多自由度体系

最后求第三主振型。将将3和3代入式（a),得
-6.054
K
32M
=
k 15
5
0
5 -5.027
3
0
3
-10.027
代入式（4-3-4），后两个方程为
-5Y13 5.027Y23 +3Y33 0 3Y23 +10.027Y33 0
令Y33 1，故式（f）的解为
Y (3) = Y13，Y23，Y33 T 2.760, 3.342,1T
M
M
kn1
kn2
L
k1n
k2n
0
M
knn -2mn
（4-3-3b）
n个根12，22， n2
Y (i)表示与频率i相应的主振型：
Y (i)T =（Y1i Y2i Yni )
将i和Y (i)代入式（4-3-2）得
（K i2M）Y (i) 0
（4-3-4）
令，i 1, 2,, n，可得n个向量方程，由此可求的n个主振型向量 Y (1)，Y (2)，，Y (n)
（1）验算正交关系式（4-3-8）
2 0 0 0.924
Y (1)T MY (2) =(0.163, 0.569,1) 0 1 0 1.227 m
0 0 1 1
m0.163 2 (0.924) 0.5691 (1.227) 111
0.0006m 0
同理，
Y (1)T MY (3) 0.002m 0，Y (2)T MY (3) 0.002m 0
3
0
3
1.707
代入式（4-3-4）中并展开，保留后两个方程，得
-5Y11 6.707Y21 3Y31 3Y21 1.707Y31 0
0
（d）
由于规定Y31 1，故式（d）的解为
Y (1) = Y11，Y21，Y31 T 0.163, 0.569,1T
其次，求第二主振型。将将2和2代入式（a),得
=
1
i 2
和
Y (i)代入式（4-3-5），得：
（ M i I )Y (i) 0
（14-7）
令，i 1, 2,, n，可得n个向量方程，由此可求的n个主振型向量
Y (1)，Y (2)，，Y (n)
例4 3-2 试用柔度法重做例4-3-1.设第一层的层间柔度系数为1= =1 k
即单位层间力引起的层间位移；则第二、三层间的柔度系数分别
n
Y ( j)T My iY ( j)T MY (i) i 1
上式右边为n项之和，其中除第j外，其他各项都因主振型的正交性 而为0.因此，上式变为：
Y( j)T My jY ( j)T MY ( j) jM j
由此可求出
为
j
j
=
Y
(
j )T
M
My
j
（4-3-13）
式（4-3-12）和（4-3-13）合称为位移按主振型分解的展开式。
6.640 5
K
22 M
=
k 15
5
1.320
0 3
代入式（4-3-4），后两个方程为
0
3
-3.680
-5Y12 1.320Y22 3Y32 0 3Y22 -3.680Y32 0
由于规定Y32 1，故式（e）的解为
（e）
Y (2) = Y12，Y22，Y32 T 0.924, 1.227,1T
m2 &y&2
k21 y1
k22 y2
k2n
yn
0
mn &y&n kn1 y1 kn2 y2 knn yn 0
（4-3-1a）
m1&y&1 k11 y1 k12 y2 k1n yn 0
m2 &y&2
k21 y1
k22 y2
k2n
yn
0
mn &y&n kn1 y1 kn2 y2 knn yn 0
多自由度体系
§4-3 自由振动反应
1.刚度法
质点mi所受的力包括惯性力mi &y&i和弹性力ri，其平衡方程为：
mi &y&i +ri =（0 i 1, 2,, n) （a）
弹性力ri是质点mi与结构之间的相互作用。
结构所受的力ri与结构的位移y1, y2,, yn之间应满足刚度方程：
ri ki1 y1 ki2 y2 kin y（n i 1, 2,, n) （b）
主振型Y (i)可根据式（4-3-7）求解。
首先，求第一振型。将1和
的值代入到式（a）,得
1
-9.601 1
1
M
1I
m
2
-7.601
4
2
4 -2.601
在标准化主振型Y (1)中，规定Y31 1.为了求得另外两个元素 Y11和Y21，可在式（4-3-7）中保留前两个方程，即
-9.601Y11 Y21 Y31 0 2Y11 7.601Y21 4Y31 0 由于Y31 1.故式（d）的解为yy2,
&y&
&y&2
,
M
M M
m2 O
,
K
k21
k22
L
k2n
M M
M
yn
&y&n
mn
kn1
kn2
L
knn
K是对称方阵；在集中质量的体系中，M是对角阵。 下面求方程（4-3-1b）的解答。设解答为：
y Y sin(t )
（c）
这里，Y是位移幅值，即
Y Y1,Y2 YnT
为了使主振型Y (i)的振幅也具有确定值，需要补充条件。这样得到的 主振型称为标准化主振型。
进行标准化的做法多种。一种做法是规定主振型Y (i)中的某个元素为 某个给定值。例如，规定第一个元素Y1i等于1，或者规定最大元素等于1.
