(11.03)数学模型基本知识解析
数学模型复习知识点
内在规律，做出一些必要的简化假设，还用适当的数学工具，得到的一个数学结构。
2.数学模型的一般步骤：模型准备、模型假设、模型的构成、模型求解、模型分析、模型检验、模型应用。
3.数学建模的过程描述：表述、求解、解释、验证几个阶段。
并且通过这些阶段阶段完成从现实对象到数学模型，再从数学模型到现实兑现的循环。
4.量纲其次原则：以若干物理量为基本量纲，运用物理学公式，对相关的物理问题求解，用数学公式表示一些物理量之间的关系时，公式等号两端必须有相同的量纲。
5.量纲分析：就是利用量纲其次原则建立的物理量之间的数学模型。
6.层次分析法的基本步骤：建立层次结构模型、构造成对比较矩阵、计算权向量并做一致性检验、计算组合权向量并做组合一致性检验。
7.模型的逼真性：即为根据客观事物的特性，作出能真实反映其内部机理，较直观模型的可行性：即根据内部机理的数量规律，通过对数据的测量和统计分析，按照一定准侧做出的与数据拟合最好的模型。
模型的逼真性和可行性相辅相成，只有相互依存，才能使模型构成的更好。
8.（效用函数）无差别曲线：描述甲对物品x和y的偏爱程度，如果占有x1数量的x和y1数量和占有x2的x和y2的y，对甲某来说是同样满足的话，称p2和p1对甲是无差别的。
9.无差别曲线的特点：无差别曲线有无数条、无差别曲线是下凸的、单调的、互不相交的。
10.对无差别曲线做下凸形状作如下解释：当人们占有的x较少时，人们宁愿用较多的△y 换取较少的△x，当人们占有较多的△x时，人们愿意用较多的△x换取较少的△y满足这种特性的曲线是下凸的。
11.数学规划模型属于多元函数的条件极值问题的范围，其决策变量个数n和约束条件个数一般较大，并且最优解往往在可行域的边界上取得，数学规划是解决这类问题的有效方法。
分类：①线性规划②非线性规划③整数规划12.数学建模的重要意义：①在一般工程技术领域，数学建模仍然大有用武之地。
②在高新技术领域，数学模型几乎是必不可少的工具。
初中模型知识点总结
初中模型知识点总结一、数学模型1. 定义数学模型是利用数学语言和符号来描述现实世界中的问题的工具。
它包括数学模型的建立、求解和模型的应用。
2. 建模过程建立数学模型的过程包括：确定问题的数学描述、建立数学模型、求解模型、进行模型检验、进行模型的应用。
3. 常见的数学模型常见的数学模型包括线性模型、非线性模型、离散型模型、连续型模型等。
4. 数学模型的应用数学模型的应用涉及到各个领域，如物理、化学、生物、经济等。
数学模型广泛应用于生产、科研、管理等各个领域。
5. 数学模型的建立建立数学模型的关键是确定问题的数学描述，选择合适的数学模型，进行模型的求解和检验，最后进行模型的应用。
二、物理模型1. 定义物理模型是对现实世界中物理现象的描述和理解的数学模型。
2. 物理模型的建立物理模型的建立包括：确定问题的物理描述、建立数学模型、进行模型的求解和验证。
3. 常见的物理模型常见的物理模型包括牛顿力学模型、电磁场模型、热力学模型等。
4. 物理模型的应用物理模型广泛应用于各种物理现象的描述和预测，如运动学问题、静力学问题、电磁场问题等。
建立物理模型的关键是确定问题的物理描述，选择合适的数学模型，进行模型的求解和验证，最后进行模型的应用。
三、化学模型1. 定义化学模型是对化学反应和化学现象的描述和理解的数学模型。
2. 化学模型的建立化学模型的建立包括：确定问题的化学描述、建立数学模型、进行模型的求解和验证。
3. 常见的化学模型常见的化学模型包括化学反应动力学模型、化学平衡模型、溶液动力学模型等。
4. 化学模型的应用化学模型广泛应用于化学反应和化学现象的描述和预测，如反应速率问题、化学平衡问题、溶解度问题等。
5. 化学模型的建立建立化学模型的关键是确定问题的化学描述，选择合适的数学模型，进行模型的求解和验证，最后进行模型的应用。
四、生物模型1. 定义生物模型是对生物现象和生物系统的描述和理解的数学模型。
2. 生物模型的建立生物模型的建立包括：确定问题的生物描述、建立数学模型、进行模型的求解和验证。
数学几何模型知识点总结
数学几何模型知识点总结数学几何模型是数学中的一个重要分支，它研究的是空间中的各种形状、结构及其相关性质。
几何模型不仅在数学理论中有着重要的地位，而且在实际生活中也有着广泛的应用，比如建筑、工程、地图制作、计算机图形学等领域都离不开几何模型。
本文将对数学几何模型的相关知识点进行总结，包括基本概念、基本定理、重要定理及相关的应用。
一、基本概念1. 点、线、面：在数学几何模型中，点是几何图形的最基本元素，它没有大小和形状；线是由一系列相继连接的点构成的，它是一维几何图形；面是由一系列相连的线构成的，它是二维几何图形。
2. 平行线和垂直线：平行线是在同一平面上且永远不会相交的两条直线；垂直线是与另一条线相交且交点的两边分别为90度角的直线。
3. 角：角是由两条线或线段的交点及其相交示所围成的空间部分。
4. 多边形：多边形是由若干条线段相连而构成的封闭的平面图形，其中的每一条线段称为多边形的边，相邻两条边之间的夹角称为多边形的内角。
二、基本定理1. 锐角三角形的性质：锐角三角形的内角都小于90度，它的三边都小于直角三角形的三边之和。
2. 直角三角形的性质：直角三角形中，两条较短的边的平方和等于最长边的平方，这就是著名的勾股定理。
3. 钝角三角形的性质：钝角三角形中，其中一个角大于90度，它的两边之和小于第三边。
4. 三角形内角和定理：三角形的内角和为180度。
5. 三角形外角定理：三角形的外角等于它相对的内角的补角。
三、重要定理1. 圆的性质：圆是平面上到一点距离恒定的图形，圆的面积和周长分别为πr²和2πr，其中r为圆的半径。
2. 圆周角定理：在圆中，若两条弧之间的夹角等于一个圆心角，则这两条弧所对的圆周角相等。
3. 相似三角形定理：若两个三角形中对应的角相等，则这两个三角形是相似的。
4. 三角形的边比定理：在一个三角形中，两边之比与其所对的两个角的正弦比相等。
5. 圆锥曲线的焦点定理：圆锥曲线是平面上一点到两个不同点的距离之比等于一个定值的轨迹，这个定值称为圆锥曲线的焦距。
数学模型简介
数学模型简介
数 学 建 模
2. 什么是数学建模 什么是数学建模?
