据集并不适用。
2. 坐标取整法：将点的坐标取整，如果取整后的坐标和原坐标相同，则说明该点是角或格点。
这种方法简单高效，适用于二维平面上的问题。
3. 几何判断法：利用几何特性，判断点和坐标轴之间的关系。
根据点在坐标系中的位置，可以判断是否处于角或格点上。
4. 矩阵计算法：将点的坐标表示为矩阵形式，并通过对矩阵进行计算来判断点是否处于角或格点上。
这种方法适用于线性代数相关问题。
5. 质数判断法：通过判断点的横纵坐标是否为质数，来确定点是否为角或格点。
这种方法简单直观，但只适用于正整数的坐标。
6. 数论方法：利用数论的知识，通过计算点的坐标是否满足某些特定性质来确定角或格点。
这种方法需要一定的数学基础。
7. 离散傅里叶变换法：将点的坐标作为离散信号，通过傅里叶变换将其转化为频域表示，从而判断点是否处于角或格点上。
8. 网格判断法：将坐标系分割成网格，在每个网格中判断点是否处于角或格点上。
这种方法适用于离散数据集。
通过上述八种不同的方法，我们可以解决角格点问题。
根据具体的应用场景和数据特点，选择合适的方法可以提高计算的效率和准确性。
请根据实际情况选择适合的解决方法。
中考数学复习15 格点问题
格点问题【第一部分】格点问题中的三角函数及三角形1.网格中的每个小正方形的边长都是1，△ABC每个顶点都在网格的交点处，则sinA=______________.2.如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点P，则tan∠APD的值是．3.如图，在4×4的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点都在格点上，则图中∠ABC的余弦值是_________.4.如图，在正方形网格中，△ABC的顶点都在格点上，则tan∠ACB的值为．5.如图，6个形状、大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点．已知菱形的一个角（∠O）为60°，A，B，C都在格点上，则tan∠ABC的值是．6.如图，网格中的四个格点组成菱形ABCD，则tan∠DBC的值为_________．7. 如图1是由边长为1的小正方形组成的网格，点A 、B 、C 、D 都在网格的格点上，AC 、BD 相交于点O ．（一）探索发现（1）如图1，当AB=2时，连接AD ，则∠ADO=90°，BO=2DO ，AD=2，BO=232，tan ∠AOD=_________． 如图2，当AB=3时，画AH ⊥BD 交BD 的延长线于H ，则AH=223， BO=________，tan ∠AOD=________． 如图3，当AB=4时，tan ∠AOD=__________．（2）猜想：当AB=n （n ＞0）时，tan ∠AOD=______________．（结果用含n 的代数式表示），请证明你的猜想． （二）解决问题（3）如图，两个正方形的一边CD 、CG 在同一直线上，连接CF 、DE 相交于点O ，若tan ∠COE=1317，求正方形ABCD 和正方形CEFG 的边长之比．【第二部分】 格点问题中的尺规作图【找中点】例一、做出BC 中点P①根据长方形性质找中点 ②根据平行四边形性质找中点【找三等分点】例二、①在BC上找点P，使PB:PC=2:1 ②在BC上找点P，使PC:PB=2:1总结：构造线段n等分点：①在一组平行线里找到线段两端；②在平行线上找到1与（n-1）长度的线段；③连接端点与已知线段交点即为所求。
