通信原理_随机信号(PPT74页)
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现代通信原理PPT课件第2章+随机信号分析
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12
1)数学期望：随机变量的统计平均值（随机变量所 有可能的取值和它对应概率乘积的和）-----物理意义 平均值
记为： E 、 E 、 E () 、 E [] 、 E [ X ] 等 等
离散型： E n x i Pi i 1
式中 x i ——取值
P i ——取值为 x i 的概率
离 散 随 机 变 量 的 概 率 密 度 函 数 曲 线
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9
概率密度函数特点：
A）由于F ( x )是单调不減函数，所以 f (x) 0 B）离散随机变量的概率密度函数为冲激函数，冲激强度 为对应取该值的概率，见前页曲线。
C） f(x)d xF ( )F ( ) 1-------面积为l
E xf(x)d x E yf(y)dy
例2 证明
, 独 立E ( ) E E
E ()
xyf(x,y)d xd y
因 为 ,独 立 f( x y ) f ( x ) f ( y )
E ( ) xy f(x)f(y)d x d y
xf(x)dx yf(y)dy
5
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6
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7
2)概率密度：分布函数的导数称为概率密度函数，记为 f ( x ) 则：f (x) dF(x) dx
概率密度函数曲线 (见P16)
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8
f (x)
P 1 ( x x 1 ) P 2 ( x x 2 ) P 3 ( x x 3 ) P 4 ( x x 4 ) P 5 ( x x 5 ) P n ( x x n ) x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x n x
二维概率密度：
f
(x1,
x2)
随机信号PPT演示文稿
第一章 信号(signal)及其 描述
第四节 随机信号(random signal)
1
随机信号
▪ 随机信号(random signal)是不能用确定的数学关 系式来描述的不能预测其未来任何瞬时值，任何 一次观测值只代表在其变动范围中可能产生的结 果之一，但其值的变动服从统计规律。
随机过程 (random process )
➢ 信号的纯波动分量
➢ 去除直流分量后，信号的平均功率
▪ 重要公式
2 x
x2x2
▪ 信号的总功率＝交流量的功率＋直流量的功率
▪ 标准差(standard deviation)：x x2
Xr.m.s.
2 x
4 方差(variancБайду номын сангаас)
▪ 方差概念的提出 ➢ 欲了解信号相对于均值的离散程度
▪ 对任意t，信号偏离的量为 x(t) x
▪ 消除负因素的影响 x(t)x2
▪ 求期望
1 T
lim T T
0
x(t) x
2
dt
4 方差(variance)
▪ 信号x(t)的方差定义为：
2 x E [(x (t) E [x (t)])2 ] T li m T 10 T (x (t)x)2 d t
x2E [(x(t)E [x(t)])2]N li m N 1iN 1xix2
大方差
小方差
▪ 方差：反映了信号绕均值的波动程度。
4 方差(variance)
▪ 方差的物理意义
3 均方值(mean square value)
▪ 物理意义：信号的平均功率
▪
电学上功率的定义
V2 P
I2R
R
pva
第四节 随机信号(random signal)
1
随机信号
▪ 随机信号(random signal)是不能用确定的数学关 系式来描述的不能预测其未来任何瞬时值，任何 一次观测值只代表在其变动范围中可能产生的结 果之一，但其值的变动服从统计规律。
随机过程 (random process )
➢ 信号的纯波动分量
➢ 去除直流分量后，信号的平均功率
▪ 重要公式
2 x
x2x2
▪ 信号的总功率＝交流量的功率＋直流量的功率
▪ 标准差(standard deviation)：x x2
Xr.m.s.
