湖北省襄阳市第五中学2020-2021学年第一学期高二年级12月第二次周考数学试卷

2020年襄阳五中高二年级12月第二次周考
数学试卷
时间：12月13日
一、单选题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1
．设集合{|A x y ==，1|22x
B x ⎧
⎫
=>
⎨⎬⎩
⎭
，则A B =（ ） A ．[]3,1--
B ．[)3,1-
C ．()1,1-
D ．(]1,1-
2．已知复数z 满足()3213z i i ⋅-=，则z 的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3．下列有关命题的说法中错误的是（ ） A ．在ABC ∆中，若A B >，则sin sin A B > B ．“1x =”是“1≥x ”的必要不充分条件
C ．“1sin 2x =”的一个充分不必要条件是“6
x π=” D ．若命题p ：“∃实数x ，使20x ≥”，则命题p 的否定为“x ∀∈R ，都有20x <”
4．已知向量)2,1(),,sin (cos ==b a
θθ，若b a 与的夹角为56
π，则b a -=（ ）
A ．2 B
C
D ．1
5．在等差数列{}n a 中，若681072a a a ++=，则10122a a -的值为（ ）
A ．6
B ．16
C ．24
D ．60
6．正项等比数列{}n a 中，3a 2=，46a a 64⋅=，则56
12
a a a a ++的值是( )
A ．4
B ．8
C ．16
D ．64
7．设1F ，2F 是双曲线()2222:10,0x y
C a b a b
-=>>的左、右焦点，O 是坐标原点，过2F 作C 的一条
渐近线的垂线，垂足为P .
若12PF ，则C 的离心率为（ ） A
B ．2
C
D
8．四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是矩形，侧面PAD ⊥平面ABCD ，120APD ︒∠=，AB PA ==
2PD =，则该四棱锥P ABCD -外接球的体积为（ ）
A ．323π B
C
．
D ．36π
二、多选题：（本题共4小题，每题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对得3分）
9．刘女士的网店经营坚果类食品，2019年各月份的收入、支出（单位：百元）情况的统计如图所示，下列说法中正确的是（ ）
A ．4至5月份的收入的变化率与11至12月份的收入的变化率相同
B ．支出最高值与支出最低值的比是5:1
C ．第三季度平均收入为5000元
D ．利润最高的月份是3月份和10月份 10．若0,0,2a b a b >>+=，则下列不等式恒成立的有（ ）
A ．1ab ≤ B
．2a b +≤
C ．222a b +≥
D ．
21
2a b
+> 11．设等差数列{}n a 的前n 项和是n S ，已知140S >，150S <，正确的选项有（ ） A ．10a >，0d < B ．780a a +> C ．6S 与7S 均为n S 的最大值 D ．80a <
12．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，12AC BC AA ===，90ACB ∠=︒，D ，E ，F 分别为AC ，
1AA ，AB 的中点．则下列结论正确的是（ ）
A ．1AC 与EF 相交
B ．11//B
C 平面DEF
32
2
C ．EF 与1AC 所成的角为90︒
D ．点1B 到平面DEF 的距离为三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．从某校高一年级所有学生中随机选取100名学生，将他们参加知识竞赛的成绩的数据绘制成频率分布直方图，如图所示.从成绩在[)70,80，[]80,90两组内的学生中，用分层抽样的方法选取了6人参加一项活动，若从这6人中随机选取两人担任正副队长，则这两人来自同一组的概率为__________.
14．设命题p ：∀x ∈R ，x 2＋ax ＋1＞0，若p ⌝
为假，
则实数a 的取值范围是________
15．若点A （x ，y ）满足C ：（x +3）2+（y +4）2≤25，点B 是直线3x +4y =12上的动点，则对定点P （6，1）而言，
PB PA +的最小值为_____.
16．已知函数1
1,0,()2ln(),0,
x x f x x x -⎧⎛⎫≥⎪ ⎪=⎨⎝⎭
⎪-<⎩
设函数()()g x f x a =-有4个不同的零点，则实数a 的取值范
围是_______.
三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）已知数列{}n a 是等比数列，公比1q <，若22a =，1237a a a ++=.
（1）求{}n a 的通项公式；
（2）设2log n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和.
