2.1.2演绎推理教案
2.1.2-演绎推理
课题：2.1.2演绎推理一、教材分析：本节课的内容学习是在已经学习了归纳推理和类比推理的基础上引申出了合情推理和演绎推理。
是集合了知识的应用和巩固，按照特定顺序应用学生较为接受的方法来学习的。
二、教学目标：1．知识与技能(1)让学生知道演绎推理的含义，以及演绎推理与合情推理的联系与差异．(2)能运用演绎推理的基本方法“三段论”进行一些简单的推理．2．过程与方法(1)结合已学过的数学实例和生活中的实例，引出演绎推理的概念．(2)通过对实际例子的分析，从中概括出演绎推理的推理过程．(3)通过一些证明题的实例，让学生体会“三段论”的推理形式．3．情感、态度与价值观让学生体会演绎推理的逻辑推理美，让学生亲身经历数学研究的过程，感受数学的魅力，进而激发自身的求知欲．了解演绎推理在数学证明中的重要地位和日常生活中的作用，养成言之有理，论证有据的思维习惯．三、教学重点重点：了解演绎推理的含义，理解合情推理与演绎推理的区别与联系，能利用“三段论”进行简单的推理．四、教学难点难点：利用三段论证明一些实际问题．1、课时安排：1课时2、学情分析：3、教具选择：电子白板六、教学方法：运用自学指导法，通过创设问题情境，引导学生自学探究演绎推理与合情推理的区别与联系，了解演绎推理的作用和应用方式方法．教师指导重点应放在“三段论”的理解与应用上，师生共同研讨大前提、小前提、结论之间的关系，帮助学生分析大前提、小前提的作用及应用方法，引导学生挖掘证明过程包含的推理思路，明确演绎推理的基本过程，总结规律方法，使学生能举一反三、触类旁通．本部分的练习题不在“多”，而在“精”，关键在理解．七、教学过程：1、自主导学：阅读课本30—33页回答下列问题：（学生课前预习后提出疑惑，老师解答）【问题导思】看下面两个问题：(1)一切奇数都不能被2整除，(22 012＋1)是奇数，所以(22 012＋1)不能被2整除；(2)两个平面平行，则其中一个平面内的任意直线必平行于另一个平面，如果直线a是其中一个平面内的一条直线，那么a平行于另一个平面．1．这两个问题中的第一句都说的是什么？【提示】都说的是一般原理．2．第二句又说的是什么？【提示】都说的是特殊示例．3．第三句呢？【提示】由一般原理对特殊示例作出判断．2、合作探究（1）分组探究探究点1 演绎推理的定义和探究点2 演绎推理的模式1．演绎推理(1)含义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理．(2)特点：由一般到特殊的推理．2．三段论3.将下列推理写成“三段论”的形式：(1)向量是既有大小又有方向的量，故零向量也有大小和方向；(2)矩形的对角线相等，正方形是矩形，所以正方形的对角线相等；(3)0.332·是有理数；(4)y ＝sin x (x ∈R )是周期函数．【思路探究】 首先分析出每个题的大前提、小前提及结论，再写成三段论的形式．【自主解答】 (1)向量是既有大小又有方向的量，大前提零向量是向量，小前提所以零向量也有大小和方向．结论(2)每一个矩形的对角线都相等，大前提正方形是矩形，小前提正方形的对角线相等．结论(3)所有的循环小数都是有理数，大前提0．332·是循环小数，小前提0．332·是有理数．结论(4)三角函数是周期函数，大前提y ＝sin x 是三角函数，小前提y ＝sin x 是周期函数．结论（2）教师点拨用三段论写推理过程时，关键是明确大、小前提，三段论中的大前提提供了一个一般性的原理，小前提指出了一种特殊情况，两个命题结合起来，揭示一般原理与特殊情况的内在联系．有时可省略小前提，有时甚至也可大前提与小前提都省略．在寻找大前提时，可找一个使结论成立的充分条件作为大前提．3、巩固训练1、指出下列推理中的错误，并分析产生错误的原因：(1)整数是自然数，大前提－3是整数，小前提－3是自然数．结论(2)常数函数的导函数为0，大前提函数f(x)的导函数为0，小前提f(x)为常数函数．结论(3)无理数是无限不循环小数，大前提13(0.333 33…)是无限不循环小数，小前提13是无理数结论【解】(1)结论是错误的，原因是大前提错误．自然数是非负整数．(2)结论是错误的，原因是推理形式错误．大前提指出的一般原理中结论为“导函数为0”，因此演绎推理的结论也应为“导函数为0”．(3)结论是错误的，原因是小前提错误.13(0.333 33…)是循环小数而不是无限不循环小数.图2－1－42、已知在梯形ABCD中(如图2－1－4)，DC＝DA，AD∥BC.求证：AC平分∠BCD.(用三段论证明)【思路探究】观察图形→DC＝DA⇒∠1＝∠2→AD∥BC⇒∠1＝∠3→∠2＝∠3【自主解答】∵等腰三角形两底角相等，大前提△ADC是等腰三角形，∠1和∠2是两个底角，小前提∴∠1＝∠2.结论∵两条平行线被第三条直线截得的内错角相等，大前提∠1和∠3是平行线AD、BC被AC截得的内错角，小前提∴∠1＝∠3.结论∵等于同一个角的两个角相等，大前提∠2＝∠1，∠3＝∠1，小前提∴∠2＝∠3，即AC平分∠BCD.结论4、拓展延伸1．三段论推理的根据，从集合的观点来理解，就是：若集合M的所有元素都具有性质P，S是M的子集，那么S中所有元素都具有性质P.2．数学问题的解决和证明都蕴含着演绎推理，即一连串的三段论，关键是找到每一步推理的依据——大前提、小前提，注意前一个推理的结论可作为下一个三段论的前提．5、师生合作总结1．演绎推理是从一般性原理出发，推出某个特殊情况的推理方法；只要前提和推理形式正确，通过演绎推理得到的结论一定正确．2．