数学建模是利用数学方法解决实际问题的一种 数学建模 实践．即通过抽象、简化、假设、引进变量等处 理过程后，将实际问题用数学方式表达，建立起 数学模型，然后运用先进的数学方法及计算机技 术进行求解．
CQUST
数学模型简介
数 学 建 模
CQUST
数学模型简介
数 学 建 模
实际问题
在实际过程中用 哪一种方法建模主要 是根据我们对研究对 象的了解程度和建模 目的来决定． 机理分析法建模 的具体步骤大致可见 右图．
用实际问题的实测数据等来 检验该数学模型
不符合实际 符合实际
抽象、简化、假设 确定变量、参数 建立数学模型并数学、数值地求 解、确定参数
CQUST
数学模型简介
交付使用，从而可产生经 济、社会效益
CQUST
数学模型简介
数 学 建 模
三、数学模型及其分类
数学模型的分类： 数学模型的分类： ◆ 按研究方法和对象的数学特征分：初等模型、几 何模型、优化模型、微分方程模型、网络模型、逻 辑模型等． ◆ 按研究对象的实际领域（或所属学科）分：人口模型、交通模型、环境模型、生态模型、生理模型、 城镇规划模型、水资源模型、污染模型、经济模型、 社会模型等．
二、数学建模的一般方法和步骤
建立数学模型的方法和步骤并没有一定的模式， 但一个理想的模型应能反映系统的全部重要特征 特征： 特征 模型的可靠性 可靠性和模型的使用性。 使用性。 可靠性 使用性 建模的一般方法： 机理分析：根据对现实对象特性的认识，分析其因果 机理分析 关系，找出反映内部机理的规律，所建立的模型常有 明确的物理或现实意义． 测试分析方法： 测试分析方法：将研究对象视为一个“黑箱”系统， 内部机理无法直接寻求，通过测量系统的输入输出数 据，并以此为基础运用统计分析方法，按照事先确定 的准则在某一类模型中选出一个数据拟合得最好的模 型．
数学模型概论
人工智能与数学建模结合
人工智能算法和数学建模将进一步结 合，利用机器学习和深度学习技术进 行模型优化和预测。
面临的挑战与问题
模型的可解释性
多尺度建模
随着深度学习等黑箱模型的普及，模型的 可解释性成为关注焦点，如何解释模型决 策过程是亟待解决的问题。
多尺度现象在许多领域中普遍存在，如何 建立多尺度模型以描述不同尺度间的相互 作用是挑战之一。
供需关系
通过建立数学模型分析市场供需关系， 预测商品价格和供求量，为企业制定 生产和销售策略提供依据。
社会领域
人口预测
利用数学模型预测人口数量和结构变化 ，为政府制定人口政策和规划提供依据 。
VS
社会网络分析
通过建立数学模型分析社会网络结构，研 究人际关系、信息传播等社会现象。
生物领域
生态平衡
数学模型在生态学中的应用，如种群动态、生态平衡等，用于研究生态系统的行为和演化。
模型验证与修正
总结词
模型验证是确保模型准确性和可靠性的重要 步骤，而修正则是在模型出现问题时的必要 措施。
详细描述
验证方法包括对比实验、历史数据拟合等， 通过对比实际数据和模型预测结果，可以评 估模型的精度和误差。当模型出现偏差或异 常时，需要进行修正，这可能涉及到参数调 整、变量替换或模型结构修改等。修正后的 模型需要重新验证以确保其准确性和适用性
控制问题
总结词
数学模型在控制问题中起到核心作用，通过建立控制 系统的数学模型，可以实现有效的控制和调节。
详细描述
控制问题是指通过一定的控制手段，使系统达到预期的 状态或性能指标。数学模型可以建立控制系统的动态方 程和性能指标，通过分析和设计控制算法，实现系统的 稳定性和性能优化。例如，在机械系统中，数学模型可 以描述机械的运动状态和受力情况，设计控制器使得机 械系统能够稳定运行并达到预期的运动轨迹。
高中数学模型总结归纳
高中数学模型总结归纳数学模型是数学在实际问题中的应用，通过建立数学模型，我们可以对实际问题进行定量分析和预测。
在高中数学学习中，数学模型是一个重要的学习内容，它能够培养学生的数学思维和解决实际问题的能力。
下面将从线性规划、概率统计和微分方程三个方面总结归纳高中数学模型的相关知识。
一、线性规划模型线性规划模型是数学建模中常用的一种模型。
它通过建立一组线性方程和一个线性目标函数来描述实际问题，并求解最优解。
线性规划模型在经济、管理、交通等领域有广泛的应用。
例如，在生产计划中，可以通过线性规划模型来确定最佳的生产数量，以最大化利润或最小化成本。
在运输问题中，可以利用线性规划模型来确定最佳的物流路径，以最大化运输效益或最小化运输成本。
二、概率统计模型概率统计模型是研究随机现象的数学模型。
它通过建立概率分布函数和统计模型来描述实际问题，并对随机变量进行分析和推断。
概率统计模型在风险评估、市场调查、医学研究等领域具有重要的应用价值。
例如，在风险评估中，可以利用概率统计模型来评估不同投资组合的风险和收益，以帮助投资者做出合理的决策。
在市场调查中，可以通过概率统计模型来分析市场需求和消费者行为，以指导企业的营销策略。
三、微分方程模型微分方程模型是描述变化过程的数学模型。
它通过建立微分方程和初始条件来描述实际问题，并求解方程得到解析解或数值解。
微分方程模型在物理、生物、环境等领域有广泛的应用。
例如，在物理学中，可以利用微分方程模型来描述物体的运动规律，求解方程可以得到物体的位置、速度和加速度等信息。