18．（本小题满分12分）已知函数2
1
()cos )cos()2
f x x x x ππ=+-⋅+- （1）求函数()f x 在()0,π上的单调递减区间； （2）在锐角ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知()1,2,sin sin f A a b C a A =-==，
求ABC ∆的周长．
19．（本小题满分12分）已知在等差数列{}n a 中，35a =，1763a a =． （1）求数列{}n a 的通项公式： （2）设2
(3)
n n b n a =+，求数列{}n b 的前n 项和n S ．
20．（本小题满分12分）如图，等腰梯形ABCD 中，//AB CD ，1AD AB BC ===，2CD =，E 为
CD 中点，以AE 为折痕把ADE ∆折起，使点D 到达点P 的位置（P ∉平面ABCE ）
（1）证明：AE PB ⊥；
（2）若线段PC
A PE C --的余弦值.
21.（本小题满分12分）小张准备在某县城开一家文具店，为经营需要，小张对该县城另一家文具店中的某种水笔在某周的周一至周五的销售量及单支售价进行了调查，单支售价x 元和销售量y 支之间的数据如下表所示：
（1）根据表格中的数据，求出y 关于x 的回归直线方程；
（2）请由（1）所得的回归直线方程预测销售量为18支时，单支售价应定为多少元？如果一支水笔的进价为0.56元，为达到日利润(日销售量×单支售价-日销售量×单支进价)最大，在（1）的前提下应该如何定价？
(其中：回归直线方程ˆy
bx a =+，1
2
2
1
n
i i
i n
i
i x y nx y
b x
nx ==-=-∑∑，
5
1
67i i
i x y
==∑，5
21
16.6i i x ==∑)
22．（本小题满分12分）已知椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>的左顶点与上顶点的距离为
过点(.
（1）求椭圆C 的方程.
（2）直线l 与椭圆C 相交于P 、Q 两点，M 是PQ 的中点.若椭圆上存在点N 满足MO ON 3=，求证：△PQN 的面积S 为定值.
6
参考答案
一：1-5 DCBBC 6-8 CDB
二：9：ACD 10:ACD 11:ABD 12:BCD 三：13．
715 14．()2,2- 15．325 16．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭
四：解答题
17：（1）由已知得12
11
1a 2,a a a q 7,q q =⎧
⎨++=⎩ 则1a 4,1,2q =⎧⎪⎨=⎪⎩
或1a 1,2q =⎧⎨
=⎩（舍去）.所以1
31422n n n a --⎛⎫
=⨯= ⎪⎝⎭ . （2）因为3n
n 2n 2b log a log 23n -===-.
所以数列{}n b 是首项为2，公差为-1的等差数列. 设数列{}n b 的前n 项和为n T , 所以()
()n n 23n n 5n T 2
2
+--=
=
.
18（1）21cos 2131
()cos 3sin cos sin 2222
x f x x x x x +=--=--
13cos 2sin 2cos 223x x x π⎛⎫=-=+ ⎪⎝
⎭， 函数()f x 单调递减，则2[2,2],3
x k k k Z π
πππ+
∈+∈，
[,]63
x k k π
π
ππ∈-
+，k Z ∈，
()f x ∴在(0,)π上的单调递减区间0,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦和5,6ππ⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
（2）由（1）知：()cos 213f A A π⎛
⎫=+=- ⎪⎝⎭
且ABC 为锐角三角形，2,33A A πππ∴+==，
222222sin sin ,4,2cos ()2()3b C a A bc a a b c bc A b c bc bc b c bc
⋅=⋅∴==∴=+-=+--=+-24()12,4,
b c b c ∴=+-∴+=∴ABC 的周长为246+=．
19. 设等差数列{}n a 的公差为d ，
由31765
3a a a =⎧⎨=⎩，可得()11
1251635a d a d a d +=⎧⎨+=+⎩
解得1
a 1,d 2，所以等差数列{}n a 的通项公式可得21n a n =-;
（2） 由（1）可得211
(3)22(1)1
n n b n a n n n n ===-+++，
所以111111...22311n n S n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-
+-++-= ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭
. 20． 解：（1）在等腰梯形ABCD 中，连接BD ，交AE 于点O ，如图 ∵AB
CE ，AB CE =，∴四边形ABCE 为平行四边形，∴AE BC AD DE ===，
∴ADE 为等边三角形，∴在等腰梯形ABCD 中，3
C ADE π
∠=∠=
，
23DAB ABC π∠=∠=
，∴在等腰ADB △中，6
ADB ABD π
∠=∠= ∴2362
DBC πππ
∠=
-=，即BD BC ⊥，∴BD AE ⊥， 翻折后可得：OP AE ⊥，OB AE ⊥，又∵OP ⊂平面OB ，
OB ⊂平面POB ，OP OB O =， ∴AE ⊥平面POB ，∵PB ⊂平面POB ，∴AE PB ⊥；
（2）由（1）知32DO PO ==
，连接OC 在OEC △中，由余弦定理可得7
2
OC =. 在POC △中有222PC PO OC =+，可知PO OC ⊥，又PO AE ⊥， OC AE O PO =⇒⊥平面ABCE ，则以O 为原点，OE 为x 轴，OB 为y 轴，OP 为乙轴，
建立空间直角坐标系，由题意得，各点坐标为，
30,0,2P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，1,0,02E ⎛⎫
⎪⎝⎭，31,,02C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
，∴13,0,22PE ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，13,,022EC ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭. 设平面PCE 的一个法向量为1(,,)n x y z =，则
1100PE n EC n ⎧⋅=⎪⎨
⋅=⎪⎩，∴1302130
2
x z x y ⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩. 设3x =，则1y =，1z =，∴1(3,1,1)n =-，
由题意得平面PAE 的一个法向量2(0,1,0)n =，
7
设二面角A EP C --为α
，12
12
|cos |5n n n n α
⋅===.
易知二面角A EP C --为钝角，所以cos α=.（射影面积法也可） 21． （1）因为1(1.4 1.6 1.82 2.2) 1.85x =++++=，1
(1311763)85
y =++++=，
所以5
15
2
2
2
1
5675 1.88
=
=12.516.65 1.85i i
i i
i x y x y
b x
x ==--⨯⨯=
--⨯-∑∑，
则8(12.5) 1.830.5a y bx =-=--⨯=.所以，回归直线方程为ˆ12.530.5y
x =-+. （2）当18y =时，1812.530.5x =-+，得1x =，
假设日利润为)L x （
，则：)(0.56)(30.512.5)L x x x =--（， 易知0.56
30.512.50x x >⎧⎨->⎩
，即0.56 2.44x <<
根据二次函数的性质，可知当 1.5x =元时，有max
)L x （. 所以单支售价为1元时，销售量为18件；为使日利润最大，单支定价为1.5
元. 22．（1）椭圆C
的左顶点(,0)a -，上顶点
(0,)b .
因为左顶点与上顶点的距离为
=，化简得2
2
12.a b +=①
因为椭圆经过点(，所以
2
242
1a b
+=，② 由①②解得2
2
8,4a b ==或2
2
6,6a b ==（舍去)，所以椭圆C
的方程为22 1.84
y x +=
（2）当PQ 斜率不存在时，N 为(PQ ±
方程为 3
x =±
，
易得PQ =.此时1164.229S MN PQ =⨯⨯==
当PQ 斜率存在时，设PQ 的方程为(0)y kx m m =+≠，
联立22184y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()()222
124240k x kmx m +++-=，
由()()222
(4)81240,km k m =-+->得2208 4.m k <<+ ()*
设()()1122,,,,P x y Q x y 则()
2121222
244,1212m km x x x x k k
--+==++， 因此PQ 的中点M 为222,1212km
m k k -⎛⎫ ⎪++⎝⎭
由因为3,ON MO =所以
2263,1212km m N k k -⎛⎫ ⎪++⎝⎭， 将点N 代入椭圆方程，得()()
222
2222
1891412412k m m k k
+=++， 化简得2
2
921
4
k m +=
，符合(*）式.记点О到直线l 的距离为d , 则1242
OPQ S S
PQ d x d ==
⨯=-⨯
==， 将2
29214k m +=代入，得264.94
S m
== 综上，PQN 的面积S 为定值64
9
8。