点可点,非常点：中学数学中的格点问题
点可点，非常点：中学数学中的格点问题格点是中学数学中的一种特殊问题，利用图形的坐标和点的关系，可以使学生了解数学的基本概念，同时可以增强学生的空间想象力，为他们提供理论计算的基础，也可以把学生从数学的理论推理中解放出来，让他们通过简单的观察、推理和假设，结合实际情况，对格点问题有更深入的了解。
在高级数学中，更加深入，更加重要的格点问题也被提出，以便更好地探究空间几何问题。
格点问题也被用来表示和解决复杂的实际问题。
根据有限的约束条件，用格点离散化的方法，可以把复杂的实际问题给简化，并能够建立数学模型来分析它们，从而获得更好的解决方案。
这种离散化的方法被用来解决更多的复杂问题，其中就包括生物信息学、金融计算和电脑编程等。
格点作为中学数学中的一种特殊问题，在中学课上被普遍地使用，并被认为是从初等数学走向高等数学的重要一步，它能够让学生们运用基本的空间概念来理解格点问题的欧几里得几何的精髓。
因此，在中学数学课上，老师有必要把格点问题纳入数学教学计划中，以便为学生提供基础的理论和实践的培训，帮助他们理解并能够解决相关的问题。
首先，在教学过程中，老师要以简单的格点示意图作为开始，引导学生了解基本的概念，以便他们能够准确解决这些问题，比如在一个正方形中，如何用四个点来表示四边形的面积、周长，如何通过两个点之间的距离来判断它们是否在一个直角三角形中，以及犹太亚伯拉罕点、牛顿点等各种格点问题。
这些格点问题的易于解释、简单明了，可以让学生更好地理解相关的概念和算法，从而促进他们的学习。
此外，通过运用空间图形工具，比如电脑软件、教学模型等，老师可以让学生更加直观、形象地看到格点问题，进一步提高他们对空间几何的理解。
比如，学生可以用空间图形来绘制一个圆，并且把它从二维到三维的变换过程显示出来，这样，学生就可以更清楚地了解圆的概念。
同时，格点和数学建模、程序设计也是当代教育中两个非常重要的课程，它们的知识丰富、有趣，可以让学生从基础的推理思维和计算思维中获益。
格点问题解法探析
格点问题解法探析龚㊀杰(江苏省南通市海门区海南中学㊀２２６１００)摘㊀要:格点问题是一种具有创新意味的题目ꎬ是检验学生数学学习能力深度的检验标尺ꎬ是数学综合知识与方法的典型代表ꎬ值得一线教师深思和探究.关键词:格点ꎻ创新ꎻ学习能力中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２２)３５－００１１－０３收稿日期:２０２２－０９－１５作者简介:龚杰(１９８３.２－)ꎬ女ꎬ江苏省南通人ꎬ本科ꎬ中学一级教师ꎬ从事中学数学教学研究.㊀㊀格点问题是数学创新题的重要题型之一ꎬ如何熟练掌握并灵活解答这类问题ꎬ值得我们进行深入探究.以下就格点问题进行探索.