在数学中，证明命题的正确性都要使用演绎推理，推理的一般模式是三段论，证题过程中常省略三段论的大前提．八、课外作业1．正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函数，因此f(x)＝sin(x2＋1)是奇函数．以上推理( )A．结论正确B．大前提不正确C．小前提不正确D．全不正确2．三段论“①只有船准时起航，才能准时到达目的港，②这艘船是准时到达目的港的，③这艘船是准时起航的．”中的小前提是( )A．①B．② C．①②D．③3．“一切奇数都不能被2整除，35不能被2整除，所以35是奇数．”把此演绎推理写成三段论的形式为：大前提：_____________________________________________________________________ ___小前提：_____________________________________________________________________ ___结论：_____________________________________________________________________ ___4．用三段论的形式写出下列命题：(1)Rt△ABC的内角和为180°；(2)通项公式a n＝2n＋3的数列{a n}是等差数列．九、板书：1．演绎推理是从一般性原理出发，推出某个特殊情况的推理方法；只要前提和推理形式正确，通过演绎推理得到的结论一定正确．2．在数学中，证明命题的正确性都要使用演绎推理，推理的一般模式是三段论，证题过程中常省略三段论的大前提．十、教学反思：本节课要突破难点，首先仍然在于做大量有针对性习题，将涉及的种种类比知识全部过关，并总结规律。
课件9：2.1.2 演绎推理
小前提
所以，过点 P 与直线 a 垂直的直线只有一条．
结论
题型二 利用三段论解题、证题 例 2 证明： a2＋b2＋ b2＋c2＋ c2＋a2≥ 2(a＋b＋c)．
[证明] 因为 a2＋b2≥2ab，所以 2(a2＋b2)≥a2＋b2＋2ab(此处 省略了大前提)，所以 a2＋b2≥ 22|a＋b|≥ 22(a＋b)(两次省略 了大前提，小前提)， 同理， b2＋c2≥ 22(b＋c)， c2＋a2≥ 22(c＋a)， 三式相加得 a2＋b2＋ b2＋c2＋ c2＋a2≥ 2(a＋b＋c)．
小前提
所以四边形 AFDE 为平行四边形． 因为平行四边形的对边相等，
结论 大前提
ED 和 AF 为平行四边形 AFDE 的对边． 所以 ED＝AF.结论
小前提
题型三 传递性关系推理的应用
例 3 求证：当 a>0，b>0，a＋b＝1 时， a＋12＋ [证明] 因为 1＝a＋b≥2 ab，所以 ab≤14.
[解] (1)平行四边形的对角线互相平分， 大前提
菱形是平行四边形，
小前提
所以菱形的对角线互相平分．
结论
(2)等腰三角形的两个底角相等，
大前提
∠A，∠B 是等腰三角形的两个底角， 小前提
所以∠A＝∠B.
结论
(3)在数列{an}中，如果当 n≥2 时 an－an－1 为常数，
则{an}为等差数列，
方法归纳 (1)数学问题的解决和证明都蕴含着演绎推理，即一连串的三段论， 关键是找到每一步推理的依据——大前提、小前提，注意前一个 推理的结论会作为下一个三段论的前提． (2)在代数证明问题中，尤其是不等关系的证明，首先找到论证不 等关系的一般性原理(如基本不等式等)，这是大前提，然后利用 “三段论”进行推理．此时应注意不等式性质及定理成立的条件．
高中数学新人教版B版精品教案《2.1.2 演绎推理》
《演绎推理》教学设计教材：人民教育出版社高中数学B版选修2-2章节：第二章《推理与证明》《合情推理与演绎推理》《演绎推理》面向学生：高二年级（一）教学目标1知识与技能目标:理解演绎推理的含义，了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异；掌握演绎推理的基本模式，体会它们的重要性，并能运用它们进行一些简单的推理2．过程与方法目标:结合具体实例,感受演绎推理在数学以及日常生活中的作用，养成言之有理，论证有据的习惯3情感态度和价值观目标：结合已学过的数学实例和日常生活中的实例，使学生体会数学与其他学科以及实际生活的联系；通过演绎推理的学习，培养学生严谨的作风，形成实事求是，力戒浮夸的思维习惯（二）教学重点和难点教学重点：演绎推理的概念，三段论推理规则教学难点：用“三段论”进行简单的推理（三）教学方法：以教师为主导，学生为主体，以能力发展为目标，从学生的认知规律出发，采用问题探究，合作交流，启发引导的方法指导学生学习，充分调动学生积极性，引导学生在学习过程中体会知识的价值，感受知识的无穷魅力（四）教学过程环节一情境激趣, 温故知新问题1:由以下具体事实能得到怎样的结论应用了什么推理学生活动: 积极思考,谨慎求解,复习旧知设计意图:注重情景创设和学习兴趣培养1 填入空缺数字：5,9,15，（），33,452．鱼饵：鱼竿（a）笔：书籍（b）写诗：笔（c）锅铲：炒锅（d）电脑：手机3从（a）（b）（c）（d）中选出一个合适的图案，填在问号处4.南之于西北，正如西之于（）（a）西北（b）东北（c）西南（d）东南环节二互动交流，研讨新知问题2:引例：（以下推理是哪种推理？是我们学过的归纳推理或类比推理吗？）所有的平行四边形对角线互相平分，菱形是平行四边形，菱形的对角线互相平分学生活动: 发现问题,寻找解决问题的出路，自主学习设计意图:重视知识发生、发展过程开展教学演绎推理概念:演绎推理是由到的推理；问题3: 由学生举出生活或者各科学习中，演绎推理的例子学生活动:积极思考，踊跃发言设计意图:通过举例，加深对演绎推理概念的理解问题4:演绎推理中经常使用的推理规则是什么？