高中数学第三章概率3.3随机数的含义与应用3.3.1-3.3.2随机数的含义与应用教学案新人教B版必修3

3．3.1 & 3.3.2 几何概型 随机数的含义与应用

预习课本P109～114，思考并完成以下问题

(1)什么是几何概型？

(2)几何概型的概率计算公式是什么？

(3)随机数的含义是什么？它的主要作用有哪些？

[新知初探]

1．几何概型

(1)定义：事件A 理解为区域Ω的某一子区域A ，A 的概率只与子区域A 的几何度量无关．满足以上条件的试验称为几何概

形状和位置的A ，而与成正比)长度、面积或体积(型．

(2)计算公式：

的几何度量．

A 表示子区域A μ的几何度量，Ω表示区域Ωμ，其中μA

μΩ

＝)A (P 2．随机数 (1)含义

一

机会的数，并且得到这个范围内的每一个数的随机产生随机数就是在一定范围内样．

(2)产生

之间的随机数．1～0键都会产生一个Ran # SHIFT 在函数型计算器上，每次按① ②Scilab 中用rand( )函数来产生0～1的均匀随机数．如果要产生a ～b 之间的随机

得到．a ＋)a －b )*( rand(数，可以使用变换 [小试身手]

1．用随机模拟方法得到的频率( )

A ．大于概率

B ．小于概率

C ．等于概率

D ．是概率的近似值 答案：D

2．已知集合M ＝{x |－2≤x ≤6}，N ＝{x |0≤2－x ≤1}，在集合M 中任取一个元素x ，

则x ∈M ∩N 的概率是( )

18B.

19A. 38

D.

14C. 解析：选 B 因为N ＝{x |0≤2－x ≤1}＝{x |1≤x ≤2}，又M ＝{x |－2≤x ≤6}，所以

.

1

8

＝2－16＋2所求的概率为，所以≤2}x |1≤x {＝N ∩M 3.如图所示，半径为4的圆中有一个小狗图案，在圆中随机撒一粒

)

(，则小狗图案的面积是1

3

豆子，它落在小狗图案内的概率是 π3

A.

4π3

B.

8π3

C. 16π

3

D.

，由几何概型的计算

16π＝2

π×4＝S ，圆的面积1S 设小狗图案的面积为 D 解析：选 D.

故选.16π

3

＝1S ，得13＝S1S 公式得 4．在区间[－1,1]上随机取一个数x ，则x ∈[0,1]的概率为________． .

1

2

＝1－01－－1解析：根据几何概型的概率的计算公式，可得所求概率为 1

2

答案：

与长度有关的几何概型

[典例] (1)． (2)某汽车站每隔15 min 有一辆汽车到达，乘客到达车站的时刻是任意的，求一位乘客到达车站后等车时间超过10 min 的概率．

[解析] (1)∵区间[－1,2]的长度为3，由|x |≤1，得x ∈[－1,1]，而区间[－1,1]的长度为2，x 取每个值为随机的，∴在[－1,2]上取一个数x ，|x |≤1的概率P ＝2

3

.

答案：23

(2)解：设上一辆车于时刻T 1到达，而下一辆车于时刻T 2到达，则线段T 1T 2的长度为15，设T 是线段T 1T 2上的点，且T 1T ＝5，T 2T ＝10，如图所示．

不

(上T 1T 落在线段t ，则当乘客到达车站的时刻A 为事件10 min”等车时间超过“记含端点)时，事件A 发生．

，

1

3

＝515＝T1T 的长度T1T2的长度＝)A (P ∴ .

1

3

的概率是10 min 即该乘客等车时间超过

1．解几何概型概率问题的一般步骤

(1)选择适当的观察角度(一定要注意观察角度的等可能性)； (2)把基本事件转化为与之对应的区域D ； (3)把所求随机事件A 转化为与之对应的区域I ； (4)利用概率公式计算．

2．与长度有关的几何概型问题的计算公式

如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示，则其概率的计算公式为：

P (A )＝

构成事件A 的区域长度

试验的全部结果所构成的区域长度

.

[活学活用]

一个路口的红灯亮的时间为30秒，黄灯亮的时间为5秒，绿灯亮的时间为40秒，当你到达路口时，看见下列三种情况的概率各是多少？

(1)红灯亮； (2)黄灯亮； (3)不是红灯亮．

解：在75秒内，每一时刻到达路口亮灯的时间是等可能的，属于几何概型． (1)P ＝红灯亮的时间全部时间＝3030＋40＋5＝25.

(2)P ＝黄灯亮的时间全部时间＝575＝1

15

.

(3)法一：P ＝不是红灯亮的时间全部时间＝黄灯亮或绿灯亮的时间全部时间＝4575＝3

5.

法二：P ＝1－P (红灯亮)＝1－25＝3

5

.

与面积和体积有关的几何概型

[典例] (1)(福建高考)如图，矩形ABCD 中，点A 在x 轴上，点B 的坐标为(1,0)，且点C 与点D 在函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪

⎧

x ＋1，x≥0，－1

2

x ＋1，x<0的图象上．若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于( )

A.1

6

B.14

C.38

D.12

(2)有一个底面圆的半径为1、高为2的圆柱，点O 为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为________．

[解析] (1)依题意得，点C 的坐标为(1,2)，所以点D 的坐标为(－2,2)，所以矩形

ABCD 的面积S

矩形ABCD

＝3×2＝6，阴影部分的面积S

阴影

＝12×3×1＝3

2

，根据几何概型的概率求解公式，得所求的概率P ＝S 阴影

S 矩形ABCD ＝3

26＝14

，故选B.

(2)先求点P 到点O 的距离小于1或等于1的概率，圆柱的体积V 圆柱

＝π×12

×2＝

2π，以O 为球心，1为半径且在圆柱内部的半球的体积V

半球

＝12×43π×13

＝23

π.则点P 到点O 的距离小于1或等于1的概率为：2

3π2π＝1

3，故点P 到点O 的距离大于1的概率为：1－

13＝23

. [答案] (1)B (2)2

3

1．与面积有关的几何概型的概率公式

如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用面积表示，则其概率的计算公式为：

P (A )＝

构成事件A 的区域面积

试验的全部结果所构成的区域面积

.

2．与体积有关的几何概型概率的求法

如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用体积表示，则其概率的计算公式为

P (A )＝

构成事件A 的区域体积

试验的全部结果所构成的区域体积

.

[活学活用]