建模作业-张萌萌,王宇,王蔚鸣

数学建模作业题2017-2018 第二学期

组队编号：

数学建模练习题

1、你当前的信用卡欠款余额为12000元，当前的利率为19.9%/年。利息是按月计算

的，请确定什么样的月还款数p元才能在2年还清？（假定不使用新的信用卡支付）

答：假设每月还款时先将利息加至欠款余额上后再还款。

由：当前月利率=当前年利率/12

可得：当前月利率=19.9%/12

设：第i月欠款余额为y[i]；i=1，2，3，…;每月还款数p元；

令y[0]=12000;

则：y[1]=[(y[0]*19.9%/12)+y[0]]-p;

y[2]=[(y[1]*19.9%/12)+y[1]]-p;

…….

y[24]=[(y[23]*19.9%/12)+y[23]]-p

……

可得动力系统递推关系式：

y[i+1]=y[i]*(1+19.9%/12)-p

由题意：令y[24]=0可得p=610.164

只需还款数大于p=610.164 元，即可在两年内还清欠款。

2、在一处古篝火遗址发现了一个猿人骨头，考古学家确信该骨头和古篝火是同时代

的。实验室测试确定取自古篝火的灰烬中，仅留存原来的碳14的量的1%，已知碳14以与其剩余量成比例的比率衰减，且碳14在5700年里衰减掉50%，请构建一个利用碳14测定年代的模型。

答：假设碳14的总含量为1，年数为t，t年后碳14的剩余量为y[t]；

由题意：

第一个5700年时：y[5700]=1*50%=(1/2)^1

第二个5700年时：y[5700*2]=(1*50%)*50%=(1/2)^2

……

则第t年时：y[t]=(1/2)^(t/5700)

结合题目，令y[t]=1%代入上式可得：t= 37870年。

3、考虑发生在一个有1000名雇员而且在同一栋办公楼工作的公司里谣言的传播问

题。我们假设谣言的传播和接触性传染病的传播类似，每天听到谣言的人数与

先前已经听到谣言的人数和还没有听到谣言的人数的乘积成正比，这由

给出，其中k是一个依赖于谣言传播有多快的参数，n为天数。假设k=0.001，并且假设一开始有4个人听到了谣言，难么1000个雇员要听到谣言需要多久？

答：假设：n为天数；

第n天听到谣言的人数为r[n]，则第n天未听到谣言人数为1000-r[n]。

由题意：

r[n+1]=r[n]+10*0.001*r[n]*(1000-r[n])

令r[1]=4;r[n+1]=1000;

可得：当n=4 天时，1000个雇员听到谣言。

4、用线性同余的方法生成20个随机数，设a=5, b=3, c=16, 对生成的数列进行评价，

是否存在循环，若存在，何时出现？

存在循环，第17次时出现

5、增加Pizza饼外卖作为就餐的一种选择，根据一项学生调查，下表给出了转移的百

分比，请确定学生在每个地方地方长期就餐的百分比。

G餐厅S餐厅Pizza外卖G餐厅0.25 0.25 0.5

S餐厅0.1 0.3 0.6

Pizza外卖0.05 0.15 0.8

假设：n为就餐的时段，n=1,2,3,…；

则G[n]为第n时段下学生到G餐厅就餐的人数所占百分比；

则S[n]为第n时段下学生到就餐的人数所占百分比；

则P[n]为第n时段下学生到P餐厅就餐的人数所占百分比；

假设：学生第一次就餐选择是等可能的，即每家餐厅就餐概率为1/3.

由表建立动力系统模型：

G[n+1]=G[n]*25%+S[n]*10%+P[n]*5%;

S[n+1]=G[n]*25%+S[n]*30%+P[n]*15%;

P[n+1]=G[n]*50%+S[n]*60%+P[n]*80%;

G[0]=1/3;

S[0]=1/3;

P[0]=1/3;

则只要给定时间n，就可以计算出G[n+1],S[n+1],P[n+1]。

建立有限马可夫过程：

做出马可夫过程示意图：

求n时刻的概率密度函数为：

模拟过程可知，在n=10以后概率趋近稳定：

计算出第10次的概率为：

即，

去G餐厅的百分比约为7%，去S餐厅就餐的人数约为19% 去P餐厅就餐的人约为74%。

6、蒙大拿州的某农场主拥有45英亩土地，他打算全部种上小麦和玉米。每英亩小麦

的利润为200美元，每英亩玉米的利润为300美元。种植小麦和玉米所需要的劳动力和肥料数量已知，而该农场主共有100个工人和120吨肥料。为了使利润最大，应该分别种植多少英亩的小麦和玉米？

小麦玉米

劳动力（工人） 3 2

肥料（吨） 2 4

假设：小麦亩数为X；玉米亩数为Y；利润为W；

Max W=200*X+300Y

S．t．3X+2Y<=100;2X+4Y<=120;X+Y=45

即，小麦20亩，玉米20亩时达到最大利润为10000元。