“三段论”是演绎推理的一般模式,包括:⑴大前提---⑵小前提---⑶结论---环节三概念辨析，思维升华问题5：如何用集合的观点理解三段论推理？学生活动:积极思考，踊跃发言设计意图:通过变式演练，加深对演绎推理概念的辨析，深刻理解演绎推理的本质所有的平行四边形（A）对角线互相平分（P），------A是P------B是A------B是PP学生活动：从数学史发展背景了解三段论及演绎推理设计意图：延伸课堂，丰富学识，加强对数学文化的了解环节五课堂练习，巩固所学练习1：将下列演绎推理写成三段论形式，并指出大，小前提及结论（1）太阳系大行星以椭圆轨道绕太阳运行,海王星是太阳系的大行星,海王星以椭圆形轨道绕太阳运行（2）函数=tan是周期函数练习2：下列推理是否正确，说明理由？（1）自然数是整数，3是自然数，3是整数（2）整数是自然数，-3是整数，-3是自然数（3）自然数是整数，-3是自然数，-3是整数（4）自然数是整数，-3是整数，-3是自然数练习3：演绎推理在生活中的应用（1）中国的大学分布于中国各地，北京大学是中国的大学，所以北京大学分布于中国各地。
《2.1.2 演绎推理》教学案
《2.1.2演绎推理》教学案教学目标1. 了解演绎推理的含义。
2. 能正确地运用演绎推理进行简单的推理。
3. 了解合情推理与演绎推理之间的联系与差别。
教学重点、难点:教学重点：正确地运用演绎推理进行简单的推理教学难点：了解合情推理与演绎推理之间的联系与差别。
教学过程一、复习：合情推理归纳推理从特殊到一般类比推理从特殊到特殊从具体问题出发，观察、分析、比较、联想，归纳、类比，提出猜想二、问题情境案例1、所有的金属都能导电铜是金属，所以，铜能够导电案例2、一切奇数都不能被2整除，因为(2100+1)是奇数，所以，(2100+1)不能被2整除。
案例3、三角函数都是周期函数，tanα是三角函数，所以，tanα是周期函数。
提出问题：像这样的推理是合情推理吗？三、学生活动案例1、所有的金属都能导电铜是金属，所以，铜能够导电案例2、一切奇数都不能被2整除，因为(2100+1)是奇数，所以，(2100+1)不能被2整除。
案例3、三角函数都是周期函数，tan α 是三角函数，所以，tanα是周期函数。
四、建构数学1、演绎推理:从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为演绎推理。
注意：1)演绎推理是由一般到特殊的推理；2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：⑴大前提--已知的一般原理；⑵小前提--所研究的特殊情况；⑶结论--据一般原理，对特殊情况做出的判断。
3)三段论推理的依据，用集合的观点来理解：若集合M 的所有元素都具有性质P ，S 是M 的一个子集，那么S 中所有元素也都具有性质P 。
五、数学运用1、例题例1、如图，在锐角三角形ABC 中，AD ⊥BC ，B E ⊥AC ，D 、E 是垂足，求证AB 的中点M 到D 、E 的距离相等。
证明： (1)因为有一个内角是直角的三角形是直角三角形，大前提在△ABC 中，AD ⊥BC ，即∠ADB=900 小前提所以△ABD 是直角三角形 结论同理△AB E 是直角三角形(2)因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半， 大前提M 是Rt △ABD 斜边AB 的中点，D M 是斜边上的中线 小前提所以 D M =12AB 结论 同理 EM =12AB ，所以 D M = EM 。
教学设计5：2.1.2 演绎推理
2.1.2演绎推理教学目标1.理解演绎推理的意义.2.掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理．教学知识梳理知识点一演绎推理的含义思考分析下面几个推理，找出它们的共同点．(1)所有的金属都能导电，铀是金属，所以铀能够导电；(2)一切奇数都不能被2整除，(2100＋1)是奇数，所以(2100＋1)不能被2整除．【答案】都是由真命题，按照一定的逻辑规则推出正确的结论．梳理演绎推理的含义(1)定义：由概念的定义或一些真命题，依照一定的逻辑规则得到正确结论的过程，通常叫做演绎推理．(2)特征：当前提为真时，结论必然为真．知识点二演绎推理规则思考所有的金属都能导电，铜是金属，所以铜能导电，这个推理可以分为几段？每一段分别是什么？【答案】分为三段．大前提：所有的金属都能导电；小前提：铜是金属；结论：铜能导电．梳理演绎推理的规则类型一三种演绎推理的形式例1选择合适的演绎推理规则写出下列推理过程．(1)函数y＝sin x(x∈R)是周期函数；(2)当k>1时，k－k－1>k＋1－k；(3)若n∈Z，求证n2－n为偶数．解(1)三段论推理：三角函数是周期函数，大前提y＝sin x(x∈R)是三角函数，小前提所以y＝sin x(x∈R)是周期函数．结论(2)传递性关系推理：当k>1时，k－k－1＝1k＋k－1>12k>1k＋k＋1＝k＋1－k.(3)完全归纳推理：∵n2－n＝n(n－1)，∴当n为偶数时，n2－n为偶数，当n为奇数时，n－1为偶数，n2－n为偶数，∴当n∈Z时，n2－n为偶数．反思与感悟对于某一问题的证明中选择哪一种推理规则有时是不唯一的，在证明等量关系、不等关系(放缩法)或立体几何中的平行关系时，常选用传递性关系推理；在涉及含参变量的证明题，需要分类讨论时，常选用完全归纳推理；根据定理证题，往往用三段论推理．