第五章 信道编码 习题解答

第五章 信道编码 习题解答

1．写出与10011的汉明距离为3的所有码字。

解：共有10个：01111，00101，00000，01010，01001，00110，11101，10100，11000，11110。

2． 已知码字集合的最小码距为d ，问利用该组码字可以纠正几个错误？可以发现几个错误？请写出一般关系式。 解：根据公式：

(1)1d e ≥+ 可发现e 个错。 (2)21d t ≥+ 可纠正t 个错。

得出规律：

（1）1d = ，则不能发现错及纠错。

（2）d 为奇数：可纠

1

2d -个码元错或发现1d -个码元错。 （3）d 为偶数：可纠12

d

-个码元错，或最多发现1d -个码元错。

（4）码距越大，纠、检错能力越强。

3．试计算（8，7）奇偶校验码漏检概率和编码效率。已知码元错误概率为4

10e p -=。 解：由于4

10e p -=较小，可只计算错两个码元（忽略错4或6个码元）的情况：

228788!

10 2.8106!2!

e p C p --==

⨯=⨯⨯ 7

87.5%8

η=

=

4．已知信道的误码率4

10e p -=，若采用“五三”定比码，问这时系统的等效（实际）误码率为多少？ 解：由于4

10e p -=较小，可只计算错两个码元的情况

11252112

83232(1)610e e e p C C p p C C p --=-≈=⨯

5．求000000，110110，011101，101011四个汉明码字的汉明距离，并据此求出校正错误用的校验表。 解：先求出码字间距离：

000000 110110 011101 101011

000000 4 4 4 110110 4 4 4 011101 4 4 4 101011 4 4 4

汉明距离为4，可纠一位错。

由于一个码字共有6个码元，根据公式：21617r

n ≥+=+= 得 3r = 即每个码字应有3位监督码元，6-3=3位信息码元。

直观地写出各码字：123456

000000110110011101101011

x x x x x x

令456x x x 为监督码元，观察规律则可写出监督方程：4135236

12x x x x x x x x x

=⊕⎧⎪

=⊕⎨⎪=⊕⎩

从而写出校验子方程：11342235

3126s x x x s x x x s x x x ***

***

***⎧=⊕⊕⎪=⊕⊕⎨⎪=⊕⊕⎩

列出校验表：

6．写出信息位6k =，且能纠正1个错的汉明码。

解：汉明码的信息码元为六个，即：6k =。监督码元数r 应符合下式：217r

k r r ≥++=+ 取满足上式的最小r ：4r =，即为(10，6)汉明码。其码字由10个码元构成：12345678910x x x x x x x x x x 。 先设计校验表

根据校验表写出校验子方程：****

11237****21458

****

32469****

4

35610s x x x x s x x x x s x x x x s x x x x ⎧=⊕⊕⊕⎪=⊕⊕⊕⎪⎨=⊕⊕⊕⎪⎪=⊕⊕⊕⎩

写出监督方程，即监督码元与信息码元之间的关系：71238145

924610356

x x x x x x x x x x x x x x x x =⊕⊕⎧⎪=⊕⊕⎪⎨=⊕⊕⎪⎪=⊕⊕⎩

根据监督方程编码，写出（10，6）汉明码码字(大部分略，同学们可自行完成)：

7. 已知纠正一位错的（7，4）汉明码的生成矩阵为：10001100

100101[]00100110

00111

1G ⎡⎤⎢⎥⎢

⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦

1）请写出其监督矩阵； 2）请写出其校验表；

3）对信源序列1110，1010，0110，...进行编码；

4）对接收端接收到的码字序列0011101，1100100，1011001，…进行译码。 解：1）监督矩阵：右边3×3是单位阵，左边3×4子阵是生成矩阵右边4×3子阵的转置：

1101100[]10110100111001H ⎡⎤

⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦

2）校验表：每个校验子列向量对应为监督矩阵的列向量，增加一个无差错列向量

000。

3）根据[][][]C X G =⋅编码：1234567123410001100

100101[][]00100110

00111

1x x x x x x x x x x x ⎡⎤⎢⎥⎢

⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦

或者用由监督矩阵得到的监督方程编码：

1234567

1101100[]10110100111001x x x x x x x H ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦

5124

6134

7234

x x x x x x x x x x x x =⊕⊕⎧⎪

⇒=⊕⊕⎨⎪=⊕⊕⎩ 编码得：1110000，1010101，0110110，…

4）根据校验子方程（校验子方程是监督方程左右两边异或）：

****

11245****21346****

3

2347s x x x x s x x x x s x x x x ⎧=⊕⊕⊕⎪=⊕⊕⊕⎨⎪=⊕⊕⊕⎩ 0011101 → [S]=[001]T → x 7*错 → 0011100 → 0011

1100100 → [S]=[111]T → x 4*错 → 1101100 → 1101 1011001 → [S]=[011]T → x 3*错 → 1001001 → 1001 译码得：0011，1101，1001，…

8. （7，4）循环码的生成多项式为：32()1g x x x =++

1）写出其监督矩阵和生成矩阵；

2）对信息码元0110，1001进行编码，分别写出它们的系统码和非系统码； 3）对接收端接收到的系统码字0101111，0011100进行译码。

解：1）生成矩阵：生成多项式系数降幂排列：1101，补零成n 位的行向量：1101000，循环移位成k 行

的矩阵： 47

11010000110100[]00110100

00110

1G ⨯⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦

监督矩阵：校验多项式系数升幂排列：10111，补零成n 位的行向量：1011100，循环移位成r 行的矩阵：

37

1011100[]01011100010111H ⨯⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦

2）根据[][][]C X G =⋅编码：

11

1010000

110100[C ][0110]00110100

00110

1⎡⎤⎢⎥⎢

⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