2 x
4 方差(variancБайду номын сангаас)
▪ 方差概念的提出 ➢ 欲了解信号相对于均值的离散程度
▪ 对任意t，信号偏离的量为 x(t) x
▪ 消除负因素的影响 x(t)x2
▪ 求期望
1 T
lim T T
0
x(t) x
2
dt
4 方差(variance)
▪ 信号x(t)的方差定义为：
2 x E [(x (t) E [x (t)])2 ] T li m T 10 T (x (t)x)2 d t
x2E [(x(t)E [x(t)])2]N li m N 1iN 1xix2
大方差
小方差
▪ 方差：反映了信号绕均值的波动程度。
4 方差(variance)
▪ 方差的物理意义
3 均方值(mean square value)
▪ 物理意义：信号的平均功率
▪
电学上功率的定义
V2 P
I2R
R
pva
通信原理第3章_随机信号
此时Ｘ(t)是很多随机变量．记为{Ｘ(t) ,t＝０, １, 2 , ….}
10
引例3
具有随机初位相的简谐波， X(t)=Acos（wt+ φ ） 其中Ａ，ω为常数，φ服从[0,2π]上的均匀分布。 由于初位相的随机性，在某时刻t＝t0，Ｘt0是一个 随机变量．
思考：如何观察该谐波的波形与规律？ 需要在任意时刻t处观察，即观察随机变量Ｘ(t)，此时Ｘ (t)是很多随机变量.记为{Ｘ(t)，t∈[0，+∞)}
xn
随机过程 (t) 的n维概率密度函数：
n Fn ( x1，x2， ，x n；t1，t2， ，t n ) f n ( x1，x2， ，x n；t1，t2， ，t n ) x1x2 x n 30
随机过程分布函数的例子
例子1 ：X (t ) A cost t 0;其中A具有以下的概率分布 1 P（A i） i 1 ， 2 ， 3 3
显然，n越大，对 随机过程统计的描 述就越充分，但问 若上式中的偏导存在的话。 题的复杂性也随之 随机过程 (t) 的n维分布函数： 增加。在一般的实 际问题中，掌握二 Fn ( x1 , x2 ,, xn ; t1 , t 2 ,t n ) 维分布函数就已经 P (t1 ) x1 , (t 2 ) x2 ,, (t n ) 足够了。
14 Nhomakorabeat一定时， φ变化，X(t)，就变化，所有变化 的全部构成样本函数集 只有样本函数集可以较为全面的反映所想了 解的随机现象. 为此将概率论中的随机变量推广为样本函数 集.
15
随机过程
随机过程的基本特征
它是时间的函数，当然这个函数会随着时间的变 化而变化 在某个固定的时刻t1，,全体样本在时刻t1的取值 X(t1)是一个不含t变化的随机变量 因此，随机过程看成依照时间参数的一般随机变 量，可见，随机过程具有随机变量和时间函数的 特点
《通信原理》随机信号
B (t1 , t2 ) E{[ (t1 ) a(t1 )] (t2 ) a(t2 )]}
( x1 a(t1))( x2 a(t2 )) f 2 ( x1, x2 ; t1, t2 )dx1dx2
;
随机过程
自相关函数和自协方差函数 例题：
设随机过程 (t ) sin( t ),其中 是一个随机变量， 0 的分布律为 1 2
F1 ( x1 , t1 ) x1
二维概率分布函数： F2 ( x1 , x2 ; t1 , t2 ) P( (t1 ) x1; (t2 ) x2 ) 二维概率密度函数： f1 ( x1 , x2 ; t1 , t2 )
F2 ( x1 , x2 ; t1 , t2 ) x1x2
a(t ) E[ (t )] 常数
R (t1, t2 ) R (t1, t1 ) R ( )
;
平稳随机过程
： ;
平稳随机过程
各态历经性
各态历经过程的特点：
a(统计平均值) a (时间平均值)
“各态历经”的含义：平稳随机过程的一个实现能够经历此过程的所有状态。
1 a lim T T
物联网数据传输基础 ——通信原理
第三讲 随机信号（随机过程）
随机信号的定义及基本特性
定义：无法用确定的时间函数来表达的信号，称为随机信号。 特性：随机信号随时间作无规律、随机性变化； 例如，噪声电压信号
概率论基本概念
随机变量的定义
随机现象
随机变量
离散型随机变量 连续型随机变量
一维随机变量、二维随机变量及多维随机变量
2
x
随机信号分析PPT课件
RY ( )
N0 (bebu)(beb(u))du 20
N0b2 eb e2budu N 0b e b
2
0
4
相关函数为偶函数，τ<0时
R Y ( )
输出自相关函数为
N 0b e b 4
RY()
N0beb 4
a
25
输出的平均功率为
E[Y 2 (t)] RY (0)
N 0b 4
b为时间常数的倒数
a
2
4.1 线性系统的基本理论 4.1.1 线性时不变系统
x(t)
y(t)
L[ ·]
y(t)L[x(t)]
连续时间系统 双侧系统
离散时间系统
单侧系统
a
双侧信号 单侧信号
3
线性系统
L [ a 1 ( t ) x b 2 ( t ) x a ][ x 1 ( t L ) b ][ x 2 ( L t )]