跟踪训练1选择合适的推理规则写出下列推理过程：(1)75是奇数．(2)平面α，β，已知直线l∥α，l∥β，α∩β＝m，则l∥m.解(1)三段论推理：一切奇数都不能被2整除．大前提75不能被2整除．小前提75是奇数．结论(2)传递性关系推理：如图，在平面α内任取一点P(P∉m)，∵l∥α，∴P∉l，则l与点P确定一平面与α相交，设交线为a，则a∥l，同理，在β内任取一点Q(Q∉m)，l与点Q确定一平面与β交于b，则l∥b，从而a∥b.由P∈a，P∉m，∴a⊄β，而b⊂β，∴a∥β.又a⊂α，α∩β＝m，∴a∥m，∴l∥m.类型二三段论的应用命题角度1用三段论证明几何问题例2如图，D，E，F分别是BC，CA，AB上的点，∠BFD＝∠A，DE∥BA，求证：ED＝AF，写出三段论形式的演绎推理．证明因为同位角相等，两直线平行，大前提∠BFD与∠A是同位角，且∠BFD＝∠A，小前提所以FD∥AE.结论因为两组对边分别平行的四边形是平行四边形，大前提DE∥BA，且FD∥AE，小前提所以四边形AFDE为平行四边形．结论因为平行四边形的对边相等，大前提ED和AF为平行四边形AFDE的对边，小前提所以ED＝AF.结论反思与感悟(1)用“三段论”证明命题的格式××××××(大前提)××××××(小前提)××××××(结论)(2)用“三段论”证明命题的步骤①理清证明命题的一般思路．②找出每一个结论得出的原因．③把每个结论的推出过程用“三段论”表示出来．跟踪训练2已知：在空间四边形ABCD中，点E，F分别是AB，AD的中点，如图所示，求证：EF∥平面BCD.证明因为三角形的中位线平行于底边，大前提点E，F分别是AB，AD的中点，小前提所以EF∥BD.结论若平面外一条直线平行于平面内一条直线，则直线与此平面平行，大前提EF⊄平面BCD，BD⊂平面BCD，EF∥BD，小前提所以EF∥平面BCD.结论命题角度2用三段论解决代数问题例3设函数f(x)＝e xx2＋ax＋a，其中a为实数，若f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围．解若函数定义域为R，则函数对任意实数恒有意义，大前提因为f (x )的定义域为R ， 小前提 所以x 2＋ax ＋a ≠0恒成立，结论所以Δ＝a 2－4a <0， 所以0<a <4.即当0<a <4时，f (x )的定义域为R .反思与感悟 (1)很多代数问题不论是解答题，还是证明题都蕴含着演绎推理． (2)在解题过程中常省略大前提．跟踪训练3 已知函数f (x )＝a x ＋x －2x ＋1(a >1)，证明：函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数．证明 f (x )＝a x ＋x ＋1－3x ＋1＝a x ＋1－3x ＋1.所以f ′(x )＝a x ln a ＋3(x ＋1)2.因为x >－1，所以(x ＋1)2>0，所以3(x ＋1)2>0.又a >1，所以ln a >0，a x >0， 所以a x ln a >0，所以f ′(x )>0.于是，得f (x )＝a x ＋x －2x ＋1在(－1，＋∞)上是增函数.教学检测1．下面几种推理过程是演绎推理的是( )A ．两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A 与∠B 是两条平行直线的同旁内角，则∠A ＋∠B ＝180°B ．某校高三1班有55人，2班有54人，3班有52人，由此得高三所有班人数超过50人C ．由平面三角形的性质，推测空间四边形的性质D ．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝12⎝⎛⎭⎫a n －1＋1a n －1(n ≥2)，由此归纳出{a n }的通项公式【答案】A【解析】A 是演绎推理，B ，D 是归纳推理，C 是类比推理．2．指数函数y ＝a x (a >1)是R 上的增函数，y ＝2|x |是指数函数，所以y ＝2|x |是R 上的增函数．以上推理( ) A ．大前提错误 B ．小前提错误 C ．推理形式错误 D ．正确【答案】B【解析】此推理形式正确，但是，函数y ＝2|x |不是指数函数，所以小前提错误，故选B. 3．三段论：“①只有船准时起航，才能准时到达目的港，②这艘船是准时到达目的港的，③这艘船是准时起航的”，其中的“小前提”是()A．①B．②C．①②D．③【答案】D4．把“函数y＝x2＋x＋1的图象是一条抛物线”恢复成三段论，则大前提：___________；小前提：______________________________________；结论：__________________________________________.【答案】二次函数的图象是一条抛物线函数y＝x2＋x＋1是二次函数函数y＝x2＋x＋1的图象是一条抛物线5．设m为实数，利用三段论证明方程x2－2mx＋m－1＝0有两个相异实根．证明因为如果一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的判别式Δ＝b2－4ac>0，那么方程有两个相异实根．大前提方程x2－2mx＋m－1＝0的判别式Δ＝(－2m)2－4(m－1)＝4m2－4m＋4＝(2m－1)2＋3>0，小前提所以方程x2－2mx＋m－1＝0有两个相异实根．结论。
高中数学高中数学选修22公开课教案2.1.2演绎推理.