１作指定边上的高ꎬ三等分三角形的面积例１㊀如图１是由小正方形组成的６ˑ６网格ꎬәＡＢＣ的三个顶点Ａ㊁Ｂ㊁Ｃ都在格点上.用无刻度的直尺ꎬ运用所学的知识作图(保留作图痕迹).(１)在图１中作әＡＢＣ的高ＣＤꎻ图１(２)在图２㊁图３中ꎬ分别用两种不同的方法ꎬ将әＡＢＣ分割成三个面积相等的三角形.图２图３分析㊀(１)如图１ꎬ取点Ｅꎬ连接ＣＥꎬ交ＡＢ于点Ｄꎬ用ＳＳＳ证明әＥＢＣɸәＢＦＡꎬ利用互余原理证明.(２)方法１㊀取ＢＣ的中点ꎬ构造三角形ＡＢＣ的一条中线ꎻ利用三角形中位线定理ꎬ确定ＡＢ的中１１点ꎬ确定另外一条中线ꎬ中线的交点就是三个三角形的公共顶点ꎬ与三角形ＡＢＣ的顶点构成的三角形就是所求.方法２㊀如图３ꎬ连接ＡＤꎬ则ＣＦ＝ＦＥ＝ＥＤ＝１ꎬ利用平行四边形的判定ꎬ平行线分线段成比例定理ꎬ确定ＡＣ的三等分点ꎬ利用等底同高的三角形面积相等ꎬ实现解题目标.解㊀(１)如图ꎬ取点Ｅꎬ连接ＣＥꎬ交ＡＢ于点Ｄꎬ则ＡＦ＝ＣＢ＝４ꎬＦＢ＝ＢＥ＝２ꎬＡＢ＝ＣＥ＝２２＋４２＝２５ꎬ所以әＥＢＣɸәＢＦＡꎬ所以øＢＡＦ＝øＥＣＢꎬ因为øＡＢＦ＋øＢＡＦ＝９０ʎꎬ所以øＡＢＦ＋øＥＣＢ＝９０ʎꎬ所以øＢＤＣ＝９０ʎꎬ于是ＣＤ即为所求的高.(２)方法１㊀如图２ꎬ取ＢＣ的中点Ｄꎬ连接ＡＤꎬ则ＡＤ是三角形ＡＢＣ的中线ꎬ取ＢＧ的中点Ｈꎬ设Ｈ所在直线与ＡＢ的交点为Ｍꎬ因为ＨＭʊＡＧꎬＢＨ＝ＨＧꎬ所以ＨＭ是әＡＢＧ的中位线ꎬ于是Ｍ是ＡＢ的中点ꎬ连接ＣＭ交ＡＤ于点Ｆꎬ则әＡＢＦ㊁әＡＣＦ㊁әＢＣＦ即为所求.方法２㊀如图３ꎬ连接ＡＤꎬ则ＣＦ＝ＦＥ＝ＥＤ＝１ꎬ连接ＥＧꎬ交ＡＣ于点Ｍꎬ因为ＡＧ＝ＤＥ＝１ꎬＡＧʊＤＥꎬ所以四边形ＡＧＥＤ是平行四边形ꎬ所以ＡＤʊＧＥ.连接ＦＨꎬ交ＡＣ于点Ｎꎬ因为ＧＨ＝ＥＦ＝１ꎬＧＨʊＥＦꎬ所以四边形ＥＧＨＦ是平行四边形ꎬ所以ＡＤʊＮＦꎬ所以ＭꎬＮ是ＡＣ的三等分点ꎬ则әＡＢＭꎬәＭＢＮꎬәＮＢＣ即为所求.点评㊀画图时ꎬ把握好如下几个关键点:准确理解等腰三角形的性质ꎬ灵活选择三角形全等ꎬ是解题的基础.灵活运用平行四边形的判定和性质ꎬ也是画图时重要依据之一ꎬ也是画图时需要思考的重要方向ꎻ准确把握和运用三角形中位线定理也是画图的重要知识支撑ꎬ也是知识综合能力重要体现.２作指定底边的等腰三角形例２㊀如图４ꎬ在１０ˑ１０的正方形网格中ꎬ点ＡꎬＢ均在格点上ꎬ请按要求画图.图４在图中找一点Ｃꎬ使得әＡＢＣ是以ＡＢ为底的等腰三角形.分析㊀以最左下端点为原点ꎬ以水平格线为ｘ轴建立平面直角坐标系ꎬ确定ＡꎬＢ的坐标ꎬ设Ｃ(ｘꎬｙ)ꎬ根据ＣＡ＝ＣＢꎬ建立方程ꎬ化简得到点Ｃ的运动直线解析式ꎬ根据点Ｃ是格点ꎬ确定方程的整数解ꎬ从而确定等腰三角形的位置.解㊀如图４ꎬ以最左下端点为原点ꎬ以水平格线为ｘ轴建立平面直角坐标系ꎬ则点Ａ(５ꎬ５)ꎬ点Ｂ(６ꎬ２)ꎬ设Ｃ(ｘꎬｙ)ꎬ因为ＣＡ＝ＣＢꎬ所以(ｘ－５)２＋(ｙ－５)２＝(ｘ－６)２＋(ｙ－２)２ꎬ㊁所以ｙ＝ｘ＋５３ꎬ因为点Ｃ是格点ꎬ所以ｘꎬｙ都是整数.当ｘ＝１时ꎬｙ＝２ꎬ此时得到Ｃ３(１ꎬ２)ꎬ连接Ｃ３ＡꎬＣ３Ｂꎬ则әＣ３ＡＢ即为所求ꎻ当ｘ＝４时ꎬｙ＝３ꎬ此时得到Ｃ１(４ꎬ３)ꎬ连接Ｃ１ＡꎬＣ１Ｂꎬ则әＣ１ＡＢ即为所求ꎻ当ｘ＝７时ꎬｙ＝４ꎬ此时得到Ｃ２(７ꎬ４)ꎬ连接Ｃ２ＡꎬＣ２Ｂꎬ则әＣ２ＡＢ即为所求ꎻ当ｘ＝１０时ꎬｙ＝５ꎬ此时得到Ｃ４(１０ꎬ５)ꎬ连接Ｃ４ＡꎬＣ４Ｂꎬ则әＣ４ＡＢ即为所求ꎻ选择一种位置ꎬ画图如图４.