RXY()0 h(u)RX(u)du
输出自相关R 函YX数(为)0 h(u)RX(u)du
RY()h(u)h(v)RX(uv)dudv
0
R Y()0 h(u)RXY(u)du
R Y()0 h(u)R Y aX(u)du
18
输出的均方值（总平均功率）
E[Y2(t)]h(u)h(v)RX(uv)dudv
(
)
N 0b 4
eb
与白噪声输入时 情况相同
a
31
例4.3中的相关函数可以进一步表示为
R Y()4 N 0e b 1 b 1 2/ 2 1be ( b)
二、双侧随机信号
K X(t)
Y(t) h(t)
Y(t)0h(u)X (tu)U (tu)du
《随机信号分析》课件
连续随机信号
连续时间和连续幅度的随机信号，如噪声信号。
高斯随机信号
服从高斯分布的随机信号，常用于描述自然界 的随机现象。
非高斯随机信号
不服从高斯分布的随机信号，如脉冲信号和干 扰信号。
常见的随机信号分析方法
自相关分析
用于分析信号的自身相关性和 平稳性。
频谱分析
通过对信号进行频域分析，得 到信号的频谱特性。
统计特性分析
对信号的均值、方差等统计特 性进行分析。
使用MATLAB进行随机信号分析的步骤
1
准备据
收集并整理所需信号的数据。
2
数据预处理
对数据进行去噪、归一化等预处理操作。
3
信号分析
运用MATLAB提供的工具进行信号分析和特征提取。
随机信号分析的应用领域
通信系统
用于优化信道传输和抗干扰能力的研究。
金融市场
用于分析股票价格、汇率等随机变动的特性。
生物医学
用于分析心电图、脑电图等生物信号。
气象预报
用于分析天气数据，提高气象预报的准确性。
总结
通过本课件，您了解了随机信号的定义、特性、分类以及分析方法，以及其在不同领域的应用。
《随机信号分析》PPT课 件
本课件将介绍随机信号分析的基本概念和方法，包括随机信号的定义、特性、 分类以及常见的分析方法。
分析随机信号的定义
1 随机信号
随机信号是不确定的信号，具有随机性和不可预测性。
2 随机过程
随机信号可以看作是随时间变化的随机过程。
3 概率论基础
随机信号的定义和性质可以通过概率论进行分析和描述。
随机信号的特性
1 均值和方差
随机信号的均值和方差是 表征其平均值和离散程度 的重要特性。
随机信号的描述课件
泊松过程
模拟稀有事件在时间上的发生， 例如交通事故或电子邮件到达。
马尔科夫链
模拟状态转移的过程，例如天气 变化或股票价格波动。
模拟生成的随机信号的应用场景
通信系统仿真
模拟无线信道中的噪声和干扰， 以评估通信系统的性能。
金融建模
模拟股票价格波动或外汇汇率变化， 以进行风险评估和投资决策。
物理模拟
模拟物理现象，如粒子运动或流体 动力学，以进行实验验证和预测。
02
随机信号的统计描述
概率密度函数（PDF）
定义
概率密度函数（PDF）描述了随机信号在各个时刻出 现的概率。
计算方法
通过测量或仿真得到随机信号在不同时刻的取值， 然后计算每个取值的概率。
应用
用于分析随机信号的统计特性，如概率分布、概率 密度等。
概率分布函数（CDF）
01
02
03
定义
概率分布函数（CDF）描 述了随机信号在各个时刻 小于或等于某个值的概率。
随机信号的描述课件
目
CONTENCT
录
• 引言 • 随机信号的统计描述 • 随机信号的时频域描述 • 随机信号的模拟生成 • 随机信号处理技术 • 随机信号的应用案例
01
引言
随机信号的定义与特点
01
02
03
04
定义
随机信号是一种无法预测其确 切值的信号，其取值在每个时 间点都是随机的。
不确定性
时频变换方法（如短时傅里叶变换、小波变换等）
定义
用于分析信号在不同时间 和频率上的特性的方法， 能够同时揭示信号在时域 和频域的特性。
特性
能够捕捉信号的瞬态特性 和非平稳性，提供更全面 的信号分析手段。
模拟稀有事件在时间上的发生， 例如交通事故或电子邮件到达。
马尔科夫链
模拟状态转移的过程，例如天气 变化或股票价格波动。
模拟生成的随机信号的应用场景
通信系统仿真
模拟无线信道中的噪声和干扰， 以评估通信系统的性能。
金融建模
模拟股票价格波动或外汇汇率变化， 以进行风险评估和投资决策。
物理模拟
模拟物理现象，如粒子运动或流体 动力学，以进行实验验证和预测。
02
随机信号的统计描述
概率密度函数（PDF）
定义
概率密度函数（PDF）描述了随机信号在各个时刻出 现的概率。
计算方法
通过测量或仿真得到随机信号在不同时刻的取值， 然后计算每个取值的概率。
应用
用于分析随机信号的统计特性，如概率分布、概率 密度等。
概率分布函数（CDF）
01
02
03
定义
概率分布函数（CDF）描 述了随机信号在各个时刻 小于或等于某个值的概率。
随机信号的描述课件
目
CONTENCT
录
• 引言 • 随机信号的统计描述 • 随机信号的时频域描述 • 随机信号的模拟生成 • 随机信号处理技术 • 随机信号的应用案例
01
引言
随机信号的定义与特点
01
02
03
04
定义