普通高中课程标准实验教科书—数学选修2-2[人教版A]2.1.2演绎推理教学目标：结合已学过的数学实例和生活中的实例，体会演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理。
教学重点：掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理。
教学过程一、复习二、引入新课1．假言推理假言推理是以假言判断为前提的演绎推理。
假言推理分为充分条件假言推理和必要条件假言推理两种。
（1）充分条件假言推理的基本原则是：小前提肯定大前提的前件，结论就肯定大前提的后件；小前提否定大前提的后件，结论就否定大前提的前件。
（2）必要条件假言推理的基本原则是：小前提肯定大前提的后件，结论就要肯定大前提的前件；小前提否定大前提的前件，结论就要否定大前提的后件。
2．三段论三段论是指由两个简单判断作前提和一个简单判断作结论组成的演绎推理。
三段论中三个简单判断只包含三个不同的概念，每个概念都重复出现一次。
这三个概念都有专门名称：结论中的宾词叫“大词”，结论中的主词叫“小词”，结论不出现的那个概念叫“中词”，在两个前提中，包含大词的叫“大前提”，包含小词的叫“小前提”。
3.关系推理指前提中至少有一个是关系判断的推理，它是根据关系的逻辑性质进行推演的。
可分为纯关系推理和混合关系推理。
纯关系推理就是前提和结论都是关系判断的推理，包括对称性关系推理、反对称性关系推理、传递性关系推理和反传递性关系推理。
(1)对称性关系推理是根据关系的对称性进行的推理。
(2)反对称性关系推理是根据关系的反对称性进行的推理。
(3)传递性关系推理是根据关系的传递性进行的推理。
(4)反传递性关系推理是根据关系的反传递性进行的推理。
4. 完全归纳推理是这样一种归纳推理：根据对某类事物的全部个别对象的考察，已知它们都具有某种性质，由此得出结论说：该类事物都具有某种性质。
完全归纳推理可用公式表示如下：S1具有（或不具有）性质PS2具有（或不具有）性质P……Sn具有（或不具有）性质P（S1 S2……Sn是 S类的所有个别对象）所以，所有S都具有（或不具有）性质P可见，完全归纳推理的基本特点在于：前提中所考察的个别对象，必须是该类事物的全部个别对象。
课件10：2.1.2 演绎推理
等，则此两角不是对顶角． (3)0.332·是有理数． (4)y＝sin x(x∈R)是周期函数．
解：(1)每个菱形的对角线相互垂直 正方形是菱形 正方形的对角线相互垂直 (2)两个角是对顶角则两角相等 ∠1和∠2不相等 ∠1和∠2不是对顶角
2.1.2 演绎推理
学习目标： 理解演绎推理的概念，掌握演绎推理的形式，并 能用它们进行一些简单的推理，了解合情推理与 演绎推理的联系与区别．
本节重点：演绎推理的结构特点． 本节难点：三段论推理规则．
自主学习： 1．演绎推理 从 一般性 的原理出发，推出 某个特殊 情 况 下 的 结 论 的推理形式． 它的特点是：由 一般到特殊的推理． 它的特征是：当 前提和推理形式 都正确时，
(4)如果∠A 与∠B 是两条平行直线的同旁内角，那 么∠A＋∠B＝180°.
解：(1)大前提：在一个标准大气压下，水的沸点 是100℃， 小前提：在一个标准大气压下把水加热到100℃， 结论：水会沸腾． (2)大前提：一切奇数都不能被2整除， 小前提：2100＋1是奇数， 结论：2100＋1不能被2整除．
变式3：下列推理是否正确，将有错误的指出错误之处． (1)求证：四边形的内角和等于360°. 证明：设四边形ABCD是矩形，则它的四个角都是直角，有 ∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝90°＋90°＋90°＋90°＝360°. 所以，四边形的内角和等于360°.