点评㊀画图时ꎬ要把握好如下几点:正确理解等腰三角形的判定ꎬ这是画图的基础所在ꎻ学 ２１会把点的位置确定转化为点的坐标来求解ꎬ借助方程的整数解实现解题目标ꎬ这种数学思维显得很重要.３画菱形㊁正方形例３㊀如图５ꎬ在每个小正方形的边长均为１的方格纸中ꎬ有线段ＡＢ和线段ＣＤꎬ点Ａ㊁Ｂ㊁Ｃ㊁Ｄ均在小正方形的顶点上.图５(１)在方格纸中西出以ＡＢ为对角线的正方形ＡＥＢＦꎬ点Ｅ㊁Ｆ在小正方形的顶点上ꎻ(２)在方格纸中面出以ＣＤ为一边的菱形ＣＤＭＮꎬ点Ｍ㊁Ｎ在小正方形的顶点上ꎬ且菱形面积为８ꎻ请直接写出әＥＦＮ的面积.分析㊀(１)先计算ＡＢ＝２５ꎬ后计算正方形的边长为１０ꎬ利用勾股定理的逆定理判定有一个角是直角即可.(２)根据菱形的边长为１０ꎬ画出符合题意的图形即可ꎬ不是唯一的ꎬ面积为底乘以高计算.解㊀如图５ꎬȵＡＢ＝４２＋２２＝２５ꎬʑ正方形的边长为１０ꎬ作线段ＡＥ＝ＥＢ＝ＢＦ＝ＦＡ＝１０ꎬʑ四边形ＡＥＢＦ是菱形ꎬ因为ＡＦ２＋ＦＢ２＝１０＋１０＝２０＝(２５)２＝ＡＢ２ꎬ所以øＡＦＢ＝９０ʎꎬ故四边形ＡＥＢＦ是正方形即为所求.(２)如图５ꎬ菱形的边长为１０ꎬ作线段ＣＤ＝ＤＭ＝ＭＮ＝ＮＣ＝１０ꎬ所以四边形ＣＤＭＮＦ是菱形ꎬʑәＥＦＮ的面积为１２ˑ２ˑ４＝４.点评㊀通过问题的解决ꎬ有如下几点感悟:灵活运用勾股定理ꎬ用直尺画图即可ꎻ画图也有结论的开放型特点ꎬ解答时ꎬ需要展开视野ꎬ深刻思维ꎬ在作图中培养数学发散思维的能力ꎻ作图与计算是两种能力的有机交融ꎬ作图是动手操作能力ꎬ计算是数学最基础最基本的计算能力ꎬ作图讲究技能ꎬ计算也要讲究技巧ꎬ这也提醒大家ꎬ常态学习中ꎬ要重视和运用每一个知识点ꎬ不能因为思维定势ꎬ思维习惯ꎬ计算习惯ꎬ而错失历练发散思维的好机会.４解后反思首先ꎬ格点正方形问题题型新颖ꎬ在考试中会让学生耳目一新ꎬ颇感兴奋ꎻ其次ꎬ格点图形简单ꎬ考查知识明确ꎬ解答时需要用如下方法解决:通常把格点正方形的边长看成１ꎬ便于计算ꎻ格点线段ꎬ连接格点所得到的线段ꎻ格点线段一定是某个直角三角形的斜边ꎻ运用勾股定理一定可求格点线段的长度ꎻ运用勾股定理逆定理可以判定格点三角形的形状ꎻ把特殊三角形ꎬ特殊四边形的性质ꎬ判定和性质ꎬ往往也是解题的重要思考方向ꎬ甚至是解题的首选.参考文献:[１]周云云ꎬ左效平.中考格点问题分类例析[Ｊ].初中数学教与学ꎬ２０２１(１９):２７－２９.[２]崔璐ꎬ丁福军.以数学史名题为载体的中考试题特征分析 以２０１７－２０２０年浙江省中考卷为例[Ｊ].初中数学教与学ꎬ２０２１(１９):２４－２７.[３]余小芬.研究中考试题的几个视角[Ｊ].中学数学杂志ꎬ２０１８(０８):５７－６１.[责任编辑:李㊀璟]３１。
中考数学中格点问题评析
中考数学中格点问题评析近年来,有关格点问题在中考试卷中频频出现。
格点问题题型新颖、题材丰富、构思巧妙,利用格点可以讨论三角形全等与相似,进行图形的平移、旋转与翻折,计算图形的面积,探索有关的规律和结论等。
总之,有关格点问题形式多样,能考察学生多方面知识的整合和运用,已逐步成为中考试卷中的一个亮点。
