线面,面面垂直证明

平面与平面垂直的性质定理的简单应用
例1：如图,AB是⊙O的直径,点C是圆上异于A,B的 任意一点,PA⊥平面ABC,AF⊥PC于F.求证:AF⊥ P 平面PBC.
证明: ∵AB是⊙O的直径 ∴AC⊥BC
∵PA⊥平面ABC,BC 平面ABC F .O ∴PA⊥BC ∵PA∩AC=A A ∴BC⊥平面PAC C ∵BC 平面PBC ∴平面PBC⊥平面PAC 又∵AF⊥PC,AF 面PAC ,面PBC∩面PAC=PC ∴AF⊥平面PBC
CB＝1，CA＝ 3，，C1C＝ 6，M 是CC1的中点，
3.直棱柱ABCD－A1B1C1D1 中，底面ABCD是直角梯形， ∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝2AD＝2CD＝2. 求证：AC⊥平面BB1C1C.
（第3题） （第2题）
∩
B
∩
∩
例2 如图,四棱锥P-ABCD的底面是矩 形，AB=2，BC 2 ，侧面PAB是等 边三角形，且侧面PAB⊥底面ABCD. （1）证明：侧面PAB⊥侧面PBC；
（2）求侧棱PC与底面ABCD所成的角
P
A
E来自百度文库
D
B
C
例3.四面体ABCD中，BC 2a, AB AD BC CD AC a, 求证：面ABD 面BCD
B
a
平面与平面垂直的性质定理
两个平面垂直,则一个平 面内垂直于交线的直线 与另一个平面垂直.


b
l
面面垂直
线面垂直
1－1.已知 a、b 是两条不同的直线，α、β为两个不同的平面， a⊥α，b⊥β，则下列命题中不正确的是( ) B
A．若 a 与 b 相交，则α与β相交
C．若 a∥b，则α∥β
直线与平面垂直判定定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线 都垂直，则该直线与此平面垂直．
l
b

线线垂直 线面垂直
A
a
直线和平面垂直的性质定理：
垂直于同一个平面的两条直线平行.
线面垂直⇒ 线线平行
a b
α
面面垂直的判定定理
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线， 那么这两个平面互相垂直。

线面垂直面面垂直
图5
作业 （共3题）： 1.如图，E，F分别为直角三角形ABC的直角边AC和斜边 AB的中点，沿EF将△AEF折起到△A1EF的位置，连结 A1B，A1C. 求证：(1)EF⊥平面A1EC； (2)AA1⊥平面A1BC.
2. 【例2】
（第1题）
已知在直三棱柱ABC－A1B1C1中，ACB＝90， 求证：A1B AM .
例4.三棱锥S ABC中, SB AB, SC AC , 作AD BC于D, SH AD于H。 求证：SH 面ABC
3 －1. 已知 PA ⊥矩形 ABCD 所在平面，三角形 M、N 分别为 AB、PC PDA 是等腰直角三角形， 的中点．求证：平面 MND⊥平面 PDC.
B．若α与β相交，则 a 与 b 相交
D．若α⊥β，则 a⊥b
解析：α与β相交，a 与 b 可能是异面直线． 1－2.α、β是两个不同的平面，m、n 是α、β之外的两条不同
的直线，给出以下四个论断： ①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α. 以其中三个论断作为条件，余下一个作为结论，写出你认 ①③④→② 为正确的一个命题___________. 解析：答案不唯一，如：②③④→①也正确．