(2)已知 2和 3都是无理数，试证： 2＋ 3也是无理数． 证明：依题设， 2和 3都是无理数，而无理数与无理数的 和是无理数，所以 2＋ 3也必是无理数．
结论 必然正确．
2．三段论推理
在推理中：“若b⇒c，而a⇒b，则a⇒c”，这种推理规则
高二数学 教案 2.1.2 演绎推理导学案人教版_选修2-2
学习评价
1．由①正方形的对角线相等；②平行四边形的对角线相等；③正方形是平行四边形。根据“三段论”推理出一个结论，则这个结论是（）
A.正方形是平行四边形B.正方形的对角线相等
C.平行四边形的对角线相等D.其它
2.在空间四边形ABCD中，M,N分别是AB，AD的中点，求证： 。
课后作业
1．下列表述正确的是（ ）。
①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理；③演绎推理是由一般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理；⑤类比推理是由特殊到特殊的推理。
A．①②③；B.②③④；
C．②④⑤；D.①③⑤。
2．（课本P84A6）用三段论证明：在梯形ABCD中， ，则 。
⑷太阳系的行星都以椭圆形轨道绕太阳运行，天王星是太阳系的行星，因此天王星以椭圆形轨道绕太阳运行。
以上几个推理是合情推理吗？它们的推理过程有何共同特征？
问题2：上面的四个推理都是演绎推理，你能按演绎推理的一般模式举出一些例子吗？
问题3：
因为指数函数 是增函数，……大前提
而 是指数函数，……小前提
所以 是增函数。………结论
第04课时
2.1.2演运用演绎推理进行简单的推理。培养逻辑推理的能力。
学习过程
一、学前准备
复习：1.对于平面几何中的命题：“夹在两条平行线之间的平行线段相等”，在立体几何中，类比
上述命题，可以得到命题：“___________
____________________________”，
⑴上面的推理形式正确吗？
⑵推理的结论正确吗？为什么？
问题4：合情推理与演绎推理主要区别是什么？有何联系。
2.1.2演绎推理(教学设计)
2.1.2演绎推理（教学设计）教学目标：知识与技能目标：了解演绎推理的含义，了解合情推理与演绎推理之间的联系与差别，能正确地运用演绎推理，进行简单的推理。
过程与方法目标：能正确地运用演绎推理，进行简单的推理。
培养学生的逻辑推理能力，使学生学会观察，大胆猜想，敢于归纳，挖掘其中所包含的推理思路和思想；明确演绎推理的基本过程，提高学生的创新能力。
情感、态度与价值观目标：了解合情推理与演绎推理之间的联系与差别。
体验推理源于实践，又应用于实践的思想，激发学生学习的兴趣，培养学生勇于探索、创新的个性品质。
教学重点：正确地运用演绎推理，进行简单的推理教学难点：了解合情推理与演绎推理之间的联系与差别。
教学过程：一、复习回顾：1、合情推理归纳推理从特殊到一般类比推理从特殊到特殊从具体问题出发——观察、分析、比较、联想——归纳、类比——提出猜想二、创设情境，新课引入：观察与思考①所有的金属都能导电，铜是金属，所以，铜能够导电；②一切奇数都不能被2整除，(2100+1)是奇数，所以(2100+1)不能被2整除；③三角函数都是周期函数，tanα是三角函数，所以tanα是周期函数。
提出问题：上面的推理有什么特点？分析：如：所有的金属都能导电——一般原理铀是金属——特殊情况所以铀能够导电——对特殊情况的判断三、师生互动，新课讲解：1、演绎推理的定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为演绎推理．2、演绎推理的特点：是由一般到特殊的推理；3、演绎推理的一般模式：“三段论”，包括（1）大前提---已知的一般原理；（2）小前提---所研究的特殊情况；（3）结论-----据一般原理，对特殊情况做出的判断．继续分析问题：（1）所有的金属都能导电←————大前提铜是金属, ←-----小前提所以，铜能够导电←――结论（2）一切奇数都不能被2整除←————大前提(2100+1)是奇数，←――小前提所以，(2100+1)不能被2整除.←―――结论（3）三角函数都是周期函数, ←——大前提tan α是三角函数,←――小前提所以，tan α是周期函数。
课件3：2.1.2 演绎推理
规律方法：用三段论写推理过程时，关键是明确大、小前 提，三段论中的大前提提供了一个一般性的原理，小前提 指出了一种特殊情况，两个命题结合起来，揭示了一般原 理与特殊情况的内在联系．有时可省略小前提，有时甚至 也可把大前提与小前提都省略，在寻找大前提时，可找一 个使结论成立的充分条件作为大前提．
变式训练： 1．试将下列演绎推理写成三段论的形式： (1)太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行，海王星是太 阳系中的大行星，所以海王星以椭圆轨道绕太阳运行； (2)一次函数是单调函数，函数y＝2x－1是一次函数，所以y＝ 2x－1是单调函数； (3)等差数列的通项公式具有形式an＝pn＋q(p，q是常数)，数 列1，2，3，…，n是等差数列，所以数列1，2，3，…，n的 通项具有an＝pn＋q的形式．
3．合情推理与演绎推理的区别 归纳和类比是常用的合情推理，从推理形式上看，归 纳是由部分到整体、个别到一般的推理；类比是由特 殊到特殊的推理；而演绎推理是由一般到特殊的推 理．从推理所得的结论来看，合情推理的结论不一定 正确，有待进一步证明；演绎推理在大前提、小前提 和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确．
课堂检测： 1．指出三段论“自然数中没有最大的数字(大前提),9是 最大的个位数字(小前提)，所以9不是自然数(结论)”中的 错误是____________． 【解析】大前提中的数字泛指非负整数，而小前提中的 数字指的是个位数，因而得出错误的结论． 【答案】小前提中S不是M
2．函数y＝2x＋5的图象是一条直线，用三段论表示为： 大前提_______________________________________． 小前提_______________________________________． 结论_______________________________________． 【解析】关键找出大前提和小前提． 【答案】一次函数的图象是一条直线 函数y＝2x＋5是一次函数 函数y＝2x＋5的图象是一条直线
课件7：2.1.2 演绎推理
证明：因为CD⊥AB，所以∠ADC＝∠BDC＝90°， 所以∠A＋∠ACD＝∠B＋∠BCD＝90°， 在△ABC中，AC＞BC，所以∠B＞∠A， 所以∠ACD＞∠BCD.
归纳升华 (1)数学问题的解决和证明都蕴含着演绎推理，即一连 串的“三段论”，解决这类问题关键是找到每一步推理 的依据——大前提、小前提，注意前一推理的结论往往 会作为下一个“三段论”的前提．
(2)在代数证明问题中，首先找出与物体相关的一般性 原理(如基本不等式、函数的性质等)，这是大前提， 然后利用“三段论”进行推理．
类题尝试 如图所示，D，E，F分别是BC，CA，AB上的 点，∠BFD＝∠A，DE∥BA，求证：ED＝AF.