在解决这些问题时,要求学生认真观察,综合运用所学的知识,探索规律和寻找突破口,从而正确地解题。
下面就有关题型加以归类,仅供参考。
一、利用格点求三角函数值解决这类问题时,关键观察角在格点中的位置,找到有关角所在的直角三角形,运用勾股定理计算出相关边的长度,再运用三角函数的定义便可进行求解。
例1(2007宿迁市)如图△abc的顶点都是正方形网格中的格点,则sin∠abc等于……………………()abcd评析:解题时我们要打破思维定势,可辟开讨论斜△abc。
而要找到含∠abc的一个直角三角形,即可求出sin∠abc的值。
由于含∠abc的直角三角形对边是2,斜边是,故选c。
二、利用格点讨论三角形全等与相似解决这类问题时,关键要熟练掌握三角形全等和相似的判定定理,观察三角形在格点中的位置,可运用勾股定理计算出有关边的长度,并结合有关的特殊角,再运用三角形全等与相似的判定定理,即可进行求解。
例2在5×5的正方形网格点中,△abc的三个顶点在网格点上。
⑴在网格上画一个顶点在格点上,且与△abc相似的面积最大的△a`b`c`并求出它的面积。
⑵计算点c`到a`b`的距离。
评析:本题把讨论三角形相似与探讨最值问题有机地结合在一起。
考查了学生观察猜想能力和灵活运用知识的能力。
在问题⑴中,若要使与△abc相似且面积最大,则要让最大的边a`b`最好为5×5的正方形网格的对角线,再由相似三角形对应边成比例运用勾股定理可算出a`b`=,b`c`=,a`c`=,从而可作出△a`b`c`,在问题⑵中,学生结合问题⑴中所作图形,通过细心观察,由△a`b`c`在网格中的位置可知,点c`到a`b`的距离即为一个小正方形的对角线。
浙教版九年级数学《格点图中的作图与计算问题》
则满足条件的格点N有___3__个;
4
y
A
D
F·N1
B
OC
·N2
·EN3 x
例题解析
例2.【问题呈现】如图，在边长为1的正方形网格中， 连结格点A、N和M、C,AN与MC相交于点P,求tan∠CPN的值.
方法一：
A
C
P
M
N
E
例题解析
方法一：
A
C
EN//CM
P
∠CPN=∠ANE
M
N
在Rt△AEN中，tan∠ANE=2
网格中的作图与计算问题
问题引出
例1.如图，在7×6的方格中，△ABC的顶点均在格点上，试按要求仅 用不含刻度的直尺画出线段EF（E,F均为格点），各画出一条即可.
问题引出
【知识储备1】仅用不含刻度的直尺作线段中点、中垂线、 角平分线、等分线段等，往往需要通过格点图中的全等或 相似，或利用正方形网格的对称性和45°特殊角，又或利 用特殊平行四边形的相关性质.
问题解决
【问题解决】如图，在边长为1的正方形网格中，AN与CM相交于 点P，求tan∠CPN的值.
方法一：
E
AE//CM
∠CPN=∠EAN
在Rt△EAN中，tan∠EAN=1
tan∠CPN=1
问题解决
方法二：
E
CE//AN ∠CPN=∠ECM
在Rt△ECM中，tan∠ECM=1
tan∠CPN=1
tan∠CPN=2
E 【知识储备2】求一个锐角的三角函数值，我们往往需要找出 （或构造出）一个直角三角形.当发现问题中这个角不在直角 三角形中，我们常常利用网格画平行线等方法来解决.
