导数中的双变量问题

1、设函数 f(x) (2 a)lnx __ (a
x
(1)讨论函数f (x)在定义域内的单调性；
⑵ 当 a ( 3, 2)时，任意 X i ,X 2 [1,3] , (m In 3)a 2l n3 | f(xj f(x 2)| 恒成立，求实数 m 的取值范围.
2、已知二次函数g(x)对x
R 都满足 g(x 1) g(1 x) x 2 2x 1 且 g(1)
1，设函数
1
9
f (x) g(x ) ml nx ( m
R , x 0).
(I)求g(x)的表达式；(H)若 x R ，使f(x) 0成立，求实数m 的取值范围；
(皿)设1 m e ,H(x) f(x) (m 1)x ，求证：对于 x b x ? [1,m]，恒有 | H (xj H(X 2)| 1 . 3、 设x 3是函数f x x 2 ax b e 3 x , x R 的一个极值点. (1) 求a 与b 的关系式(用a 表示b )，并求f x 的单调区间；
25
(2) 设
a
o, g x a
— e
，若存在
1
, 2
0,4，使得
f
1
g 2
1
成立，求a
的
取值范围.
4、 f (x) (x 2 ax b)e x (x R). (1)若a 2,b 2，求函数f(x)的极值；
(2) 若
x 1
是函数f(x)
的一个极值点，试求出a 关于b 的关系式(用a
表示b ), 并确定
f(x)的单调区间；
(3) 在(2)的条件下，设a 0，函数g(x) (a 2 14)e x 4 .若存在1, 2 [0,4]使得 | f( 1)
f( 2)l 1成立，求a 的取值范围.
5、已知函数f x ax 3 bx 2 3x a,b R 在点1, f 1处的切线方程为y 2 0 . ⑴求函数f x 的解析式;
导
数 0) •
⑵若对于区间2,2上任意两个自变量的值x1,x2都有f x1
c，求实数c的最小值；
⑶若过点M 2,m m 2可作曲线y f x的三条切线，求实数m的取值范围.
1
6、设函数f(x) x aln x(a R).
x
⑴讨论函数f(x)的单调性；
⑵若f(x)有两个极值点X i,X2，记过点A(X i, f(G), B(X2, f(X2))的直线斜率为k,问：是否存在a，使得k 2 a ?若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由.
7、已知函数f(x) ln x — ax2(a 1)x(a R, a 0).
2
⑴求函数f(x)的单调增区间；
⑵记函数F(x)的图象为曲线C ,设点A(x1,y1)，B(x2,y2)是曲线C上两个不同点，如果
曲线C上存在点M(x0,y0)，使得：①x0X2；②曲线C在点M处的切线平行于直
2
线AB，贝S称函数F(x)存在“中值相依切线”.试问：函数f(x)是否存在中值相依切线，请说明理由.
&已知函数 f (x) (a 1)lnx ax .
⑴试讨论f(x)在定义域内的单调性；
⑵当a V—1时，证明：N,X2 (0,1),⑴：1)1.求实数m的取值范围.
I X1 x2 |
9、已知函数f(x) (a 1)lnx ax2 1.
⑴讨论函数f(x)的单调性；
⑵设a 1，如果对任意X1,X2 (0, ) , |f(xj f(x2) |> 4|X1 X2 |,求a的取值范围.
1 2
10、已知函数f(x)=§x —ax+(a—1) lnx , a 1 .
(1)讨论函数f(x)的单调性；
11、 已知函数 f(x) x 1 aln x(a 0). (1) 确定函数y f(x)的单调性； (2)
若对任意x 1,x 2 0,1，且x 1 x 2，都有| f (x 1) f(x 2)| 4|— — |，求
实数a 的取 X ] x 2
值范围。

12、 已知二次函数 f x ax 2
bx c 和“伪二次函数”
g x ax 2
bx clnx ( a
、b 、 c R,
abc 0)，
(I) 证明：只要a 0，无论b 取何值，函数g x 在定义域内不可能总为增函数； (II) 在二次函数f x ax 2 bx c 图象上任意取不同两点A(X 1,yJ, Bgy z )，线段AB 中 点的横坐标为x 0，记直线AB 的斜率为k ，
(i)求证：k f(X 。