在生物学中，可以通过微分方程模型来描述生物种群的增长和衰退过程，以了解生态系统的变化和稳定性。
高中数学模型是数学在实际问题中的应用，通过建立数学模型，可以对实际问题进行定量分析和预测。
线性规划模型、概率统计模型和微分方程模型是数学建模中常用的三种模型。
通过学习和应用这些模型，可以培养学生的数学思维和解决实际问题的能力，提高数学学科的学习效果和实际应用能力。
高三数学模型知识点概括
高三数学模型知识点概括数学模型是一种抽象的数学工具，用来描述和解决各种实际问题。
在高中数学课程中，数学模型是一个重要的内容，而高三数学模型知识点则是指在高三阶段需要掌握和应用的数学模型相关的知识。
本文将概括高三数学模型的主要知识点，帮助同学们更好地理解和应用数学模型。
一、线性规划模型线性规划是一类常见的最优化问题，主要用于解决线性目标函数和线性约束条件下的最大值或最小值问题。
在高三数学中，我们需要掌握线性规划模型的建立和求解方法。
其中包括目标函数的确定、约束条件的建立、可行域的确定以及最优解的求解等。
二、函数模型函数模型是数学模型中常见的一种形式，用于描述输入和输出之间的关系。
在高三数学中，我们需要熟悉各种常见的函数模型，如线性函数、二次函数、指数函数、对数函数等。
掌握函数模型的特点和性质，能够帮助我们更好地分析和解决实际问题。
三、微分方程模型微分方程模型是描述变化率与变量之间关系的数学模型。
在高三数学中，我们需要了解常见的微分方程模型及其求解方法。
例如，一阶线性微分方程、一阶非线性微分方程、二阶线性齐次微分方程等。
通过掌握微分方程模型的建立和求解，我们能够解决各种实际问题，如变化率、增长与衰减等问题。
四、概率模型概率模型是用来描述随机事件发生的可能性的数学模型。
在高三数学中，我们需要掌握常见的概率模型及其应用。
例如，我们需要了解概率的基本概念、概率的性质、条件概率、独立事件等。
同时，我们还需要了解概率计算的方法，如加法原理、乘法原理、全概率公式、贝叶斯公式等。
五、统计模型统计模型是用来描述数据分布和数据关系的数学模型。
在高三数学中，我们需要学习和应用常见的统计模型。
例如，我们需要了解描述数据分布的概念和方法，如频率分布、累积分布、均值、方差等。
同时，我们还需要了解描述数据关系的概念和方法，如相关系数、回归分析等。
六、图论模型图论模型是研究图结构及其特性的数学模型。
在高三数学中，我们需要学习和应用常见的图论模型。
第二章数学模型综述讲义
易解
简单
• 考虑主要变量，分析主要问题；
• 改变变量的性质：不重要的变量--------常量
连续变量--------线性
离散变量--------连续变量
• 改变变量的函数关系；
• 注意特征尺度。
3. 模型中应有可控变量（可操纵变量）
应该有一个或多个可控变量，否则不能付诸实用
二、建立模型的过程
• 数据的收集与分析 • 模型结构的选择
假定该系统因变量 y 与各项目、类目的反映间关系以线性模式表示。
m rj
yi
i ( j, k )b j,k i
i 1,2,, n
j 1 k 1
其中，b j,k 为常数， i 为随机误差。
应用最小二乘法原理寻求系数 b j,k 的估计值，即求 b j,k 使得
n
n
1
1
320 1 1 0 1
20 1 1 0 0
150 1 1 1 1
200 0 1 0 1
18003622000
1 0 1
150 128000
0 1 1 1 0 0
1 1 1 1 1 1
1 0 0 1 0 0
1 1 0 1 1 1
bbˆˆ12
三. 建模的几种方法
1. 图解建模法 2. 质量平衡法 3. 因次分析法 4. 概率统计法 5. 数量化理论预测法 6. 灰色系统建模法
1. 图解建模法
管道铺设情况
关键路法(Critical Path Method---CPM)
3. 因次分析法
① 自然界物理现象的规律，可以用完整的物 理公式来表示；
7
260
(270+270+240)/3=253 (270+250+240+230)/3=248
建立数学模型的基础知识及实践应用解析
建立数学模型的基础知识及实践应用解析数学模型是一种用数学语言描述实际问题的工具，它可以帮助我们理解和解决复杂的现实世界中的各种问题。
建立数学模型需要一定的基础知识和实践应用，下面将对这些内容进行解析。
一、数学模型的基础知识1.1 数学模型的定义和分类数学模型是对实际问题进行抽象和描述的数学工具。
它可以通过数学符号和方程来表示问题的关键要素和关系，从而帮助我们分析和解决问题。
根据模型的形式和性质，数学模型可以分为确定性模型和随机模型两种。
确定性模型是指模型中的各个变量和参数都是确定的，没有任何随机性。
例如，线性规划模型和微分方程模型就属于确定性模型。
而随机模型则是指模型中的某些变量和参数具有一定的随机性，例如，随机游走模型和蒙特卡洛模拟模型。
1.2 数学建模的基本步骤建立数学模型通常需要经过以下几个基本步骤：（1）问题的描述和分析：首先需要明确问题的背景和目标，了解问题的关键要素和约束条件。
（2）模型的建立：根据问题的特点和要求，选择适当的数学方法和模型形式，建立数学模型。
（3）模型的求解：对建立的数学模型进行求解，得到问题的解析解或数值解。