例题解析
中考数学专题复习格点作图题(二)
中考数学专题复习格点作图题（二）学校:___________姓名：___________班级：___________考生__________评卷人得分一、解答题1．如图，在6×8的方格纸中有直线l，点A、B、C都在格点上．按要求画四边形，使它的顶点都在格点上，点A、B、C在它的边上（包括顶点）．（1）在图①中画一个轴对称图形，使直线l是对称轴；（2）在图①中画一个中心对称图形，使直线l平分它的面积．2．图①、图①均为44⨯的正方形网格，线段AB、BC的端点均在格点上，按要求在图①、图①中作图并计算其面积．（1）在图①中画一个四边形ABCD，使四边形ABCD有一组对角相等，S四边形ABCD=；（2）在图①中画一个四边形ABCE，使四边形ABCE有一组对角互补，S四边形ABCE=．3．如图均是66⨯的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，ABC∆的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留适当的作图痕迹．（1）在图中的线段AB上找一点D，连结CD，使BCD BDC∠=∠．（2）在图中的线段AC上找一点E，连结BE，使ABE BAE∠=∠．（3）在图中的线段AC上找一点F，连结BF，使CBF CFB∠=∠．4．图①、图①、图①都是44⨯的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，线段AB的端点都在格点上，在给定的网格中，只用无刻度的直尺，在图①、图①、图①中，按下列要求画图，只保留作图痕迹，不要求写出画法，所画的图形的顶点均在格点上．（1）在图①中画一个ABC，使其面积为2．（2）在图①中画一个ABD△，使其面积为4．（3）在图①中画一个四边形ABEF，使其面积为5．5．如图，网格中有一条线段AB，点A、B都在格点上，网格中的每个小正方形的边长为1．请在图①和图①中各画出一个格点ABC，使ABC是直角三角形，且90ACB∠=︒，并满足以下要求：（1）在图①中画出的三角形的两条直角边的长度均为有理数（画出一个即可）．（2）在图①中画出的三角形的两条直角边的长度均为无理数（画出一个即可）．（3）满足（1）、（2）的ABC共有个．6．如图，在66⨯的方格纸中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点，请按要求画出格点三角形与格点四边形．（1）在图1中以线段AB为边画一个格点ABC∆，使2AB BC=；（2）在图2中以线段AB为边画一个格点四边形ABCD，使其面积为7，且90BAD∠=︒．7．在6×6的正方形网格中，①ABC的顶点均在格点上，请用无刻度直尺画图．（保留必要的画图痕迹）(1)在图1中，画一个与①BAC相等的①BDC，且点D在格点上．(2)在图2中，画一个与①ABC面积相等，且以BC为边的平行四边形BCDE，D、E均在格点上．(3)在图3中，在AC上找一点D，连接BD，使①ABD的面积是①BCD面积的4倍．参考答案：1．（1）作图见解析；（2）作图见解析．【解析】（1）根据轴对称图形的定义画出图形即可．（2）根据中心对称图形作出图形即可．【详解】解：（1）轴对称图形如图所示（答案不唯一）．（2）中心对称图形如图所示（答案不唯一）．【点睛】本题考查作图-旋转变换，轴对称图形，中心对称图形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．2．（1）6；（2）92．【解析】【分析】（1）过C画AB的平行线，过A画BC的平行线，两线交于一点D，根据平行四边形的判定定理可得四边形ABCD是平行四边形，由平行四边形的性质可知①CBA=①CDA，然后用用割补法求出面积即可；（2）根据图中正方形网格和①B的特点，作出①E与①B互补，然后用割补法求面积即可．【详解】解：（1）如图，S四边形12223422622ABCD ⨯⨯=⨯-⨯-⨯=， （2）如图，S 四边形12221193322222ABCE ⨯⨯⨯=⨯-⨯--=． 【点睛】此题主要考查了应用设计作图．首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，然后利用割补法求面积．3．