随机信号是一种无法预测其确 切值的信号，其取值在每个时 间点都是随机的。
不确定性
时频变换方法（如短时傅里叶变换、小波变换等）
定义
用于分析信号在不同时间 和频率上的特性的方法， 能够同时揭示信号在时域 和频域的特性。
特性
能够捕捉信号的瞬态特性 和非平稳性，提供更全面 的信号分析手段。
大学课件--数字通信原理第2章-随机信号分析
2 交流功率： R(0) R()
2016/9/25
14
2 平稳随机过程(4)
平稳随机过程的功率谱密度(统计平均)
2 E FT P ( ) E P ( ) lim x T T 注：fT t FT
■
sin 0 tE cos cos 0 tE sin 2 2 1 1 A cos 0 t cos d A sin 0 t sin d 0 0 0 2 2
■
R t1 , t2 E A cos 0 t1 A cos 0 t2
第二章 随机信号分析
随机信号分析、确定性信号分析的不同与联系： 随机信号分析的主要内容：
随机过程的一般表述 平稳随机过程 高斯过程 窄带随机过程 正弦波加窄带高斯过程 平稳随机过程通过线性系统
2016/9/25
1
引言
信号：一般是时间的函数 确定信号：可以用确定的时间函数表示的信号
一维分布与时间无关，二维分布只与时间间隔 ( t1 - t2 ) 有关 f1 x1 ; t1 f1 x1 ; t1 f1 x1
f 2 x1 , x2 ; t1 , t2 f 2 x1 , x2 ; t1 , t2 f 2 x1 , x2 ; t1 t2
■
P 0
■
维纳 辛钦定理：R P
单边功率谱密度(实平稳随机过程)
2 P ( ), G ( ) 0,
0 0
1 2
■
1 R 0 2
0
通信原理课件第3章 随机信号分析(21年)
x1 a(t1) x2 a(t2 ) f2 (x1, x2;t1,t2 )dx1dx2
自相关函数与自协方差函数之间的关系:
B(t1,t2 ) R(t1,t2 ) a(t1)a(t2 ) 若随机过程在两个时刻中的一个随机变量均 值为零，则：
B(t1,t2 ) R(t1,t2 )
lim Px () E[Pf ()]
T
E FT () 2
T
lim S 1
2
Px
()d
1
2
E FT () 2 d
T
T
3. 功率谱密度与自相关函数的关系
维纳-辛钦定理：
R( ) Px ()
或
R( ) Px ( f )
Px ()
R( )e j d
R ( ) 1
2
Px
(
)e
（3）高斯过程不同时刻互不相关则也统计独立。
若平稳随机过程x (t)、 (t) 统计独立
Bx (t1,t2 ) E[x (t1)(t2 )] ax a E[x (t1)]E[ (t2 )] ax a 0
则互不相关
fn (x1, x2,, xn;t1,t2,,tn )
1
n
1
(2 ) 21 2... n B 2
E2[x (t)]
（5） R(0) R() 2
x (t) 的交流功率
D[x (t)] E x 2(t) a2 (t)
R( )
R(0)
2
R()
0
2. 平稳随机过程的功率谱密度
f (t)
…
…
O
t
f T(t)
－
T 2
O
T 2
t
lim Pf () T
随机信号课件
1、信号信号是传输信息的函数，是信息的物理表现形式；而信息是信号的具体内容，通俗地讲，信息就是有用的消息。
信息是一个十分抽象而又复杂的概念，它包含在消息之中，是通信系统中传送的对象，是客观世界的第三要素；其特点是无形的，可共享的，无限的，可度量的。
消息不等于信息，同一消息可含有不同的信息量。
2、信号的分类依载体：电信号、磁信号、声信号、光信号、热信号、机械信号。
依变量个数：一维、二维、多维（矢量）信号。
依周期性：周期信号x(t)=x(t+kT); 非周期信号。
依是否为确定函数：确定信号；随机信号。
依能量或功率是否有限：能量信号；功率信号。
无论是用模拟方法还是用数字方法，都是将所研究的信号先变成电信号，即所谓模拟信号。
因此，可把信号分为模拟信号和数字信号两类。
同时具有线性和移不变性的离散时间系统称为线性移不变系统3、因果系统若系统(指任意系统) n时刻的输出，只取决于n时刻以及n时刻以前的输入序列，而与n时刻以后的输入无关，则称该系统为因果系统。
4、稳定系统常系数线性差分方程用差分方程来描述时域离散系统的输入输出关系。
一个N阶常系数线性差分方程表示为：⏹一个差分方程不能唯一确定一个系统⏹常系数线性差分方程描述的系统不一定是线性移不变的⏹不一定是因果的⏹不一定是稳定的一.时域分析法1.连续时间信号与系统：信号的时域运算，时域分解，经典时域分析法，近代时域分析法，卷积积分。
2.离散时间信号与系统：序列的变换与运算，卷积和，差分方程的求解。
二、IIR滤波器的特点1、单位冲激响应h（n）是无限长的。
2、系统函数H（z）在有限Z平面（）上有极点存在。
3、结构上是递归型的，即存在着输出到输入的反馈。
IIR DF类型有：直接型、级联型、并联型。
直接型结构：直接I型、直接II型（正准型、典范型）。
三、FIR滤波器的基本结构1、h（n）在有限个n值处不为零。