（4）模型的验证和评估：对求解结果进行验证和评估，判断模型的准确性和可靠性。
（5）模型的优化和改进：根据验证和评估结果，对模型进行优化和改进，提高模型的精确度和适用性。
二、数学模型的实践应用数学模型在各个领域都有广泛的应用，下面以几个具体的实例来说明。
2.1 金融领域的数学模型应用金融领域是数学模型应用的重要领域之一。
例如，期权定价模型是金融衍生品定价的基础，它利用随机微分方程建立了期权价格与股票价格之间的关系。
另外，投资组合优化模型可以帮助投资者选择最优的投资组合，以达到风险最小和收益最大的目标。
2.2 环境科学领域的数学模型应用环境科学领域也是数学模型应用广泛的领域之一。
例如，气象预报模型可以通过对大气运动和能量传递进行建模，预测未来的天气情况。
另外，水资源管理模型可以帮助决策者合理利用和保护水资源，实现可持续发展。
数学建模知识
数学建模知识一、数学模型的定义现在数学模型还没有一个统一的准确的定义，因为站在不同的角度可以有不同的定义。
不过我们可以给出如下定义：“数学模型是关于部分现实世界和为一种特殊目的而作的一个抽象的、简化的结构。
”具体来说，数学模型就是为了某种目的，用字母、数学及其它数学符号建立起来的等式或不等式以及图表、图像、框图等描述客观事物的特征及其内在联系的数学结构表达式。
一般来说数学建模过程可用如下框图来表明：数学是在实际应用的需求中产生的，要解决实际问题就必需建立数学模型，从此意义上讲数学建模和数学一样有古老历史。
例如，欧几里德几何就是一个古老的数学模型，牛顿万有引力定律也是数学建模的一个光辉典范。
今天，数学以空前的广度和深度向其它科学技术领域渗透，过去很少应用数学的领域现在迅速走向定量化，数量化，需建立大量的数学模型。
特别是新技术、新工艺蓬勃兴起，计算机的普及和广泛应用，数学在许多高新技术上起着十分关键的作用。
因此数学建模被时代赋予更为重要的意义。
二、建立数学模型的方法和步骤1. 模型准备要了解问题的实际背景，明确建模目的，搜集必需的各种信息，尽量弄清对象的特征。
2. 模型假设根据对象的特征和建模目的，对问题进行必要的、合理的简化，用精确的语言作出假设，是建模至关重要的一步。
如果对问题的所有因素一概考虑，无疑是一种有勇气但方法欠佳的行为，所以高超的建模者能充分发挥想象力、洞察力和判断力，善于辨别主次，而且为了使处理方法简单，应尽量使问题线性化、均匀化。
3. 模型构成根据所作的假设分析对象的因果关系，利用对象的内在规律和适当的数学工具，构造各个量间的等式关系或其它数学结构。
这时，我们便会进入一个广阔的应用数学天地，这里在高数、概率老人的膝下，有许多可爱的孩子们，他们是图论、排队论、线性规划、对策论等许多许多，真是泱泱大国，别有洞天。
不过我们应当牢记，建立数学模型是为了让更多的人明了并能加以应用，因此工具愈简单愈有价值。
大一数学建模一知识点总结
大一数学建模一知识点总结
这份文档总结了大一数学建模一课程的知识点。
以下是每个知识点的简要概述：
1. 数学模型的基础
- 数学模型的概念和作用
- 常见的数学模型类型，如线性模型和非线性模型
- 数学模型的建立过程和步骤
2. 数学建模中的数据处理与分析
- 数据的收集和整理方法
- 常见的数据可视化方法，如折线图和散点图
- 数据的统计分析方法，如均值、方差和相关系数
3. 最优化问题与约束条件
- 线性规划问题的基本概念和解法
- 最优化问题中的约束条件，如等式约束和不等式约束- 应用最优化方法解决实际问题的步骤和技巧
4. 模型评价与改进
- 模型的评价标准和指标
- 如何对模型进行优化和改进
- 验证模型的有效性和可靠性的方法和技巧
5. 数学建模中的常见工具与软件
- 常用的数学建模工具和软件，如MATLAB和Python - 如何使用这些工具和软件进行数学建模和分析
- 工具和软件的优缺点及适用范围
6. 实际案例分析
- 通过实际案例来应用所学的数学建模知识点
- 案例中的问题分析和解决方法
- 对应每个案例的模型建立和结果分析
这些知识点是大一数学建模一课程的核心内容，掌握这些知识将有助于你在数学建模方面有更深入的理解和应用能力。
希望这份总结对你的学习有所帮助！。
数学模型介绍ppt课件
数学建模竞赛的题目由日常生活、工程技术和管理科学中的实际问 题简化加工而成，大家可以从网上找到历年的赛题，它们对数学知识 要求不深，一般没有事先设定的标准答案，但留有充分余地供参赛者 发挥其聪明才智和创造精神。
数学建模的具体应用
• 分析与设计
• 预报与决策
• 控制与优化
• 规划与管理
如虎添翼
数学建模
计算机技术
知识经济
1.3 数学建模示例
1.3.1 椅子能在不平的地面上放稳吗
问题分析 通常 ~ 三只脚着地 放稳 ~ 四只脚着地
• 四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚
模 连线呈正方形;
型 假
• 地面高度连续变化，可视为数学上的连续
“没有。” “没有。” “不算。” “没有花，就十只。” “都怕死。” “不会。” “完全可以。”
不是开玩笑，这就是数学建模。从不 同的角度思考一个问题，想尽所有的可能， 正所谓的智者千虑，绝无一失，这，才是 数学建模的高手。
第一讲 建立数学模型