（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质，在AB 上取一点D 使得3BD BC ==即可；（2）根据矩形的性质，可以得到点E 的位置；（3）由题意可知，利用三角形相似的性质，对AC 进行分段，使得3CF =．【详解】解：（1）取格点D ，连接CD 即可，如下图：（2）取格点P ，连接BP ，交AC 于点E ，如下图：则ABE BAE ∠=∠；（3）如图，取格点H 、N ，连接HN ，交AC 于点F ，连接BF ，①CH ①AB ，①ANF CHF △∽△，3CH =、2AN =，①23AN AF CH CF ==，则CF =35AC ， ①AB =4，BC =3，①AC =22435+=，①CF =35AC =3， ①CF =BC =3，①CBF CFB ∠=∠．①点F 即为所求作．【点睛】此题主要考查了等腰三角形、矩形、相似三角形等有关性质，熟练掌握和应用有关知识的性质是解题的关键．4．（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【解析】【分析】（1）取格点C ，连接AC 、BC ，利用三角形的面积的计算方法得出符合题意的图形；（2）在（1）的基础上作点A关于BC的对称点D即可；（3）在（2）的基础上增加一个面积为1的三角形即可．【详解】（1）取格点C，连接AC、BC，如图所示，①ABC即为所求：①AC=2，BC=22，AB=221310+=，由于()()()22222210+=，①222AC BC AB+=,①△ABC是直角三角形，且①ACB=90°，①11222222ABCS AC BC=⨯=⨯⨯=；（2）如图所示，①ABD即为所求；（3）如图所示，四边形ABEF即为所求；．【点睛】本题考查了作图-应用与设计，勾股定理，勾股定理的逆定理，三角形面积等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．5．（1）见解析；（2）见解析；（3）6．【解析】【分析】（1）根据要求作出图形即可，有两种情形,任意一种即可；（2）根据要求作出图形即可，有四种情形,任意一种即可；（3）根据（1）（2）的图形即可解答．【详解】解：（1）点C的位置如图①所示，①ABC、①ABC1中任意一个即为所求；（2）点C的位置如图①所示，①ABC、①ABC1、①ABC2、①ABC中任意一个即为所求；（3）如图可得：满足（1）的ABC共有2个，满足（2）的ABC有4个，则满足（1）、（2）的ABC共有共有6个．【点睛】本题主要考查了基本作图、无理数、直角三角形等知识，掌握数形结合的思想成为解答本题的关键．6．（1）图见详解；（2）图见详解【解析】【分析】（1）由图及题意易得10AB，进而可得5BC=，然后问题可求解；（2）根据题意及旋转的性质可先作出90BAD∠=︒，然后再利用割补法进行作图即可．【详解】解：（1）由题意得：10AB，①2AB BC=，①5BC=，则以线段AB 为边画一个格点ABC ，如图所示：（2）由题意可得如图所示：【点睛】本题主要考查勾股定理及旋转的性质，熟练掌握勾股定理及旋转的性质是解题的关键． 7．(1)见解析(2)见解析(3)见解析【解析】【分析】（1）如图，根据网格的特点以及对称性找到点D ，连接,BD DC ，则BDC BAC ∠=∠； （2）根据题意，与①ABC 面积相等，且以BC 为边的平行四边形BCDE ，则平行四边形BC 边上的高等于ABC 中，BC 边上高的一半，根据网格的特点，在格点上找到点D ,E ，连接,,CD DE EB 即可；（3）根据勾股定理求得5AC =，找到5FC =，根据网格的特点作GH AF ∥，根据平行线分线段成比例可得14CD DA =，即找到符合题意的点D ． (1)如图所示，BDC BAC ∠=∠且D 在格点上，(2)如图，(3)如图，22345AC =+=作AF GH ∥14CD CH DA FH ∴== ∴①ABD 的面积是①BCD 面积的4倍．则点D 即为所求．【点睛】本题考查了作轴对称图形，作平行四边形，平行线分线段成比例，掌握以上知识是解题的关键．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
④ ⑤
① ② ⑤ ④ ③
练习：若有10个边长为1的正方形 如下排列，你能把它分割后拼接成 一个新的大正方形吗？
① ③
② ④
⑤
图2
① ②