另一种做法是规定主振型Y (i)满足下式：
例4-3-1
Y (i)T MY (i) =1
2- 1 1
M
I
m
2
4-
4
2 4 9-
= = 1 m m2
频率方程为
M I =0
其展开式为
3-15 2 +42 -30=0
由于 = 15，故由式（c）即可导出例4-3-1中的（c）.式（c)
中的三根为
1 =0.2936
1
m
, 2
=0.6673
1
m
, 3
=0.9319
1
m
(2)求主振型
（4-3-1a）
m1
m2
O
&y&1 k11 k12 L
&y&2
k21
k22
L
M M M
mn
&y&n
kn1
kn2
L
k1n y1 0
k2n
y2
0
M M M
knn
yn
0
或简写为：
M&y& Ky 0
（4-3-1b）
y1 &y&1
m1
k11 k12 L k1n
第二：利用正交关系来确定位移展开式中的系数。在多自由度体系中， 任一位移向量y都可按主振型展开，写成各主振型的线性组合，即
n
y 1Y (1) 2Y (2) nY (n) iY (i) i 1
（4-3-12）
其中的待定系数i可根据正交关系加以确定。事实上，用Y ( j)T M
前乘上式的两边，即得
试求图14-2所示刚架的自振频率和主振型。 设横梁的变形略去不计，第一、二、三层 得层间刚度系数分别为k、k 3、k 5。刚架 的质量都集中在楼板上，第一、二、三层 楼板处的质量分别为2m、m、m.
解：（1）求自振频率
刚架的刚度系数如图14-3所示， 刚度矩阵和质量矩阵分别为
20 5 0
K
k 15
这就是根据广义刚度和广义质量来求频率k的公式。 主振型正交关系的应用：
第一：利用正交关系来判断主振型的形状特点。以图14-4所示三个 主振型为例。第一这振型的特点是各点水平位移都位于结构的同侧 （14-4a）。第二主振型的特点是位移图分为两区，各居结构的一侧 （14-4b）。这样才符合它与第一主振型彼此正交的条件。
Y (1) = Y11，Y21，Y31 T 0.163, 0.569,1T
所得结果与例4 3-1的相同。
§4-3-2 多自由度体系主振型的正交 性和主振型矩阵
1.主振型的正交性
设体系具有n个自由度，k和l为两个不同的自振频率，
相应的主振型向量分别为
Y (k)T (Y1k ,Y2k ,,Ynk ) Y (l)T (Y1l ,Y2l ,,Ynl )
由式（b），求得三个自振频率为
1 =0.2936
k m
,
2
=0.6673
k m
,
3
=0.9319
k m
(2)求主振型
主振型Y (i)由式（4-3-4）求解。在标准化主振型中， 规定第三个元素Y3i 1.