1.1 从现实对象到数学模型 1.2 数学建模的重要意义 1.3 数学建模示例 1.4 数学建模的方法和步骤 1.5 数学模型的特点和分类 1.6 怎样学习数学建模
引言
数学建模竞赛，就是一项数学应用题比 赛。大家都做过数学应用题吧，比如说 “树上有十只鸟，开枪打死一只，还剩几 只”，这样的问题就是一道数学应用题(应 该是小学生的吧)，正确答案应该是9只， 是吧？这样的题照样是数学建模题，不过 答案就不重要了，重要的是过程。真正的 数学建模高手应该这样回答这道题：
数学模型--百度百科
百度首页| 登录编辑词条数学模型目录[隐藏]一、建立数学模型的要求：二、数学模型的定义数学模型（Mathematical Model）是近些年发展起来的新学科，是数学理论与实际问题相结合的一门科学。
它将现实问题归结为相应的数学问题，并在此基础上利用数学的概念、方法和理论进行深入的分析和研究，从而从定性或定量的角度来刻画实际问题，并为解决现实问题提供精确的数据或可靠的指导。
[编辑本段]一、建立数学模型的要求：1、真实完整。
1）真实的、系统的、完整的,形象的映客观现象；2）必须具有代表性；3）具有外推性，即能得到原型客体的信息，在模型的研究实验时，能得到关于原型客体的原因；4）必须反映完成基本任务所达到的各种业绩，而且要与实际情况相符合。
2、简明实用。
在建模过程中，要把本质的东西及其关系反映进去，把非本质的、对反映客观真实程度影响不大的东西去掉，使模型在保证一定精确度的条件下，尽可能的简单和可操作，数据易于采集。
3、适应变化。
随着有关条件的变化和人们认识的发展，通过相关变量及参数的调整，能很好的适应新情况。
根据研究目的，对所研究的过程和现象(称为现实原型或原型)的主要特征、主要关系、采用形式化的数学语言，概括地、近似地表达出来的一种结构，所谓“数学化”，指的就是构造数学模型．通过研究事物的数学模型来认识事物的方法，称为数学模型方法．简称为MM方法。
数学模型是数学抽象的概括的产物，其原型可以是具体对象及其性质、关系，也可以是数学对象及其性质、关系。
数学模型有广义和狭义两种解释．广义地说，数学概念、如数、集合、向量、方程都可称为数学模型，狭义地说，只有反映特定问题和特定的具体事物系统的数学关系结构方数学模型大致可分为二类：(1)描述客体必然现象的确定性模型，其数学工具一般是代效方程、微分方程、积分方程和差分方程等，（2）描述客体或然现象的随机性模型，其数学模型方法是科学研究相创新的重要方法之一。
在体育实践中常常提到优秀运动员的数学模型。
什么是数学模型课件
n
r(x)=r-sx ，（s、r>0 ）
n 设最大人口容量（自然资源和环境条件所能容纳的最大
人口数量）为 xm
r(xm)=0
n有
x
r ( t ) r (1
)
xm
n 模型为
x ' ( t ) r ( 1 x ) x
n 他们中的大多数人的大学本科专业都是数学、物理等理科 背景，有些干脆就是数学家转而研究经济学的。
n 数学被广泛应用于经济学研究，这也许是经济学被视为科 学并设有经济学诺贝尔奖的原因之一吧。
--—邹恒甫（武汉大学高级研究中心主任、北京大学光华 管理学院一级教授、北京大学董辅经济学讲座教授）
诺贝尔经济学奖屡颁数学家
n David: 被人如此称颂的高技术本质上 就是数学——数学技术
Mathematic
什么是数学模型
数学教育
n 一方面：数学以及数学的应用在世界的科学、技术、商 业和日常生活中所起的作用越来越大
n 另一方面：一般公众甚至科学界（特别是我国）对数学 科学的作用未被认识到，数学科学作为技术变化以及工 业竞争的推动力的及其重要性也未被认识到。
第一讲 什么是数学模型
什么是数学模型
课程介绍
n 名称：数学模型、数学实验 n 性质：全校选修课 n 参考教材：
Ø 姜启源，数学模型，高等教育出版社 Ø 叶其孝主编，大学生数学建模竞赛辅导教材（一、二
、三、四），湖南教育出版社 Ø Matlab教程
什么是数学模型
数学
n 数学的实质：服务性学科
Ø 强有力的工具 Ø 与现实的紧密联系
Ø 求决策
d1, d2, ……,dn,
高一数学必修一所有模型知识点
高一数学必修一所有模型知识点导语：高一数学必修一课程是高中数学学科的基础，具有重要的理论和实践价值。
其中，模型是数学知识和实际问题之间的桥梁，通过建立数学模型，可以解决现实生活中的各种问题。
本文将从各个方面介绍高一数学必修一所有的模型知识点。
一、函数模型函数模型是高中数学中最基础的模型之一，它描述了变量之间的依赖关系。
在高一数学必修一中，函数模型主要涉及到一次函数、二次函数、指数函数和对数函数等。
通过对实际问题进行数学建模，学生可以将实际问题转化为函数表达式，并通过函数的图像和性质来解决问题。
二、几何模型几何模型是描述空间形状和位置关系的数学模型。
在高一数学必修一中，几何模型主要涉及到平面几何和空间几何。
平面几何模型常见的有平面直角坐标系、三角形、平行四边形等，通过建立几何模型，可以解决各种形状和位置相关的问题。
三、数据统计模型数据统计模型是通过对数据进行分析和处理，得到相应的数学模型。
在高一数学必修一中，数据统计模型主要涉及到数据的收集、整理、描述和分析等。
通过应用统计学的方法，可以对数据进行合理的解读和分析，进而得出结论。