2、H（z）在Z>0处收敛，极点全部在Z=0处。
四、.滤波器：指对输入信号起滤波作用的装置。
通信原理课件-第二章 确定和随机信号分析
2 2
例，在无线系统中，当发射机和接收机之间有 直达径时，信道衰落的幅值服从莱斯分布
随机信号分析基础
• 联合高斯随机变量：一个n维向量 x，若向 量中的元素服从联合高斯分布，其联合概 率密度函数为
p ( x) 1 (2 )
n /2
C
1/2
e
1 x m T C1 x m 2
随机信号分析基础
• 莱斯（Rice）随机变量 若x1和x2是两个独立的高斯变量，x1的均值为 2 m1，x2的均值为m2，两个变量的方差均为 服从莱斯分布。概率密度函数为
x sx x s 2 2 I 0 2 e 2 , x 0 p ( x) 其他 0，
2
(b a)2 VAR[ X ] 12
随机信号分析基础
• 高斯（正态）随机变量 概率密度函数：
p( x) 1 2 2
X ~ N (m, 2 )
e
( x m )2 2 2
和高斯随机变量密切相关的Q函数：
1 Q(x) 2
x
e dt
t2 2
xm F (x) 1 Q
• 复随机变量 Z X jY 可视为由一对实随机矢 量X和Y组成的向量[X Y]; • 复随机变量Z X jY 的概率密度函数定义为X 和Y的联合概率密度函数。
– 如果X和Y联合高斯分布，且X和Y独立同分布， 则Z的概率密度函数为
p( z ) 1 2 e 2
x2 y 2 2 2
f xi x j f xi k x j k
随机过程
• 随机过程x(t)的均值和自相关函数定义为
m X (t )=E[ X (t )]
例，在无线系统中，当发射机和接收机之间有 直达径时，信道衰落的幅值服从莱斯分布
随机信号分析基础
• 联合高斯随机变量：一个n维向量 x，若向 量中的元素服从联合高斯分布，其联合概 率密度函数为
p ( x) 1 (2 )
n /2
C
1/2
e
1 x m T C1 x m 2
随机信号分析基础
• 莱斯（Rice）随机变量 若x1和x2是两个独立的高斯变量，x1的均值为 2 m1，x2的均值为m2，两个变量的方差均为 服从莱斯分布。概率密度函数为
x sx x s 2 2 I 0 2 e 2 , x 0 p ( x) 其他 0，
2
(b a)2 VAR[ X ] 12
随机信号分析基础
• 高斯（正态）随机变量 概率密度函数：
p( x) 1 2 2
X ~ N (m, 2 )
e
( x m )2 2 2
和高斯随机变量密切相关的Q函数：
1 Q(x) 2
x
e dt
t2 2
xm F (x) 1 Q
• 复随机变量 Z X jY 可视为由一对实随机矢 量X和Y组成的向量[X Y]; • 复随机变量Z X jY 的概率密度函数定义为X 和Y的联合概率密度函数。
– 如果X和Y联合高斯分布，且X和Y独立同分布， 则Z的概率密度函数为
p( z ) 1 2 e 2
x2 y 2 2 2
f xi x j f xi k x j k
随机过程
• 随机过程x(t)的均值和自相关函数定义为
m X (t )=E[ X (t )]
通信原理课件(樊昌信)随机信号分析
2
(t )
由D[ (t )] E{[ (t ) a(t )] }
2
E{ 2 (t ) 2 (t )a (t ) a 2 (t )} E[ (t )] a (t )
2 2
随机过程的方差等于随机过程的平方的数学期望 减去数学期望的平方。
3、协方差函数和相关函数： 自协方差函数定义为
可以看出，随机过程的统计特性原则上都与时间t 有关，是时间的函数。而对于相关函数R（t1，t2），若 取t2= t1+τ，即τ是t2和t1之间的时间间隔，则R（t1，t2） 可表示为R（t1 ，t1+τ），而t1 是任意的，R（t1 ，t1+τ） 可以表示为R（t，t+τ），这说明，相关函数是起始时 刻t和时间间隔τ的函数。
x1 x2 f 2 ( x1 , x2 ; t1 , t1 )dx1dx2
x1 x2 f 2 ( x1 , x2 ; t1 t , t1 t )dx1dx2 x1 x2 f 2 ( x1 , x2 ; )dx1dx2 R( ) (2 2 4)
2 2
(2 1 8)
式中m=E{X}。而方差的平方根又称为均方差或标 准偏差。 （3）两个随机变量的相关系数：反映了它们之间的 线性相关程度。 对两个随机变量X，Y定义
E{( X mX )(Y mY )}
( x mX )(Y mY ) f ( x, y)dxdy
x1 x2 f 2 ( x1 , x2 ; t1 , t2 )dx1dx2
(t )
由D[ (t )] E{[ (t ) a(t )] }
2
E{ 2 (t ) 2 (t )a (t ) a 2 (t )} E[ (t )] a (t )
2 2
随机过程的方差等于随机过程的平方的数学期望 减去数学期望的平方。
3、协方差函数和相关函数： 自协方差函数定义为