首先，求得第一主振型。将1和1代入式（a),得
17.414
K
12 M
=
k 15
5
0
5 6.707
将式（c）代入式（4-3-1b），消去公因子sin(t )，即得
(K 2M )Y 0 （4-3-2）
(K 2M )Y 0 （4-3-2）
上式是位移幅值Y的齐次方程。为了得到Y的非0解，应使系 数行列式为0.即
K 2M =0
（4-3-3a）
k11 - 2 m1
k12
L
k21
k22 -2m2 L
5 0
8 3
3 , 3
2 0 0 M m 0 1 0
0 0 1
因此
20-2 5 0
K
2M
=
k 15
5
8-
3
0 3 3-
（a）
其中，
= 15m 2
k
频率方程为
（b）
K 2M =0
其展开式为 23 -42 2 +225-225=0
（c）
用试算法求得方程的三个根为
1=1.293，2 =6.680，3 =13.027
体系的质量矩阵为
m1
M
m2
O
mn
则第一个正交关系为
Y (l)T MY (k ) =0
即
n
miYilYik 0
i 1
Y (l)T KY (k) =0
（4-3-8） （4-3-9）
两个正交关系是针对k l的情况得出的。对于
k l的情况，定义两个量Mk、Kk :
M k Y (k )T MY (k )
其展开形式如下：
（11m1-） 12m2
L
21m1 (22m2 ) L
M
M
n1m1
2 n m2
L
1nmn 2 n mn
M
0 （14-6b）
(nnmn )
由此得到关于的n次代数方程，可解出n个根1，1， n .
因此，可求出n个频率1，2， n .
最后求出与频率i相应的主振型Y
(i)。为此，将i
（4-3-10a）
Kk Y (k )T KY (k )
（4-3-10b）
M k 和Kk 分别称为第k个主振型相应的广义质量
和广义刚度。
以Y (k)T前乘式（b）的两边，得
Y (k )T KY (k ) =k2Y (k )T MY (k )
即 Kk =k2M k
由此得
k
Kk Mk
（4-3-11）
例4-3-3 验证例14-1中所求的主振型是否满足正交关系，求出每个 主振型相应的广义质量和广义刚度，并用式（4-3-11）求频率。
解： 由例4-3-1得知刚度矩阵和质量矩阵分别为：
20 5 0
2 0 0
K
k 15
5 0
8 3
3 , M m 0
3
0
1 0
0 1
又三个主振型分别为：
Y (1) = Y11，Y21，Y31 T 0.163, 0.569,1T Y (2) = Y12，Y22，Y32 T 0.924, 1.227,1T Y (3) = Y13，Y23，Y33 T 2.760, 3.342,1T
每一个向量方程（4-3-4）都代表n个联立代数方程，以Y1i Y2i Yni 为未知数。这是一组齐次方程，如果 Y1i Y2i Yni 是方程组的解，则：CY1i CY2i CYni 也就是方程组的解(这里C是任一常数）。也就是说，由式（4-3-4） 可以唯一确定主振型Y (i)的形状，但是不能唯一的确定它的振幅。
kij：结构的刚度系数，即使点j产生单位位移（其他各点的位 移保持为0）时在点i所需施加的力。
ri ki1 y1 ki2 y2 kin y（n i 1, 2,, n) （b）
代入
mi &y&i +ri =（0 i 1, 2,, n)
得
（a）
m1&y&1 k11 y1 k12 y2 k1n yn 0
为2 = 3 k ，3 = 5 k（图14-5a).
解：（1）求自振频率
由层间柔度系数求得刚架的柔度矩阵（图14-5b、c、d）为
因此
1 1 1
= 1 4 4
1 4 9
1 1 1 2 0 0
2 1 1
M = m 1 4 4 0 1 0 m 2 4 4
1 4 9 0 0 1
2 4 9
其中，
三个主振型的大致形状如图14-4所示。
（f）
2 柔度法
首先利用刚度法导出方程（4-3-2），即
(K 2M )Y 0
然后用K 1前乘上式，并利用刚度矩阵与柔度矩阵之间的关系。
=K 1
即得
（I 2 M )Y 0
再令 =
1
2
，可得
（
M
I )Y
0
（4-3-5）
由此可得出频率方程 :
M I 0
（4-3-6a）
(2)验算正交关系式（4-3-9）
20 5 0
Y
(1)T
KY
(2)
=(0.163,
0.569,1)
k 15
5
8
3
0 3 3
-12.345
=
k 15
(0.163,
0.569,1)
-8.196 6.681
= k 0.005 0 15