四、概率模型概率模型是描述随机实验结果的数学模型。
在高一数学必修一中，概率模型主要涉及到随机事件、概率计算、条件概率和独立性等概念。
通过建立概率模型，可以确定某个事件发生的可能性，从而进行合理的决策。
五、三角模型三角模型是描述角度之间关系的数学模型。
在高一数学必修一中，三角模型主要涉及到角的三角函数、三角恒等式、解三角形等。
通过建立三角模型，可以解决各种角度和边长相关的问题，应用广泛。
六、微分模型微分模型是描述变化率的数学模型。
在高一数学必修一中，微分模型主要涉及到函数的导数和导数的应用。
通过建立微分模型，可以解决各种变化率相关的问题，具有重要的应用价值。
七、积分模型积分模型是描述累积量的数学模型。
在高一数学必修一中，积分模型主要涉及到不定积分、定积分以及积分的应用。
通过建立积分模型，可以解决各种面积、物理量、曲线长度等相关问题，具有重要的应用价值。
数学模型要求掌握的知识点
要求掌握的知识点：1．数学模型对于现实世界的一个特定对象，为了一个特定目的，根据对象特有的内在规律，在做出问题分析和一些必要、合理的简化假设后，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构就称为该特定对象的数学模型.2．数学建模依据下述的几个基本步骤建立数学模型，这个全过程便称为数学建模.第一步：根据现实对象的背景和要求进行问题分析；第二步：根据问题的要求和建模目的作出合理的简化假设；第三步：根据问题分析与假设，利用相应的物理的或其它有关规律建立起现实对象的数学表达式——建立数学模型；第四步：使用相应的数学方法求解数学模型以给出现实对象的数学解决——模型求解；第五步：对模型的解给予检验和解释—模型分析（包括检验、修改、应用和评价等）；注意，若所得的解不符合实际，则所建数学模型有错误，应推倒重建.这是数学建模完全可能出现的情况，其产生原因往往是问题分析错误或假设不合理所至.3．建模基本过程数学建模的基本流程，“问题分析合理的简化假设建立模型求解模型对模型解的分析、检验、修改与推广.用框图描述如图1—1.当我们面临新的建模问题时，这个流程是极具指导意义的.应当注意的是，这个流程的目的是指导我们更好地进行建模实践，其应用是可以有弹性的，切勿生搬硬套.也就是说，不是每个建模问题都要一个不差地经过这五个步骤，其顺序也不是一成不变的.一个具体建模问题要经过哪些步骤并没有一定的模式，通常与实际问题的性质、建模的目的等有关.后面我们将结合实例对上述这个流程的各个步骤详加说明.现实对象合于实际模型分析检验问题分析不合实际模型求解模型假设模型建立图1—14．数学模型的特点和作用在学习后续的建模实例时请注意以下特点：（1）数学建模不一定有唯一正确的答案.数学建模的结果无所谓“对”与“错”，但却有优与劣的区别，评价一个模型优劣的唯一标准是实践检验.（2）数学建模没有统一的方法.对同一个问题，各人因其特长和偏好等方面的差别，所采取的方法可以不同。
数学建模知识点总结大学
数学建模知识点总结大学一、概述数学建模是指运用数学方法和技巧，通过对实际问题的抽象、描述、分析和求解，得出定量的结果和结论，以解决现实问题的一种方法。
数学建模是一门综合性强、应用性广的学科，它要求掌握多种数学理论和方法，并善于将数学工具与实际问题相结合，用数学语言描述现实，解决实际问题。
数学建模的基本过程包括问题的建立、模型的建立、模型分析和结果验证四个环节。
数学建模的应用范围广泛，包括管理、经济、自然科学、工程技术等各个领域。
二、数学建模的基本概念1. 数学模型数学模型是对客观世界中某一系统的描述或抽象，通常用数学符号和方程式来表示。
数学模型是用数学语言建立起来的，其优点是结构清晰、精确明了。
根据模型中变量的类型和表达方式，数学模型分为连续模型和离散模型。
连续模型是指自变量和因变量是连续的，离散模型是相反的情况。
数学模型的建立需要经验和知识，并且通常依赖于具体的问题类型。
2. 数学建模的基本流程数学建模的基本流程包括问题的建立、模型的建立、模型分析和结果验证。
问题的建立是指对实际问题进行清晰的描述和阐述，明确目标和方法。
模型的建立是指将实际问题抽象为数学问题，建立数学模型。
模型分析是指对数学模型进行求解和分析，并得出结论。
结果验证是指将数学模型的结果与实际问题进行比较，验证数学模型的有效性。
3. 数学建模的方法数学建模的方法包括定性建模和定量建模。
定性建模是指对某一现象的特征进行描述和分析，不考虑具体数值，例如通过图表、影响因素分析等方法，定性分析某一现象的规律。
定量建模是指对现象的具体数值进行刻画和分析，建立数学模型，通过数学公式和方程式描述现象，进行具体的计算和分析。
4. 数学建模的应用数学建模在工程技术、物理学、生物学、环境科学、经济学、管理学等各个领域都有广泛的应用。
例如在工程设计上，可以通过数学建模优化设计参数，提高性能；在经济学领域，可以通过数学建模分析市场供需、成本收益等问题；在环境科学领域，可以通过数学建模预测气候变化、环境污染等问题。
数学建模知识点总结
数学建模知识点总结一、数学建模概述1.1 数学建模的概念数学建模是利用数学方法和技术解决实际问题的过程，是将实际问题抽象成数学模型，再通过数学分析和计算来解决问题的一种方法。
