数学浓度问题

浓度问题（十字交叉法）

一个好玩的故事——熊喝豆浆

黑熊领着三个弟弟在森林里游玩了半天，感到又渴又累，正好路过了狐狸开的豆浆店。只见店门口张贴着广告： “既甜又浓的豆浆每杯0.3元。”黑熊便招呼弟弟们歇脚，一起来喝豆浆。黑熊从狐狸

手中接过一杯豆浆，给最小的弟弟喝掉16 ，加满水后给老三喝掉了13

，再加满水后，又给老二喝了一半，最后自己把剩下的一半喝完。狐狸开始收钱了，他要求:

黑熊最小的弟弟付出0.3×16

＝0.05(元)； 老三0.3×13

＝0.1(元)； 老二与黑熊付的一样多， 0.3×12

＝0.15(元)。 黑熊与三个兄弟一共付了0.45元。

兄弟们很惊讶，不是说，一杯豆浆0.3元，为什么多付0.45 －0.3＝0.15元？肯定是狐狸在敲诈我们。不服气的黑熊嚷起来：“多收我们坚决不干。”

狐狸说：“不给钱，休想离开。”现在，说说为什么会这样呢？ 专题简析：

溶质：在溶剂中的物质。

溶剂：溶解溶质的液体或气体。

溶液：包含溶质溶剂的混合物。

这一类溶液配比问题，即浓度问题。我们知道，将糖溶于水就得到了糖水，其中糖叫溶质，水叫溶剂，糖水叫溶液。如果水的量不变，那么糖加得越多，糖水就越甜，也就是说糖水甜的程度是由糖（溶质）与糖水（溶液＝糖+水）二者质量的比值决定的。这个比值就叫糖水的含糖量或糖含量。类似地，盐溶于水中，盐与盐水二者质量的比值叫盐的浓度。

因而浓度就是溶质质量与溶液质量的比值，通常用百分数表示，

即，

即：糖+水=糖水的重量；盐+水=盐水的重量

解答浓度问题，首先要弄清什么是浓度。在解答浓度问题时，根据题意列方程解答比较容易，在列方程时，要注意寻找题目中数量问题的相等关系。浓度问题变化多，有些题目难度较大，计算也较复杂。要根据题目的条件和问题逐一分析，也可以分步解答。

例题1：有含糖量为7％的糖水600克，要使其含糖量加大到10％，需要再加入多少克糖？

【思路导航】在7％的糖水中加糖就改变了原来糖水的浓度，糖

的质量增加了，糖水的质量也增加了，但水的质量并没有改变。因此，可以先根据原来糖水中的浓度求出水的质量，再根据后来糖水中的浓度求出现在糖水的质量，用现在糖水的质量减去原来糖水的质量就是增加的糖的质量。

解法1:（数学法）

原来糖水中水的质量： 600×（1－7％）＝558（克）

现在糖水的质量：558÷（1－10％）＝620（克）

加入糖的质量：620－600＝20（克）

答：需要加入20克糖。

解法2:（方程法）

设需要加入糖X 克

原来糖水中糖的质量： 600×7％＝42（克）

加入糖X 克后糖的质量是42+X 克

加入糖X 克后糖水的质量是600+X 克

现在糖水浓度：

x x ++60042= 10010 即 x x ++60042=10

1 420+10X=600+X

9X=180，即X=20克

解法3:（十字交叉法）

m1（600） a （7%） c-b(90%) c(10%)

m2 （?） b(100%) a-c(3%)

解题： x 600=3

90 90x=1800 x=20

解法3:十字交叉法

十字交叉法可用于溶液浓度的计算，例如溶液的稀释、浓缩或混合等计算题。使用此法，使解题过程简便、快速、正确。下面通过例题介绍十字交叉法的原理：

同一物质的甲、乙两溶液的百分比浓度分别为a 、b ，现用这两种溶液配制百分比浓度为c 的溶液。问取这两种溶液的质量比应是多少？同一物质的溶液，配制前后溶质的质量相等，利用这一原理可列式求解。

设甲、乙两溶液各取m1、m2克，两溶液混合后的溶液质量是（m1＋m2）克。列式

m1×a＋m2×b=（m1＋m2）×c，

m1×a＋m2×b = m1×c ＋m2×c

m1×a - m1×c=＋m2×c- m2×b

m1×（a-c ）=m2×（c-b ） 把此式整理得：21m m = c

-a b -c m1 a c-b c

m2 b a-c

斜线做差，横线看结果

练习题

1、两种钢分别含镍5％和40％，要得到140吨含镍30％的钢，需要含镍5％的钢和含镍40％的钢各多少吨

2、60%的盐水300g，与浓度30%的盐水200克混合，求混合后的盐水浓度？

3、在100千克浓度为50％的盐水中，再加入多少千克水就可以配制成25％的盐水？

4、在20％的盐水中加入10千克水，浓度为15％。再加入多少千克盐，浓度为25％？

5、仓库运来含水量为90％的一种水果100千克。一星期后再测，发现含水量降低到80％。现在这批水果的质量是多少千克？

6：浓度为15%的100千克盐水，加热增发掉一部分水后，浓度变为20%，问增发了多少水？