逻辑代数及逻辑函数化简

2.1.1 逻辑代数的基本运算
信息论的创始人香侬(Shannon)在 1940年首先建立了用电子线路来实现布 尔代数表达式，0，1分别代表电路的开、 关状态或高、低电平；命题为真，线路 建立连结；命题为假，线路断开连结。
1 、与运算 —— 所有条例都具备事件 才发生，与运算又叫逻辑乘。
•开关： “ 1” 闭合， “ 0” 断开 ； 灯： “ 1” 亮， “ 0” 灭 •真值表：这里若用1表示开关接通和灯亮、 用0表示开关断开和灯暗.则可列出真值表. 如图2. 1所示。把输入所有可能的组合与 输出取值对应列成表。 •逻辑表达式： L=A·B( 逻辑乘 ) •逻辑功能口决： 有 “ 0” 出 “ 0” ， 全 “ 1” 出 “ 1” 。
第2章 逻辑代数及 逻辑函数化简
2.1 逻辑代数的基本运算与公式 2.2 公式法化简逻辑函数 2.3 逻辑函数的标准形式
2.4 图解法(卡诺图)化简 （重点） 2.5 表格法化简(Q-M法 ) 2.6 逻辑函数的实现
2.1 逻辑代数的基本运算与公式
逻辑代数：二进制运算的基础。 应用代数方法研究逻辑问题。由英国数学家 布尔(Boole)和德.摩根于1847年提出，又叫 布尔代数，开关代数。 逻辑函数的表示：真值表，表达式，逻辑门 逻辑函数的生成：逻辑问题的描述，由文字叙 述的设计要求，抽象为逻辑表达式的过程。 然后才能化简、实现，逻辑设计的第一步。 逻辑代数的基本运算：与、或、非 (1) “与”运算，逻辑乘 (2) “或”运算，逻辑加 (3) “非”运算，取反
如果两个逻辑函数表达式相等，那么它 们的对偶式也一定相等。这就是对偶规 则。
（2） 对偶规则
即: “ ”, “+”, “0” , “1”, “变量”
“+” , “ ” , “1” , “0”, 不变
（2） 对偶规则
（2） 对偶规则
Y AB CDE
Y ( A B )(C D E)
2 、或运算 ——— 至少有一个条件具 备，事件就会发生。
•开关A与开关B只要有一个接通时，灯 L亮，否则暗。输人量A,B与输出量F存 在着或逻辑关系。 •真值表： •逻辑表达式： L=A+B（逻辑加） •逻辑功能口决：有 “ 1” 出 “ 1”， 全 “ 0” 出 “ 0”
3 、非运算： — 结果与条件相反。某事情发生 与否，仅取决于一个条件，而且是对该条件的否 定。即条件具备时事情不发生；条件不具备时事 情才发生。
真值表 利用基本定理化简公式 AB+AC+BC=AB+AC ( ? ) （包含律） 证明：AB+AC+BC
=AB(C+C)+AC(B+B)+BC(A+A) =ABC+ ABC+ ABC+ ABC+ ABC+ ABC =ABC+ ABC+ ABC+ ABC =AB+AC
如何验证公式的正确性
AB+AC+BC+BCD
2.1.2逻辑代数的基本公式、规则、 附加公式
基本公式
2.1.2逻辑代数的基本公式、规则、 附加公式
交换律 A• B B • A
A B B A
结合律
A•(B •C) (A• B) •C
A
(B
C)
(
A
B)
C
A•(B C) A• B A•C
分配律
A
B
•
C
(
A
B)
•
(
A
C)
基本公式（续）
Y ABC DE
Y A BC D E
对偶规则的意义在于：如果两个函数相等，则它们的对偶函 数也相等。利用对偶规则,可以使要证明及要记忆的公式数目减少 一半。例如：
AB AB A
(A B) (A B) A
A(B C) AB AC
A BC (A B)(A C)
注意：在运用反演规则和对偶规则时，必须按照逻辑运算 的优先顺序进行：先算括号，接着与运算，然后或运算，最后非 运算，否则容易出错。
（2） 对偶规则
3.附加公式
附加公式1
3.附加公式
3.附加公式
附加公式2
3.附加公式
3.附加公式
3.附加公式
2.1.3基本逻辑公式
4.与非门
例： F AB
实现“与非”逻辑
(NAND——NOT-AND)
A
B
F
与非门 （A、B是输入，F是输出）
A
B
F
C
真值表 F=AB
AB F 00 1 10 1 01 1 1 10
利用反演规则求反函数F时，不仅要注意运算的 优先顺序，而且还要注意只有单个变量的反变 量才变为原变量，而对于多个变量组合后的“非”
号 不能变反。
（1） 反演规则
即: “ ”, “+”, “0” , “1”, “原变 量”, “反变量”
“+” , “ ” , “1” , “0”, “反变量”, “原变量”
如何验证公式的正确性
真值表 利用基本定理化简公式 例：真值表验证摩根定律
A B A B A＋B A＋B A B 00 1 1 1 1 01 1 1 0 0 10 1 1 0 0 11 0 0 0 0
__A______•__B______
__
A
__
__
B
__
A B A• B
如何验证公式的正确性
5.或非门
F AB
实现“或非”逻辑
(NOR——NOT-OR)
A+
B
F
A B C
真值表
AB 00 10 01 11
F
F 1 0 0 0
6.“与或非”门
7.异或门
8.同或门
2.2逻辑函数化简
（1）公式化简法 （2）图解化简法 （3）表格法
2.2.1 公式法化简逻辑函数
逻辑函数化简的目的: 省器件！用最少的门实现 相同的逻辑功能，每个门的输入也最少。
（1） 反演规则
反演规则
Y AB CDE
Y ABC DE
Y ( A B)(C D E ) Y AB CD E
练习
（2） 对偶规则
设F为一个逻辑函数表达式，若将F中的 “与”、 “或”运算符互换(即·变为+， +变为·)，常量0、1互换(即0变为1， 1 变为0)， 所得到的新表达式就叫做函数F 的对偶式
=AB+AC+wenku.baidu.comC(1+D)
=AB+ AC+ BC
=AB+AC
A+B = A+C
B=C
AB = AC
B=C
2.
（1） 在逻辑代数中，常将逻辑函数F叫作原函数，将
F叫作F的反函数或补函数。将一个逻辑函数表 达式F中的“与”、 “或”运算符互换， 常量0、
1 互换，原变量与反变量互换，就可得到F的反函 数F。这就是反演规则。