数学建模可以应用于工程、科学、经济、环境等各个领域，对于解决复杂的实际问题具有重要的作用。
1.2 数学建模的基本步骤数学建模的基本步骤包括问题分析、建立数学模型、求解模型、模型验证和应用。
在处理实际问题时，首先要对问题进行充分的分析，然后建立相应的数学模型，再通过数学方法来求解模型，最后对模型进行验证和应用。
1.3 数学建模的应用范围数学建模的应用范围非常广泛，可以涉及到自然科学、社会科学、工程技术等各个领域。
例如，在工程领域可以用数学建模来设计飞机、汽车、桥梁等结构的强度和稳定性；在环境科学领域可以用数学建模来研究气候变化、环境污染等问题；在生物医学领域可以用数学建模来研究人体的生理过程。
1.4 数学建模的意义数学建模可以帮助人们更好地理解实际问题，设计出更优秀的工程产品，提高生产效率，优化资源配置，解决环境污染等问题，对于推动科技进步和社会发展具有重要的意义。
二、数学建模的数学基础2.1 微积分微积分是数学建模的基础。
微积分是研究变化的数学分支，包括导数、积分、微分方程等概念。
在数学建模中，微积分可以用来描述变化率、优化函数、求解微分方程等问题。
2.2 线性代数线性代数是数学建模的另一个基础。
线性代数是研究向量、矩阵、线性方程组等概念的数学分支，可以用来描述多维空间的几何关系、解决大规模线性方程组等问题。
2.3 概率论与统计学概率论与统计学是数学建模的重要工具。
概率论研究随机事件的概率分布、随机过程等概念，统计学研究数据的收集、处理、分析等方法。
在数学建模中，概率论和统计学可以用来描述随机现象、分析数据、评估模型等问题。
3.1 最优化方法最优化方法是数学建模常用的方法之一。
最优化方法是研究如何找到使目标函数取得最大（小）值的变量取值。
数学模型概述
在高维数据中提取有意义的特征是数学模型的重 要任务，可以通过特征选择、特征提取等方法实 现。
高维数据的可视化
将高维数据可视化是理解数据的重要手段，数学 模型需要借助可视化技术，如散点图、平行坐标 系等，以直观地展示数据。
不确定性量化与优化
01 02
不确定性量化
在许多实际应用中，由于数据的不完备性和模型的复杂性，数学模型往 往存在不确定性。不确定性量化是数学模型的重要方向，旨在评估模型 预测的不确定性。
数学模型概述
目录
• 数学模型的基本概念 • 建立数学模型的方法 • 数学模型的应用领域 • 数学模型的发展趋势与挑战 • 数学模型的实际案例
01
数学模型的基本概念
定义与特点
定义
数学模型是对现实世界中某个现象或 系统的抽象描述，通过数学语言和符 号表示其内在规律和属性。
特点
数学模型通常具有形式化、精确化和 可量化等特征，能够揭示事物的本质 和内在联系，帮助人们更好地理解和 预测现象的发展趋势。
概率统计模型
基于概率论和统计学原理，描述随机现象和 不确定性问题。
微分方程模型
通过微分方程描述系统随时间变化的动态过 程。
线性规划模型
通过线性规划方法，优化资源配置和决策问 题。
02
建立数学模型的方法
理论建模
总结词
基于数学原理和逻辑推理，构建描述系统内在规律的数学模型。
详细描述
理论建模是通过数学符号、公式和方程来描述一个系统的内在规律和机制。它基于对系统深入的理论分析和逻辑 推理，通过数学公式和方程来表达系统的行为和特征。理论建模的优点在于能够揭示系统的本质规律，具有普适 性和通用性。
优化算法
数学模型概述ppt课件
建立模型：
用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来
• 椅子位置
利用正方形(椅脚连线)的对称性
B´ B A´
用(对角线与x轴的夹角)表示椅子位置 • 四只脚着地 椅脚与地面距离为零 距离是的函数 四个距离 (四只脚) 两个距离
C
C´
O
D´
A
x
正方形 对称性
D
A,C 两脚与地面距离之和 ~ f()
（2）模型: 模型是为了一定目的，对客观事物的
一部分进行简缩、抽象、提炼出来的原型的替代物
模型集中反映了原型中人们需要的那一部分特征
2018/10/24 3
（3）数学模型 (Mathematical Model) 和 数学建模（Mathematical Modeling)
数学模型：
对于一个现实对象，为了一个特定目的， 根据其内在规律，作出必要的简化假设， 运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。
由 f, g的连续性知 h为连续函数, 据连续函数的基本性
质, 必存在0 , 使h(0)=0, 即f(0) = g(0) . 因为f() • g()=0, 所以f(0) = g(0) = 0.
评注和思考 建模的关键 ~ 和 f(), g()的确定
假设条件的本质与非本质
2018/10/24
对任意， f() • g()=0 ;
且 g(0)=0， f(0) > 0.
证明：存在0，使f(0) = g(0) = 0.
2018/10/24 9
模型求解
给出一种简单、粗糙的证明方法
将椅子旋转900，对角线AC和BD互换。 由g(0)=0， f(0) > 0 ，知f(/2)=0 , g(/2)>0. 令h()= f()–g(), 则h(0)>0和h(/2)<0.