⑤
③
④
二、格点中计数问题
例6.如图，A、B为4×5网格中的格点，网格中的每个小正方 形的边长为1. 以A、B、C为顶点的三角形为等腰三角形的所 3 有格点C的位置有 个；并在图中标出。
12
构成的封闭图形的面积最大值是
· · · · ·
· ··· ·· ·· · · ··· ·· ·
· · · · · ·
· · ·· · ·
3 .5
3 .5
练习：如图，在正方形网格（每个小正方形的边长为1）内有一 个格点五边形ABCDE,求五边形ABCDE的面积。
· ···· ···· ··· ·
答案：9
例10.一青蛙在如图8×8的正方形（每个小正方形的边长为1） 网格的格点（小正方形的顶点）上跳跃，青蛙每次跳的最远距
离为
5 ，青蛙从点A开始连续跳六次正好跳回到点A，则所
a
·
2 1
1
b
3 2
G
·
（2）画图形的变换
例3.如图，有一条小船，若把它平移，使点A平移到点B,请画出 平移后的小船。若小船先从点A航行到达岸边L的点P处补给后 再到点B，但要求航程最短，在图中画出点P的位置。
·
· P
l
例4.如图，在网格中两个全等的图形（阴影部分），用这两 个图形拼成轴对称图形。请分别在下列网格中画出三种不同 的拼法。
“格点问题” 涉及的知识点十分广泛，综合性很强。 其题型多样，形式活泼，操作性强、趣味性浓， 体现了新课标“在玩中学、在学中思、在思中得” 的理念。
一、格点中画图问题
（1）画线段、三角形
例1.已知网格中的每个小正方形的边长均为1，请画下面两个
端点都在格点上的线段。
预备知识：
(1) 5
(2) 13
b
A3
A4
A5
共性：端点或顶点都必须在“格点”上
“格点问题”不但能够加强同学们的基础知识，而且也能提高大家 的基本技能，同时能够逐步培养我们的运算能力、空间想象能力、 力及逻辑推理能力。
它突出了“数形结合”的数学思想方法，考查我们 对图形的观察力和对数学规律的发现探究能力，还考查 我们的创新意识、决策意识和实践能力。
①
③
h
②
· AC ①3 2 13 · 2 3.5 7 13 · · · h 13 13 ·
2 2
③
②
S△ABC=3×3－S1－S2－S3 =3.5
S△ABC=S1+S2－S3
运用“皮克定理”
(3 2) 2 3 1 2 3 2 2 2
1 S 3 3 1 2
C
·
C
· ·
C
S=1 E
D
1
2
F
· C
三、格点中计算问题
例8.如图，由边长为1米的正方形地砖铺设的地面示意图。 一只蚂蚁沿图中所示的折线从A B C D所爬的路 程为 （结果保留根号）
因为：
所以：
例9.如图，在正方形网格（每个小正方形的边长为1）内有一个 格点三角形ABC。
（1）求△ABC的面积 （2）求点B到边AC的距离h。
练习.如图是一个经过改造的台球桌面的示意图。图中四个角 上的阴影部分分别表示四个入球孔，如果一个球按图中所示 的方向被击出（球可以经过多次反射），则该球最后将落入 的球袋是2号袋
光的反射规律
入射角 反射角
法线
反射角=入射角
平面镜
（3）拼图 例5、现有5个边长为1的正方形（排列如图1），请把它们分割 后拼接成一个新的大正方形。 要求：画出分割线并在网格图（图2中每个小正方形的边长均 为1）中用实线画出拼接成的新的大正方形。 ① ② ③
勾股定理
c a
(3)5
a b c
2 2
2
∴c
a 2 b2
练习.已知网格中的每个小正方形的边长均为1，请画以格点 为顶点且三边长分别是
4、10、 3 2
的△ABC
C
A
B
例2.如图所示，在网格中有一线段AB和点P，请你画出过 点P且平行线段AB的直线a，并说明理由。 练习：你还能画出过点P垂直线段AB的直线b吗？
·
C
·
C
·
C
例7.在6×6的正方形网格中，以点D、E为两个顶点作位置不 同的格点三角形，使可以有 个
··
··
练习.如图，在长方形网格中，每个小长方形的长为2，宽为1， A、B两点在网格点上。若点C也在网格点上，以A、B、C为顶 4 点的三角形面积为2，则满足条件的点C个数是 个。
1.“格点”是什么？
y
数学上把在平面直角坐标系中 横纵坐标均为整数的点称为格 点或整点。
2 1 0 1
·
A
2 x
隐藏掉坐标轴后，左边便是 由水平线和垂直线组成的方 格，我们同样把水平线和垂 直线的交点称为“格点”。
2.“格点线段”、“格点三角形”、“格点多边形” 是什么？
An A1 A2 A7 A6