证明：因为同位角相等，两直线平行， ∠BFD与∠A是同位角，且∠BFD＝∠A， 所以FD∥AE.
所以1a＋1b＋a1b＝(a＋b)1a＋1b＋a1b≥2 ab·2 ≥4＋4＝8. 当且仅当 a＝b＝12时等号成立， 所以1a＋1b＋a1b≥8.
a1b＋a1b
(2)函数定义域为 R. 任取 x1，x2∈R 且 x1<x2. 则 f(x1)－f(x2)＝1－2x12＋1－1－2x22＋1＝ 22x21＋1－2x11＋1＝2（2x2＋21x）1－·（2x22x1＋1）. 因为 x1<x2，所以 2x1<2x2，所以 2x1－2x2<0，
归纳升华 应用“三段论”证明问题时，要充分挖掘题目外在和内 在条件(小前提)，根据需要引入相关的适用的定理和性质 (大前提)，并保证每一步的推理都是正确的、严密的， 才能得出正确的结论．如果大前提是显然的，则可以省 略．
变式训练 如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F分别 是AB，AD的中点．求证：EF∥平面BCD.
选修2-2《2.1.2演绎推理》教学设计
（二）教学概念
1.定义
从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为演绎推理.演绎推理是由一般到特殊.
2.三段论
（1）大前提——已知的一般原理——M是P
（2）小前提——所研究的特殊情况——S是M
（3）结论——做出的判断——S是P
三、例题讲解
例1如右图所示，在锐角三角形ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，D、E是垂足.
求证：AB的中点M到D、E的距离相等.
例2证明函数f(x)=-x2+2x在(-∞,1）内是增函数.
在白板上书写证明过程，根据三段论的推理过程进行证明.
四、强化概念
1.提出问题：“三段论”推理的过程中，得到的结论一定正确吗？为什么？
①因为指数函数y=ax是增函数，y=0.5x是指数函数，所以y=0.5x是增函数.
引入新课，板书课题《2.1.2演绎推理》
二、探究新知
（一）课堂探究
提出问题：以下推理是合情推理吗？分析推理过程.
1.所有的金属都能导电,铀是金属,所以能够导电.
2.太阳系的行星都以椭圆形轨道绕太阳运行，天王星是太阳系的行星，因此天王星以椭圆形轨道绕太阳运行.
3.三角函数都是周期函数,tanx是三角函数,所以tanx是周期函数.
六、课堂小结
1.定义；2.三段论；3.合情推理和演绎推理的区别与联系.
七、课后作业
习题2.1第6题
板书设计
2.1.2演绎推理
1.定义
2.三段论
3.区别与联系
一体机
例1
例2
课后反思
②英雄难过美人关，我难过美人关，所以我是英雄.
学生独立思考，先由学生自由发言，然后教师小结并形成新知：
《2.1.2演绎推理(二)》教学案
《2.1.2演绎推理（2）》教学案教学目标：1. 知识与技能：了解演绎推理的含义。
2. 过程与方法：能正确地运用演绎推理进行简单的推理。
3. 情感、态度与价值观：了解合情推理与演绎推理之间的联系与差别。
教学重点：正确地运用演绎推理进行简单的推理教学难点：了解合情推理与演绎推理之间的联系与差别。
教具准备：与教材内容相关的资料。
教学设想：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为演绎推理．教学过程：学生探究过程：一．复习:合情推理归纳推理从特殊到一般类比推理从特殊到特殊从具体问题出发――观察、分析比较、联想――归纳。
类比――提出猜想二．问题情境。
观察与思考1所有的金属都能导电铜是金属,所以，铜能够导电2.一切奇数都不能被2整除,(2100+1)是奇数，所以，(2100+1)不能被2整除.3.三角函数都是周期函数,tan α是三角函数, 所以，tan α是周期函数。
（小前提）是二次函数函数12++=x x y 提出问题 ：像这样的推理是合情推理吗？二．学生活动 ：1.所有的金属都能导电 ←————大前提铜是金属, ←-----小前提所以，铜能够导电 ←――结论2.一切奇数都不能被2整除 ←————大前提(2100+1)是奇数，←――小前提所以， (2100+1)不能被2整除. ←―――结论3.三角函数都是周期函数, ←——大前提tan α 是三角函数, ←――小前提所以，tan α是 周期函数。
←――结论 三， 建构数学演绎推理的定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为演绎推理．１．演绎推理是由一般到特殊的推理；２．“三段论”是演绎推理的一般模式；包括⑴大前提---已知的一般原理；⑵小前提---所研究的特殊情况；⑶结论-----据一般原理，对特殊情况做出的判断．三段论的基本格式M —P （M 是P ） （大前提）S —M （S 是M ） （小前提）S —P （S 是P ） （结论）3.三段论推理的依据,用集合的观点来理解:若集合M 的所有元素都具有性质P,S 是M 的一个子集,那么S 中所有元素也都具有性质P.四，数学运用恢复成完全三段论。
课件7：2.1.2 演绎推理
预习自测 1.下列几种推理过程是演绎推理的是______(填序号)． ①两条平行直线与第三条直线相交，内错角相等，如果 ∠A 和∠B 是两条平行直线的内错角，则∠A＝∠B；② 金导电，银导电，铜导电，铁导电，所以一切金属都导 电；③由圆的性质推测球的性质；④科学家利用鱼的沉 浮原理制造潜艇．
【解析】 ①是演绎推理；②是归纳推理；③④是类比 推理． 【答案】 ①