可以看出，随机过程的统计特性原则上都与时间t 有关，是时间的函数。而对于相关函数R（t1，t2），若 取t2= t1+τ，即τ是t2和t1之间的时间间隔，则R（t1，t2） 可表示为R（t1 ，t1+τ），而t1 是任意的，R（t1 ，t1+τ） 可以表示为R（t，t+τ），这说明，相关函数是起始时 刻t和时间间隔τ的函数。
x1 x2 f 2 ( x1 , x2 ; t1 , t1 )dx1dx2
x1 x2 f 2 ( x1 , x2 ; t1 t , t1 t )dx1dx2 x1 x2 f 2 ( x1 , x2 ; )dx1dx2 R( ) (2 2 4)
2 2
(2 1 8)
式中m=E{X}。而方差的平方根又称为均方差或标 准偏差。 （3）两个随机变量的相关系数：反映了它们之间的 线性相关程度。 对两个随机变量X，Y定义
E{( X mX )(Y mY )}
( x mX )(Y mY ) f ( x, y)dxdy
x1 x2 f 2 ( x1 , x2 ; t1 , t2 )dx1dx2
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式中 f (x1, t1) － (t1)的概率密度函数
由于t1是任取的，所以可以把 t1 直接写为t， x1改为x，
这样上式就变为
E (t)
xf1 ( x, t)dx
7
第3章 随机过程
E (t)
xf1 ( x, t)dx
(t)的均值是时间的确定函数，常记作a ( t )，它表
示随机过程的n个样本函数曲线的摆动中心 :
式中， (t1)和 (t2)分别是在t1和t2时刻观测得到的随机变
量。可以看出，R(t1, t2)是两个变量t1和t2的确定函数。 协方差函数
B(t1,t2 ) E[ (t1) a(t1)][ (t2 ) a(t2 )]
[x1 a(t1 )][x2 a(t2 )] f2 (x1, x2 ;t1, t2 )dx1dx2
(t)
a (t )
1 (t ) 2 (t)
n (t)
t 0
8
第3章 随机过程
方差
D[ (t)] E [ (t) a(t)]2
方差常记为 2( t )。这里也把任意时刻t1直接写成了t 。
因为
Dξ t Eξ 2 t 2atξ t a2 t
E[ξ 2 (t)] 2at Eξ t a2 (t)
换句话说，随机过程在任意时刻的值是一个随机变量。 因此，我们又可以把随机过程看作是在时间进程中处于不同
时刻的随机变量的集合。 这个角度更适合对随机过程理论进行精确的数学描述。
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第3章 随机过程
3.1.1随机过程的分布函数
设 (t)表示一个随机过程，则它在任意时刻t1的值 (t1)
是一个随机变量，其统计特性可以用分布函数或概率密 度函数来描述。
式中 a ( t1 ) a ( t2 ) － 在t1和t2时刻得到的 (t)的均值
f2 (x1, x2; t1, t2) － (t)的二维概率密度函数。
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第3章 随机过程
相关函数和协方差函数之间的关系 B(t1,t2 ) R(t1,t2 ) a(t1) a(t2 )
若a(t1) = a(t2)，则B(t1, t2) = R(t1, t2)
随机过程 (t) 的n维概率密度函数：
fn
( x1，x2，，x n；t1，t2，，t n
)
n
Fn
(x1，x2，，xn；t1，t2，，t x1x2 xn
n
)
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第3章 随机过程
3.1.2 随机过程的数字特征
均值（数学期望）：
在任意给定时刻t1的取值 (t1)是一个随机变量，其均值
E (t1 ) x1 f1 (x1 , t1 )dx1
所有实数，有
fn (x1,x2 ,,xn ；t1,t2 ,,tn ) fn (x1, x2 ,, xn；t1 ,t2 ,,tn ) 则称该随机过程是在严格意义下的平稳随机过程， 简称严平稳随机过程。
12
第3章 随机过程
性质：
该定义表明，平稳随机过程的统计特性不随时间的 推移而改变，即它的一维分布函数与时间t无关：
可见，（1）其均值与t无关，为常数a；
（2）自相关函数只与时间间隔有关。
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第3章 随机过程
数字特征：
E (t) x1 f1 (x1 )dx1 a R(t1,t2 ) E[ (t1) (t1 )]
间函数。
随机过程： (t) ={1 (t), 2 (t), …, n (t)}
是全部样本函数的集合。
(t)
1 (t ) 2 (t) n (t)
0
t3
第3章 随机过程
角度2：随机过程是随机变量概念的延伸。 在任一给定时刻t1上，每一个样本函数i (t)都是一个确定的 数值i (t1)，但是每个i (t1)都是不可预知的。 在一个固定时刻t1上，不同样本的取值{i (t1), i = 1, 2, …, n} 是一个随机变量，记为 (t1)。
