微分概念及其运算

§2 微分概念及其运算

设()y f x =在x 点可导，即下面的极限存在：

'()f x ＝0lim

x y x ∆→∆∆＝0lim x ∆→()()f x x f x x +∆-∆ 因此 y x

∆∆＝'()f x ＋α，其中0α→（0x ∆→）， 于是 y ∆＝'()f x x x α∆+∆='()()f x x o x ∆+∆，0x ∆→

（函数的增量y ∆=（x ∆的线性函数）+)(x o ∆）

物理意义：如果把()y f x =视为时间x 时所走过的路程，

x ∆时间内所走过的路程y ∆

=以匀速()f x '运动所走过的路程()f x 'x ∆

+因为加速度的作用而产生的附加路程)(x o ∆

定义 4.2 设()y f x =在(,)a b 有定义，如果对给定的x ∈(,)a b ，有

y ∆＝()f x x +∆－()f x ＝A x ∆＋()o x ∆，(0x ∆→) 其中A 与x ∆无关，则称()f x 在x 点可微，并称A x ∆为函数()f x 在x 点的微分，记为

dy ＝A x ∆ 或 ()df x ＝A x ∆

由前面的讨论得

微分具有两大重要特征：

1)

微分是自变量的增量的线性函数； 2) 微分与函数增量y ∆之差dy y -∆，是比x ∆高阶的无穷小量. 因此，称微分dy 为增量y ∆的线性主要部分。

事实上当dy 0≠时

()f x 在x 点可导⇒()f x 在x 点可微

0lim

x y dy ∆→∆＝0lim x ∆→()dy o x dy +∆＝0lim x ∆→()(1)o x A x ∆+∆＝1 即y ∆与dy 是等价无穷小量。

注1 系数A 是依赖于x 的，它是x 的函数，

注2 微分dy 既与x 有关，又与x ∆有关，而x 和x ∆是两个互相独立的

变量，但它对x ∆的依赖是线性的．

例1 自由落体运动中，21()2

s t gt = s ∆＝()()s t t s t +∆-＝2211()22g t t gt =

+∆- 21(2())2g t t =+∆=21()2

gt t g t ∆+∆ 即s ∆可表为t ∆的线性函数和t ∆的高阶无穷小量之和，由微分定义知，()s t 在t 点可微，且微分

ds gt t =∆

它等于以匀速()s t '＝gt 运动，在t ∆时间内走过的路程．

例2 圆面积2y R π=，

y ∆＝2()R R π+∆一2R π＝22()r R R ππ∆+∆．

y ∆可表示为R ∆的线性函数与R ∆的高阶无穷小之和，故函数在R 可微，且微分

2dy R R π=∆

从几何上看，微分可以这样理解：

R π2是圆周长，当半径R 变大即圆面积膨胀时，设想圆周长保持不变，半径增大R ∆所引起的圆面积变化就是2R R π∆。

这就是圆面积的微分，它与R ∆成正比，与圆面积真正的变化之差是较R ∆高阶的无穷小，当然圆不可能保持周长不变而膨胀，这只是一种设想而已，但当R ∆很小时，两者之差就更小了。

例3 设正方形的边长为x ，则面积为 2

()f x x =

∆()f x ＝22()x x x +∆-＝2x x ∆＋2()x ∆

即∆()f x 可表为x ∆的线性函数和x ∆的高阶无穷小量之和，故()f x 在x 点可微，且微分

dy ＝2x x ∆．

可微与可导的关系：

定理4.5 函数y ＝()f x 在x 点可微的充要条件是：函数()f x 在x 点可导．这时微分中x ∆的系数()A f x '=．

证明 充分性前面已证。

必要性．设()f x 在x 点可微，由定义知

()y A x o x ∆=∆+∆

因此 0lim x y x ∆→∆=∆0lim x ∆→()A x o x x

∆+∆∆＝A 故()f x 在x 点可导，且'()f x ＝A

规定：自变量的微分dx 等于自变量的改变量x ∆，

这样微分公式又可写成

()dy f x dx '=

于是有()dy f x dx '=，在定义导数（微商）时，符号dy dx

是作为一个整体， 而现在微商可以看作是微分之商．也就是说，微商的确是微分之商．

微分的几何意义：

微分是曲线()y f x =在(,)x y 处的切线对应的改变量．用微分dy 近似地代替改变量y ∆，从几何上看就是用切线的改变量近似地代替函数的改变量（以直代曲）

对一元函数而言，可微与可导是等价的，且有关系式 '()dy f x x =∆

由导数公式可得到基本初等函数的微分公式

1dx x dx ααα-=； 1ln d x dx x

=； sin cos d x xdx =

等等．同样借助于微商的运算法则，立即可得下面的微分运算法则

(1) 四则运算法则．

(()())()()d f x g x df x dg x ±=±

(()())()()()()d f x g x g x df x f x dg x =+ 2()()()()()()(()0)()()

f x

g x df x f x dg x d g x g x g x -=≠ (2) 复合函数的微分．

设(),()y f u u g x ==，则复合函数(())y f g x =的微分为

()'()'(())'()dy f g x dx f g x g x dx ==

'()dy f u du =

把'()dy f u du =与'()dy f x dx =相比较，

虽然x 是自变量，u 是中间变量，但两者形式上是一样的，这一性质称为一阶微分形式的不变性。

一阶微分形式不变性说明，可以在微分等式中代入变量

例如u y e =，2u x =，则 u dy e du =

代入变量2u x =得 22x dy e dx =2

2x e xdx =

这种“代入”运算，在微商公式中就不可以做．例如在u y e '=中代入变量2u x =，得2x y e '=，显然结果是错误的．