当 n＝4 时，f(4)＝(2×4＋7)·34＋9＝1 224＝36×34，能被 36 整除． 综上，当 1≤n≤4 时，f(n)＝(2n＋7)·3n＋9 能被 36 整除．
课堂检测 1．下面几种推理过程是演绎推理的是( ) A．两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A 与∠B 是两 条平行直线的同旁内角，则∠A＋∠B＝π B．某校高三(1)班有 55 人，(2)班有 54 人，(3)班有 52 人， 由此得出高三所有班级的人数都超过 50 人 C．由平面三角形的性质，推测出空间四面体的性质
类型 2 演绎推理的综合应用 例 2 如图所示，D，E，F 分别是 BC，CA，AB 边上的点， ∠BFD＝∠A，DE∥BA，求证：DE＝AF.写出“三段论”形 式的演绎推理．
解：(1)同位角相等，两直线平行，(大前提) ∠BFD 和∠A 是同位角，且∠BFD＝∠A，(小前提) 所以 DF∥AE.(结论) (2)两组对边分别平行的四边形是平行四边形，(大前提) DE∥BA 且 DF∥EA，(小前提) 所以四边形 AFDE 为平行四边形．(结论)
D．在数列{an}中，a1＝1，an＝12an－1－an1－1(n≥2)，通过计 算 a2，a3，a4 猜想出 an 的通项公式 【解析】 A 是演绎推理，B，D 是归纳推理，C 是类比 推理．
【答案】 A
课件4：2.1.2 演绎推理
(3)0.332是有理数．
解：(1)向量是既有大小又有方向的量．………大前提
零向量是向量．…………小前提
零向量也有大小和方向．…………结论
(2)每一个矩形的对角线相等．…………大论
(3)所有的循环小数都是有理数．…………大前提
ሶ
0.33是循环小数．…………小前提
么结论也必定是正确的.因而演绎推理是数学中严格
证明的工具.
（4）演绎推理是一种收敛性的思维方式，他缺乏
创造性，但却具有条理清晰，令人信服的论证作用，
有助于推理的理论化和系统化.
2.关于“三段论”的理解
（1）“三段论”中的大前提提供了一个一般性的原
理，小前提指出了一种特殊情况，两个命题结合起来，
揭示了一般原理与特殊情况的内在联系，从而得到了
线相等”，补充该推理的大前提是(
)
A.正方形的对角线相等
B.矩形的对角线相等
C.等腰梯形的对角线相等
D.矩形的对边平行且相等
解析：得出“四边形ABCD的对角线相等”的大前提
是“矩形的对角线相等”．
答案：B
1
2．“因为对数函数 y＝logax 是增函数(大前提)，而 y＝log x 是
3
1
对数函数(小前提)，所以 y＝log x 是增函数(结论)．”上面推
③__________________________…………结论
答案：①如果函数 f(x)满足：在给定区间内任取自变量的两个
值 x1，x2，若 x1＜x2，则 f(x1)＜f(x2)，那么函数 f(x)在给定区间
内是增函数．
② 任 取 x1 ， x2 ∈ (1 ， ＋ ∞) ， x1 ＜ x2 ， 则 f(x1) － f(x2) ＝
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演绎推理
一、教材分析
推理是高考的重要的内容，推理包括合情推理与演绎推理，由于解答高考题的过程就是推理的过程，因此本部分内容的考察将会渗透到每一个高考题中，考察推理的基本思想和方法，既可能在选择题中和填空题中出现，也可能在解答题中出现。
二、教学目标
（1）知识与能力：了解演绎推理的含义及特点，会将推理写成三段论的形式
（2）过程与方法：了解合情推理和演绎推理的区别与联系
（3）情感态度价值观：了解演绎推理在数学证明中的重要地位和日常生活中的作用，养成
言之有理论证有据的习惯。
三、教学重点难点
教学重点：演绎推理的含义与三段论推理及合情推理和演绎推理的区别与联系 教学难点：演绎推理的应用
四、教学方法：探究法
五、课时安排：1课时
六、教学过程
1. 填一填：
① 所有的金属都能够导电，铜是金属，所以 ； ② 太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行，冥王星是太阳系的大行星，因此 ；
③ 奇数都不能被2整除，2019是奇数，所以 . 2.讨论：上述例子的推理形式与我们学过的合情推理一样吗？
3.小结：
① 概念：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为____________.
要点：由_____到_____的推理.
② 讨论：演绎推理与合情推理有什么区别？
③ 思考：“所有的金属都能够导电，铜是金属，所以铜能导电”，它由几部分组成，各部分有什么特点？
小结：“三段论”是演绎推理的一般模式：
第一段：_________________________________________；
第二段：_________________________________________；
第三段：____________________________________________.
④ 举例：举出一些用“三段论”推理的例子.
例1：证明函数 a a a x y x y +=+在 x y +上是增函数.
例2：在锐角三角形ABC 中， x y x y +=
+，D ，E 是垂足. 求证：AB 的中点M 到D ，E 的距离相等.
当堂检测： 讨论：因为指数函数 n ab 是增函数， n a b 是指数函数，则结论是什么？ 讨论：演绎推理怎样才能使得结论正确？ 比较：合情推理与演绎推理的区别与联系？ 课堂小结
七、板书设计
八、教学反思。