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• 电子计算机的出现及飞速发展； • 数学以空前的广度和深度向一切领域渗透。
数学建模作为用数学方法解决实际问题的第一步， 越来越受到人们的重视。 • 在一般工程技术领域数学建模仍然大有用武之地； • 在高新技术领域数学建模几乎是必不可少的工具； • 数学进入一些新领域，为数学建模开辟了许多处女地。
数学建模的具体应用
数学建模的一般步骤
模 型 假 设 针对问题特点和建模目的,忽略次要 的因素，作出合理的、简化的假设 在合理与简化之间作出折中 用数学的语言、符号描述问题 发挥想像力 使用类比法
模 型 构 成
尽量采用简单的数学工具
数学建模的一般步骤
模型 求解 模型 分析 模型 检验 各种数学方法、软件和计算机技术 如结果的误差分析、统计分析、 模型对数据的稳定性分析 把求解和分析结果与实际现象、数 据比较，检验模型的合理性、适用性
91.6.7-9（非数学类）大学生数学建模竞赛，上海
92.4.3-6 第一届大学生数学建模竞赛，西安
92.11.27.-29 CSIAM举办，1992年全国大学生数学
建模竞赛，74所大学，314队
94年~ 由原国家教委及CSIAM联合举办
2010年1022所大学，9836队(甲组7374队，乙组
2462队)；一等奖261队（甲组210队，乙组51队)，
要用数学语言、方法去近似地刻画该实际问题，
而这种刻画的数学表 达式就是一个数学模型，其
过程就是数学建模。
2. 由来
七十年代末八十年代初，英国剑桥大学专门
为研究生开设数学建模课程，并开展牛 津大学与
工业界的合作活动OSGI（Oxford Study Group with
Industry）。差不多同时，美国及欧洲其他发达国
二等奖1111队（甲组907队，乙组204队)
四川省：
从92年开始参加。
2010年有47所高校，624个队； 获全国一等奖16项，二等奖45项;
获省一等奖64项，二等奖73项，二等奖84项。
曾获5次全国组织奖。
电子科大获2004年ICM杰出奖（Outstanding
winners ，5个国家的143队中选出4队）
航行问题建立数学模型的基本步骤
• 作出简化假设（船速、水速为常数）；
• 用符号表示有关量（x, y表示船速和水速）； • 用物理定律（匀速运动的距离等于速度乘以 时间）列出数学式子（二元一次方程）；
• 求解得到数学解答（x=20, y=5）；
• 回答原问题（船速每小时20千米/小时）。
1.2 什么是数学建模及数学建模的由来
• 分析与设计
• 预报与决策
•
控制与优化
• 规划与管理
数学建模
如虎添翼
计算机技术
知识经济
1.5
•机理分析
数学建模的方法和步骤
根据对客观事物特性的认识，找出反映 内部机理的数量规律
将对象看作“黑箱”,通过对测量数据的 统计分析，找出与数据拟合最好的模型 用机理分析建立模型结构,用测试分析确 定模型参数
家把数学建模 的内容引入研究生，本科生以及中学
生的教学计划中去，并于1983年开始举办二年一次 的数学建模和应用的教学国际会议 。
数学建模竞赛 美国（AMS）：
85年前，仅有一种竞赛：Putram数学竞赛
85年，MCM(Mathematical Competition in Modelling) 88年，MCM(Mathematical Contest in Modelling) 99年，ICM(Interdisciplinary Contest in Modeling) 我国： 89年开始组队参加美国MCM。92年12所大学，24 个 队； 90.12.7-9（数学类）大学生数学建模竞赛，上海
1.3 数学建模与其他数学分支的区别
数学建模与其他数学分支的区别： 学着用数学和学数学 数学建模与求解数学问题(problem solving)的区别： 求解数学问题的条件及需要解决的问题是确定的，
恰到好处； 而数学建模中题目的条件及需要解
决的问题都可能有许多不确定因素。
1.4
数学建模的重要意义
数学建模的基本方法
•测试分析
•二者结合
机理分析没有统一的方法，主要通过实例研究 (Case Studies)来学习。以下建模主要指机理分析。
数学建模的一般步骤
模型准备 模型检验 模型应用
模型假设
模型分析
模型构成
模型求解
模 型 准 备了解实际Fra bibliotek景搜集有关信息
明确建模目的
掌握对象特征
形成一个 比较清晰 的‘问题’
1.数学建模（Mathematical Modelling） 数学模型（Mathematical Model ）
数学模型
对于一个现实对象，为了一个特定目的，根据其
内在规律，作出必要的简化假设，运用适当的数 学工具，得到的一个数学结构。
数学建模
建立数学模型的全过程
（包括表述、求解、解释、检验等）
具体地说，是运用数学方法去解决实际问题，即
建立数学模型
1.1 从现实对象到数学模型
1.2 什么是数学建模及数学建模的由来 1.3 数学建模与其他数学分支的区别 1.4 数学建模的重要意义 1.5 数学建模的方法和步骤
1.6 数学模型的特点和分类
1.7 数学建模教与学 1.8 CUMCM历年赛题的统计分析 1.9 数学建模竞赛的实践方法 1.10 建模示例
1.1
从现实对象到数学模型
我们常见的模型
玩具、照片、飞机、火箭模型… … ~ 实物模型
水箱中的舰艇、风洞中的飞机… … ~ 物理模型 地图、电路图、分子结构图… … ~ 符号模型
模型是为了一定目的，对客观事物的一部分 进行简缩、抽象、提炼出来的原型的替代物 模型集中反映了原型中人们需要的那一部分特征
你碰到过的数学模型——“航行问题”
甲乙两地相距750千米，船从甲到乙顺水航行需30小时， 从乙到甲逆水航行需50小时，问船的速度是多少? 用 x 表示船速，y 表示水速，列出方程：
( x y ) 30 750 ( x y ) 50 750
求解
x =20 y =5
答：船速每小时20千米/小时.
模型应用
数学建模的全过程
现 实 世 界 现实对象的信息 验证 现实对象的解答 表述
(归纳)
数学模型 求解 (演绎)
数 学 世 界
解释
数学模型的解答
表述 求解 解释 验证