保险精算学联合单减因表

Eg4.1 假设某联合单减因表的各个减因绝对减率如表4-2所示， 并且第3个减因是退休减因，可以发生在65岁—70岁之间，70 岁为强制退休年龄。 表4-2
x
65 66 67 68 69
1 q x

0
p t x dt
3

1 2 1 2 3 3 q q q q x 1 x x x qx 3 2 and we can alse have, qx
2
1


3 qx
3 m 3的情况类似分析。
k


k q x
可见，在减因力恒定和减因均匀分布的假设下的q x 相等。
k
4.3.5 联合单减因表的各减因均匀分布假设下的估计
在联合单减因表的各减因均匀分布假设下，有
q tq t x x , k 1, 2,..., m;0 t 1
k k
p q t x x t x
k 1
t m
so
t
px
T
k t px
k 1
m
it is easy to say : t px
T
k k k t px , t qx t qx .
4.3.3 各减因力恒定假设下的估计
假设各减因力恒定，即
x t x , 0 t 1
同时，在减因力恒定的假设下，还有 px
T
T xt dt x T T 0 e e , x ln px .

1
T
同理，有
k k x ln p x . k k x ln p T T x T q x q . T x x ln px
1 1 1 1 3 2 3 qx 1 qx q x q x qx 3 2 1 1 1 1 2 3 2 . qx 1 qx qx q x qx 3 2
t
k
k k q 称为 k 减因绝对减率，以区别于用概率表述的 q t x t x 。
k 减因绝对减率与其他减因力无关，也称为独立减率。
4.3.2 联合单减因函数与多减因函数的基本关系
since
t px
T
e 0

t
T ds
x s
e

k ds x 0
k k 1
hence,
q x
k
k 1 q k x 1 exp x t dt 1 exp dt T 0 0 1 tqx
qx T T qxT 1 exp T ln 1 qx 1 1 q . x qx
k k
k
q
k x
m k k t p dt t px x t dt 0 0 k 1
1
T x
k x t
1
1 when
1
m 2, we have
1 0
qx
t px
1
1 1 2 t px x t dt t px x t t px dt
k k
加总所有单减因概率，我们有
t
qx tqx ,0 t 1
T
T
在减因均匀分布的假设下，有
p q t x x t x x t
T k k k
qx qx T T p 1 tq t x x
4.3 联合单减因表
4.3.1 联合单减因函数
构成多减因表的各个减因都可以依各自独立的减因力 构成单减因表，把由多减因表的各个减因构成的单减因表 称为联合单减因表，它是单独考虑各个减因时生成的生命 表。
设联合单减因表的存活函数为t p x ,则
k t
q x
k
t x s ds k k 0 1 e p x x s ds. 0
此时，有 qx
k k T k T k t px x t dt t px x dt x T 0 0 x
1 1
k
k

1
0
T T p t x x dt
k x T T q x x
k q x
we can obtain hence,
q
k x
k T qxT q 1 1 q . x x
上式可用于由多减因概率估计绝对减因率。
4.3.4 各减因均匀分布假设下的估计
假设多减因模型的各个减因在每个年龄上均匀分布，即
q tq t x x , k 1,2,..., m;0 t 1
0 1
2 1
1
q 1 tq x x
1 0
பைடு நூலகம்
2

2 qx 1 dt q 1 x 2
and we can alse have, qx
2
1 qx 2 q x 1 2
2 when
1
m 3, we have
1
qx t p x
0
1
t px
2
q x
1

1 0
p dt p p t x x t t x x t t x
1 1
3 1
1
2
2 3 1 tq 1 tq dt x x