f1 (x1,t1 ) f1 (x1 )
而二维分布函数只与时间间隔 = t2 – t1有关：
f2 (x1, x2 ;t1,t2 ) f2 (x1, x2 ; )
数字特征：
E (t) x1 f1 (x1 )dx1 a R(t1,t2 ) E[ (t1) (t1 )]
x1x2 f2 (x1, x2 ; )dx1dx2 R( )
E[ξ 2 (t)] a2 (t)
x
2
f1
(x,
t)dx
[a(t
)] 2
均方值
均值平方
所以，方差等于均方值与均值平方之差，它表示随
机过程在时刻 t 对于均值a ( t )的偏离程度。
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第3章 随机过程
相关函数
R(t1,t2 ) E[ (t1) (t2 )]
x1x2 f 2 (x1, x3章 随机过程
1
第3章 随机过程
3.1 随机过程的基本概念
什么是随机过程？
随机过程是一类随时间作随机变化的过程，它不能 用确切的时间函数描述。可从两种不同角度看：
角度1：对应不同随机试验结果的时间过程的集合。
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第3章 随机过程
【例】n台示波器同时观测并记录这n台接收机的输 出噪声波形 样本函数i (t)：随机过程的一次实现，是确定的时
随机过程 (t)的二维概率密度函数：
f2 (x1,
x2 ; t1, t2
)
2F2 (x1, x2;t1,t2 x1 x2
)
若上式中的偏导存在的话。
随机过程 (t) 的n维分布函数：
Fn (x1, x2 ,, xn ;t1, t2 ,tn )
P (t1 ) x1, (t2 ) x2 ,, (tn ) xn
随机过程 (t)的一维分布函数：
F1 (x1, t1 ) P[ (t1 ) x1 ]
随机过程 (t)的一维概率密度函数：
f1(x1, t1)
F1(x1, t1) x1
若上式中的偏导存在的话。
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第3章 随机过程
随机过程 (t) 的二维分布函数：
F2 (x1, x2 ;t1,t2 , ) P (t1) x1, (t2 ) x2
互相关函数
R (t1 , t2 ) E[ (t1 )(t2 )]
式中(t)和(t)分别表示两个随机过程。
因此，R(t1, t2)又称为自相关函数。
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第3章 随机过程
3.2 平稳随机过程
3.2.1 平稳随机过程的定义
定义：
若一个随机过程(t)的任意有限维分布函数与
时间起点无关，也就是说，对于任意的正整数n和
由于t1是任取的，所以可以把 t1 直接写为t， x1改为x，
这样上式就变为
E (t)
xf1 ( x, t)dx
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第3章 随机过程
E (t)
xf1 ( x, t)dx
(t)的均值是时间的确定函数，常记作a ( t )，它表
示随机过程的n个样本函数曲线的摆动中心 :
式中， (t1)和 (t2)分别是在t1和t2时刻观测得到的随机变
量。可以看出，R(t1, t2)是两个变量t1和t2的确定函数。 协方差函数
B(t1,t2 ) E[ (t1) a(t1)][ (t2 ) a(t2 )]
[x1 a(t1 )][x2 a(t2 )] f2 (x1, x2 ;t1, t2 )dx1dx2
(t)
a (t )
1 (t ) 2 (t)
n (t)
t 0
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第3章 随机过程
方差
D[ (t)] E [ (t) a(t)]2
方差常记为 2( t )。这里也把任意时刻t1直接写成了t 。
因为
Dξ t Eξ 2 t 2atξ t a2 t
E[ξ 2 (t)] 2at Eξ t a2 (t)
换句话说，随机过程在任意时刻的值是一个随机变量。 因此，我们又可以把随机过程看作是在时间进程中处于不同
时刻的随机变量的集合。 这个角度更适合对随机过程理论进行精确的数学描述。
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第3章 随机过程
3.1.1随机过程的分布函数
设 (t)表示一个随机过程，则它在任意时刻t1的值 (t1)
是一个随机变量，其统计特性可以用分布函数或概率密 度函数来描述。
式中 a ( t1 ) a ( t2 ) － 在t1和t2时刻得到的 (t)的均值
f2 (x1, x2; t1, t2) － (t)的二维概率密度函数。