)； (ii)对于“伪二次函数” g x ax 2 bx clnx ,是否有①同样的 性质？证明你的结论.
13
、 已知函数(x) ——，a 为正常数.
x 1
⑴若f(x) lnx (x),且a 9，求函数f(x)的单调增区间；
⑵在⑴中当a 0时，函数y f(x)的图象上任意不同的两点Ax 1,y 1 , B X 2,y 2，线段AB 的中点为C(x
0,y 0)，记直线AB 的斜率为k
，试证明：k f (x 0
)
.
⑶若 g(x
)||nx
|
(x)
，且对任意的
x 1
,x
2
0,2
, x
1
x
2
，都有
g(x 2) g(x 1)
1
，求a 的取
值范围.
14、 已知函数 f(x) x 2ln(ax)(a 0)
(2)证明：若a 5，则对任意X 1 , X 2
(0, ),X 1 X 2，有辿3
X-I x 2
(1)若f'(x) x2对任意的x 0恒成立，求实数a的取值范围；
(2)当 a 1 时，设函数g(x)卫勺，若X1,X2 (],1),X1 X2 1，求证X1X2 (X1 X2)4
x e
15、已知函数f(x) 1 a lnX a R,
(I)求f(x)的极值(H)若Inx kx 0在R上恒成立，求k的取值范围(皿)已知x1 0 , x2 0且x-i x2 e,求证x-i x2 x-i x
16、已知函数f(x)也的图象为曲线C,函数g(x)舟ax b的图象为直线I.
x 2
(I )当 a 2,b 3 时,求F(x) f(x) g(x)的最大值；
(H )设直线I与曲线C的交点的横坐标分别为x i,x2,且x i x2,求证：
(x i X2)g(x i X2) 2.
17、已知函数f (x) -x2丄x ln(x a)，其中常数a 0.
4 a
⑴若f(x)在x 1处取得极值，求a的值；⑵求f(x)的单调递增区间；
⑶已知0 a 若x-i, x2 ( a,a), x-i x2,且满足 f '(x1) f '(x2) 0 ,试比较
2
f '(x1 x2)与f '(0)的大小，并加以证明。

18、已知函数f(x) (x2 a)e x.
⑴若a 3，求f(x)的单调区间；
⑵已知NX是f(x)的两个不同的极值点，且丨为X2IIX1X2I，若3f (a) a3I a23a b 恒成立，求实数b的取值范围。

19、已知函数 f (x) xe X(x R)
⑴求函数f(x)的单调区间和极值；
⑵已知函数y g(x)的图象与函数y f(x)的图象关于直线x 1对称，证明当x 1时, f(x) g(x)
⑶如果X X2，且f(xj f (X2)，证明X X2 2
_ _ X 1
20、已知函数f(x) —(X R).
e
⑴求函数f(x)的单调区间和极值；
⑵已知函数y g(x)对任意X满足g(x) f(4 x)，证明：当X 2时，f(x) g(x);
⑶如果X1 X2，且f(X1)f (X2)，证明：X1 X2 4.
21、已知函数f(x) ln(x 1),g(x) e x 1 ,
(I)若 F (x) f (x) px , 求F(x)的单调区间；
(H)对于任意的x2为0，比较f (x2) f (x1)与g(x2 x1)的大小，并说明理由.
22、函数 f x In x, g x x2
(I)求函数h x f x x 1的最大值。

(2 )对于任意xz 0,,且X2捲，是否存在实数m ,使mg x2mg % %f x1x2f x2恒为正数？若存在，求实数m的取值范围；若不存在，请说明理由。

23、已知函数f x In x 1 ax，其中a R且a 0。

a
(1)讨论f x的单调区间；
(2)若直线y ax的图像恒在函数f x图像的上方，求a的取值范围
(3)若存在1x10 , x20，使得f为f x20，求证x1x20。

a
24、
(学习的目的是增长知识，提高能力，相信一分耕耘一分收获，努力就
一定可以获得应有的回报)。