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第3章 随机过程
相关函数和协方差函数之间的关系 B(t1,t2 ) R(t1,t2 ) a(t1) a(t2 )
若a(t1) = a(t2)，则B(t1, t2) = R(t1, t2)
随机过程 (t) 的n维概率密度函数：
fn
( x1，x2，，x n；t1，t2，，t n
)
n
Fn
(x1，x2，，xn；t1，t2，，t x1x2 xn
n
)
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第3章 随机过程
3.1.2 随机过程的数字特征
均值（数学期望）：
在任意给定时刻t1的取值 (t1)是一个随机变量，其均值
E (t1 ) x1 f1 (x1 , t1 )dx1
所有实数，有
fn (x1,x2 ,,xn ；t1,t2 ,,tn ) fn (x1, x2 ,, xn；t1 ,t2 ,,tn ) 则称该随机过程是在严格意义下的平稳随机过程， 简称严平稳随机过程。
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第3章 随机过程
性质：
该定义表明，平稳随机过程的统计特性不随时间的 推移而改变，即它的一维分布函数与时间t无关：
可见，（1）其均值与t无关，为常数a；
（2）自相关函数只与时间间隔有关。
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第3章 随机过程
数字特征：
E (t) x1 f1 (x1 )dx1 a R(t1,t2 ) E[ (t1) (t1 )]
间函数。
随机过程： (t) ={1 (t), 2 (t), …, n (t)}
是全部样本函数的集合。
(t)
1 (t ) 2 (t) n (t)
0
t3
第3章 随机过程
角度2：随机过程是随机变量概念的延伸。 在任一给定时刻t1上，每一个样本函数i (t)都是一个确定的 数值i (t1)，但是每个i (t1)都是不可预知的。 在一个固定时刻t1上，不同样本的取值{i (t1), i = 1, 2, …, n} 是一个随机变量，记为 (t1)。
f1 (x1,t1 ) f1 (x1 )
而二维分布函数只与时间间隔 = t2 – t1有关：
f2 (x1, x2 ;t1,t2 ) f2 (x1, x2 ; )
数字特征：
E (t) x1 f1 (x1 )dx1 a R(t1,t2 ) E[ (t1) (t1 )]
x1x2 f2 (x1, x2 ; )dx1dx2 R( )
E[ξ 2 (t)] a2 (t)
x
2
f1
(x,
t)dx
[a(t
)] 2
均方值
均值平方
所以，方差等于均方值与均值平方之差，它表示随
机过程在时刻 t 对于均值a ( t )的偏离程度。
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第3章 随机过程
相关函数
R(t1,t2 ) E[ (t1) (t2 )]
x1x2 f 2 (x1, x3章 随机过程
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第3章 随机过程
3.1 随机过程的基本概念
什么是随机过程？
随机过程是一类随时间作随机变化的过程，它不能 用确切的时间函数描述。可从两种不同角度看：
角度1：对应不同随机试验结果的时间过程的集合。
2
第3章 随机过程
【例】n台示波器同时观测并记录这n台接收机的输 出噪声波形 样本函数i (t)：随机过程的一次实现，是确定的时
随机过程 (t)的二维概率密度函数：
f2 (x1,
x2 ; t1, t2
)
2F2 (x1, x2;t1,t2 x1 x2
)
若上式中的偏导存在的话。
随机过程 (t) 的n维分布函数：
Fn (x1, x2 ,, xn ;t1, t2 ,tn )
P (t1 ) x1, (t2 ) x2 ,, (tn ) xn
随机过程 (t)的一维分布函数：
F1 (x1, t1 ) P[ (t1 ) x1 ]
随机过程 (t)的一维概率密度函数：
f1(x1, t1)
F1(x1, t1) x1
若上式中的偏导存在的话。
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第3章 随机过程
随机过程 (t) 的二维分布函数：
F2 (x1, x2 ;t1,t2 , ) P (t1) x1, (t2 ) x2
互相关函数
R (t1 , t2 ) E[ (t1 )(t2 )]
式中(t)和(t)分别表示两个随机过程。
因此，R(t1, t2)又称为自相关函数。
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第3章 随机过程
3.2 平稳随机过程
3.2.1 平稳随机过程的定义
定义：
若一个随机过程(t)的任意有限维分布函数与
时间起点无关，也就是说，对于任意的正整数n和